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声学基础课后习题详解习 题 11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f,质量为i n,求它的弹性系数。解：由公式f o 12 K m 得：M mK m (2 f)2 m1-2 设 有-质 量 M m 用长为1的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：(1)当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2)当外力去掉后，质 点 M m 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？(答：f O 12 g,g为重力加速度)1图 习 题 1-2解：(1)如右图所示，对 M m 作受力分析：它受重力M m g,方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T,这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则 s i n受力分析可得：F M m g s i n M m g 11(2)外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位d2移的方向相反。由牛顿定律可知：F M m 2 d td 2 d 2 g 则 M m 2 M m g 即 2 0,d t l d t l 0 2 g 即f O 1这就是小球产生的振动频率。1-3有一长为1 的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x 0 处，挂着一质量M m,如图所示，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置时，它力由何产生？并应怎样表示？(2)当外力去掉后，质量M m 在此恢复力的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对M m 进行受力分析，见右图，F x T 1 x 0(1 x 0)2 2 所受到的恢复平衡的图习题1-3作用下产生振动，它T x O x 20 2 02 2 2 x O,(1 x 0)2 2 (1 x 0)2。(x O ,x O)F y T(1 x O)2 2 T x 20 2T1 x O T x OT 1 x O(l x O)T l x O(l x O)可见质量M m 受力可等效为一个质点振动系统，质 量 M M m,弹性系数k(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F T 1 ，方向为竖直向下。x 0(l x O)(2)振动频率为 K M T 1 x 0(l x O)M m1时.，系统的振动频率最低。2 (3)对 分析可得，当 x O1-4设有一长为1的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x O 位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定M离 平 衡 位 置 0的振动 位移很小，满足 0条件。图 习 题 1 42Tcos Mg 4 0 0 M g 解：如右图所示，受力分析可得cos 1 1 2又 0,T T,可得振动方程为 2T 02d2 M2 dtd2 4T4T 0 即 M2dtll1-5有一质点振动系统，已知其初位移为能量。解：设振动位移 acos(0t0,初速度为零，试求其振动位移、速度和),速度表达式为v 0 asin(0t)。由于 t 0 0,vt 0 0,代入上面两式计算可得:Ocos 0t；v 0 Osin 0t 振动能量 E 11222Mmva Mm 0 a。221-6有一质点振动系统，已 知 其 初 位 移 为 0,初速度为v 0,试求其振动位移、速度、和能量。解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为K m,质量为M m,取正方向沿x 轴，位 移 为。d 2 K m 2 2 0,则质点自由振动方程为(其中,)O O d t 2 M m 解得a c o s(0 t 0),d0 a s i n(O t 0 )0 a c o s(O t 0 )d t 2a c o s 当 O a Ot 0 0,v t 0 v O 时，v O0 a c o s (0 2)a r c t a n v O00 0质点振动位移为O t a r c t a nv O)J*;+40 0质点振动速度为V v OO t a r c t a n)0 0 2质点振动的能量为E1 2 M v 2 1 2 2 2 m a 2M m(0 0 v O)1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、s i n t 1 2s i n 2 t,试问：(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大？解：s i n t 12s i n 2 t,dd tc o s t c o s 2 td 2d t22 s i n t 2 2 s i n 2 to 令d d t 0,得：t 2 k3或t 2 k ,经检验后得：t 2 k 3时，位移最大。令 d 2 d tt k 或 t 2 k a r c c o s （1 2 0,得：4）,经检验后得：t2 k时，速度最大。