高一数学专题-正弦定理与余弦定理的综合应用.pdf

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）正弦定理与余弦定理的应用 !#$%&()*+,-./001.2!2$3./04!.4 5 1./0/678.4 5 2./098.5 5 3:;.6 5 4$?ABCDEFGH4!.8 5 1 IJKLMN.8 5 2)*+O./PQN.10 5 3 RSPQN.11 知识点一正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin Absin Bcsin C2R a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC 变形 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab 使用条件 1.两角一边求角 2.两边对应角 1.三边求角 2.两边一角求边 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）注意：上表中 A 为锐角时，absin A，无解A 为钝角或直角时，ab，a 0，则,-.一定是锐角三角形【变式 1-1】2（2022高一课时练习）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若coscos$=#!=2，则该三角形一定是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【变式 1-1】3（2022 春吉林长春高一长春吉大附中实验学校校考期末）在,-.中，角,-,.的对边分别为%,(，已知三个向量2 33=5%,cos26，7 3=5,cos$26,8 =5(,cos&26共线，则,-.的形状为（）A等边三角形 B钝角三角形 C有一个角是6的直角三角形 D等腰直角三角形【变式 1-1】4（2023高一课时练习）在,-.中，sin.=sin(sin$cos(cos$，则,-.的形状为_【变式 1-1】5.在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.【变式 1-1】6(多选)（2023全国高一专题练习）在,-.中，角,-,.所对的边分别为%,(，下列说法中正确的是（）A若,-，则sin,sin-B若!cos$=#cos，则,-.为等腰直角三角形 C!sin=#+%sin$+sin&D若tan,+tan-+tan.0，则,-.为钝角三角形【变式 1-1】7（2023高一课时练习）在,-.中，已知2%sin,=(2+()sin-+(2(+) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）(1)求,；(2)若sin-+sin.=1，判断,-.的形状#2!2!3./043./04!【方法总结】（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角ADC 与ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内用定理。5#5#1 1./0/678./0/678【例题 2-1】（2022 春江苏宿迁高一沭阳县修远中学校考期末）在,-.中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且满足2%#=1+tantan$角 A 的内角平分线交-.于点 M，若-9=2.9，则)$&=（）A23 B32 C12 D2【变式 2-1】1（2022 春江苏苏州高一校联考期末）已知,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足sinsin$(sin&+#sin$#sin(%sin$=1(1)求角 C；(2)CD 是,.-的角平分线，若.:=433，,-.的面积为23，求 c 的值.【变式 2-1】2（2022全国高一假期作业）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且满足cos$(&2=%sin-(1)求 A 的大小；(2)若%=23，-,33333,.33333=32，AD 是ABC 的角平分线，求 AD 的长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【变式 2-1】3（2022 春江苏苏州高一校考期末）如图，设,-.中的角 A，B，C 所对的边是 a，b，c，,:为-,.的角平分线，已知,-=1，,:33333=34,-33333+14,.33333，$+|$+|&+|&+|=12，点 E，F 分别为边,-，,.上的动点，线段=交,:于点 G，且,33333=的面积 5#5#2 2./098./098【例题 2-2】（2022 春河南驻马店高一统考期末）设,-.中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AD为,-.的边 BC 上的中线，且=4，(=2，cos-,:=63，则?/&=_【变式 2-2】1（2022 春北京高一清华附中校考期末）,-.中，已知3cos53-6+cos56+-6=0.,.边上的中线为-:.(1)求-；(2)从以下三个条件中选择两个，使,-.存在且唯一确定，并求,.和-:的长度.条件：%2 2+(2 3(=0；条件%=6；条件?$&=153.【变式 2-2】2（2022 春福建泉州高一统考期末）在%sin2-=sin,；(2(%)cos-=cos,；sin2,sin,sin.+sin2.=sin2-这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 ,-.三个内角,-,.