九年级尖子生题库.pdf

九 年 级 尖 子 生 题 库 1.已 知:如 图,抛 物 线 y=-x?+bx+c与 x 轴、y 轴 分 别 相 交 于 点 A(-1,0)、B(0,3)两 点，其 顶 点 为 D.(1)求 该 抛 物 线 的 解 析 式；(2)若 该 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 E.求 四 边 形 ABDE的 面 积；(3)A A O B与 4 B D E是 否 相 似？如 果 相 似，请 予 以 证 明；如 果 不 相 似，请 说 明 理 由.C,2(注：抛 物 线 y=ax2+bx+c(a#0)的 顶 点 坐 标 为-9)、2a 4a,2.已 知 直 角 梯 形 纸 片 O A B C在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 所 示，四 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 0(0,0),A(10,0),B(8,2 7 3),C(0,2 J J),点 T 在 线 段 O A上(不 与 线 段 端 点 重 合)，将 纸 片 折 叠，使 点 A 落 在 射 线 A B上(记 为 点 A),折 痕 经 过 点 T,折 痕 TP与 射 线 A B交 于 点 P,设 点 T 的 横 坐 标 为 3 折 叠 后 纸 片 重 叠 部 分(图 中 的 阴 影 部 分)的 面 积 为 S；(1)求/O A B 的 度 数，并 求 当 点 A 在 线 段 A B上 时，S关 于 t 的 函 数 关 系 式；(2)当 纸 片 重 叠 部 分 的 图 形 是 四 边 形 时，求 t 的 取 值 范 围;（3）S存 在 最 大 值 吗？若 存 在，求 出 这 个 最 大 值，并 求 此 时 t的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.3.（08 浙 江 温 州）如 图，在 中，NA=90,AB=6,AC=8,D,E 分 别 是 边 AB,AC的 中 点，点 尸 从 点。出 发 沿 方 向 运 动，过 点 P 作 PQ J.8C 于。，过 点 Q作 QA 氏 4交 AC于 R，当 点。与 点 C 重 合 时，点 P 停 止 运 动.设 BQ=x,QR=y.（1）求 点。到 B C的 距 离 D H 的 长；（2）求 y 关 于 x的 函 数 关 系 式（不 要 求 写 出 自 变 量 的 取 值 范 围）；（3）是 否 存 在 点 尸，使 PQR为 等 腰 三 角 形？若 存 在，请 求 出 所 有 满 足 要 求 的 x 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.A4.在 ABC中，NA=90。，AB=4,AC=3,M 是 A 5 上 的 动 点(不 与 A,3 重 合)，过 M点 作 MN BC交 A C于 点 N.以 M N 为 直 径 作。，并 在。内 作 内 接 矩 形 A M P M 令 AMx.(1)用 含 X 的 代 数 式 表 示 M V P 的 面 积 S；(2)当 x 为 何 值 时，。与 直 线 8c 相 切？(3)在 动 点 M 的 运 动 过 程 中，记 的 P 与 梯 形 BCNM 重 合 的 面 积 为)，试 求 y 关 于 x的 函 数 表 达 式，并 求 x 为 何 值 时，y 的 值 最 大，最 大 值 是 多 少？5、如 图 1,已 知 双 曲 线 y=&(k0)与 直 线 y=k x交 于 A,B两 点，点 A在 第 一 象 限.试 x解 答 下 列 问 题：(1)若 点 A的 坐 标 为(4,2).则 点 B的 坐 标 为；若 点 A的 横 坐 标 为 m,则 点 B的 坐 标 可 表 示 为；k(2)如 图 2,过 原 点 0作 另 一 条 直 线 1,交 双 曲 线 y=-(k0)于 P,Q两 点，点 P在 第 一 x象 限.说 明 四 边 形 APBQ一 定 是 平 行 四 边 形；设 点 A.P的 横 坐 标 分 别 为 m,n,四 边 形 APBQ可 能 是 矩 形 吗？可 能 是 正 方 形 吗？若 可 能，直 接 写 出 mn应 满 足 的 条 件；若 不 可 能，请 说 明 理 由.6.如 图 1,在 平 面 直 角 坐 标 系 中，己 知 AAOB是 等 边 三 角 形，点 A的 坐 标 是（0,4）,点 B在 第 一 象 限，点 P是 x轴 上 的 一 个 动 点，连 结 A P,并 把 AA0P绕 着 点 A按 逆 时 针 方 向 旋 转.使 边 A0与 AB重 合.得 到 AABD.