中考数学精创专题---平行四边形 期末压轴题训练 人教版八年级数学下册.docx

第18章 平行四边形 期末压轴题训练1如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，连接，取中点，的中点，连接、(1)如图1，连接，求证：；(2)在（1）的条件下，请判断线段与之间的数量关系，并加以证明；(3)如图2，将这个含角的直角三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、的延长线上，其他条件不变，当，时，求的长2四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG (1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；(2)若 AB，CE2，求 CG 的长；(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出EFC 的度数3已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周(1)如图1，连接BG、CF，求的值；求BHC的度数(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由4见微知著读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法（教材呈现），图中是华师版九年级上册数学教材第103104页的部分内容(1)定理证明：请根据教材图242.2的提示，结合图完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明(2)定理应用：如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边的中线，DG垂直平分CE，求证：B2BCE(3)拓展提高：如图，在ABC中，B30，ADC45，AD恰好是中线，求C的度数5如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使分别落在x，y轴的正半轴上，其中，对角线AC所在直线解析式为，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的D处(1)求点B的坐标；(2)求EA的长度；(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，如不存在，请说明理由6“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一个重要性质即：如图，中，CD为斜边AB上的中线，则解决下列问题：(1)如图，中，CD为斜边AB上的中线，且试求出BC的长度；(2)四边形ABCD中，如图，点E、F分别是CD、AB的中点，求证：；若，点P是射线OA上的一个动点（点P与点A不重合），分别过点A、C作于E，于F，连结OE，猜想并写出线段OE、CF、AE之间的数量关系，并说明理由7在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，得到(1)如图1，点F恰好在AD上，若，求出AB：BC的值(2)如图2，E从C到D的运动过程中若，的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离：在的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长8问题发现(1)如图，已知ABC，以AB、AC为边向ABC外分别作等边ABD和等边ACE，连接CD，BE试猜想CD与BE的数量关系是_；(2)问题探究：如图，四边形ABCD中，ABC45°，CAD90°，ACAD，AB2BC6求BD的长(3)问题解决：如图，ABC中，AC2，BC3，ACB是一个变化的角，以AB为边向ABC外作等边ABD，连接CD，求CD的长度最大值9如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD2CE），BG的延长线与直线DE交于点H(1)如图1，当点G在CD上时，线段BG与DE的数量关系是 ，BHD的度数为 ；(2)将正方形CEFG绕点C旋转如图2，当点E在直线CD右侧时，连接CH，求证：；当DEC45°时，若，CE1，请直接写出线段DH的长10如图，已知四边形ABCD，AC90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是ABE的角平分线交AD于点F，DE是ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G(1)求ABC+ADC的度数；(2)求证：FOOG；(3)当BCCD，BDAMDC22.5°时，求证：DM2AB11如图，在ABC中，C90°，AC6cm，BC8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连结DE点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动连接PQ，设运动时间为t（0t4）s解答下列问题：(1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与ADE相似？(2)当t s时，EPEQ；当t为何值时，QEQP？(3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分面积之比为SPQE：S五边形PQBCD1：29？