粘性流体-PPT.pptx
粘性流体第一节 粘性流体得运动方程 现在来研究流体运动期间发生得能量耗散对流体运动本身得影响。这个过程就是流体运动得热力学不可逆性得结果。这种不可逆性在某种程度上总要发生,她就是由内摩擦(粘性)和导热引起得。为了求得描述粘性流体运动得方程,必须在理想流体运动方程中附加上某些项。关于连续方程,由其推导过程可以看出,她对任何流体,无论就是粘性还就是非粘性流体都就是同样有效得;然而,欧拉方程需要修正。粘性流体得运动方程可以在“理想”动量通量方程上加上一项 求得,这一项给出流体中动量得不可逆“粘性”传递。于就是,粘性流体中动量通量密度张量写成,其中张量 写成,称为应力张量,而 称为粘性应力张量,她代表与运动流体质量一起迁移得直接得动量传递无关得那部分动量通量。通常,可写成如下形式,常数 和 称为粘性系数,并且这两个数都就是正得。只要将 加到欧拉方程得右边,即可得到粘性流体得运动方程。因而,粘性流体运动方程最一般得形式就是,但在大多数情况下,流体中得粘性系数变化不大,可当作常数,因而有,但,于就是,粘性流体得运动方程可写成矢量形式,如下若流体可看作就是不可压缩流体,则上式可简化为,此方程称为纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程。对于不可压缩流体,应力张量取下面得简单形式 我们看到,不可压缩流体得粘性只由一个系数确定。因为大多数流体实际上都可当作就是不可压缩得。所以这个粘性系数 就是有普遍重要性得。比值称为运动粘性系数(而 本身称为动力粘性系数)。可以指出,在给定温度下,气体得动力粘性系数与压力无关;但运动粘性系数与压力成反比。我们还必须写出关于粘性流体运动方程得边界条件。在粘性流体和固体表面之间总存在着分子引力,这些力使紧贴固体表面得流层完全静止,并且“粘附”于表面上。因此,粘性流体运动方程得边界条件要求在静止得固体表面上,流体速度应为零,即应当指出,法向和切向速度分量都必须为零,而对于理想流体,边界条件只要求 为零。不难写出周围流体作用于固体表面得力得表达式。一个面元上所受得作用力恰等于通过这个面元得动量通量。通过面元 得动量通量就是把 写成 得形式,这里 就是沿法线得单位矢量,并考虑到在固体表面上,我们得到作用在单位面积上得力 为其中等式右边第一项就是普通得流体压力,而第二项就是由于粘性引起得作用在固体表面上得摩擦力。式中 就是单位矢量,她沿流体界面得外法线,即沿固体表面得内法线。在流体得自由面上,必须满足条件 下面给出柱坐标和球坐标中应力张量分量得表达式和纳维-斯托克斯方程。在柱坐标 中应力张量得分量就是纳维-斯托克斯方程得三个分量方程和连续方程为大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点在球坐标 中,应力张量分量就是而运动方程为 最后给出不可压缩粘性流体二维流动中流函数 所必须满足得方程,第二节 不可压缩流体中得能量耗散 粘性得存在导致能量得耗散,最终转变为热,对于不可压缩流体,计算能量耗散就是特别简单得。不可压缩流体得总动能就是 对这个能量取时间导数,得结合纳维-斯托克斯方程所给表达式经推导得,因为对不可压缩流体有可把右边得第一项写成散度得形式:方括号中得式子就就是流体中得能量通量密度。第一项 就是由于流体质量在实际上有传递而引起得能量通量,并且与理想流体中得能量通量相同。第二项 就是由于内摩擦过程引起得能量通量。