等腰三角形同步练习 北师大版八年级数学下册+.docx
北师大版八下1.1等腰三角形（共18题）一、选择题（共10题）1. 用反证法证明“在 ABC 中，如果 ABAC，那么 BC”时，应假设 A AB=AC B B=C C ABAC D BC 2. 用反证法证明“在 ABC 中，如果 BC，那么 ABAC”时，应假设 A AB=AC B B=C, C ABAC D BC 3. 关于等腰三角形，以下说法正确的是 A有一个角为 40 的等腰三角形一定是锐角三角形B等腰三角形两边上的中线一定相等C两个等腰三角形中，若一腰以及该腰上的高对应相等，则这两个等腰三角形全等D等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等4. 一个三角形的三边长度比例关系是 1:3:2，则这个三角形是 A顶角是 30 的等腰三角形B等边三角形C有一个锐角为 45 的直角三角形D有一个锐角为 30 的直角三角形5. 如图，ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，DEAB 交 AC 于点 E，若 DE=7，CE=5，则 AC= A 11 B 12 C 13 D 14 6. 在 ABC 中，ACB=90，CD 是斜边 AB 上的高，A=30，以下说法错误的是 A AD=2CD B AC=2CD C AD=3BD D AB=2BC 7. 如图，ABC 中，以 B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交 AC，AB 于 D，E 两点，并连接 BD，DE，若 A=30，AB=AC，则 BDE 的度数为 A 45 B 52.5 C 67.5 D 75 8. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE，EF 为折痕，BAE=30，BE=1，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处则 EC 的长为 A 3 B 2 C 3 D 23 9. 等腰三角形的周长为 12，则腰长 a 的取值范围是 A 3<a<6 B a>3 C 4<a<7 D a<6 10. 如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知 A4,3，P 是坐标轴上的一点，若以 O，A，P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 A 4 个B 6 个C 8 个D 3 个二、填空题（共4题）11. 等腰三角形的底角是顶角的 2 倍，则顶角的度数是 12. 在 ABC 中，已知 CAB=60，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 AED=60，ED+DB=CE，CDB=2CDE，则 DCB 等于 13. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，CH 为 ABC 斜边上的中线，点 F 为 CH 上一点，连接 BF 并延长交 AC 于点 D，过点 A 作 AEAC，连接 CE 和 DE，若 ACE=2ABF，CE=13，CD=8，则 CDE 的面积为 14. 问题背景：如图 1，点 C 为线段 AB 外一动点，且 AB=AC=2，若 BC=CD，BCD=60，连接 AD，求 AD 的最大值解决方法：以 AC 为边作等边 ACE，连接 BE，推出 BE=AD，当点 E 在 BA 的延长线上时，线段 AD 取得最大值 4问题解决：如图 2，点 C 为线段 AB 外一动点，且 AB=AC=2，若 BC=CD，BCD=90，连接 AD，当 AD 取得最大值时，ACD 的度数为 三、解答题（共4题）15. 如图，已知 ABC(1) 尺规作图，画出线段 AB 的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）(2) 设 AB 的垂直平分线与 BA 交于点 D，与 BC 交于点 E，连接 AE若 B=40，求 BEA 的度数16. 如图，在 ABC 中，AB=BC，B=90，点 D 为直线 BC 上一个动点（不与 B，C 重合），连接 AD将线段 AD 绕点 D 按顺吋针方向旋转 90 得到线段 DE，连接 EC(1) 如图 1，点 D 在线段 BC 上，依题意画图得到图 2求证：BAD=EDC；方方同学通过观察、测量得出结论：在点 D 运动的过程中，总有 DCE=135方方的主要思路有以下几个：思路一：在 AB 上取一点 F 使得 BF=BD，要证 DCE=135，只需证 ADFDEC思路二：以点 D 为圆心，DC 为半径画弧交 AC 于点 F，要证 DCE=135，只需证 AFDECD思路三：过点 E 作 BC 所在直线的垂线段 EF，要证 DCE=135，只需证 EF=CF 请你参考并选择其中一个思路，证明 DCE=135；(2) 如果点 D 在线段 CB 的延长线上运动，利用图 3 画图分析，DCE 的度数还是确定的值吗？