微用分法证明不等式数学与应用数学专业-学位论文.doc

本科学生毕业论文（设计）题目(中文)： 用微分法证明不等式 (英文)： Proving Inequalities by Differential Method 院 （系） 数学与计算科学系 专业、年级 数学与应用数学专业 2009级 2013年 5月 10日目 录绪论.11 引言.12 用微分法证明不等式.2 2.1用函数的单调性证明不等式.2 2.2用微分中值定理证明不等式.4 2.3用泰勒公式证明不等式.5 2.4用求极值的方法证明不等式.6 2.5用单调极限的方法证明不等式.8 2.6用函数的凹凸性证明不等式.9参考文献.12致谢.13II 用微分法证明不等式 摘要本文从微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理等方面讨论了不等式的证明问题, 归纳和总结了利用微分法证明不等式的方法和技巧,使得不等式的证明变得简单.【关键词】 微分法 微分中值定理 函数的单调性 不等式 II Proving Inequalities by Differential Method Abstract Inequalities are proved by differential mean value theorem, monotonicity theorem, extreme value theorem and many other methods using Higher Mathematics in this paper. It concludes and summarizes the methods and skills of using differential method to prove inequality, then the inequality becomes simple.【Key words】 Differentiation The differential mean value theorem The Monotonicity of the function Inequality III绪论不等式是初等数学中比较重要的成，其中不等式的证明就突出了它的重要性. 在整个数学学习过程中经常需要用到不等式，不等式是我们学习数学的工具, 比如关于集合的运算(交集、并集、补集)需要不等式，在三角函数中解关于三角不等式, 函数的学习中需要应用有关不等式的知识等.不等式与高中阶段的诸多知识都是相关的, 因此这一部分知识显得尤为重要. 不等式的重要性表现在另一方面就是求最值问题, 高中阶段对于求问题的最值是经常见到的, 在教学中也是教学重点, 常用的求问题最值的常规方法不多, 其中利用不等式的知识求问题的最值是一种重要方法.在微积分课程中, 不等式是证明许多定理与公式的工具. 不等式表达了许多微积分问题的结果, 而微积分中的一些定理和公式又可导出许多不等式. 证明不等式的的方法也有很多种，除了常见的一些初等方法外，还可利用高等数学工具来证明不等式，利用高等数学中的微分思想可以使不等式的证法思路变得简单，技巧性降低. 文献利用微分法证明不等式，是根据不等式的特点，构造辅助函数，主要讨论的是利用函数的单调性、微分中值定理等把不等式的证明转化为用微分法来研究函数的形态. 不等式是数学中经常遇到而又比较困难的问题之一. 而本文用微分法讨论不等式的证明, 讨论的是利用函数的单调性、微分中值定理、泰勒公式、求极值的方法、单调极限的方法以及函数的凹凸性这六个方面来证明不等式. 1 引言 引理16 (微分中值定理)若函数满足如下条件: (1)在闭区间上连续; (2)在开区间内可导, 则在内至少存在一点, 使得 引理26 (函数的单调性定理)若函数在区间内可导, 则在区间递增(递减)的充要条件是(或). 若时,单调递增(或者严格单调递增)，且时, , 则(当时)或(当时). 引理36 (泰勒公式)若函数在上存在直至阶连续导函数, 在内存在阶导函数, 则对任意给定的, 至少存在一点, 使得: 引理46(詹森不等式)若为上的凸函数, 则对任意, 有 如果为上的凹函数, 则 2 用微分法证明不等式2.1 利用函数的单调性证明不等式 利用函数的单调性证明不等式, 首先根据题设条件及所证不等式, 构造适当的辅助函数, 并确定区间；然后利用导数确定在上的单调性；最后根据的单调性导出所证的不等式. 例2.1 设为正常数, 试证: 如果, 则. 分析 将要证明的结果两边同时除以得 , 于是构造函数, 只要证明在区间上的最大值小于或者等于0即可. 证明 设函数, 则 (1)当时, , 即令得两边再同时乘以得 因此当时, (2)当时, 有那么 当时, 则由引理2得单调递增,于是, 同样由引理2可得单调递减, 则, 因此在区间上恒成立.