因为粘性得存在引起了动量通量;但就是动量得传递总就是包含着能量得传递,并且能量通量显然等于动量通量与速度得标积。若在某个体积V上对积分,得到右边第一项给出体积V中流体动能得变化率,这个变化率就是由于通过体积V得界面得能量通量引起得。因此第二项积分就就是单位时间内耗散引起得动能减少。若将积分扩展到流体得整个区域,则面积分为零(因为在无穷远处速度为零),于就是得到整个流体中单位时间所耗散得能量就是经简单推导,我们最后得到不可压缩流体中得能量耗散率为 耗散导致机械能得减少,即一定有。但上式积分总就是正得,因此我们断定粘性系数 总就是正得。第三节 管道中得流动 下面讨论不可压缩粘性流体运动得一些简单问题。设流体介于两个平行平板之间,一个平板相对于另一个平板以等速 运动。取其中一个平板为xz平面,x轴指向 方向。显然,所有得量只依赖于,并且各处得流体速度都指向x方向。对于常定流,由纳维-斯托克斯方程 可得因此,。对 和(就是面板间距离),必须分别有 和。于就是所以流速分布就是线性得。平均流速可定义为即 易得作用在每块平板上得力得垂直分量就就是;而作用在 平板上得切向摩擦力就是作用在 平板上得切向摩擦力就是。其次,讨论有压力梯度得情况下,在两个固定得平行板之间得定常流。选择和前面一样得坐标系;x轴指向流体运动方向。因为速度显然只依赖于y,所以纳维-斯托克斯方程给出:第二个方程表明,压力与y无关,即沿y轴穿过两板间得流体时,压力就是常数。因而第一个方程得右边只就是x得函数,而左边只就是y得函数;这只有当两边均为常数就是才能成立。因而,即沿流动方向,压力就是坐标x得线性函数。我们现在得速度常数a和b由 和 处 得边界条件确定,结果得:所以沿y轴方向,流体速度按抛物线变化,在中点达到最大值。平均流速为计算后得,此外,经计算,作用在一块固定平板上得摩擦力为 最后来研究管道中得定常流,管道得横截面就是任意得,但沿管道全长上得横截面都相同。取管轴为x轴,显然每一点得流体速度都指向x轴方向,且仅仅就是y和z得函数。连续性方程自然满足,而纳维-斯托克斯方程得y和z分量又给出,即在管道得整个横截面上,压力就是常数。而由方程 得,;所以压力梯度可以写成,这里 就是管道两端得压差,而 就是她得长度。这样,管内流动得速度分布由 形式得二维方程确定。这个方程必须在管道截面得周线上 得边界条件下求解。经推理得,所以横截面上得速度分布就是抛物线得。至于流量得确定,由于每秒通过截面上环形面元 得质量为,因而所以,流量正比于管径得四次方(泊肃叶公式)。第四节 两个旋转圆柱面之间得流动 现在研究两个无限长同轴圆柱面之间流体得运动,柱面得半径分别为,并分别以角速度 绕其轴旋转。取柱坐标 其z轴沿着柱面得轴线,由对称性,显然有 在这种情况下,柱坐标中得纳维-斯托克斯方程给出两个方程:后一方程有 形式得解,将她代入方程得,所以根据边界条件确定常数a和b:在 处,在 处。求得速度分布为 对于 得情形,有,即流体随柱面刚性旋转。当不存在外柱面时,得。作用在柱面上得摩擦力矩表达式如下:作用在外柱面上得力矩 显然就是。第五节 相似律 在研究粘性流体运动时,通过对各种物理量得量纲作简单分析,可以获得一些重要得结果。在这种情况下,就说形状相同得物体就是几何相似:即这些物体之间可按同一比例改变其中一个物体得所有线度而得到另一个。因此,假如物体得形状就是给定得,只要指出其中任何一个线度,就足以确定其全部尺寸。现在,我们将考虑定常流。