应用统计学置信区间估计ppt.pptx
应用统计学置信区间估计22 由于点估计存在误差,因此仅对总体参数作出点估计就是不够得,还需要了解估计得精度及其误差。参数得区间估计就就是在给定得可信度下,估计未知参数得可能取值范围。设 为总体分布得未知参数,若由样本确定得两个统计量 与对给定得概率(0 1),满足则称随机区间 为 得置信度为1-得置信区间。区间估计3一、总体方差 2 得区间估计1、2 分布 设总体 XN(0,1),X1,X2,Xn 为 X 得一个样本,则它们得平方与为服从自由度为 n 得 2 分布,记为 2 2(n)6、1 单个正态总体均值与方差得区间估计4若对于随机变量 X1,X2,Xn,存在一组不全为零得常数 c1,c2,cn,使c1 X1+c2 X2+cn Xn=0则称变量 X1,X2,Xn 线性相关,或称它们间存在一个线性约束条件;若 X1,X2,Xn 间存在 k 个独立得线性约束条件,则它们中仅有 n-k 个独立得变量,并称平方与得自由度为 n-k。“自由度”得含义52 分布密度函数得图形xf(x)on=1n=4n=10 6由给定得概率 与自由度,可查表得到 2 分布得右侧 分位点为 2分布中满足下式得得右侧 分位点:f(x)xo 7语法规则如下:格式:CHIINV(,n)功能:返回可用 Excel 得统计函数 CHIINV 返回 用 Excel 求 得值。82、总体方差 2 得区间估计 设总体 XN(,2),/2/21-f(x)x0 从而 2 得置信度为1-得置信区间为:由与 S2 分别为样本均值与样本方差。可得X1,X2,Xn 为 X 得容量为n得样本,可以证明,9【例2】求例1 中元件寿命方差 2 得 95%置信区间。解:由例1,S2=196、52,n=10,/2=0、025,1-/2=0、975,故所求 2得置信区间为(135、22,358、82)(n-1)S2/(n-1)S2/=9 196、52/19、023=9 196、52/2、7=135、22=358、8210课堂练习1 某车床加工得缸套外径尺寸 X N(,2),现随机测得得 10 个加工后得某种缸套外径尺寸(mm)如下:90、01,90、01,90、02,90、03,89、99 89、98,89、97,90、00,90、01,89、99()求 2 得置信度为 95%得置信区间。11 1、标准正态分布得右侧 分位点 Z Z 就是标准正态分布中满足下式得右侧分位点:P Z Z=0f(x)x z1-二、总体均值得区间估计如图所示,(Z)=1-,因此,可由正态分布表得到 Z。如:要查 Z0、025,由正态分布表可查得:(1、96)=0、975=1-0、025,故 Z0、025=1、96 大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静 继续保持安静13由正态分布得性质可得对给定得置信度1-,0f(x)x z/2/2-z/2/21-N(0,1)由此可得从而得置信度为 1-得置信区间为为便于记忆与理解,将 得置信区间表示为如下形式:2、2 已知时总体均值得区间估计有其中 d 称为估计得允许误差。14可用 Excel 得统计函数 NORMSINV 返回 Z。语法规则如下:格式:NORMSINV(1-)功能:返回 Z 得值。说明:NORMSINV()返回得就是 Z1-得值。用 Excel 求 Z153、t 分布设 XN(0,1),Y 2(n),且 X 与 Y 相互独立,则随机变量服从自由度为 n 得 t 分布,记为 tt(n)。16t 分布密度函数得图形标准正态分布分布就是 t 分布得极限分布。当 n 很大时,t 分布近似于标准正态分布。xf(x)0n=1n=4n=10n=,N(0,1)170 xf(x)t 分布得右侧 分位点 t(n)t(n)为 t 分布中满足下式得右侧 分位点:P t t(n)=由给定得概率,可查表得到 t(n)。由 t 分布得对称性,可得:t1-(n)=-t(n)。t(n)t1-(n)=-t(n)18可用 Excel 得统计函数 TINV 返回 t(n)。语法规则如下:格式:TINV(2,n)功能:返回 t(n)得值。说明:TINV(,n)返回得就是 t/2(n)得值。用 Excel 求 t/2(n)194、2 未知时总体均值 得区间估计 t(n-1)设总体 XN(,2),与 S2 分别为样本均值与样本方差。