1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示l c o s(t 1)2 c o s(t 2)试证明 a c o s (t )其中a 2 2 1 2 2 1 2 c o s (I s i n 1 2 s i n 22 1),I c o s l 2 c o s 2证明：l c o s(t 1)2 c o s(t 2)3/近方+片不同振幅振动的叠加I c o s t c o s i1co st(Isitn2s in 1 2tcsine olsco2B(Isin 1s2sin)t sin 1 2)os2(lsin2cost s；)设Ain sin2lcos 12cos 2,B则Acost.lA2+B1Bsin t t)(其中arctan()A又A2B212cos2 122cos22 212coslcos 22212sin122sin2 212sinl s i2nB令1212Isin22221IA2+B2a则1-922112sin2(cos2cos(2又lcos 22 1)arcta+2&c o s 3 -w)acos(t)sinIsin 2)a)ret)A lcos 1 2co假设一质点振动系统的位移由下式表示Icoswlt2cosw2t(w2 wl)试证明acos(wita 1 2 2 1),其中2cos(wt),22 2sin(wt),w wl w2.1 2cos(wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知,a12 22 2 1 2cos(w2t wit)12 2 1 2cos(wt)22其中，w w2 wlo由三角形面积知，11 1 2sin wt 1 asin 22得 sin 2sin wt a得 tg 2sin wta 2sin wt2sin wt(1 2cos wt)22222sin wt 1 2cos wt故即可证。2sin wt 1 2cos wt1-10有一质点振动系统，其固有频率fO 为已知，而质量M m 与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm 上附加一已知质量m,并测得由此而引起的弹簧伸长己1,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证 由 胡 克 定 理 得 mg=Km&1 Km=mg/1 由质点振动系统固有频率的表达式fO 12 KmKmmg 得，Mm.2222Mm4 f04 fO 1纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km 都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率fO为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量M m 上附加一质量m,并测得由此而引起的系统固有频率变为f O ,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解：由 fO 12 Km 得 Km(2 f0)2Mm MmKm 得 Km(2 fO)2(Mm m,)Mm mmfOf02 由 fO 12 联立两式，求得 Mm 4 2mf0f0,Km 222 fO fO fO 2221-12设有如图2-3和 图 1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图 1-2-3图 l-2-4KlmK2mKlmK2md2解：串接时，动力学方程为M m,等效弹性系数为。K 02Klm K2mKlm K2mdtd 2 并接时，动力学方程为Mm2(Kim K2m)0,等效弹性系数为K Kim K2mdt1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0100mm可 称 01kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg,然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s,试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为M,地球表面的重力加速度为g 9.8s2,月球表面的重力加速度为g由虎克定律知FM Kx,又 FM M g 则 K Mgl g10g x0.1T又 2 0 2 1 0 g l 0 9.8 2.5 k g 1 则 M 2 2 4 4 x l 则 x 0.0 4 m x 0.4K x 4 2 0.0 4 1.5 8 m s 2 M g K x 则 g M故月球表面的重力加速度约为1.5 8 s 2,而该岩石的实际质量约为2.5 k go1-1 4 试求证a c o s t a c o s(t )a c o s (t 2 )a c o s (t (n 1)sinnt (n 1)证 a e j t a e j(ta e j(a e j(n 1)a e j t(l e j )a e j t l e j n j t l c o s n j s i n n a e l c o s j s i n 1 e jn n n n j s i n n s i n s i n j c o s a e j t2 s i n 2 j s i n s i n s i n j c o s 2 2 2 2n j(n)n n s i n s i n s i n n I n 1 2 2 j j(t )e j t e 2 a e 2a e 2 s i n 2s i n a e j t a e j t 2 e 1 j ()2 2 s i n 2 s i n 2 同时取上式的实部，结论即可得证。