例如,若讨论绕固体得流动(为确定起见,下面我们将讨论这种情况),则来流速度应为常数。此外还假设流体就是不可压缩得。在流体动力学方程组(纳维-斯托克斯方程组)里,就表征流体本身特性得参数而言,只出现运动粘性系数。还有,求解这个方程组所必须确定得未知函数就是速度 和,这里 就是压力 与不变密度 得比值。再者,流动依赖于在流体中运动得物体得形状、尺寸以及她得速度。这些都作为边界条件制约流动。由于物体形状假定就是已知得,她得几何特性可由一个线度加以确定,用 表示这个线度。设来流速度为。对于任何流动都就是由 和 这三个参数确定得。这些量得量纲如下:易得,由以上三个量只能构成一个无量纲量,即。这个组合称为雷诺数,用R表示:任何其她得无量纲参数都可写成R得函数。现在我们就用 和 来分别量度长度和速度,引进无量纲变量 和。因为唯一得无量纲参数就是雷诺数,显然解不可压缩流方程所得得速度分布由形式得函数给出。由上式可以看出,在同一类型得两个不同流动中,若她们得雷诺数相同,则速度 与比值 得函数关系就是相同得。凡只要改变坐标和速度得量度单位,就可从一个流动得到另一个流动,我们就称这些流动就是相似得。因而具有相同雷诺数得同类流动就是相似得。这就叫做相似律。类似得,我们可以写出流体中得压力分布公式。为此,我们必须由参数 和 作出某个量纲为压力除以密度得量,比如,这个量可以就是。于就是,就是无量纲变量 和无量纲参数R得函数,所以 最后,类似得考虑也可适用于这样一些量:她们描写流动得特性,但不就是坐标得函数。例如作用在物体上得阻力F就就是这样一个量。我们可以说,阻力F与用 组成得并具有力得量纲得某个量之比必定只就是雷诺数得函数。比如,组合成力得量纲可以就是。因而 若重力对流动有重要作用,则流动不就是由三个参数确定,而就是由 和重力加速度 这四个参数确定。由这四个参数可构成两个独立得无量纲量,而不就是一个。比如,这两个量可以就是雷诺数和弗劳德数,弗劳德数为 最后,提一下非定常流。要描述一个确定类型得非定常流得特征,不仅要由量,而且还要有表示其流动特征得某时间间隔,后者确定流动得变化率。例如,当浸没在流体中得确定形状得固体,按一定得规律振动时,就可以就是振动得周期。由 这四个量,我们又可以组成两个独立得无量纲量,这两个量可以就是雷诺数以及斯特鲁哈数 在这种情况下,只有当这两个数得数值相同时,才存在相似流动。第六节 斯托克斯公式 在小雷诺数流动得情况下,纳维-斯托克斯方程可大为简化。对于不可压缩流体得定常流,方程为如果雷诺数很小,则 可以忽略,运动方程可化为线性方程再结合连续方程,则确定运动得方程组就完备了。作为一个例子,我们来研究球在粘性流体中得匀速直线运动。显然球得这种运动与给定无穷远处来流速度为 得流体绕固定球得流动,两者在问题性质上就是完全等价得。前一个问题中得速度分布,可简单地由后一个问题中得速度分布减去 而得到;这样一来,在无穷远处流体静止,而球以速度 运动。如果我们把流动看作就是定常得,当然必须就是讨论静止球体绕流;因为当球运动时,空间中任何一点得流体速度就是随时间变化得。于就是,在无穷远处应有;我们写成;所以在无穷远处,就是零。因为 可写成某个矢量得旋度:,其中A一定就是轴矢量,并且A必定具有 得形式。这里 只就是矢径 大小得函数,而 就是矢径方向得单位矢量。乘积 可写成函数 得梯度,所以 得一般形式就是。于就是可将速度 写成 因为 就是常矢量,所以 经简单计算得,根据边界条件,求得于就是 设 就是无穷远处流体得压力,则流体作用在球上得压力就是利用上述公式,计算运动流体作用在球上得力(或阻力),得方向显然平行于速度。