的对应边分别为%,(，且满足 (1)求角 B 的大小；(2)若 D 为边 AC 的中点，且%=3,(=4，求中线 BD 长 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【变式 2-2】3（2022 春福建龙岩高一统考期末）在,-.中,，-，.的对边分别为%，(，已知sin2.sin2-=sin2,+sin,sin-.(1)求.的大小；(2)若(=2cos-，_，求,.边上的中线-9的长.在“.,33333.-33333=2；周长为4+23；,-.的面积为3.”这三个条件中任选一个填入上述空格中.【变式 2-2】4（2022 春四川成都高一四川省成都市新都一中校联考期末）在ABC 中，若,.=23，,=6，再从下列、这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求 BC 边上的中线长.条件：BC2；条件：?$&=3；条件：ABC 的周长为 6.【变式 2-2】5（多选）（2022 春湖北襄阳高一襄阳五中校考阶段练习）,-.中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，%=2，BC 边上的中线,:=2，则下列说法正确的有：（）A,-33333,.33333=3 B2+(2=10 C35 cos,1 DBAD 的最大值为 60 5#5#3 3:;#:;#【例题 2-3】如图，在中，是边上的点，且，则的值为（）A B C D 【变式 2-3】1.已知，点为延长线上一点，连结，则的面积是_，=_【变式 2-3】2.如图中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，则的长为_ ABCDAC,23ABADABBD=2BCBD=sinC33366366ABCD4ABAC=2BC=DAB2BD=CDBDCDcosBDCABCD2 2sin3BAC=3 2AB=3AD=BDBACD 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【变式 2-3】3.在中，点在线段上，若，则_，_.【变式 2-3】4.在;这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知 ，.(1)求;(2)如图，为边上一点，求的面积 5#5#4 4=0#=0#【例题 2-4】在面积，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，_，求.【变式 2-4】1.在平面四边形中，(1)求；(2)若，求【变式 2-4】2.如图，在平面四边形中，ABCDABC90ABC=4AB=3BC=DAC45BDC=BD=cosABD=34asinCccosA=252BCbsinasinB+=ABC!,A B C,a b c3 2a=sinAMAC,2MCMBABMp=ABC!ABCD2ABCSD=6ADCp=ACABCD34ABCp=BACDAC=24CDAB=ACABCD90ADC=!45A=!2AB=5BD=cosADB2 2DC=BCABCD045DAC=030BAC=045ABD=075DBC=3AB= 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）（1）求的长；（2）求的长 【变式 2-4】3.（2023 秋浙江杭州高一浙江省杭州第二中学校考期末）为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路 AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路 AB 长为 4km，四边形的另外两个顶点 C，D 设计在以 AB 为直径的半圆B上.记.B-=C 50 C!?ABCDEFGH4?ABCDEFGH4!5#5#1 1 IJKLMNIJKLMN【例题 3-1】（2023全国高一专题练习）设,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知,-.的外接圆面积为16D，且cos2.cos2-=sin2,+sin,sin.，则%+(的最大值为_【变式 3-1】1（多选）（2022 春吉林长春高一长春市实验中学校考期末）已知E为,-.的垂心，面积为?，%=cos.+%2，-E333333-.33333=6，则一定有（）A-=60 B?=33 C 23 D-E333333=13G-.33333+-,33333H【变式 3-1】2（多选）（2023全国高一专题练习）在,-.中，角,-,.所对的边分别为%,(，已知-=60,=4，则下列判断中正确的是（）A若,=4，则%=463 B若%=92，则该三角形有两解 ADCD 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）C,-.周长有最大值 12 D,-.面积有最小值43【变式 3-1】3（2023全国高一专题练习）,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设3sin,=%(2+cos-)(1)求 B；(2)若,-.的面积等于3，求,-.的周长的最小值【变式 3-1】4.（2022 春浙江杭州高一杭十四中校考期中）在cos2-+2cos2$2=1；2sin,=%tan-；(%()sin,+(sin(,+-)=sin-，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知,-.的内角,-,.所对的边分别是%,(，若_.(1)求角-；(2)若=1，且,-.的面积?50,3126，求,-.的周长J的取值范围.【变式 3-1】5（2022 春浙江金华高一浙江金华第一中学校考阶段练习）在,-.中，角,-,.所对的边分别是%,(，设向量2 33=(2cos.,%2),7 3=(!2,1)，且2 33 7 3(1)求角 A 的值；(2)若%=2，求,-.