1-1 5 有-弹簧K m 在它上面加一重物M m,构成一振动系统，其固有频率为f 0,(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接?(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率f 0 不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？解：固有频率f。12 K m。M m(1)f 0 f O K K m m,故应该另外串接三根相同的弹簧；2 4M M m m (2)2 K m 2 K m,故应该另外并接一根相同的弹簧。f 0 f 01-1 6 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为M m,弹性系数为K m。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为f O -17原先有一个0.5 k g 的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2 k g 的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了 0.0 4 m,当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5 k g 质量的振幅在1 s 内减少到初始值的1/e 倍，试计算：（1）这一系统的力学参数K m,R m,f O ；（2）当 0.2 kg 的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1s 后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，K m=m g/e所以 K m=0.2 X 9.8/0.04=49N/me 1/e 1故 R m R m I N s/m 2 M m w O w O 2 f O（2）系统所具有的能量E（3）平均能量 E 12 49 1 1.57H z 0.511K m 2 49 0.042 0.0392 J2 2 12 K m Oe 2 t 5.31 10 3J 21-18 试求当力学品质因素Q m 0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻 0,v v 0,试讨论解的结果。解：系统的振动方程为：d 2 d M m 2 R m K m 0 d t d t进一步可转化为，设 R m,2 M md 2 d 22 0 2 d t d t设:e i t于是方程可化为:2(2 2 jO)e j t 0 2)解得：j(2 0e方程一般解可写成：2(2 0)te (Ae存在初始条件：代入方程计算得：At t 0 t 2 2 Ot Be 2 2 Ot)0,v t 0 v Ov 02 2 2 0v 02 2 2 0,B 解的结果为：e其中A v O2 2 20(Ae 2 2 Ot Be。22 Ot),B v 02 2 21-19有-质点振动系统，其固有频率为f l,如果已知外力的频率为f 2,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为已知f 0 50H z,f 300H z2 4 2 f 02 (50)2 K M 01)M M)=2 则(2 2 2 M M 4 f (300)2 36K M ,质量抗为 M M K M 11-2 0有一质量为0.4kg 的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m 的弹簧上，试问：(1)这系统的固有频率为多少？(2)如果系统中引入5kg/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大?(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？解：(1)考虑弹簧的质量，f O 12 K m l M m M s/32 150 2.76I I z.0.4 0.3/3(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量M m 为M m+M s /3.R m2 M m 5 5,f 12 2 1002 0.52 2 0M m l 50 52 2.64U z.0.4 0.3/3(3)品质因素 Q m R m 16.58 0.5 1.66,512 Q m 2 位移共振频率：f r f O 2.39H z.(4)速度共振频率：f r f O 2.6 4 H z,加速度共振频率：f r Q m f O 12 Q m 2 2.92 H z.1-2 1有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于2 。Q m解：系统每个周期损耗的能量FT 12 R m v a T 212 R m v a T R m,El f M m 2 M m v a 2发生速度共振时，f f O。R m 2 2 。