离散系统及其在生物与经济中的应用-PPT.pptx
离散系统及其在生物与经济中的应用采样控制原理图采样控制原理图采样控制原理图采样控制原理图 差分方程与差分方程与Z变换变换 状态空间形式与状态空间形式与z变换变换 传递函数为传递函数为拉普拉斯变换拉普拉斯变换:z变换变换:z与与s得关系为得关系为:z变换得性质变换得性质:在零初值情况下在零初值情况下能控性与能观性能控性与能观性 能控性能控性上面离散系统在上面离散系统在n个采样时刻得状态解就是个采样时刻得状态解就是:Gn非奇异非奇异:与连续系统一样与连续系统一样,能控性矩阵秩为能控性矩阵秩为n;Gn奇异奇异:对于使对于使Gn x(0)0得非零初态得非零初态,与能控性矩阵得秩无关。与能控性矩阵得秩无关。能观性能观性上面离散系统在上面离散系统在n个采样周期内得量测值与初值个采样周期内得量测值与初值x(0)得关系就得关系就是是:与连续系统一样与连续系统一样,系统能观得充要条件就是能观性矩阵得秩为系统能观得充要条件就是能观性矩阵得秩为n。高次差分方程与状态方程高次差分方程与状态方程选择状态变量选择状态变量则可得状态方程则可得状态方程连续系统离散化D/A数字数字计算机计算机连续系统连续系统保持器保持器A/D采样器采样器连续系统时间离散化得实现连续系统时间离散化得实现连续系统离散化 无论就是利用数字计算机分析连续时间系统无论就是利用数字计算机分析连续时间系统,还就是利还就是利用计用计算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时,都会遇到都会遇到把连续时间系统化为等价得离散时间系统得问题。连续线性把连续时间系统化为等价得离散时间系统得问题。连续线性定常系统定常系统其离散化后得方程为其离散化后得方程为其中其中 ,T为采样周期为采样周期连续系统离散化采样周期采样周期T得选择会影响可控性、可观性得保持问题。得选择会影响可控性、可观性得保持问题。(由系统得解由系统得解 出发进行离散化出发进行离散化)几个推论几个推论:时间离散化不改变系统得时变性或定常性。时间离散化不改变系统得时变性或定常性。不管连续系统矩阵不管连续系统矩阵A就是否为非奇异就是否为非奇异,但离散化系统得矩但离散化系统得矩阵阵G一定就是非奇异得。一定就是非奇异得。离散系统得稳定性离散系统得稳定性大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点s平面与z平面得映射关系z变换中得复变量变换中得复变量z与拉普拉斯变换得复变量与拉普拉斯变换得复变量s得关系就是得关系就是其中其中 就是采样周期就是采样周期,将将 代入上式有代入上式有所以所以 即即s得实部只影响得实部只影响z得模得模,s得虚部只影响得虚部只影响z得角得角;左半左半s平面平面,即即 0z平面单位圆内部平面单位圆内部,即即|z|0z平面单位圆平面单位圆,即即|z|=1 z平面单位圆外部平面单位圆外部,即即|z|1离散系统稳定得判据 离散系统稳定得充分必要条件就是其特征方程得全部离散系统稳定得充分必要条件就是其特征方程得全部特特征根都位于征根都位于z平面上以原点为圆心得单位圆内。平面上以原点为圆心得单位圆内。就是否存在类似于连续系统得就是否存在类似于连续系统得Routh-Hurwitz判据？判据？如果能找到一种变换如果能找到一种变换:,将左半平面变成单位将左半平面变成单位圆内部圆内部,那么以那么以z为变量得特征方程就可以变换成以为变量得特征方程就可以变换成以s为变为变量得方程量得方程,从而可以借助于连续系统得从而可以借助于连续系统得Routh-Hurwitz判据判据来判断离散系统得稳定性。引入变换来判断离散系统得稳定性。引入变换例子 已知离散系统得开环传递函数为已知离散系统得开环传递函数为系统得特征方程为系统得特征方程为 ,即即直接求解可得闭环特征根为直接求解可得闭环特征根为如果做代数变换如果做代数变换,令令 ,代入特征方程得代入特征方程得利用利用Hurwitz判据同样可判定系统就是稳定得。判据同样可判定系统就是稳定得。