（1）求 直 线 AB的 解 析 式；（2）当 点 P运 动 到 点（石，0）时，求 此 时 DP的 长 及 点 D的 坐 标；（3）是 否 存 在 点 P,使 aOPD的 面 积 V3等 于 若 存 在，请 求 出 符 合 条 件 的 点 P的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.47.如 图 1,四 边 形 A8C。是 正 方 形，G 是 CO边 上 的 一 个 动 点（点 G 与 C、不 重 合），以 CG为 一 边 在 正 方 形 ABCQ外 作 正 方 形 C E F G,连 结 8G,D E.我 们 探 究 下 列 图 中 线 段 BG、线 段 D E 的 长 度 关 系 及 所 在 直 线 的 位 置 关 系：（1）猜 想 如 图 1中 线 段 BG、线 段 O E的 长 度 关 系 及 所 在 直 线 的 位 置 关 系；将 图 1 中 的 正 方 形 CEFG绕 着 点 C 按 顺 时 针（或 逆 时 针）方 向 旋 转 任 意 角 度 得 到 如 图 2、如 图 3情 形.请 你 通 过 观 察、测 量 等 方 法 判 断 中 得 到 的 结 论 是 否 仍 然 成 立,并 选 取 图 2 证 明 你 的 判 断.(2)将 原 题 中 正 方 形 改 为 矩 形(如 图 46),且 BC-b,CE=ka,CG=kb(a丰 b,(3)在 第(2)题 图 5 中，连 结 O G、B E,且 o=3,b=2,求 B仃+OG?的 值.28.如 图 1所 示，直 角 梯 形 0A B e的 顶 点 A、C分 别 在 y 轴 正 半 轴 与 无 轴 负 半 轴 上.过 点 8、C作 直 线/.将 直 线/平 移，平 移 后 的 直 线/与 x 轴 交 于 点 与 y 轴 交 于 点 与(1)将 直 线/向 右 平 移，设 平 移 距 离 C C为 Z(后 0),直 角 梯 形 0A8C被 直 线/扫 过 的 面 积(图 中 阴 影 部 份)为 s,s 关 于，的 函 数 图 象 如 图 2 所 示，OM为 线 段，为 抛 物线 的 一 部 分，N Q为 射 线，N 点 横 坐 标 为 4.求 梯 形 上 底 A B 的 长 及 直 角 梯 形 0 A 8 C的 面 积；当 2 f 4 时，求 S 关 于 f 的 函 数 解 析 式；(2)在 第(1)题 的 条 件 下，当 直 线/向 左 或 向 右 平 移 时(包 括/与 直 线 B C 重 合)，在 耳 缱 纱 上 是 否 存 在 点 P,使 A P D E为 等 腰 直 角 三 角 形?若 存 在，请 直 接 写 出 所 有 满 足 条 件 的 点 P 的 坐 标;若 不 存 在，请 说 明 理 由.9.如 图，菱 形 A B C D的 边 长 为 2,BD=2,E、F 分 别 是 边 AD,C D上 的 两 个 动 点，且 满 足 AE+CF=2.(1)求 证：zBDE丝 A B CF；(2)判 断 4 B E F的 形 状，并 说 明 理 由；(3)设 4 B E F的 面 积 为 S,求 S 的 取 值 范 围.B10.如 图，抛 物 线 4:=一%2 一 2工+3 交 工 轴 于 人、B 两 点，交 y 轴 于 M 点.抛 物 线 4 向 右 平 移 2 个 单 位 后 得 到 抛 物 线 右，4 交 轴 于 C、D 两 点.(1)求 抛 物 线 右 对 应 的 函 数 表 达 式；(2)抛 物 线 4 或 右 在 工 轴 上 方 的 部 分 是 否 存 在 点 N,使 以 A,C,M,N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形.若 存 在，求 出 点 N 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由；(3)若 点 P 是 抛 物 线 L,上 的 一 个 动 点(P不 与 点 A、B 重 合)，那 么 点 P 关 于 原 点 的 对 称 点 Q 是 否 在 抛 物 线 右 上，请 说 明 理 由.11.2008年 5 月 1 日，目 前 世 界 上 最 长 的 跨 海 大 桥 一 一 杭 州 湾 跨 海 大 桥 通 车 了.通 车 后，苏 南 4 地 到 宁 波 港 的 路 程 比 原 来 缩 短 了 120千 米.己 知 运 输 车 速 度 不 变 时，行 驶 时 间 将 从 原 来 的 3 时 20分 缩 短 到 2 时.(1)求 A 地 经 杭 州 湾 跨 海 大 桥 到 宁 波 港 的 路 程.(2)若 货 物 运 输 费 用 包 括 运 输 成 本 和 时 间 成 本，己 知 某 车 货 物 从 A 地 到 宁 波 港 的 运 输 成 本是 每 千 米 1.8元，时 间 成 本 是 每 时 28元，那 么 该 车 货 物 从 A 地 经 杭 州 湾 跨 海 大 桥 到 宁 波 港 的 运 输 费 用 是 多 少 元？