中考数学精创专题---勾股定理 期末压轴题训练 人教版数学八年级下册.docx

第17章 勾股定理 期末压轴题训练1如图，在平面直角坐标系中，ABO=90°，A=30°，B点坐标为（0，4），点C为AB的中点，动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段AO向终点O运动，运动时间为t秒（t>0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P(1)若点P恰好落在AO上，求t的值；(2)若CPOA，求t的值；(3)当t2时，APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出APB的度数：若发生变化，请说明理由2【证明体验】(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接求证：【迁移应用】(2)如图2，在中，为的中点，求面积【拓展延伸】(3)如图3，在中，是延长线上一点，是上一点，连接交于点，若，求的长3如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，2），ABO60°(1)求AB的长度；(2)分别以AB、AO为一边作等边ABE、AOD，求证：BDEO；(3)在（2）的条件下，连接DE交AB于F，请你证明点F为DE的中点，并求出此时AF的值4在中，点是线段延长线上的动点，点是线段上的动点，连接(1)如图1，若，求线段的长；(2)已知，如图2设线段，求线段的长（用含的式子表示）；设与的平分线相交于点，求的度数5如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a8）2|b3|0，连接AB，AB2（ab）2c2(1)求点A和点B的坐标和线段AB的长度；(2)如图2，点P是射线AO上一动点，连接BP，将ABP沿着直线BP翻折至QBP，当PQAB时，求点P和点Q的坐标；(3)在（2）的情况下，如图3，点F是线段AP延长线上一动点，连接BF，将ABF沿着直线BF翻折至MBF，连接MQ当MFBP时，试探究QMF，QBF与MQB之间的数量关系，并说明理由6已知：在RtABC中，C90°，B30°，BC6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求DEF的周长；(2)如图2，在DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；(3)假设C点与F点的距离为x，DEF与ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域7点P到AOB的距离定义如下：点Q为AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到AOB的距离，记为d(P，AOB)特别的，当点P在AOB的边上时，d(P，AOB)0在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是以点O(0，0)，A(4，0)，B(4，4)，C(0，4)为顶点的正方形，作射线OB，则AOB45°(1)如图1，点P1(1，0)，P2(0，)，P3(1，2)的位置如图所示，请用度量的方式，判断点P1，P2，P3中到AOB的距离等于1的点是 ；(2)已知点P在AOB的内部，且d(P，AOB)1，若点P的横纵坐标都是整数，请写出一个满足条件的点P的坐标 ；请在图1中画出所有满足条件的点P；(3)如图2，已知点E(0，8)，F(2，2)，G(7，2)，记射线EF与射线EG组成的图形为图形V若点P在图形V上，满足d(P，AOB)2的点P有 个8在ABC 中，ACB=90°，AC=BC点D是直线AB上一点（点D与点A、点B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使DCE=90°，连接 AE(1)如图，点D在线段 AB 上，点E与点A在CD同侧求证：BD=AE(2)如图，点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系(3)如图，点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧若AE=1，AB=4， 则CD的长是多少？