的周长 l 的取值范围【变式 3-1】6.（2022 春河南信阳高一信阳高中校考期末）设,-.的内角,，-，.的对边分别为%，(，且sin-+%sin,=sin,+(sin.(1)求角.；(2)若(=23，求%+的最大值.【变式 3-1】7（2022 春黑龙江佳木斯高一建三江分局第一中学校考期末）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，=23，sin2,+sin2.+sin,sin.=sin2-，(1)求角 B 的大小；(2)若 AD 是BAC 的内角平分线，当ABC 面积最大时，求 AD 的长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）5#5#2 2)*+O./PQN)*+O./PQN【例题 3-2】在ABC中，若C2B，则cb的取值范围为_.【变式 3-2】1（2022 春河南洛阳高一统考期末）在,-.中，A，B，C 分别为,-.三边 a，b，c 所对的角，若cos-+3sin-=2，且cos$#+cos&%=2sinsin$3sin&，则%+(的最大值是（）A1 B3 C2 D23【变式 3-2】2（多选）（2023全国高一专题练习）在锐角三角形,-.中，%,(分别是角,-,.的对边，已知(=2，若sin2,+sin2-sin,sin-=sin2.，则下列说法正确的是（）A.=3 B,L6,2M C-L3,2M D%+G23,4H【变式 3-2】3（2022 春江苏苏州高一统考期末）已知锐角三角形,-.中，角,-,.所对的边分别为%,(,-.的面积为?，且(2(2)sin-=2?，若%=N(，则N的取值范围是（）A(1,2)B(0,3)C(1,3)D(0,2)【变式 3-2】4（2022 春广西桂林高一校考期末）在锐角,-.中，%,(分别是角,-,.所对的边，且2#0%!=cos&cos.(1)求角,；(2)若%=2，求+(的取值范围.【变式 3-2】5（2023全国高一专题练习）在%+%cos.=3(sin,，(%+()(%+()=3%，(%)sin(-+.)+sin-=(sin.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知锐角三角形,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，且?$&=3(1)求角 C 的值；(2)求 a 的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分【变式 3-2】6（2022 春天津河东高一统考期中）已知,-.中，角,-,.所对的边分别是%,(，向量2 33=G+%+(,3H，7 3=53(,%+(6，且2 33/7 3.(1)求,的值；(2)若%=3，求,-.周长的取值范围.【变式 3-2】7（2022 春辽宁沈阳高一新民市第一高级中学校考阶段练习）已知三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2(%=2cos,(1)求角 B 的大小；(2)若=23，求%+(的最大值【变式 3-2】8（2023全国高一专题练习）在,-.中，-.=3,.，-,.=3，点:与点-分别在直线,.的两侧，且,:=1，:.=3，则-:的长度的最大值是（）A3 B33 C3 D32 5#5#3 3 RSPQNRSPQN【例题 3-3】在锐角中，,=2-，则$&的取值范围是（）A B(1,2)C(2,3)D(1,3)【变式 3-3】1.已知为等腰三角形，,-=,.，:是,.的中点，且-:=4，则面积的最大值为_【变式 3-3】2（2023全国高一专题练习）记锐角,-.的角,-,.所对的边分别为%,(已知!cos+#cos$+%cos&=#sin&3cos$cos&(1)求角,的大小；(2)若%=2，求-.边上的高的取值范围【变式 3-3】3（2022 春辽宁抚顺高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角,-.的内角 A，B，C 的 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）对边分别为 a，b，c，(=2=4，A 的角平分线交 BC 于点 D，O 为,-.的重心，过 O 作BP-.，交AD 于点 P，过 P 作P ,-于点 E.(1)求%的取值范围；(2)若四边形 BDPE 与,-.的面积之比为Q，求Q的取值范围.【变式 3-3】4（2022 春浙江宁波高一统考期末）如图，设,-.中角,-,.所对的边分别为%,(,:为-.边上的中线，已知(=1且 2(%cos-=%2 2+14(，cos-,:=217.(1)求 b 边的长度；(2)求-,.的余弦值；(3)设点，=分别为边,-,.上的动点，线段=交,:于 G，且,33333=33333的最小值 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 专题-正弦定理与余弦定理的应用 !#$%&()*+,-./001.14!2$3./04!.20 5 1./0/678.20 5 2./098.25 5 3:;.32 5 4$?ABCDEFGH4!.38 5 1 IJKLMN.38 5 2)*+O./PQN.46 5 3 RSPQN.54 知识点一正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin Absin Bcsin C2R a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC 变形 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A cos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab 使用条件 1.