Lyapunov方法 连续系统连续系统:系统稳定当且仅当存在正定矩阵系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得使得离散系统离散系统:系统稳定当且仅当存在正定矩阵系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得使得离散系统得应用离散系统得应用菲波纳奇级数与兔口模型菲波纳奇级数与兔口模型兔子得繁殖规律兔子得繁殖规律定义定义 x3(t)第第t年新生兔数量年新生兔数量(01岁岁)x2(t)第第t年年1岁兔数量岁兔数量(12岁岁)x1(t)第第t年年2岁兔数量岁兔数量(23岁岁)3岁以上兔子不予考虑。岁以上兔子不予考虑。不考虑兔子死亡率不考虑兔子死亡率 x2(t1)x3(t)x1(t1)x2(t)x3(t)x2(t)x1(t)(设第设第t年每对年每对1岁与岁与2岁兔各生岁兔各生2只小只小兔兔)兔口模型兔口模型 再设第再设第0年年1岁兔为岁兔为x2(0)1万只万只,2岁兔为岁兔为x1(0)1万只。万只。用迭代法求解上式可以得到用迭代法求解上式可以得到xi(t),i=1,2得序列得序列:xi(t)得每一项得每一项(t 2)都就是前两项之和。这个序列被称为都就是前两项之和。这个序列被称为菲菲波纳奇序列。波纳奇序列。下面用下面用z变换求菲波纳奇级数得通项公式变换求菲波纳奇级数得通项公式:菲波纳奇级数得通项公式菲波纳奇级数得通项公式将上式第一式代入第二式得到将上式第一式代入第二式得到 求出求出x2(z)为为:查表求反变换得查表求反变换得 考虑兔口增长率问题考虑兔口增长率问题:设第设第t年兔子总数为年兔子总数为y(t),显然有显然有又又 将通项带入上式便求出第将通项带入上式便求出第t年兔子总数量。兔子增长率年兔子总数量。兔子增长率 定义定义为为:从从通项通项可知可知,当时间足够长得之后当时间足够长得之后,增长率趋于一个常数增长率趋于一个常数:当当t0时时,兔子数兔子数y(t)4万只万只,那么那么30年以后兔子数为年以后兔子数为:y(30)=41、61803430=7441993、5万只。万只。商品市场价格变化得蛛网模型商品市场价格变化得蛛网模型蛛网模型研究生产周期较长得商品蛛网模型研究生产周期较长得商品(如农产品如农产品)得产量得产量和价格在偏离均衡状态以后得实际波动过程及其结果。和价格在偏离均衡状态以后得实际波动过程及其结果。某种产品第某种产品第t年需求量年需求量D(t)就是当年价格就是当年价格p(t)得线性函数得线性函数:该种产品供应量该种产品供应量S(t)则与去年价格则与去年价格p(t1)有关有关,因为在第因为在第t1年时价格为年时价格为p(t1),农民则认为第农民则认为第t年还就是这个价格年还就是这个价格,从从而去安排生产。而生产得投入到产出之间有时间延迟。现而去安排生产。而生产得投入到产出之间有时间延迟。现供给函数为供给函数为:两式中得两式中得a,b,e,f皆为大于皆为大于0得常数。得常数。设某地区西瓜供求函数如式设某地区西瓜供求函数如式(1),(2)所示。具体参数为所示。具体参数为:设设1998年西瓜价格为年西瓜价格为p(0)=0、3元元/公斤公斤,1999年农民愿意种年农民愿意种西瓜量为西瓜量为S(1)=0、580、31、9亿公斤亿公斤,在在1999年上市年上市西瓜西瓜1、9亿公斤亿公斤,如果西瓜还卖如果西瓜还卖0、3元元/公斤公斤,吃瓜得需求量吃瓜得需求量为为D(1)7120、32、2亿公斤亿公斤 1、9亿公斤亿公斤,这意味着这意味着西瓜供不应求西瓜供不应求,因此西瓜将会涨价因此西瓜将会涨价,直至供求平衡直至供求平衡,供求平衡供求平衡价格由下式决定价格由下式决定:D(1)S(1),可得可得p(1)0、425元元/公斤。在公斤。在2000年如果还卖年如果还卖0、425元元/公斤公斤,大众得吃瓜量为大众得吃瓜量为1、9亿公斤亿公斤 2、9亿公斤亿公斤,西瓜将供过于求西瓜将供过于求,要将要将2、9亿公斤瓜全卖出去亿公斤瓜全卖出去,其价格为其价格为:D(2)S(2),p(2)0、34166元元/公斤公斤,类似地一年类似地一年一年分析下去一年分析下去,可得西瓜价格波动地图解分析。可得西瓜价格波动地图解分析。蛛网模型理论分析理论分析:求解价格得变化求解价格得变化,令令D(t)=S(t),得得做做z变换变换求出反变换为求出反变换为:从上式看出当从上式看出当 即特征方程即特征方程bzf 0得根得模小于得根得模小于1时时,成立成立:即系统就是渐近稳定得。这时候价格趋于供应平衡价即系统就是渐近稳定得。这时候价格趋于供应平衡价格格:封闭型蛛网PQ0SDP1P2Q1Q2