9如图1，在中，点D，E分别是AC，BC的中点(1)直接写出的形状是_；(2)如图2，若点M为直线DE上一动点，连接ND，请判断ND与ME的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，连接AN，请求出AN的最小值10如图1，在ABC中，ABAC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的左侧作ADE，使得AEAD，DAEBAC，连接BE(1)当点D在线段BC上时，求证：ABEACD(2)如图2，若，BC2求ABC的面积在点D在运动过程中，若ABE的最小角为25°，求EAC的度数11（1）如图1，ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边ADE，连接CE易求DCE °；（2）如图2，在ABC中，BAC90°，ACAB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰RtADE，DAE90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰RtADE，DAE90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CECE10，BC6，求AE的长12材料阅读：如图所示，已知直角梯形中，是上一点，且，现需探究直角三角形的三边、之间的数量关系：(1)【初步探究】猜想三角形是否与三角形全等，若是，请说明理由；(2)【问题解决】请用两种含有，的代数式的方法表示直角梯形的面积：_由此，你能得到的、的数量关系是：_(3)【拓展应用】如图，等腰三角形中，是底边上的中点，、分别是线段和上的两个动点，求：的最小值13如图，在ABC中，ACB90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DFDE，连接EF(1)如图1，当点F与点A重合时，AB8，DE3，求EF的长；(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2BE2EF2；(3)若AC8，BC6，EC2，求线段CF的长14在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，4），以OB为边在y轴的右侧作正三角形OABACy轴，垂足为C(1)如图1，求点A的坐标(2)点D在线段AC上，点E是直线AB上一动点，连接DE、以DE为边作正三角形DEF（点D，E，F按逆时针排列）如图2，当点E与点A重合时，连接OD，BF若BF=2，求点D的坐标若CD=2，点P是直线DF与直线OA的交点，当OP=时，直接写出点E的坐标15如图，RtABC中，ABAC，BAC90°，ADE中，ADAE，DAE90°连接BD、CE(1)如图1，点B在边ED的延长线上，求AEC的度数；(2)如图2，AEC90°，射线ED交BC于点F求证：BFCF；若BDkAD（k1），求的值（用含k的式子表示）16问题发现小明遇到这样-一个问题:如图1，ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E.(1)小明发现，过点D作DFAC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系: (2)类比探究 如图2，当点D是线段BC上(除B，C外)任意一点时(其它条件不变) ，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展应用 当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC(其它条件不变)时，请直接写出ABC与ADE的面积之比，17如图，与是等边三角形，连接，取的中点P，连接并延长至点M，使，连接，将绕点C顺时针旋转(1)如图1，当点D在上，点E在上时，则的形状为_；(2)将绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断的形状，并说明理由；(3)若，将由图1位置绕点顺时针旋转，当A、C、D三点在同一直线上时，请直接写出的值18定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，则_，_(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，求GE长试卷第9页，共9页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1(1)t(2)t的值为1或3(3)APB90°，理由见解析【分析】（1）利用利用直角三角形30°的性质求出CD，再勾股定理求出AD即可；（2）分两种情形：分别画出图形，求出AD即可解决问题；（3）结论：APB90°是定值利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可【解析】（1）解：如图1中，B（0，4），OB4，ABO90°，A30°，OA2OB8，AB4，CACP，CDPA，ADPD，ACCB2，CDAC，AD3，t；（2）解：如图21中，当CPOA设CP交OA于点FA30°，CFA90°，ACF90°30°60°，DCADCP30°，ADCA30°，CDDA2DF，AF3，ADCD2，DF1，t1；如图22中，当CPOA，设PC的延长线交AO于点F同法可证AFDF3，ADAF+DF6，t3综上所述，满足条件的t的值为1或3（3）结论：APB90°是