M Ef OM m Q m OmR m1-2 2 试证明：(1)质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f O；(2)假 定 f l 与 f 2 为在f O两侧，其平均损耗功率比f O下降一半时所对应的两个频率，则有Q m f O.f 2 f l证明：(1)平均损耗功率为1T 12R W R d t R m v a (R m 为力阻，v a 为速度振幅)T 02质点强迫振动时的速度振幅为vaf)OfO(Fa为外力振幅，0为固有频率，Mm为质量，Qm为力学品质因素，频率比z当z=l即f fO时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。12(2)WR Rmva2WRmax2Fa2Qmll2Rmvamax=Rm2222 OMm22Fa2QmFa2Qmllll22WR二WRmax 则 Rmva=(Rm22)即 2va=22(l)2222 OMm OMm因例小加+(5-1)2 把va2,则 z2(z2 l)2Q m(2)带 入 式(1)由 式(2)得z(z2 l)Q m解 得 z21 4Q m2Q m21 4Q m取 zl21 4Q m2Q m21 4Q mz(z l)Q m 解得 z则 z2 zl22Q m取 z22Q mfff fll 即 2 1 21 Q mfOfOfOQ mfOf2 flQ m1-2 3有一质量为0.4 kg 的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m 的弹簧上，设系统的力阻为2 N s/m,作用在重物上的外力为FF 5cos 8 t N0(1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；(2)假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5 N,那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？d 2 dK m F F,得 解：(1)由强迫振动方程M m 2 R md t d td 2 d0.42 2 160 5cos 8 t d t d tXXX则 位 移 振 幅 a Fa(K m w M m)w R m 2 2 2 2 0.0369m速度振幅v a w a 0.2 96m/s加速度振幅a a w 2 a 2.364m/s 2 12 平均损耗功率P R m v a 0.08 76(w)2(2)速度共振时f r f 0则位移振幅 a 12 K m R (m)2 3.158 H z R m 2 M m Fa(K m w M m)w R m 2 2 2 2 0.12 6m速度振幅v a w a 2.495m/s加速度振幅a a w 2 a 49.6m/s 2 1 2平均损耗功率P R m v a 6.2 2 5(w)2v 0 1 2 4试求出图1-4-1所示单振子系统，在t 0,初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论 0与当 0时解的结果。解：对于强迫振动，解的形式为:t )0et cos(0t0)a cos(0两种情形下,其 中a Fa02 Z m初始条件:0,v 0,代入得:Ocosa cosOcosOs i na s i n000 000解得:0a 2 2 2,2 2 (cos)(s i n)2coss i n(cos )0,0Ocos2 2 2 2 202 0G 2 (cos(cos )2 (s i n(s i n)222coscoss i ns i n0得:(cos ),2 (cos )2 令at Ge cos (t0)a cost)o 0f2 0X m002 R m 2 当0 时，R m 0,0 02,0a,(Ota cos2)a cos (t )a(s i n Ot cost)o当0时,a,达到位移共振。11-2 5有一单振子系统，设在其质量块上受到外力Ff s i n2 O t的作用，试求其稳态振动的位移振2幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为d 2 d 1 1 l M m 2 R m K m FF(t)s i n 2(O t)co s O t d t d t 2 2 2d 2 d 1 贝ij M m 2 R m K(1)m d t d t 2d 2 d l M m 2 R m K mco s O t (2)d t d t 2由 式(1)得 1 2 K mjI K m )0 令 Fe j t 代 入 式(2)得 F 0 R m j (O M m12 0 R m (O M m 则 FK m )2 0 1 2=1 2 O R mA 1 1 2 K m 2 O R m1-2 6试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.K I,R 1MFa e j wt K 2,R 2解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：(R R)(K K)Fe j wt M 1 2 1 2 a该方程式稳态解的一般形式为 a e j wt,将其代入上式可得：a Faj w(R l R 2)j(M K I K 2|a|e)j(0)2其中|a|Fa M K I K 2(R I R 2)2 M K I K 2 2,0 R I R 2.故质量块的稳态位移表示式可以写为：a|co s(wt2 0).1-2 7 设有如图所示的耦合振动系统，有 外 力 Fl Fa e j t 作用于质量M l 上。