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由12【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容【定理证明】(1)请根据教材内容结合图1，写出证明过程【定理应用】(2)如图2，在ABC中AD垂直于ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点若AB4，BC7，直接写出EF的长_(3)如图3，ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD若ADE的面积为15，则四边形DEFG的面积为_13如图，在中，AD是中线，于点E，交AD于点O，F是AC的中点，连接EF，DE，DF(1)若，求的度数；(2)求证：直线DF垂直平分CE；(3)若，用含有a，b的代数式表示的周长14如图1，正方形边长为4，点P是直线上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形(1)请直接写出正方形的面积；(2)当为何值时，点C落在的边上；(3)如图2，若点P在线段上从B向C运动，当为何值时，线段的长度最小？请求出的最小值，并直接写出点E所经过的路径的长度15如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G(1)求证：；(2)若，解答下列问题：求证：；当时，求DF的长16ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为_；（将结论直接写在横线上）(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE若已知，请直接写出GE的长17【模型建立】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE求证：ADECDE【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE将EC绕点E逆时针旋转90°，交AD的延长线于点F，连接EF，CF当AE3时，求CF的长【模型迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，BAD60°，点E是对角线上一点，连接AE，CE将EC绕点E逆时针旋转交AD的延长线于点F，连接EF，CF，EC与EF交于点G当EFEC时，判断线段CF与AE的数量关系，并说明理由18在中，为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：(1)如果，如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CF、BD之间的位置关系为 ；数量关系为 ；如图2，当点D在线段BC的延长线上时，中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如图3，如果，点D在线段BC上运动（与点B不重合）试探究：当时，（1）中的CF，BD之间的位置关系是否仍然成立，并说明理由试卷第9页，共9页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1(1)见解析(2)，证明见解析(3)【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出，再用三角形的中位线判断出，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出，再用勾股定理求出，进而得出，最后用三角形的中位线，即可求出答案【解析】（1）解：证明：四边形是正方形，是等腰直角三角形，；（2），理由如下：在中，点是的中点，由（1）知，点是的中点，点是的中点，是的中位线，；（3）如图2，连接，四边形是正方形，是等腰直角三角形，在中，根据勾股定理得，由（1）知，点是的中点，点是的中点，是的中位线，【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，连接是解（3）的关键2(1)见解析；(2)；(3)或【分析】（1）作EPCD于P，EQBC于Q，证明RtEQFRtEPD，得到EFED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题（3）分两种情形结合正方形的性质解答即可【解析】（1）证明：如下图所示：作EPCD于P，EQBC于Q，DCABCA，EQEP，QEF+FEC90°，PED+FEC90°，QEFPED，在RtEQF和RtEPD中，RtEQFRtEPD（ASA），EFED，矩形DEFG是正方形；（2）如图2：在RtABC中ACAB，EC2，AECE，点F与C重合，此时DCG是等腰直角三角形，；（3）如图3：当DE与AD的夹角为40°时，DEC45°+40°85°，DEF90°，CEF5°，ECF45°，EFC130°，如图4：当DE与DC的夹角为40°时，DEFDCF90°，EFCEDC40°，综上所述，EFC130°或40°【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等相关知识点，根据条件结合图形去解题是关键.3(1)；45°；(2)；理由见解析【分析】（1）通过证明CAFBAG，可得；由得出ACFABG，CAB45°，最后用三角形的内角和定理，即可求出答案；（2）过点C作，由“ASA”可证CMHFME，可得CHEF，MEHM，由“SAS”可证BCHBAE，可得BHBE，CBHABE，由三角形中位线定理可得结论【解析】（1）如图1，连接AF，AC，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，CABGAF45°，BAD90°，CAFBAG，CAFBAG，；AC是正方形ABCD的对角线，ABC90°，ACB45°，在BCH中，BHC180°（HBCHCB）180°（HBCACBACF）180°（HBCACBABG）180°（ABCACB）45°；（2）BE2MN，MNBE；理由如下：如图2连接ME，过点C作CQEF，交直线ME于Q，连接BQ，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，CQEF，FCQCFE，点M是CF的中点，CMMF，又CMQFME，CMQFME（ASA），CQEF，MEQM，AECQ，CQEF，AGEF，CQAG，QCFCRA，ADBC，BCFAPR，BCQBCFQCFAPRARC，DAGAPRARC180°，BAEDAG180°，BAEBCQ，又BCAB，CQAE，BCQBAE（SAS），BQBE，CBQABE，QBECBA90°，MQME，点N是BE中点，BQ2MN，MNBQ，BE2MN，MNBE【解析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键4(1)见解析(2)见解析(3)105°【分析】(1) 