定值理由：如图3中，CACBCP，CAPCPA，CPBCBP，CAP+APB+ABP180°，2CAP+2CBP180°，CAP+CBP90°，APB90°【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题2(1)见解析(2)(3)的长为【分析】（1）根据证明三角形全等；（2）如图2中，延长到，使得，连接由（1）可知，推出，利用勾股定理求出，即可解决问题；（3）如图3中，延长到，使得，连接证明，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题【解析】（1）证明：如图1中，在和中，；（2）解：如图2中，延长到，使得，连接由（1）可知，；（3）解：如图3中，延长到，使得，连接由（1）可知，设，则，在中，【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题3(1)4(2)见解析(3)证明见解析，点F为DE的中点，此时AF的值为1【分析】（1）根据含30°直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到BAEOAD60°，ABAE，OAAD，求得OAEDAB，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过E作EHAB于H，根据等边三角形的性质得到BHAHAB2，根据勾股定理得到EH2，求得OA2，根据全等三角形的性质即可得到结论【解析】（1）解：点B的坐标为（0，2），OB2；ABO60°，BOA90°，BAO30°，AB2OB4；（2）证明：ABE、AOD是等边三角形，BAEOAD60°，ABAE，OAAD，OAB+BAEOAB+OAD，即OAEDAB，在BAD与EAO中，BADEAO（SAS），BDEO；（3）解：过E作EHAB于H，ABE是等边三角形，BHAHAB2，BEAB4，EH2，在RtAOB中，OA2，EHAD，OAD60°，BAO30°，DAFEHF90°，EFHAFD，EHFDAF（AAS），EFDF，AFHFAH1，点F为DE的中点，此时AF的值为1【点评】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键4(1)2(2)；90°【分析】（1）利用勾股定理求出AB5，再运用全等三角形性质即可求得答案；（2）如图2，连接AD，运用三角形面积公式可得：SABDBDACDEAB，即可求得答案；根据三角形内角和定理可得出：BACBDE90°B，再运用角平分线定义可得：BAPBDP（90°B）45°B，再运用三角形内角和定理即可求得答案【解析】（1）解：，   ，   ；（2）解：连接， ， ，   ，    ；     如图3，   ，分别是，的平分线，   ， ，   ，  【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形面积，勾股定理，全等三角形性质，角平分线定义等，熟练掌握三角形内角和定理和面积法是解题关键5(1)A（8，0），B（3，3），(2)P （8，0）；Q（3，3）(3)MQB2QBFQMF，见解析【分析】（1）由（a8）²|b3|0，可得a8，b3，c3，故A（8，0），B（3，3），又AB2（ab）2c2，即得AB2（83）23234，即AB；（2）由ABPQ，得BPQABP，根据ABP沿着直线BP翻折至QBP，即得BPAQBP，BQAP，而ABBQ，B（3，3），故Q（3，3），又ABPQ，BQAP，即得P （8，0）；（3）由BQAP，得AFBQBF，又MFBP，得MFBPBF由折叠可得：MFBAFB，即得QBFPBF，QBP2QBF，过点Q作直线CDMF，可得CDMFBP，可得CQBQBP，CQMQMF，即可得MQB2QBFQMF【解析】（1）解：（a8）²+|b3|+0，又（a8）²0，|b3|0，0，a80，b30，c30，a8，b3，c3，A（8，0），B（3，3），AB2（83）2+3234，即；（2）解：如图所示：ABPQ，BPQABP，将ABP沿着直线BP翻折至QBP，BPQBPA，ABPQBP，BPAQBP，BQAP，又ABBQ，B（3，3），Q（3，3），又ABPQ，BQAP，BQ可看作将AP平移所得，由平移的性质得BQAP，又A（8，0），P （8，0）；（3）解：数量关系：MQB2QBFQMF理由如下：BQAP，AFBQBF；MFBP，MFBPBF，由折叠可得：MFBAFB，QBFPBF，QBP2QBF，过点Q作直线CDMF，如图所示：MFBP，CDMFBP，CQBQBP，CQMQMF，又MQBCQBCQM，MQBQBPQMF，又QBP2QBF，MQB2QBFQMF【点评】本题考查三角形综合知识，涉及非负式的和为0的条件、图像的折叠、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形形状、大小不变6(1)9；(2)存在，CF=DG，证明见解析；(3)【分析】（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出DEF的周长；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG；（3）求出，利用，即可求出【解析】（1）解：在RtABC中，C90°，B30°，BC6，A=60°，DEF是等边三角形，DCE=60°，ACD=30°，ADC=90°，DEF的周长为9；（2）解：结论：CF=DG. 