M l 的振动通过耦合弹簧K 1 2 引起M 2 也随之振动，设 阳 和 M 2 的振动位移与振动速度分别图1-4-1 为1,v l 与2,v l 试分别写出M l 和 M 2 的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时v l 其中 Z 2 Z 1 2 Z 1 2 F1 与 v 2 Fl o Z 1 Z 2 (Z 1 Z 2)Z 1 2 Z 1 Z 2 (Z 1 Z 2)Z 1 2Z 1 j(M l K IK 2)R I,Z 2 j (M 2 )R 2,Z 1 2 j K 1 2图 习 题 1-2 7解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程:d 2 I d l d 2 2 d 2 M 1 2 R I K I 1 K 1 2(11)0 2 2 d t d t d t d t2)F1 M 2 R K 2 2 K 1 2(2设:1 A e j t,2 B e j tv l V l e j t,v 2 V 2 e j t于是方程可化为:A(M l 2 j R I K I K 1 2)B K 1 2 FaB(M 2 2 j R 2 K 2 K 1 2)A K 1 2 0设:Z1 j(Ml KI)RI,Z2 j(M2 K2)R2,Z12 jK12对上面的两个方程整理并求解可得vl Z2 Z12F1 Z1Z2(Z1 Z2)Z12Z12F1 Z1Z2(Z1 Z2)Z12v21-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：Fa Apa,其中A 为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为Fa Apa,其中A,pa 为常数，则 Fa随 变化。电动换能方式传声器，其开路电压输出为E Blv,要 使 E 均匀恒定，则要v 恒定系统处在质量控制区时va FaAP aMmMm,此时va与频率 无关，故在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：传声器开路输出电压E 与振膜位移有如下关系：EE0D只有在力阻控制区,Fa A p aR m R m即在此控制区，输出电压E 与频率 无关。传声器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为S 0 的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为R r O CO S O （参 见 5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为1 1 2 2R r v a=O CO S O v a 2 22其 中 0,CO,S O 均为常数，要使均匀，则 v a 应不受的影响。故振动系统应工作在力阻控制区，此 时 v aFa（其 中 F a 为频率恒定的外力，R m 也恒定）。R m1-31 有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面M m 由弹簧K m 支撑着，范围内，在音圈上施加对频率恒定的电产生均匀的加速度，试问其振动系统应制状态？为什么？解：音圈通以1电流时，在磁场下F B 1 L,由 F M m a 可见，只有在质量控制区a图习题1-31现欲在较宽的频率流时，能使台面Mm工作在何种振动控产生电动力Fa时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。M m已知台面的质量Mm=l.5 两只相同的弹簧串联而产生的位移3 cm,试求该位移振幅为1初、频率为1-3 2 有一试验装置的隔振台，如图所示，X 103 k g,台面由四组相同的弹簧支撑，每组由成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600 kg时，隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？解：每只弹簧的劲度系数K=600X每组弹簧的总劲度Kl=K/2四组弹簧并联后的劲度K2=4 Kl=2 K =3.92X105 N/m9.8/0.03=1.96*105犷1 11则固有频率110 12 K2 2.57Hz MK()0,将 ejwt,ejw t代入得，由振动方程M m mOaOaK a a 0.0168 m m 2K w M 1-3 3 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0=F10ej 3 t 作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F 与 F0的振幅比.解：对质量块进行受力分析,可得质量块M m 的振动方程为:jwt R Mm m Km FlOe其稳态解的一般形式为 acos(t).F10 IZmlFlO 其中 aRm2K Mm m 2,Mm RmKm.弹簧传递给基础的作用力为F Km Km acos(t),则 Fa a Km.由此传递给基础的力F 与 F O 的振幅比DF Fa FlOKm Rm2 Mm Km 2.1-34有一振动物体产生频率为f,加速度振幅为alO的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为f O,力学品质因素为Q m,音圈导线总长为1,磁隙中的磁通量密度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？