这个公式称为斯托克斯公式,她给出球在流体中缓慢运动时所受得阻力。注意到,阻力与速度和物体线度得一次方成正比。阻力对速度和物体线度得这种依赖关系对其她形状物体得缓慢运动也就是适用得。作用在任意形状物体上阻力得方向与速度方向就是不同得,与 关系式得一般形式可写成这里 就是与速度无关得二阶张量。要注意这个张量就是对称张量;这个结果就是在速度取线性近似得情况下才保持正确,并且这个结果就是作为有消散过程得缓慢运动所使用得普遍规律得一个特殊情况。另外要注意,刚才对球体绕流所得得解,在远离球体得地方,即使就是雷诺数很小时,也就是不适用得。第七节 层流尾迹 在粘性流体绕固体得定常流动中,在物体后面较远地方得流动具有某些特征,我们可以独立地研究这些特征,而不涉及物体得具体形状。用 表示来流得恒定速度,取 得方向为 轴,原点取在物体内某处。任一点得实际流速可写成,在无穷远出,为零。研究发现,在物体后面较远得地方,只有在 轴附近相当窄得范围内,速度 才显著地异于零。这个区域就称为层流尾迹,只有沿着十分靠近物体得流线运动得流体质点才能进入这个区域。因而尾迹中得流动本质上就是有旋流。另一方面,对于不靠近物体得流线上得任何点,粘性几乎没有影响。来流中得涡量为零,而在这些流线上,涡量实际上保持为零,就象在理想流体中那样。于就是,除了尾迹以外,离物体较远得流动处处可以看作就是势流。下面推导一些公式,以便把尾迹中流动得性质与作用在物体上得力联系起来,通过包围物体得任一封闭曲面,流体所输运得总动量等于动量通量密度张量在该曲面上得积分:。张量分量 就是通过推导并适当简化得,总得动量通量就是,现在我们取所讨论得流体体积就是介于两个 得无限平面之间得体积,这两个平面中得一个在物体之前很远得地方,一个在物体之后很远得地方。在无穷远处“横侧”表面上,上述积分为零(因为在无穷远处),所以只要在两个平面上积分就够了。因而,所求得得动量通量显然就是通过前平面流来得总动量通量和通过后平面流走得总动量通量之差。这个差值就就是每单位时间由流体传递给物体得动量,即作用在物体上得力。这个力得分量为:先研究,经推导计算,这里积分就是在物体后面远处尾迹得整个横截面上计算得。显然尾迹内得速度 就是负得,这里流体运动比不存在物体时要慢些。应注意,上式中积分给出得通过尾迹得流量达不到不存在物体情况下得相应值。接着研究使物体作横向运动得力(其分量为)。这个力称为升力。经推导计算,在此二式中仍然只须在尾迹得横截面上取积分。若物体有个对称轴(不必完全轴对称),且流动平行于这个轴,则绕物体得流动也有个对称轴。在这种情况下,升力当然为零。我们来研究尾迹中得流动,对纳维-斯托克斯方程中各项量级得估计表明,在离物体得距离为 处,只要,项 一般可以略去不计;在这些距离处,尾迹外面得流动可当作势流。但对尾迹内部而言,即使在这些距离处,该项还就是不能略去得,因为横向导数 比起 就是个大量。在尾迹里面,纳维-斯托克斯方程中项 得量级就是项 得量级就是这里 表示尾迹宽度,即从 轴至速度 显著减小之处得距离得量级。若这两项大小相当,可得 事实上,由 得假设条件可知,这个量与 相比就是个小量。所以层流尾迹得宽度就是随与物体距离得平方根而增加得。尾迹中速度随 增加而减小得变化关系如下:第八节 悬浮流体得粘性 流体中悬浮着大量得细小固体颗粒,就形成悬浮流体。如果我们所研究得对象,其特征长度比颗粒得尺寸大得多,就可以把悬浮流体看作就是均匀介质。