两角一边求角 2.两边对应角 1.三边求角 2.两边一角求边 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 注意：上表中 A 为锐角时，absin A，无解A 为钝角或直角时，ab，a 0，则,-.一定是锐角三角形【答案】A【分析】由正弦定理化边为角变形判断 AB，举特例判断 C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断 D 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16【详解】由正弦定理!456=#456$=%456&，若!cos=#cos$=%cos&，则tan,=tan-=tan.，,-,.为三角形内角，所以,=-=.，三角形是等边三角形，A 正确；若%cos,=cos-，由正弦定理得sin,cos,=sin-cos-，即sin2,=sin2-，,-(0,)，则2,=2-或2,+2-=，即,=-或,+-=2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 错；例如=3，.=1，-=7，满足cos.+cos-=，但此时,-.不是等腰三角形，C 错；%2+2(2 0时，由余弦定理可得cos.=!(#!0%!2!#0，即.为锐角，但,-是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D 错 故选：A【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项 B，在由sin2,=sin2-得结论时不能直接得出2,=2-，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点【变式 1-1】2（2022高一课时练习）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若894894$=#!=2，则该三角形一定是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到%2(2+(2%2)=2(%2+(2 2)，结合#!=2，得到(2=%2+2，判断出三角形为直角三角形.【详解】894894$=#!，%cos,=cos-，由余弦定理可得：%#!(%!0!2#%=!(%!0#!2!%，整理可得：%2(2+(2%2)=2(%2+(2 2)， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17#!=2，2=2%2，由得(2=3%2=%2+2，该三角形是直角三角形.故选：A【变式 1-1】3（2022 春吉林长春高一长春吉大附中实验学校校考期末）在,-.中，角,-,.的对边分别为%,(，已知三个向量2 33=5%,cos26，7 3=5,cos$26,8 =5(,cos&26共线，则,-.的形状为（）A等边三角形 B钝角三角形 C有一个角是7的直角三角形 D等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得%cos$2=cos2，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sin2=sin$2，结合角的范围求得,=-，同理可得-=.，则答案可求【详解】向量2 33=(%,cos2)，7 3=(,cos$2)共线，%cos$2=cos2，由正弦定理得：sin,cos$2=sin-cos2，2sin2cos2cos$2=2sin$2cos$2cos2，则sin2=sin$2，0 22，0$2-，则sin,sin-B若!cos$=#cos，则,-.为等腰直角三角形 C!sin=#+%sin$+sin&D若tan,+tan-+tan.-，所以%，利用正弦定理可得2_sin,2_sin-，所以sin,sin-，故 A 正确；对于 B，由于!cos$=#cos，利用正弦定理可得sin,cos,=sin-cos-，整理得12sin2,=12sin2-，即sin2,=sin2-，所以2,=2-或2,+2-=，所以,=-或,+-=2，所以,-.为等腰三角形或直角三角形，故 B 错误；对于 C，由正弦定理!sin=#sin$=%sin&=2_，所以#+%sin$+sin&=2:sin$+2:sin&sin$+sin&=2_=!sin，故 C 正确；对于 D，由于tan,+tan-+tan.0，所以tan,+tan-+tan.=tan(,+-)51tan,tan-6+tan.=tan.+tan.+tan,tan-tan.=tan,tan-tan.0，因为0,-,.，所以,-,.中必有一个钝角，故,-.为钝角三角形，故 D 正确.故选：ACD.【变式 1-1】7（2023高一课时练习）在,-.中，已知2%sin,=(2+()sin-+(2(+)sin.(1)求,；(2)若sin-+sin.=1，判断,-.的形状【答案】(1)21(2),-.是等腰的钝角三角形 【分析】(1)由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角 A 的余弦值.(2)利用三角形内角和关系计算出 B、C 角,根据角度判断三角形形状.【详解】（1）由正弦定理得2%2=(2+()+(2(+)(=22+2(2+2(；余弦定理%2=2+(2 2(cos,2(=4(cos,，cos,=32, 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 而,为三角形内角，,=21（2）,-.中，,+-+.=，,=21,-L0,1M sin-+sin.=sin-+sinL-+21M=32sin-+12cos-=sinL-+1M=1，因为1-+121，-=7，.