延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=CE，可证得AD=BD，四边形ACBE是矩形，可得CE=AB，即可证得结论；(2) 连接DE，根据(1)的结论，可得AE=BE=DE，可得B=BDE，再根据线段垂直平分的性质及三角形外角的性质，可证得BDE=2BCE，据此即可证得结论；(3) 过点C作CEAB与点E，连接DE，根据(1)的结论，可得BD=CD=DE，可得DEB=B=30°，可证得CDE是等边三角形，EDC=ECD=60°，再根据三角形外角的性质可证得BAD=EDA，DE=AE，CE=AE，最后根据ACB=ECD+ECA，即可求得【解析】（1）解：定理证明：延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=CE，CD是斜边AB上的中线，AD=BD，四边形ACBE是平行四边形，ACB=90°，四边形ACBE是矩形，CE=AB，CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）证明：如图：连接DE，CE是AB边上的中线，AE=BE，ADBC，DE=AB=AE=BE，B=BDE，DG垂直平分CE，DE=DC，DEC=BCE，BDE=2BCE，B=2BCE；（3）解：过点C作CEAB与点E，连接DE，BEC=AEC=90°，AD是中线，点D是BC的中点，在RtCEB中，BD=CD=DE，DEB=B=30°，DEC=90°-30°=60°，CDE是等边三角形，EDC=ECD=60°，DE=CE，EDA=EDC-ADC=60°-45°=15°，又ADC=B+BAD，BAD=ADC-B=45°-30°=15°，BAD=EDA，DE=AE，CE=AE，ECA=EAC=45°，ACB=ECD+ECA=60°+45°=105°【解析】本题考查了直角三角形的性质的证明和应用、线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，构造直角三角形中斜边上的中线是解题的关键5(1)B（6，10）(2)(3)【分析】（1）由矩形的性质结合的长度可得出点的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点的坐标，再利用矩形的性质可得出点的坐标；（2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出的长）的值；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标【解析】（1）解：，四边形是矩形，点的坐标为将代入，得：，直线的解析式为当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为（2）解：在中，设，则，在中，（3）解：存在，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小由（2）可知：点的坐标为，点，关于轴对称，点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为当时，点的坐标【解析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点的位置6(1)(2)见解析；或，见解析【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质求出AB的长，再利用勾股定理求出BC长即可；（2）延长AD、BC相交于点P，连结PE、PF，利用题干的性质可求证P、E、F在同一条直线上，且，进行等量代换即可求证；分两种情况讨论，当点P在线段OA上时，连结OF，延长EO交CF于点G，先证出进而得到是等边三角形，再进行等量代换即可得到，当点P在线段OA的延长线上时，延长EO、FC交于点G，同理等量代换得到(1)解：，CD为斜边AB上的中线，在中， ；(2)延长AD、BC相交于点P，连结PE、PF，同理可证：，又P、E、F在PA的同一侧，P、E、F在同一条直线上，；或当点P在线段OA上时，连结OF，延长EO交CF于点G， ，又，在中，是等边三角形，即，当点P在线段OA的延长线上时，延长EO、FC交于点G（如图），同上可得，是等边三角形，即【解析】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等边三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题7(1)(2)3，【分析】（1）设DF=m，解直角三角形求出AB，AD（用m表示即可）；（2）如图，过点M作MKAD于K，MHBA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G证明BMHBMF（AAS），推出BH=BF=8，可得结论如图3-2中，当点E与D重合时，求出MG的长，可得结论(1)如图，设DF=m四边形ABCD是矩形，A=D=C=90°，AB=CD，AD=BC，由翻折的性质可知，BEF=BEC=75°，C=BFE=90°，EF=EC，FED=180°-75°-75°=30°，EF=EC=2DF=2m，DE=DF=m，AEFD=60°，AFB=30°，AB=CD=2m+m，AF=AB=2m+3m，BC=AD=2m+4m，(2)如图，过点M作MKAD于K，MHBA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G四边形ABCD是矩形，C=BAD=ABD=ADC=90°，AB=CD=5，AD=BC=8，MHAB，MKAD，H=HAK=AKM=90°，四边形AKMH是矩形，AH=MK，BM平分ABF，MBH=MBF，H=AFM=90°，BM=BM，BMHBMF（AAS），BH=BF，BF=BC=8，BH=BC=8，MK=AH=BH-AB=8-5=3，M到AD的距离为3如图，当点E与D重合时，BMHBMF，MH=MF，设MH=MF=m，四边形AHGD是矩形，AH=DG=3，GH=AD=8，G=90°，CD=DF=5，GM=GH-HM=8-m，在RtDGM中，则有（8-m）2+32=（5+m）2，解得m=，GM=8-=，观察图象可知，当E从C到D的过程中，点M运动的路径是线段MG，点M的运动的路径的长为【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，判断出BH=BF=BC是解题的关键8(1)CD=BE(2)9(3)5【分析】（1）结论：CD=BE证明DACBAE（SAS），可得结论（2）如图中，以AB为边向外作等腰直角ABT，证明TACBAD（SAS），推出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可（3）存在如图中，以BC为边向外作等边BCF，连接AF证明DBCABF（SAS），推出DC=AF，可得结论【解析】（1）解：CD=BE理由：如图中，ABD，ACE都是等边三角形，AD=AB，AC=AE，DAB=CAE=60°，DAC=BAE，在DAC和BAE中，DACBAE（SAS），CD=BE故答案为：CD=BE（2）如图中，以AB为边向外作等腰直角ABT，连接CTBAT=CAD=90°，BAD=TAC，在TAC和BAD中，TACBAD（SAS），CT=BD，ABT=ABC=45°，TBC=90°，AB=2BC=6，BD=TC=9；（3）存在如图中，以BC为边向外作等边BCF，连接AFABD，BCF都是等边三角形，BA=BA，BC=BF，DBA=CBF=60°，DBC=ABF，在DBC和ABF中，DBCABF（SAS），DC=AF，AC=2，CF=BC=3，AFAC+CF，AF5，当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，CD的最大值为5【解析】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题9(1)BGDE，90°(2)见解析；或2【分析】（1）证明BCGDCE（SAS）可得结论；（2）如图2中，在线段BG上截取BKDH，连接CK证明BCKDCH（SAS），推出CKCH，BCKDCH，推出KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；分两种情形：如图31中，当D，G，E三点共线时DEC45°，连接BD如图32中，当D，H，E三点共线时DEC45°，连接BD，分别求解即可解决问题【解析】（1）解：如图1中，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BCCD，CGCE，BCGDCE90°，BCGDCE（SAS），BGDE，CBGCDE，CDE+DEC90°，HBE+BEH90°，BHD90°，故答案为：BGDE，90°；（2）证明：如图2中，在线段BG上截取BKDH，连接CK由（1）可知，CBKCDH，BKDH，BCDC，BCKDCH（SAS），CKCH，BCKDCH，KCHBCD90°，KCH是等腰直角三角形，HKCH，BHDHBHBKKHCH如图31中，当D，G，E三点共线时DEC45°，连接BD由（1）可知，BHDE，且CECH1，EHCH，AB，BDAB，设DHx，则BHDEx+，在RtBDH中，BH2+DH2BD2，（x+）2+x2（）2，解得x或2（舍弃）如图32中，当H，E重合时，DEC45°，连接BD设DHx，BGDH，BHDHHGx，在RtBDH中，BH2+DH2BD2，（x）2+x2（）2，解得x2或（舍弃），综上所述，满足条件的DH的值为或2【解析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题10(1)180°(2)见解析(3)见解析【分析】（1）在四边形ABCD中，内角和为360°，因为AC90°，所以ABC+ADC180°；（2）由（1）可知，ABF+CBF+ADE+CDE180°，根据BF、DE分别是ABE、ADC的角平分线，得到ABF+ADE90°，由ABF+AFB90°，得ADEAFB，求出BFED，所以BFGFGD，得证，由此得出结论；（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，易证，所以BKCD，可证，所以，由，可证，所以；证法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L，可得，所以，再由得，所以，易证，则，所以【解析】（1）解：四边形ABCD的内角和为360°，AC90°，ABC+ADC180°（2）证明：由（1）可知，ABF+CBF+ADE+CDE180°，BF、DE分别是ABE、ADC的角平分线 ABFCBF；ADECDE，2ABF+2ADE180°，ABF+ADE90°，又ABF+AFB90°，ADEAFB，BFED，BFGFGD在和中， ，；（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，四边形BCDK是矩形，BC=CD，四边形BCDK是正方形，BKCD，BDAMDC22.5°，BDK45°，ADN22.5°=BDA，在BAD和NAD中 （ASA），在BKN和MCD中 （ASA）；解法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点LBC=CD，BCD90°，CBDBDC45°，BDAMDC22.5°，BDM22.5°，在BAD和BND中 ，（ASA），在LND和BND中 ，（ASA），在LCB和MCD中，（ASA），【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键11(1)或(2)1或3；(3)存在，2【分析】（1）当t 