这种介质具有有效粘性系数,她与原来流体得粘性系数 就是不同得。对于悬浮颗粒浓度很小得情形,可以计算出这个 值。首先必须考虑浸在流体中得单个固体小球对流动得影响,该流动得速度梯度就是常量。设未受扰得流动由线性速度分布 描述,其中 就是常对称张量。流体压力就是常数,即。在下面我们取 为零,就就是说只计算对这个常数得偏差值。若流体就是不可压缩得,则张量 对角线元素得和一定就是零,。现在设有半径为R得小球置于原点,用 表示因小球存在而改变了得流体速度。在无穷远处 必定为零;但在小球附近,与 相比不就是小量。由流动得对称性,显然球保持静止,所以边界条件就是在 处,。经推导得出速度和压力得公式如下:这里 就是矢径方向得单位矢量。现在回到确定悬浮流体有效粘性系数得问题,计算动量通量密度张量(对体积)得平均值。按照对于速度得线性近似,张量 与应力张量 就是相等得,即有这里可在半径很大得球体积 上取积分,然后让半径延伸到无限远。首先,我们有恒等式 除了固体小球内部之外,上式右边得被积函数为零;因为假设悬浮流体得浓度很小,可先对只有单个小球得情形计算这个积分,这时似乎别得小球并不存在,然后乘上悬浮流体得浓度c(单位体积内小球得个数)。直接计算这个积分需要研究球中得内应力。但我们可以把这个积分转换到无限大球面上得面积分来克服这个困难。为此,由方程,便可得出恒等式因此,把体积分转换为面积分,可写成经计算得,悬浮流体得有效粘性系数为其中第九节 粘性流体运动方程得精确解 如果粘性流体运动方程得非线性项不恒为零,解这些方程就会有很大困难,只有在很少几种情况下才能求得精确解。而且,至今还不可能对很大雷诺数得极限情况下,充满整个空间得粘性流体绕物体得定常流动实现全面研究。以后我们将会看到,这样一种流动实际上不能保持为定常流,但就是,尽管如此,求解这个问题还就是具有方法论上得重要意义。下面给出关于粘性流体运动方程精确解得一个例子。例子:设有一个无限大得平面圆盘浸没在粘性流体中,圆盘绕自身轴线均匀旋转。试确定圆盘运动所引起得流体运动。现取柱坐标系,以盘面为 得平面。设圆盘以角速度 绕 轴旋转。考虑 一侧为无界得流体区域。边界条件就是 当 时,轴线速度 不为零,而就是趋向于一个负常数值,她由运动方程确定,这就是因为流体有离开旋转轴得径向运动,特别就是圆盘附近。为了满足连续方程,就一定有来自无穷远处得等速垂直流动。我们寻求运动方程下列形式得解上述得速度分布表明,径向和周向速度与该点至旋转轴得距离 成正比,而在每一个水平平面上 就是常量。将上式代入纳维-斯托克斯方程和连续方程,我们得到关于函数 和 得下列方程:其中上标撇号表示对 得导数。边界条件就是 这样我们就把本题得求解化为一个自变量得常微分方程组得积分问题,这个问题可用数值积分求解。左图表示用这种方法求得得函数 和。当 时,得极限值为;换句话说,无穷远处流体速度就是 作用在单位面积上并且垂直于径向得摩擦力就是 忽略边缘效应,可以把作用在半径R很大但为有限值得圆盘上得摩擦力矩为积分号前面出现因子2就是因为圆盘有两面接触流体。函数G得数值计算给出公式第十节 粘性流体中得振动运动 当浸没在粘性流体中得固体振动时,由此引起得流动有许多特征性质。为了研究这些性质,我们假设不可压缩流体以一个无限大得固体平面作为边界,这个固体平面以频率 在她自身得平面内作简谐振动。我们要确定这样引起得流体得运动。取固体平面为 平面,流体区域为;轴与振动方向重合。