=7，,-.是等腰的钝角三角形.#2!2!3./043./04!【方法总结】（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角ADC 与ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内用定理。5#5#1 1./0/678./0/678【例题 2-1】（2022 春江苏宿迁高一沭阳县修远中学校考期末）在,-.中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且满足2%#=1+;6;0,sin.0，则2456&456$=456&456$894，即cos,=32，又,(0,D)，则,=1 由,9为.,-的角平分线，则$&=$)&)=2,即,-=2,.则.,9=-,9=30 在,.9中，cos.,9=&!()!0&)!2&)=12 即,.2+,92.92=3,.,9 在在,.9中，cos.9,=&)!()!0&!2&)在,-9中，cos-9,=$)!()!0$!2$)=&)!()!0&!&)由-9,+.9,=180，则&)!()!0&!2&)+&)!()!0&!&)=0 化简得到：,92=2,.2 2.92 将代入可得：,9=211,.将代入可得：.9=11,.,所以-.=3,.所以)$&=!/&1&=21 故选：A 【变式 2-1】1（2022 春江苏苏州高一校联考期末）已知,-.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足456456$(456&+#456$#456(%456$=1(1)求角 C；(2)CD 是,.-的角平分线，若.:=11，,-.的面积为23，求 c 的值.【答案】(1).=1； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22(2)(=23 【分析】（1）先由正弦定理得!#(%+#!#!(%#=1，化简整理得%2+2(2=%，再由余弦定理求得cos.，即可求解；（2）先由面积求得%=8，再由角平分线得/$/=#!，结合平面向量得.:33333=!(#.,33333+#!(#.-33333，平方整理求得%+=6，再由（1）中%2+2(2=%即可求出 c 的值.【详解】（1）由正弦定理得!#(%+#!#!(%#=1，即!#(%+#!(%=1，整理得%(%+()+(+()=(%+()(+()，化简得%2+2(2=%，由余弦定理得cos.=!(#!0%!2!#=32，又.(0,D)，则.=1；（2）由面积公式得32%sin.=32%12=23，解得%=8，又 CD 是,.-的角平分线，则A*12A-12=3!&/456453!&$&/45645=&$=/$/，即/$/=#!，则.:33333=.,33333+,:33333=.,33333+#!(#,-33333=.,33333+#!(#G.-33333.,33333H=!(#.,33333+#!(#.-33333，所以.:333332=5!(#.,33333+#!(#.-3333362=!(!(#)!.,333332+2!#(!(#)!.,33333.-33333+#!(!(#)!.-333332，即371=!#!(!(#)!+2!#(!(#)!%32+!#!(!(#)!，整理得371=1!#!(!(#)!，又%=8，解得%+=6，则%2+2=(%+)2 2%=20，由（1）知(2=%2+2%=20 8=12，则(=23.【变式 2-1】2（2022全国高一假期作业）在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且满足cos$(&2=%sin-(1)求 A 的大小；(2)若%=23，-,33333,.33333=12，AD 是ABC 的角平分线，求 AD 的长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23【答案】(1)21；(2)3BB.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角 A；（2）由数量积公式可得(，再由余弦定理求出+(，根据三角形面积公式利用?$&=?$/+?&/建立方程求解即可.【详解】（1）因为cos$(&2=%sin-，sin-sin2=sin,sin-，因为-(0,D)，所以sin-0，所以sin2=2sin2cos2，又,(0,D)，cos2=32，所以2=1，即,=21.（2）由-,33333,.33333=12，得(cos1=12，(=3，又%=23，%2=2+(2 2(cos,=(+()2 2(+(=12，可得+(=12+3=15，?$&=?$/+?&/，32(sin21=32 ,:sin1+32(,:sin1，所以,:=#%456!4/(#(%)4564/=1/!3B/!=3BB.【变式 2-1】3（2022 春江苏苏州高一校考期末）如图，设,-.中的角 A，B，C 所对的边是 a，b，c，,:为-,.的角平分线，已知,-=1，,:33333=1,-33333+3,.33333，$+|$+|&+|&+|=32，点 E，F 分别为边,-，,.上的动点，线段=交,:于点 G，且,33333=的面积【答案】(1)7(2)D12C 【分析】（1）根据$+|$+|&+|&+|=32，可求得,，再根据,:为-,.的角平分线，结合平面向量基本定理可求得，再根据余弦定理即可得出答案；（2）设,33333=N,:33333（0 Q，f，N 1），根据,33333，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）解：由$+|$+|&+|&+|=32，得cos,=32，因为,(0,D)，所以,=1；因为,:为-,.