时，RtEPQRtBAC或RtEQPRtBAC，列出关于t的方程求得；（2）分为t和t，列出方程求得结果；作QFPE于F，可EFQBCA，从而求得结果；（3）由SPQE：S五边形PQBCD1：29得，作PHAE于H，根据EPHBAC表示出PH，从而表示出PEQ和梯形BCDE的面积，列出方程求得t【解析】（1）解：如图1，C90°，AC6，BC8，AB10，D、E分别是AC、AB的中点，DEBC，BE5，ADEACB，ADE与PQE相似，PQE与ABC相似，当点Q在AE上，PQAB时，则， ，t ，如图2，当PQDE时，则 ，t，综上所述：t或；（2）解：当4t52t时，t1，当4t2t5时，t3，故答案是：1或3；如图3，作QFPE于F，PQEQ，EFPE，类比（1）得：EFQBCA， ，t；（3）解：如图4，存在t2，使SPQE：S五边形PQBCD1：29，SPQE：S五边形PQBCD1：29， ，作PHAE于H，由（1）知：PH（4t），SPEQ，S梯形BEDC， ，t12，t2 （舍去），当t2时，SPQE：S五边形PQBCD1：29【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形中位线性质等知识，解决问题的关键是充分利用相似三角形知识12(1)见解析(2)1.5(3)20【分析】（1）延长DE至F，使EFDE，连接CF，先证明AEDCEF，再证明四边形DBCF为平行四边形，即可得证结论；（2）先证AEBDEB，得出AE=BE， BD=AB=4，求出CD=BC- BD=3，进而得出EF=CD，从而可求出答案；（3）先证四边形 DEFG是平行四边形，得出SBEF=SEFO=SEOD=SAED，则四边形DEFG的面积=，从而可求出四边形的面积【解析】（1）证明：延长DE至F，使EFDE，连接CF，在AED和CEF中， ，AEDCEF（SAS），ADCF，AACF，ABCF，ADDB，BDCF，四边形DBCF为平行四边形，DFBC，DFBC，DEBC，DEBC；（2）BE平分BAC， BEAD于点E，ABE=DBE，BEA=DEB=90°，又BE=BE，AEBDEB，AE=DE， BD=AB=4，CD=BC-BD=7-4=3，又点F是AC的中点，； 故答案为：1.5（3）点F、G分别是BO和CO的中点，FGBC，FG=BC， 又,ED=BC，ED/FG，ED=FG， 四边形DEFG是平行四边形，DE是ADB的AB上的中线，DAE与DBE等底同高，SDBE=15，四边形DEFG是平行四边形，OD=OF， F点是OB的中点，OF= BF，BF=OF=OD，EBF、OEFO、EOD等底等高，即SBEF=SEFO=SEOD=SAED=，SEFD=2SEFB=10，四边形DEFG的面积是：2SEFD=20，故答案为：20【解析】本题主要考查三角形中位线定理的证明和应用，熟练掌握三角形中位线定理的证明和应用是解题的关键13(1)23°(2)见解析(3)【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质，证明，再通过三角形内角和的关系求得答案先通过直角三角形斜边上的中线定理证明CD=DE，CF=EF，再由定理“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，问题得证通过证和全等，求得DE的长，再通过直角三角形斜边上的中线定理求得EF、DF的长，进而求得的周长【解析】（1）解：，AB=AC，即为等腰三角形；AD是的中线，（2）解：，和是直角三角形；AD是的中线，F是AC的中点，DE和EF分别是和的中线，BD=CD=DE，AF=CF=EF，直线DF垂直平分CE（3）解：，AE=CE，AB=AC=b，和是直角三角形，EF=DF=AC=b，的周长为a+b【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理、等腰三角形的“三线合一”、全等形证明，线段垂直平分线判定等知识，熟练掌握和应用相关定理是解题的关键14(1)16(2)或或4(3)；E所经过的路线的长度是4【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；（2）如图1，若点C在DE上，如图2，若点C在PE上时，如图3，若点C在DP上时，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，根据旋转的性质得到则DCPDFE（SAS），根据全等三角形的性质得到DFEDCP90°，EFDF，CPFE，当CEEF时，CE最小，根据等边三角形的性质得到CDDFDC4，DFC60°，根据直角三角形的性质即可得到结论【解析】（1）解：正方形ABCD边长为4，正方形ABCD的面积4216；（2）解：若点C在边上，如图所示：，；若点C在边上，如图所示：，；若点C在边上，如图所示：；综上分析可知：为，或或4（3）解：将绕着点D逆时针旋转得到，连接，如图所示：则，即点E在经过点F且垂直于直线的线上运动，当时，最小，是等边三角形，E所经过的路线的长度是4【解析】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线15(1)见解析(2)见解析，【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OAFOCE，证明OAFOCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；（2）过A作AMBC于M，交BG于K，过G作GNBC于N，根据三角形的外角性质得到BAGBGA，进而即可得到结论；证明AMEBNG，根据全等三角形的性质得到MENG，根据等腰直角三角形的性质得到BEGC，根据（1）中结论证明即可（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，OAFOCE，在OAF和OCE中，OAFOCE（ASA）AFCE，ADBC，DFBE；（2）过A作AMBC于M，交BG于K，过G作GNBC于N，则AMBAMEBNG90°，