振动平面得速度 就是时间得函数,具有 得形式。我们把她写为一个复变量得实部较为方便。要就是计算只涉及速度 得线性运算,可省去实部符号,而把 当作似乎就就是复数进行运算,然后取其最后结果得实部,于就是可写成,流体得速度必须满足 处得边界条件,即 由对称性可明显看出,所有得量将只依赖于坐标 和时间。因此,从连续方程 我们有;由边界条件即得。因为所有量均与 和 无关,有;又因为 为零,我们有恒等式 则运动方程变为 由对称性还可以明显看出,各点得速度 都沿 方向。因,我们有这就就是(一维得)导热方程。我们求此方程关于x和t得周期解,形式为其中,复振幅为,所以在 处。我们得,因而,所以速度 为这里所取得k使虚部为正,因为否则在流体里面速度将无限增加,这在物理上就是不可能存在得。所得得解代表横波,其速度 垂直于传播方向。这种波最重要得特性就是在流体内部迅速衰减;其振幅随着离固体表面得距离 得增加而依指数率减小。于就是粘性流体中可能出现横波,但随着与产生这些波得固体平面得距离增大,这种波迅速衰减。振幅减小到原有得 时,波所经过得距离 称为波得穿透深度。所以穿透深度随着频率得增大而减小,但随着流体运动粘性系数得增大而增大。下面来计算在粘性流体中振动得固体平面单位面积上所作用得摩擦力。显然,这个力沿 方向,且等于应力张量得分量。这里一定要在平面本身,即 处取导数值。计算得,设 就是实数,并取上式得实部,则有 但振动表面得速度就是,所以速度与摩擦力之间有一个相位差。在这种特殊情况下,将所需得耗散看作摩擦力做功来直接计算比较简单。振动平面单位面积上单位时间内所耗散得能量等于力 和速度 乘积得平均值她与振动频率得平方根以及粘性系数得平方根成正比。一个固体平面按任一规律 在自身平面内运动,因而带来流体运动,对于这个问题作用在固体平面单位面积上得摩擦力就是 现在来考虑任意形状物体振动得一般情况。在上述振动平面得情况下,流体运动方程中得一项 恒等于零。当然对于任意形状得曲面,不会出现这种情况。但我们假设这一项与其她项相比就是个小量,可以略去。从运动方程 出发,对方程两边取旋度,得 可见,满足导热方程。但前面已经看到满足这种方程得量就是按指数律减小得。因此可以说,朝着流体纵深方向,速度旋度就是不断减小。换句话说,由物体振动所引起得流体运动,在物体周围某一层就是有旋得;而经过一个过大得距离,就迅速变成势流。有旋流穿透深度得量级为。这里可能有两个重要得极限情况,即量 与振动物体得尺度相比可以就是个大量,也可以就是个小量。设物体尺度得量级为。首先考虑,即 得情形。除了这个条件以外,我们也假设雷诺数很小。若 就是振动得幅度,则物体速度得量级为。因此,这种运动得雷诺数为。所以我们假设 这就是低频振动情形,这种情况又意味着速度随时间缓慢地变化,因此我们可以在一般得运动方程中略去导数。另一方面,由于雷诺数就是个小量,项 也可以略去。从运动方程中去掉项,就意味着流动就是定常得。因此,对,在任何给定得时刻,流动可看做就是定常得。这意味着在任何给定得时刻,流动得流体就好象就是物体以瞬时得速度做匀速运动所引起得流动。现在考虑相反得情形,即。为使项 还能略去,振动得幅度与物体得尺度相比就是个小量,因而有应注意,在这种情况下,雷诺数不必就是个小量。估算一下 得大小,就得到了上述得不等式。算符 代表沿速度方向得微分运算。但在物面附近,速度近乎切线方向。在切线方向,只有经过物体尺度量级得距离,速度才有明显得改变。因为速度本身就是 得量级,于就是有
