数值分析10-44高斯型求积公式.ppt
4.4 高斯型求积公式在Newton-Cotes 求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。华长生制作 2例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。解 按代数精度的概念，分别令 时上式左边与右边分别相等，有由第二式和第四式可得，结合第一式和第三式得 取 得于是得到求积公式华长生制作 3它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。一般地，考虑带权求积公式其中 为2n+2 个待定参数，适当选择这些参数，有可能使求积公式具有2n+1 次代数精度。华长生制作 4定义 如果上述求积公式具有2n+1 次代数精度，则称该公式高斯型求积公式，称 其节点为高斯点，系数 称为高斯系数。如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1 个Gauss 点和n+1 个求积系数，则要联立2n+2 个非线性方程组。方程组是可解的，但当n 稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss 点的特性着手研究Gauss 公式的构造问题。华长生制作 5由插值余项知插值型求积公式的代数精度不可能低于n，另一方面，若取 则有截断误差说明插值型求积公式的代数精度不可能达到2n+2,高斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式。华长生制作 6定理 1 对于插值求值公式其节点 是Gauss 点的充分必要条件是多项式 与任意不超过n 次多项式 P(x)带权正交,即 华长生制作 7证.先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n 的多项式,则 的次数不超过 2n+1。因此,如果 是Gauss 点，则求积公式对于 是准确成立的，即有但 故结论成立。再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1 的多项式，用 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n 的多项式，于是有由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即华长生制作 8注意到 知，从而有由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立。因此，是Gauss 点，定理得证。华长生制作 9由于n+1 次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1 次正交多项式恰好有n+1 各互异的实的单根，我们有下面的推论。推论 n+1 次正交多项式的零点是n+1 点Gauss 公式的Gauss 点。利用正交多项式得出Guass 点后，利用插值原理可得Gauss 公式的求积系数为其中 是关于Gauss 点的Lagrange 插值基函数。华长生制作 10定理2 高斯型求积公式总是稳定的。证明 只需证明高斯系数全为正即可。由于插值公式对次数不超过2n+1 的多项式精确成立，若取 是n次拉格朗日插值基函数，有 即高斯系数全为正，从而算法是稳定的。华长生制作 11定理3 设,则高斯型求积公式是收敛的。定理4 设，则高斯型求积公式的截断误差为华长生制作 124.4.2 高斯-勒让德求积公式在区间-1，1 上取权函数，取正交多项式为Legendre 多项式以n+1 次Legendre 多项式的零点 为Gauss 点的求积公式为 称之为Gauss-Legendre 求积公式。其中由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同的高斯型求积公式。华长生制作 13高斯-勒让德求积公式的余项为华长生制作 14当n=0 时，一次Legendre 多项式x 的零点为0，为2；当n=1 时，二次Legendre 多项式零点为,为1（k=0,1);当n=2 时，三次Legendre 多项式零点为，以此为Gauss 点，可构造出具有五次代数精度的3 点Gauss-Legendre 求积公式华长生制作 15kAGuass-Legendre 求积公式中的Gauss 点和求积系数见书上表4-4。对于一般区间a，b 上的求积，如果用Gauss-Legendre 求积公式，那么必须作变量替换使 时，并有 对于上式右边的积分可以应用Guss-Legendre 求积公式。1,1-t b a x,华长生制作 16例 用Gauss-Legendre 求积公式(n=1,2)计算积分解 由于区间为0,1,所以先作变量替换x=(1+t)/2,得对于n=2,由三点Gauss-Legendre 公式有令 对于n=1,由两点Gauss-Legendre 公式有此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1 时的误差为0.0063340054,n=2 时的误差为0.000030049。华长生制作 172.高斯-切比雪夫求积公式 在区间-1,1 上取权函数 的正交多项式是Chebyshev 正交多项式。n+1 次Chebyshev 多项式 的零点为 以此为Gauss 点,利用Chebyshev 多项式的性质可得相应的求积系数 为其中 是关于Gauss 点的Lagrange 插值基函数.从而有Gauss-Chebyshev 求积公式如下华长生制作 18对于n=1,二次Chebyshev 多项式为，二点Gauss-Chebyshev 求积公式为对于n=2,三次Chebyshev 多项式为，三点Gauss-Chebyshev 求积公式为华长生制作 19例 计算积分解 选用n=2 的Gauss-Chebyshev 求积公式计算,这时 于是有华长生制作 203.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间a,b 换成区间0，权函数取为，取节点为n+1 次拉盖尔多项式的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔求积公式，其表示式为华长生制作 21其中截断误差为书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的节点和系数。华长生制作 224.高斯-埃尔米特求积公式 高斯-埃尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式其中节点 为 上带权正交的n+1 次埃尔米特多项式的零点，华长生制作 23系数截断误差书上表4.7给出了部分高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数。华长生制作 24