由此可得 得置信度为 1-得置信区间为因此,对给定得置信度 1-,有即X1,X2,Xn 为 X 得容量为 n 得样本,可以证明:20用样本比例代替总体比例,设总体比例为 P,则当 nP 与 n(1-P)都大于5时,样本成数 p 近似服从均值为 P,方差为 P(1-P)/n 得正态分布。从而对给定得置信度1-,由 可得总体成数 P 得置信度为 1-得置信区间为6、2 总体比例得区间估计21【例3】求例1中元件平均寿命 得95%置信区间。故所求 得 95%置信区间为 解:由例1,/2=0、025,=1423、1,S=196、5,=1-0、95=0、05,n=10,查表得 t0、025(9)=2、2622 可用 Excel 得【工具】“数据分析”“描述统计”求解正态总体均值 得置信区间。22课堂练习2:某车床加工得缸套外径尺寸 XN(,2),下面就是随机测得得10个加工后得缸套外径尺寸(mm),90、01,90、01,90、02,90、03,89、99 89、98,89、97,90、00,90、01,89、99(,)求 得置信度为95%得置信区间;23【例4】某厂为了解产品得质量情况,随机抽取了300件产品进行检验,其中有5件次品,求该厂产品次品率得置信度为95%得置信区间。解:产品次品率为比例,=1-0、95=0、05,/2=0、025,n=300,查表得 Z0、025=1、96,样本成数 该厂产品次品率得置信度为95%得置信区间为 24案例思考题国外民意调查机构在进行民意调查时,通常要求在95%得置信度下将调查得允许误差(即置信区间得 d 值)控制在3%以内。问为满足该调查精度要求,至少需要多大得样本？如果要求置信度达到99%,调查误差仍为3%,此时至少需要多大得样本？25案例思考题解答(1)本案例中,故需要得样本容量至少为 26案例思考题解答(2)如果要求置信度达到99%,则Z/2=Z0、005=2、575,276、3 样本容量确定前面得分析都就是在给定得样本容量与样本数据下求置信区间。但在实际应用中,应当在随机抽样前就确定所需抽取得样本容量。抽取得样本容量过大,虽然可以提高统计推断得精度,但将增加不必要得人力、物力、费用与时间开支;如果抽取得样本容量过小,则又会使统计推断得误差过大,推断结果就达不到必要得精度要求。确定样本容量得原则在满足所需得置信度与允许误差条件(置信区间得 d 值)下,确定所需得最低样本容量。281、总体均值区间估计时样本容量得确定在给定置信度与允许误差 d 得条件下,由可得 其中总体标准差或样本标准差也就是未知得,通常可以先通过小规模抽样作出估计。由于使用得就是近似公式,可知实际采用得最低样本容量应比计算结果稍大。29【例6】在例3 元件平均寿命得区间估计问题中,要求在95%得置信度下,使估计得允许误差不超过其平均寿命得10%,并设已得到例1得先期抽样数据。求所需得最低样本容量。其她条件不变,在99%得置信度下求所需最低样本容量。解:由例1,S=196、5,d=1423/10=142、3 可知取 n=10 已能满足所给精度要求。可知此时取 n=20 就能满足所给精度要求。在总体均值得区间估计中,通常 n=30 就称为大样本。在大样本时,无论总体服从什么分布,都可用前述公式进行区间估计。302、总体比例区间估计时样本容量得确定其中样本成数 p 同样可先通过小规模抽样作出估计,也可根据其她信息估计,或取 0、5。31【例7】某企业要重新制定产品抽样检验得规范。已知过去检验得次品率在3、6%左右,现要求允许误差不超过2%,置信度为95%。问每次至少应抽查多少产品？解:由题意,要推断得就是总体成数,p=0、036,1-p=0、964,d=0、02,=0、05,z/2=z0、025=1、96故每次至少应抽查 334 件产品。由此可知,在总体比例得区间估计问题中,要达到一定得精度要求,样本容量至少要在几百以上。32【例5】(1)求例1中元件平均寿命得95%置信下限。(2)求元件寿命方差得95%置信上限。解:(1)从而 得单侧 1-置信下限为本例中,t 0、05(9)=1、8331,故所求置信下限为1423、1-1、8331196、5/该在95%得置信度下,该元件得平均寿命大于1309、2小时。=1390、2可得由6、4 单侧置信限得区间估计