理由：BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，DEF是等边三角形，DEF=60°，DEF=B+EGB，B=EGB=DGE=30°，EG=BE，EG+DG=CF+BE=3，CF=DG；（3）解：，即【点评】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质7(1)P1，P2(2)(3，1)；见解析(3)6【分析】（1）利用测量法结合点P到AOB的距离判断即可（2）根据d（P，AOB）1，写出满足条件的点P坐标即可根据d（P，AOB）1，利用勾股定理求解，画出图形即可（3）利用图象法，画出图形判断即可【解析】（1）解：如图1中，通过测量法，可知点P2到直线OB的距离为1，OP11，OP31，点P1，P2，P3中到AOB的距离等于1的点是P1，P2，故答案为：P1，P2；（2）一个满足条件的点P的坐标（3，1），（4，1），（5，1）等（答案不唯一）故答案为：（3，1）（答案不唯一）如图2中，所有满足条件的点P在MJN的边上在x轴上设一点D（x,0），使点D到OB的距离为1，四边形AOCB为正方形，BOA=45°，DOF为等腰直角三角形，且DF=1,OD=，过点D作DMOB，作直线y=1，两直线相交于点J，所有满足条件的点P在MJN的边上（3）如图所示：连接AC，四边形AOCB为正方形，边长为4，AC=，且ACOB，CG1=AG1=，过点C与点A分别作HCOBAM，与图形V产生2个满足条件的交点（图中标出1个，另一个由直线HC与EG直线相交产生）；分别作直线y=与y=-，与图形V产生2个满足条件的交点，以点O为圆心，为半径长，画弧与图形V产生2个满足条件的交点，故满足条件的点P有6个，故答案为：6【点评】本题考查坐标与图形的性质，点P到AOB的距离的定义，两点之间的距离的定义等知识，解题的关键是理解新的定义，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型8(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据三角形全等的判定证出，最后根据全等三角形的性质即可得证；（2）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可得出结论；（3）参照（1）的方法证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理即可得【解析】（1）证明：，即，等腰直角三角形，在和中，（2）解：，证明如下：，即，等腰直角三角形，在和中，（3）解：，即，等腰直角三角形，在和中，在中，在中，即，解得或（不符题意，舍去），故的长为【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确找出全等三角形是解题关键9(1)等腰直角三角形(2)ND=ME，NDME，理由见解析(3)【分析】（1）由中点的定义得CDCE，则CDE是等腰直角三角形；（2）利用SAS证明DCNECM，得CEMCDN，则NDMCDEDEC90°；（3）连接BM，作BHDE于H，先证明ACNBCM（SAS），得ANBM，求出BM的最小值BH的长即可得出AN的最小值【解析】（1）解：点D，E分别是AC，BC的中点，CDAC，CEBC，ACBC，CDCE，CDE是等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形（2）解：ND=ME，NDME，理由如下：DCEMCN，MCENCD，CDCE，CMCN，DCNECM（SAS），ND=ME，CEMCDN，NDMCDN+CDE=DEC+CDE90°，DNME（3）解：连接BM，过点B，作BHDE于H，如图所示：DCEMCN，ACN=BCM，CN=CM，AC=BC，ACNBCM（SAS），ANBM，当BM最小时，AN最小，BM的最小值为BH，又，BH=EH，BEBC2，即，或（舍去），AN的最小值为【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，证明DCNECM和ACNBCM，是解题的关键10(1)见解析(2)，EAC的度数为85°或155°或35°或25°【分析】（1）由DAE=BAC，得EAB=CAD，再利用SAS可证明EABDAC；（2）由（1）ABEACD得，ABE=ACD，由BE/AC，得ABE=CAB，可知ABC是等边三角形，从而得出答案；分点D在线段BC上或点D在CB延长线上或点D在BC延长线上三种情形，分别画出图形，根据EABDAC，得AEB=ADC，从而解决问题【解析】（1）证明：当点D在线段BC上时，DAE =BAC，DAE BAD =BAC BAD即BAECAD，在ABE和ACD中，ABEACD(SAS)；（2）若BE/AC，BC=2，设BC所在直线为CF，过点A作AMBC于点M，如图，则AMB=AMC=90°，BE/AC，EBF = ACB，由(1)知：ABEACD，ABE= ACB， AB = AC，ABC = ACB，EBF = ABE = ABC = ACBEBF + ABE ABC = 180°EBF = ABE = ABC = ACB=60°ABC是等边三角形，BM =CM=BC =1，AB= BC=2，在RtABM中，由勾股定理，得即ABC的面积为在点D在运动过程中，若ABE的最小角为25°，而ABE=60°，BAE=25°或AEB=25°，若BAE=25°，而BAC=ABC=ACB=60°，则EAC=BAE + BAC = 25° + 60°=85°，当点D在CB延长线上时，如图 由题意知，AEB=25°，由（1）同理可得，EABDAC，AEB = ADC = 25°， DAC = 180° ADC ACB= 180°- 25°-60°= 95°，EAC = EAD DAC = 60°95°=155°当点D在BC延长线上时，如图，当BAE=25°时，EAC =BACBAE= 60°-25°= 35°当AEB=25°时，由（1）同理可得EABDAC，AEB =ADC = 25°，DAC =ACB ADC = 60°- 25° = 35°EAC =EAD DAC = 60°- 35°= 25°综上所述：EAC的度数为85°或155°或35°或25°【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟悉基本几何模型是解题的关键11（1）120°；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）利用等式的性质判断出BAD=CAE，进而得出ABDACE，即可得出答案；（2）同（1）的方法判断出ABDACE，进而得出BD=CE，BCE=90°，即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出结论【解析】（1）ABC和ADE都是等边三角形，AB=AC，AD=AE，B=ACB=BAC=DAE=60°，BAD+CAD=CAE+CAD，BAD=CAE，ABDACE（SAS），B=ACE=60°，DCE=ACB+ACE=120°，故答案为：120；（2）DE2=CD2+BD2；理由如下：在RtABC中，AB=AC，B=ACB=45°，BAC=DAE=90°，BAD=CAE，AD=AE，ABDACE（SAS），BD=CE，ACE=B=45°，BCE=ACB+ACE=90°，根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2；（3）BACDAE90°，BAC+DACDAE+DAC，即BADCAE，在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），ABCACE45°，BDCE，ABC+ACBACE+ACB90°，BCEECD90°BC6，CE10，BDCE10，CDBDBC=1064，RtDCE中，DE ADE是等腰直角三角形，AE【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出ABDACE是解本题的关键12(1)是，理由见解析(2)，(3)【分析】（1）由可得，利用即可证明；（2）根据梯形的面积公式以及，可得两种含有，的代数式的的表示方法，进而得出、的数量关系；（3）过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用勾股定理求出，利用面积法可求出的值，即的最小值（1）解：理由如下：四边形是直角梯形，在和中，（2）解：， ，故答案为：；（3）过点作于点，交于，此时，即的最小值，点为底边的中点，的最小值为【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及面积的计算，勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键13(1)5(2)见解析(3)或【分析】（1）根据DE垂直平分AB，得BEEF，BDAB4，在RtBDE中，利用勾股定理即可得出答案；（2）作AGAC，交ED的延长线于G，连接FG，利用AAS证明AGDBED，得BEAG，DGDE，得出DF是GE的垂直平分线，则GFEF，再利用勾股定理即可证明结论；（3）点E在线段BC上或点E在BC延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法解决问题即可【解析】（1）解：D为AB中点，DFDE，DE垂直平分AB，BEEF，BDAB4，在RtBDE中，由勾股定理得，BE5，EFBE5；（2）证明：作AGAC，交ED的延长线于G，连接FG，点D为AB的中点，ADBD，AGAC，GACACB90°，AGBC，AGDBED，在AGD和BED中，AGDBED（AAS），BEAG，DGDE，DFDE，DF是GE的垂直平分线，GFEF，GAF90°，AG2AF2FG2，BE2AF2EF2；（3）解：当点E在线段BC上时，作BHAC，交FD的延长线于H，连接EH，由（2）同理可得，ADFBDH（AAS），BHAF，DHDF，DE是HF的垂直平分线，EFHE，CF2CE2AF2BE2，设CFx，则AF8x，x222（8x）242，解得x，CF；当点E在BC延长线上时，如图，作BGAC，交FD的延长线于G，连接EF，EG，同理可得CF2CE2AF2BE2，设CFx，则AF8x，x222（8x）282，解得x，CF，综上：CF或【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识解题的关键在于利用重点作平行线构造全等三角形14(1)A（6，2）(2)D（4，2）；（，）或（，）【分析】（1）由点B的坐标为（0，4），OAB是正三角形，且ACy轴，可得AC是边OB的中线，则C（0，2），在RtABC中，由勾股定理可得，AC6，所以A（6，2）（2）证明BAFOAD（SAS），所以ODBF2，因为OC2，所以CD4，则D（4，2）；根据题意，需要分两种情况，当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，易证PDOEDA（ASA），所以OPAE，则GE，AG，由点的平移可得点E的坐标【解析】（1）解：点B的坐标为（0，4），OAB是正三角形，且ACy轴，AC是边OB的中线，C（0，2），在RtACO中，AO4，CO2，由勾股定理可得，AC6，A（6，2）（2）AFAD，ABAO，OAB和DEF是正三角形，CAFOAB60°，BAFCAF60°，OADOB60°，BAFOAD，在BAF和OAD中，BAFOAD（SAS），ODBF2，OC2，CD4，D（4，2）；当点P在x轴下方时，如图，连接OD，过点E作AC的垂线，交CA的延长线于点G，则GAE30°，在RtODC中，OCD90°，CD2，OC2，OD4，COD30°，ADOD4，AOC=60°，AOD=30°DOP150°，GAEBAC30°，DOPDAE150°，CDOEDF60°，ODAEDP120°，ODA-DOEEDP-DOEPDOEDA，PDOEDA（ASA），OPAE，GE，AG，A（6，2），E（，）；当点P在x轴上方时，如图，连接OD，过点E作EGAC于点G，同上可知，PDOEDA（ASA），OPAE，GE，AG，A（6，2），E（，）；综上可知，点E的坐标为（，）或（，）【点评】本题考查了三角形全等综合问题，坐标与图形，涉及手拉手全等三角形模型，等边三角形的性质等知识，由SAS得出三角形全等，转化线段长是解题关键15(1)(2)答案见解析；【分析】（1）证明BADCAE（SAS），由全等三角形的性质可得出AECADB，由等腰直角三角形的性质可得出答案；（2）过点B作BHBD，交ED的延长线于点H，证明BFHCFE（AAS），由全等三角形的性质可得出BFCF；设ADx，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可得出DF，则可得出答案【解析】（1）解：BACDAE90°，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中， ，BADCAE（SAS），AECADB，ADAE，ADE90°，ADE45°，ADB135°，AEC135°；（2）解：证明：过点B作BHBD，交ED的延长线于点H，由（1）可知AECADB，AECADB90°，BDCE，DAE90°，ADAE，ADEAED45°，BDFCED45°，H45°，BDHH，HCEH，BDBH，BHEC，又BFHCFE，BFHCFE（AAS），BFCF；解：设ADx，BDkAD（k1），BDkx，DEx，DHBDkx，BFHCFE，EFFH，DF+EFkx，DF+DE+DFkx，DF，【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键16(1)AD=DE(2)AD=DE，证明见解析(3)【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到BDF=BFD=60°，于是得到BDF是等边三角形，再证明AFDDCE即可得到结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到BDF=BFD=60°，于是得到BDF是等边三角形，再证明AFDDCE即可得到结论；（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出ADE是