解：动圈式加速度计测量由 Q m OMmR m 得Rm OMmQ m由 fO 得 Km 4 2f02Mm 则 Ea BlMmalO=BlalOZmMmKm2 2R(M)mm 12=BlalOMm2 2 Km22R M 2KM mmm m12=B l a l O4 2 f0 2 1 6 4 f0 4 2 2 2 Q 2 8 fO 2m 1 21-3 5 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成F F F a(l h s i n l t)s i n t,其 中 h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。解：外力表达式为 F F F a(l h s i n I t)s i n t F a c os(t用指数形式表示外力为F F F a e 2 )l F a h c os(1 )t c os(1 )t 2 j(t )2 HF a h e j(l)t F a h e j (l)t 2 2振子进行强迫振动，由 式(1-5-1 4)得，振子系统的位移为l h F a F ac os(t 1)c os (l)t 0 3 Z 1 2(1)Z 3 2I h F a c os (D t 0 2 (1)Z 2 2其中：1 M mR m K m；K m(1)M mK m(l)M m1；2 R m1；3 R m2 Z 1 R m (M m K m )2；2 Z 2 R m (l)M m K m 2 ；1K m 2 o 12 t)2 Z 3 R m (l)M m 1-3 6 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上,此力可表示为F F F a(lk T t (1 k)T,k 0,1,2,)试求振动系统的位移。解：质点的振动方程为M d2 dm dt 2 R m dt K F(t)F 2 tm F a(l T)又 F F(t)A O A n c os n t B n s i n n t,(2 nT)n 1其 中 A O I TT O F F(t)d t 0A 2T Tn O F F(t)c os n t dt 0B 2 T 2 F n T O F F(t)s i n n t dt an式(2)也可表示为 F F(t)F n c os(n t n)(3)n 0其中抚+8；F n 2 F an ,a r c t 2n F an把 式(3)表示成为复数形式F F(t)F tn e j (n n)n 0则 式(1)可 写 成 M d2 d(tm n)2 R m K j ndt dt m F n e (4)n 0设 F nn,代 入 式(4)可得n 0 n n n Z e j (n t nO n O j n其中 Z n R n j X K mn R m j(n M m n )取 的 实 部 得 F n c os(n t nn n )n O n Z n 2=2 F a c os(n t nn 0 n 2 Z n n )n 2式中优+(n(Mm-%V neoZn Tl)2)()X n arctn RmKn Mm mar Rm1-37设有如下形式的外力Fa,FF Fa,1 kT t k T2 l(k)T t(k 1)T 2(k 0,1,2,)作用于单振子的质量匕 试求振动系统位移.解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得FF(t)Fncos(n t n)n 0其中 Fn An Bn,n 22Bn.AnlTFF(t)dt 0,0T2TAn FF(t)cosnwtdt 0,TOAO4Fa2Fa2T Bn FF(t)sinnwtdt 1(l)n n TOn 0由此Fn Bn,nFl 4n为奇数n 为 偶 数.2(n为奇数)，即Fa,F3 444Fa,F5 Fa,Fn Fa；3 5 n 12,32a,52,n2(n为奇数).由（1-5-14）得质点振动系统得位移F n c os(n w t n n )2 n O n Z n 4 F a 4 F a 4 F c os(w t 1 )c os (3 w t 3 )2 a c os(n w t n )(n 为奇数)Z 1 9 Z 3 n Z n 习题22-1 有一质量为m,长 为 1的细弦以F的张力张紧，试问:(1)当弦作自由振动时其基频为多少？(2)设弦中点位置基频的位移振幅是B,求基频振动的总能量。(3)距细弦一端1 4 处的速度振幅为多少？解：(1)简正频率fn m n T,且线密度1 2 1 基频 fl l T I T o 2 1 2 m l2 1 6 T 0 1 6 T B 2(2)基频振动的总能量E l o 1 2 1 2(3)弦 的 位 移 的 总 和 形 式(t,x)B n s i n k n x c os(n t n)n 1(t,x)(B n n s i n k n x)s i n(n t n)速度表达式为 v(t,x)t n 1距一端0.2 5 m 处的速度振幅V a x 14 B n 2 n 1 n T n l s i n()2 1 1 4n B nn 1 T n s i m l 4n T n 3 1 s i )2 1 1 4 V a x 3 14 B n 2 n 1n B nn 1 T 3 n s i n m l 42-2 长 为 1 的弦两端固定，在距一端为x 0 处 拉 开 弦 以 产 生。的静位移，然后释放。(1)求解弦的振动位移;(2)以 xO 1 为例，比较前三个振动方式的能量。