的角平分线，所以$/&=$&=3#，所以-:333333=33(#-.33333，,:33333=,-33333+-:333333=,-33333+33(#-.33333=,-33333+33(#(,.33333,-33333)=#3(#,-33333+33(#,.33333，又,:33333=1,-33333+3,.33333，所以#3(#=1，得=3，因为%2=2+(2 2(cos,=7，所以-.=%=7；（2）解：设,33333=N,:33333（0 Q，f，N 1）， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25 因为,=的面积是,-.面积的一半，所以32|,33333=1F,33333=N,:33333=1N,-33333+3N,.33333333，又=33333=,=33333,33333 33333 33333 33333=H,:33333得,=11H，所以?IJ=?I&=32,.sin30=3211H 3 32=D12C 5#5#2 2./098./098【例题 2-2】（2022 春河南驻马店高一统考期末）设,-.中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AD为,-.的边 BC 上的中线，且=4，(=2，cos-,:=71，则?/&=_ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 26【答案】33(21【分析】先求出sin-,:，然后在,-:和,:.分别利用正弦定理，结合sin,:-=sin,:.可得sin.,:=32sin-,:=17，再求出cos.,:，再利用两角和的正弦公式可求出sin-,.=sin(-,:+.,:)，从而可得?/&=32?$&.【详解】因为cos-,:=71，0 -,:D，所以sin-,:=h1 cos2-,:=h1 7D=11，在,-:中，由正弦定理得$/456$/=$456/$，&!456$/=2456/$，在,:.中，由正弦定理得$/456&/=&456/&，&!456&/=456/&，因为sin,:-=sin,:.，所以两式相除，得sin.,:=32sin-,:=17,因为0 -,.D，所以0 .,:2,所以cos.,:=h1 sin2.,:=h1 117=117，所以sin-,.=sin(-,:+.,:)=sin-,:cos.,:+cos-,:sin.,:=11117+7117=33(27，所以?/&=32?$&=3232 2 4 33(27=33(21，故答案为：33(21【变式 2-2】1（2022 春北京高一清华附中校考期末）,-.中，已知3cos51-6+cos57+-6=0.,.边上的中线为-:.(1)求-；(2)从以下三个条件中选择两个，使,-.存在且唯一确定，并求,.和-:的长度 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27 条件：%2 2+(2 3(=0；条件%=6；条件?$&=153.【答案】(1)-=21(2)选择条件和条件；,.=14,-:=19.【分析】（1）利用三角恒等变换对已知等式进行化简，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用余弦定理可判断条件错误；根据条件和条件，利用三角形面积公式可得(=10，利用余弦定理可得=14，在,-.中，利用正弦定理可得sin,=113，进而得到cos,=313，在,-:中利用余弦定理可得-:=19.【详解】（1）解：因为3cos51-6+cos57+-6=0，则35cos1cos-+sin1sin-6+5cos7cos-sin7sin-6=0，3532cos-+12sin-6+512cos-32sin-6=3cos-+sin-=2sin5-+16=0，又0 -D，解得：-+1=D，故-=21.（2）解：由（1）得,-.=21，又余弦定理得：cos,-.=!(%!0#!2!%=32，所以%2+(2 2=%(，而条件中%2 2+(2 3(=0，所以%=3，显然不符合题意，即条件错误，由条件%=6，条件?$&=32%(sin,-.=153，解得(=10，由余弦定理可得2=%2+(2 2%(cos,-.=36+100+60=196，所以=14.在,-.中，由正弦定理可得!456=#456$&，解得sin,=113，又0 ,%,-=1或21D，所以三角形有两解，与已知不相符，所以舍去；如果选择条件：由题得32 23 (32=3,(=2.由余弦定理得%=h12+4 2 23 2 12=2，所以,-.=120,所以 BC 边上的中线,:=h4+1 2 2 1 (32)=7.所以 BC 边上的中线长为7.如果选择条件：由题得%2=12+(2 43(12=(2 6(+12 （1），由%+(=6 23 （2）,解（1）（2）得(=6,%=23 0.所以该三角形无解，与已知不相符.【变式 2-2】5（多选）（2022 春湖北襄阳高一襄阳五中校考阶段练习）,-.中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，%=2，BC 边上的中线,:=2，则下列说法正确的有：（）A,-33333,.33333=3 B2+(2=10 C1B cos,1 DBAD 的最大值为 60【答案】ABC 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 32【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.【详解】,-33333,.33333=G,:33333+:-333333H G,:33333:-333333H=,:333332:-3333332=4 1=3A 正确；cos,:.=cos,:-，2+(2=,:2+:.2 2,:.cos,:.+,:2+:-2 2,:-cos,:-=2,:2+:-2+:.2=2 22+1+1=10，故 B 正确；由余弦定理及基本不等式