如果是，请写出 DCE 的度数并说明理由；如果不是，也请说明你的理由17. 如图，在等边 ABC 中，M 为 BC 边上的中点，D 是射线 AM 上的一个动点，以 CD 为边且在 CD 的下方作等边 CDE，连接 BE(1) 填空：若 D 与 M 重合时（如图 1），CBE= 度；(2) 如图 2，当点 D 在线段 AM 上时（点 D 不与 A，M 重合）请判断（1）中的结论否成立？并说明理由；(3) 在（2）的条件下，如图 3，若点 PQ 在 B 的延长线上，且 CP=CQ=4，AB=6，试求 PQ 的长18. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，ABC=30，AC=3(1) 以 BC 边上一点 O 为圆心作 O，使 O 分别与 AC，AB 相切（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2) 求 O 的面积答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】 反证法是从结论的反面出发证明， BC 的反面是 B=C2. 【答案】A3. 【答案】D【解析】A如果 40 的角是底角，则顶角等于 100，故三角形是钝角三角形，此选项错误；B当两条中线为两腰上的中线时，可知两条中线相等，当两条中线一条为腰上的中线，一条为底边上的中线时，则这两条中线不一定相等， 等腰三角形的两条中线不一定相等，此选项错误；C若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等则这两个等腰三角形不一定全等，故此选项错误；D等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等，故此选项正确4. 【答案】D【解析】一个三角形的三边长度比例关系是 1:3:2， 设这个三角形三边的长度分别为 xx>0，3x，2x x<3x<2x，且 x2+3x2=4x2=2x2， 这个三角形是直角三角形，且斜边长为 2x，斜边长是其中一条直角边长的 2 倍，即这个三角形是有一个锐角为 30 的直角三角形5. 【答案】B【解析】因为 ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，所以 BAD=CAD，因为 DEAB，DE=7，CE=5，所以 CAD=ADE，所以 AE=DE=7，所以 AC=AE+CE=7+5=126. 【答案】A【解析】 CD 是斜边 AB 上的高， ADC=90， A=30， AC=2CD，B正确，不符合题意；A错误符合题意； ACB=90，A=30， AB=2BC，D正确，不符合题意； ACB=90，CD 是斜边 AB 上的高，A=30， BCD=30， BC=2BD， AB=4AD， AD=3BD，C正确，不符合题意7. 【答案】C【解析】 AB=AC， ABC=ACB， A=30， ABC=ACB=1218030=75， 以 B 为圆心，BC 长为半径画弧， BE=BD=BC， BDC=ACB=75， CBD=1807575=30， DBE=7530=45， BED=BDE=1218045=67.58. 【答案】B【解析】 矩形纸片 ABCD，BAE=30， AE=2BE=2×1=2，AEB=90BAE=9030=60， AB 沿 AE 翻折点 B 落在 EC1 边上的 B1 处， AEB1=AEB=60， 矩形对边 ADBC， EAC1=AEB1=60， AEC1 是等边三角形， EC1=AE=2， EC 沿 BF 翻折点 C 落在 AD 边上的 C1 处， EC=EC1=29. 【答案】A【解析】设等腰三角形的腰长为 a，则其底边长为：122a， 122aa<a<122a+a， 3<a<6，故答案为：3<a<610. 【答案】C【解析】如图所示，满足条件的点 P 有 8 个二、填空题（共4题）11. 【答案】 36 【解析】顶角是 x 度，则底角就是 2x 度，根据三角形内角和定理可得：2x+2x+x=180， 5x=180， x=3612. 【答案】 20° 【解析】延长 AB 到 F 使 BF=AD，连接 CF，如图 CAD=60，AED=60， ADE 为等边三角形， AD=DE=AE，ADE=60， BDE=180ADE=120， CDB=2CDE， 3CDE=120，解得 CDE=40， CDB=2CDE=80， BF=AD， BF=DE， DE+BD=CE， BF+BD=CE，即 DF=CE， AF=AD+DF，AC=AE+CE， AF=AC，而 BAC=60， AFC 为等边三角形， CF=AC，F=60，在 ACD 和 FCB 中， AD=FB,A=F,AC=FC, ACDFCBSAS， CB=CD， CBD=CDB=80， DCB=180CBD+CDB=2013. 