解：弦的振动位移形式为：(t,x)sinknx(Cncos nt Dnsin nt)n 1其中 kn n n c,n,Cn Bncos n,Dn Bnsin n 11 Ox x(1)由初始条件可得：(t 0)0 0(1 x)1 xOv(t 0)()t 0 0 t(0 x 1)(0 x xO)(xO x 1)21 C(x)sinknxdx nl 00又 21Vo(x)sinknxdx Dn 0 1 n1 02 0122 xO On xsinknxdx(1 x)sinknxdx 22sinx0 则Cn xOl xl OxOln x(l x)000Dn 0贝 U sin n 0Bn Cn2 0122 n 2 xn c(t,x)Cnsinxcos(nt n)22sinx0sincostlllln In In xO(1 xO)n nn2 2c2 2n2 2T2Bn Bn(2)En 41411 当 xO 1 时，Bn Cn 32 0129 n In sin 202sin 11133n n2 2(1)332T 0 2T9 0 2243(2sin)则 El 241 316 12243T 0E2 64 21E3 02-3 长 为 1 的弦两端固定，在初始时刻以速度vO敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。解：弦的振动位移表达式为(t,x)sinknx(Cncos nt Dnsin nt)n 1可得速度表达式为(t,x)v(t,x)sink nx(nCnsin nt nDnc os nt)tn 1 由题可得初始条件:2 v0tO O；lx,0 x tt 0 2 2 v2 v 10 0lx,2 x 1通过傅立叶变换可得：Cn 0；Dn 4 v0k l3 3(sink l 2 sink l)on2位移表达式为(t,x)Dnsink nx sin nt n 1其 中D4 v0n k l3 3(sink l 2 sink ln2)o2-4长 为1的弦两端固定，在初始时刻以速度v 0敲击弦的中心，试证明外力传给能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。(t 0)0解：初始条件 x 12t v00弦的总位移为(t,x)sink nx (Cnc os nt Dnsin nt),n 1其中 Cn Bnc os n,Dn Bns in n,(n n cn 1,k n nc)又 D2n 1 n 1 (x)sink 2 v0 1 0 v0 nx d x=21 n 1 0 v0 sink nx d x =n2 2 c (1 c osn)Cn 0当 n 为偶数时，D2 D4 D6 0当 n 为奇数时，D4 vO 1 1 4 vO H1 2 c,D3 9 2 c,D4 v0 15 2 5 2 c,故 Bn Dn,n 0又弦振动时的总能量为E ET 2 2 2 4 T v20 1 1 1n(nn Bn)=2 2(1 )n In 1 4 1 c 9 2 5 2 2=4 T v0 1 2 T v2O lT vO l 1 22 c 2(8)=2 c 2=2 T=2 v0(l)弦的初动 1 2 T =m v0=Ek 0 (c 2 )21 2 外力传给弦的初始动能为Ek O=m vO 22-5 设有一-根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离1 处，施加一垂直于弦的力F F a e j t,试求在x 1 力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：1 2 和 T 1 T 2 F。x x2-6 有长为1,线密度为 的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M,已知弦所受的张力T,如图所示。试求(1)该弦作自由振动时的频率方程；(2)假设此重物M 比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。图 2 6解：(1)由题意可知其初始条件和边界 x 0 0 条件为2 T x 1 M x t2 x 1弦的振动位移为(t,x)(Ac uux Bssix)c nuto)s(其中(u n 2 n f n)c cu 当 x 0 0 时，得 A 0 则(t,x)Bsinx c os(ut)cu Busix sinut()tcu 2 ()2 Bu2 six c osutc tuu Bc ox c osut()x c cuuu 带入边界条件可得：T Bc oslc os(ut)MBu2 sinlc os(ut)c c cuT 即 ta i c Mc uuuT uT l 1 MS 1 Ita ni 2 c c Mc uc MMMc(其中c 弦的质量为M s,线 密 度 为)M u 令 r 1,S,则 rta nr，这就是弦作自由振动时的频率方程。c M3 42 (2)当时 1,故可近似为 ta n则 rta nr 可简化为3 32 4 3 .求解这一代数方程，可得近似关系为 2 1.3 1 1 x x 2 x 3(x 2 1)且 2为常数，试求它们的合成声场的平均能量密度.解：由题意可知，这两列声波是不相关的，由(4 T 2 T 1)可知合成声场的平均能量密度为 1 2 p l a p 2 a2 0 c 0 2 2 2.4-2 5 试计算入射声波与反射声波振幅相等的平均驻波声场中的平均能量密度。解：入射声波与反射声波频率相同，设入射声波为p i p a e j (t k x),反射声波为p i p a e j (t k x),合成的声场为 p p i p r 2 p a c o s k x e j t o2 (2 p a c o s k x)2 2