令得等式两边同时乘以得综上所述当,时, 2.2 用微分中值定理证明不等式 微分中值定理适合证明函数与其导函数之间的不等式，若观察不等式出现在区间上的函数值之差及的表达式，则微分中值定理是我们的选择，应用中值定理证明不等式的关键是构造适当的函数和闭区间,使在上满足中值定理的条件. 例2.2 当时, 证明 分析 不等式两端的式子中都是次幂, 而不等式的中间却是次幂, 因此考虑到应用微分中值定理. 证明 令, 则, 从而对在区间, 应用微分中值定理, 即由引理1得 因为 ,因此，, 即 ,将分别用代入得 将上面前个式子的左边相加得 所以将上面前个式子的右边相加得综上得 2.3用泰勒公式证明不等式 当涉及到二阶或更高阶导数的命题时，可考虑用泰勒公式证明不等式.其关键是选择在恰当的特殊点（一阶导数值的点、区间端点、最值点、中间点、平均值点）展开. 例2.3 若在上二次连续可微, , 证明: , 其中 分析 要证的不等式左边的被积函数的具体形式未知, 而不等式的右边出现了的形式, 题目条件又给了在区间上二次可微, 再结合, 应该利用在的泰勒公式进行证明. 证明 函数在的泰勒公式即由引理3为 ,在与之间. 所以 2.4用求极值的方法证明不等式 在不等式的证明中, 我们常常构造函数,构造好后，如果无法得到或，即当函数不具有单调性时, 可以考虑用极值的方法证明.例2.4 设为自然数, 试证 (当时)分析 要证明, 只需求函数的极值, 证明 针对本题而言, 原式等价于, 因此只须证明当时, 恒成立. 证明 设, 则 设方程的根为, 即那么 通过观察的形式得：极值的可能点为,. 那么当时, 的最小值只能在,中取到.而 所以 综合上述 当时， 2.5用单调极限的方法证明不等式 利用单调极限来证明不等式主要的是求函数在某一点的极限值，然后根据单调函数的性质来进行判断. 利用引理2的引申可以来证明一些不等式，从而使证明过程简洁易懂. 例2.5 证明: 当, 时，有 分析 当或时, 不等式显然成立.只须证明,的情况, 因此只须证明时, 有 证明 (1)当, , 时,令,那么 令, 则对于应用微分中值定理得当时, 存在一点, 且, 使得当时, 存在一点, 且, 使得于是 即在,时单调递增,又 即 时, 从而当, , 时, (2)当时, (3)当时, 综上所述 当, 时, 2.6用函数的凹凸性证明不等式利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系，构造一个凸函数或凹函数来证明，由定义及判别法有在某区间上(二阶可导)为凸(凹)函数 则有下列不等式成立 ()由此可证明一些不等式，特别是含有两个或两个以上变元的. 例2.6 设, 证明 其中等号当且仅当时成立. 分析 将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为 从而可以通过函数为上的凸函数再结合詹森不等式得上式.另一方面，通过将不等式的各部分同时取对数可将右边的不等式变为那么可以通过函数为上的凹函数再结合詹森不等式得上式 证明 (1)设, 则, 从而, 即表明为凸函数,由引理4得 当时, 即 那么 从而 两边同时以为底得 从而左边不等式得证. (2)设, 由得为凹函数, 那么由引理4得当时, 即 从而 两边同时以为底得 从而右边不等式得证.综合(1)(2)得当时,参考文献1沈家书.浅谈用微分法证明不等式J.教学通讯(理科版), 1983(11):21-62. 2刘敬敏.用微分法证明不等式J.河南科学, 2008(10):1177-1180.3夏必腊,田玉敏,许道军.利用微分法证明不等式J.佳木斯教育学院学报, 2012(1):120.4张锦来.微分法在不等式证明中的应用J.新乡教育学院学报, 2008(1):102-103.5赵向会.浅谈不等式的证明方法J.张家口职业技术学院学报, 2007(1):34-35.6华东师范大学数学系.数学分析(上)M.高等教育出版社, 2001.7裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版, 2006.致谢 本文是在赵艳辉老师的悉心指导下完成的, 老师渊博的专业知识和严谨的治学态度、精益求精的工作态度、朴实无华、平易近人对我影响深远, 不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法, 还使我明白了许多道理. 从最初的定题到资料搜集到写作、修改、到论文定稿, 赵老师给了我耐心的指导和无私的帮助. 在此, 谨向赵老师表示崇高的敬意和忠心的感谢! 本文的顺利完成, 老师和同学、朋友的关心、支持和帮助是分不开的, 正因为有了他们, 我所做的一切才更有意义, 也正是有了他们我才有了追求进步的勇气和信心. 在此, 对他们表示深深的感谢! 13