【答案】 20 【解析】如图示：延长 BD 交 CE 于 G 点，作 AKGD 交 CE 于 K，交 GD 于 O设 ABF=，则 ACE=2 ACB=90，AC=BC， ABC=45 CBG=CBAABF=45，BCG=ACB+ACE=90+2 CGB=180BCGCBG=18090+245=45. CBG=CGB CG=CB=CA在 RtADO 和 RtBDC 中， ADO=BDC,AOD=BCD=90, DAO=DBC，则有 CAK=CGD在 CAK 和 CGD 中， CAK=CGD,CA=CG,ACK=GCD, CAKCGDASA CK=CD，CKA=CDG=DCB+CBD=90+45=135 EKA=180CKA=180135=45+又 EAK=EACCAK=9045=45+，即有 EK=EA， EA=EK=CECK=CECD=138=5 SCDE=12CDEA=12×8×5=2014. 【答案】 112.5° 【解析】以 AC 为直角边作等腰直角 ACE，CE=AC，ECA=90，连接 BE，如图 2 所示： BCD=90， ECA+ACB=BCD+ACB，即 ECB=ACD，在 ECB 和 ACD 中， CE=AC,ECB=ACD,BC=CD, ECBACDSAS， BE=AD， 当 AD 取得最大值时，BE 也取得最大值， BEAE+AB， 当且仅当 E，A，B 三点共线时，BE=AE+AB， 当 AD 取得最大值时，E，A，B 三点共线， ACE 是等腰直角三角形， CAE=45， CAB=180CAE=18045=135， AB=AC， ACB=ABC=12180CAB=12180135=22.5， ACD=ACB+BCD=22.5+90=112.5三、解答题（共4题）15. 【答案】(1) 线段 AB 的垂直平分线如图所示(2) DE 是 AB 的垂直平分线， AE=BE， BAE=B=40， BEA=180BBAE=1804040=100. 答：BEA 的度数为 10016. 【答案】(1) B=90， BAD+BDA=90， ADE=90，点 D 在线段 BC 上， BAD+EDC=90， BAD=EDC证法 1：如图 1，在 AB 上取点 F，使得 BF=BD，连接 DF， BF=BD，B=90， BFD=45， AFD=135， BA=BC， AF=CD，在 ADF 和 DEC 中， AF=CD,BAD=CDE,AD=DE, ADFDEC，SAS， DCE=AFD=135(2) DCE=45，理由：如图 4，过 E 作 EFDC 于 F， ABD=90， EDF=DAB=90ADB，在 ABD 和 DFE 中， DAB=EDF,ABD=DFE,AD=AE, ABDDFEAAS， DB=EF，AB=DF=BC， BCBF=DFBF，即 FC=DB， FC=EF， DCE=45【解析】(1) 证法 2：如图 2，以 D 为圆心，DC 为半径作弧交 AC 于点 F，连接 DF， DC=DF，DFC=DCF， B=90，AB=BC， ACB=45，DFC=45， DFC=90，AFD=135， ADE=FDC=90， ADF=EDC，在 ADFCDE 中， AD=DE,ADF=EDC,DF=DC, ADFCDESAS， AFD=DCE=135证法 3：如图 3，过点 E 作 EFBC 交 BC 的延长线于点 F， EFD=90， B=90， EFD=B，在 ABD 和 DFE 中， BAD=CDE=90ADB,B=EFD,AD=DE, ABDDFEAAS， AB=DF，BD=EF， AB=BC， BC=DF，BCDC=DFDC，即 BD=CF， EF=CF， EFC=90， ECF=45，DCE=13517. 【答案】(1) 30 (2) （1）中结论成立理由如下： ABC 和 CDE 均为等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60， ACD+DCB=DCB+BCE=60， ACD=BCE在 ACD 与 BCE 中， AC=BC,ACD=BCE,CD=CE, ACDBCESAS， CAD=CBE， 在等边 ABC 中，M 是 BC 中点 CAD=12BAC=30， CBE=30(3) 如图，过点 C 作 CNBQ 于点 N， CP=CQ， PQ=2PN， ABC 是等边三角形，AM 是中线， CMAD，CM=12BC=12×6=3， CN=CM=3（全等三角形对应边上的高相等）， CP=CQ=4， PN=CP2CN2=4232=7， PQ=2PN=27【解析】(1) 在等边 ABC 中，M 为 BC 边上的中点，D 与 M 重合， BD=CD， CDE 是等边三角形， CDE=60，CD=DE， BD=DE， BED=DBE，又 BED+DBE=CDE=60， DBE=30，即 CBE=3018. 【答案】(1) 如图所示(2) ACB=90，ABC=30， CAB=60，由画图知 AO 平分 BAC， CAO=12BAC=30， OC=12OA，由勾股定理知，OC2+AC2=OA2，且 AC=3， OC2+9=4CO2， OC=3， 圆 O 的面积 =OC2=3【解析】(1) 以 A 为圆心，以任意长为半径（小于 AC），作弧与 AB，AC 分别交于点 D，E；分别以 D，E 为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧长交与点 M；连接 AM 与 BC 交于点 O；以点 O 为圆心，以 OC 为半径作圆学科网（北京）股份有限公司