(3)A 地 准 备 开 辟 宁 波 方 向 的 外 运 路 线，即 货 物 从 A 地 经 杭 州 湾 跨 海 大 桥 到 宁 波 港，再 从 宁 波 港 运 到 B 地.若 有 一 批 货 物(不 超 过 10车)从 A 地 按 外 运 路 线 运 到 B 地 的 运 费 需 8320元，其 中 从 4 地 经 杭 州 湾 跨 海 大 桥 到 宁 波 港 的 每 车 运 输 费 用 与(2)中 相 同，从 宁 波 港 到 8地 的 海 上 运 费 对 一 批 不 超 过 10车 的 货 物 计 费 方 式 是：一 车 800元，当 货 物 每 增 加 1车 时，每 车 的 海 上 运 费 就 减 少 20元，问 这 批 货 物 有 几 车？12.如 图 I,把 一 张 标 准 纸 一 次 又 一 次 对 开，得 到“2 开”纸、“4,一 一 y代,准 纸：2 开：如 开”纸、“8 开”纸、“16开”纸.已 知 桥 港 纸 的 短 边 长 为 a.k 辈：瓢 二 盛 赢 本 题 中 所 求 边 长 或 面 积 都 用 含。的 代 数 式 表 示.(1)如 图 2,把 这 张 标 准 纸 对 开 得 到 的“16开”张 纸 按 如 下 步 骤 折 _叠：第 一 步 将 矩 形 的 短 边 A 8 与 长 边 A O 对 齐 折 叠，点 8 落 在 A O 上 的 点 8处，铺 平 后 得 折 痕 A E；第 二 步 将 长 边 A O 与 折 痕 A E 对 齐 折 叠，点。正 好 与 点 E 重 合，铺 平 后 得 折 痕 AE.则 的 值 是,AD,A B 的 长 分 别 是,.(2)“2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸 的 长 与 宽 之 比 是 否 都 相 等？若 相 等，直 接 写 出 这 个 比 值；若 不 相 等，请 分 别 计 算 它 们 的 比 值.(3)如 图 3,由 8 个 大 小 相 等 的 小 正 方 形 构 成 L”型 图 案，它 的 四 个 顶 点 E,F,G,H分 别 在“16开”纸 的 边 AB,BC,CD,D 4 上，求 O G 的 长.(4)已 知 梯 形 M N P Q 中，M N/PQ,NM=90,M N=M Q=2 P Q,且 四 个 顶 点M,N,P,。都 在“4 开”纸 的 边 上，请 直 接 写 出 2 个 符 合 条 件 且 大 小 不 同 的 直 角 梯 形 的 面 积.13.如 图，在 梯 形 ABCD 中，AB/CD,AB=7,CD=,A 3=8 C=5.点 M,N 分 别 在 边 AD,B C 上 运 动，并 保 持 MN AB,MELAB,N F 1 A B,垂 足 分 别 为 E,F.(1)求 梯 形 ABC。的 面 积；(2)求 四 边 形 M E F N 面 积 的 最 大 值.(3)试 判 断 四 边 形 M E E V 能 否 为 正 方 形，若 能，求 出 正 方 形 M E F N 的 面 积；若 不 能，请 说 明 理 由.14.如 图，点 A(?，m-1),B(m+3,m-1)都 在 反 比 例 函 数 y=&的 图 象 上.(1)求 机，k 的 值;y(2)如 果 M 为 x 轴 上 一 点，N 为 y 轴 上 一 点,0 x以 点 A,B,M,N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形,试 求 直 线 M N 的 函 数 表 达 式.G山 友 情 提 示：本 大 题 第（1）小 题 4 分，第（2）小 题 7 分.对 完 成 第（2）小 题 有 困 难 的 同 学 可 以 做 下 面 的（3）选 做 题.选 做 题 2 分，所 得 分 数 计 入 总 分.但 第（2）、（3）小 题 都 做 的，第（3）小 题 的 得 分 不 重 复 计 入 总 分.（3）选 做 题：在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 P 的 坐 标 为（5,0）,点 Q 的 坐 标 为（0,3）,把 线 段 P Q 向 右 平 移 4 个 单 位，然 后 再 向 上 平 移 2 个 单 位，得 到 线 段 尸 则 点 Pt的 坐 标 为,点 Qy的 坐 标 为 15.我 们 把 一 个 半 圆 与 抛 物 线 的 一 部 分 合 成 的 封 闭 图 形 称 为“蛋 圆”，如 果 一 条 直 线 与“蛋 圆”只 有 一 个 交 点，那 么 这 条 直 线 叫 做“蛋 圆”的 切 线.如 图 12,点 A、B、C、。分 别 是“蛋 圆”与 坐 标 轴 的 交 点，已 知 点。的 坐 标 为（0,-3）,AB 为 半 圆 的 直 径，半 圆 圆 心 M 的 坐 标 为（1,0）,半 圆 半 径 为 2.(1)请 你 求 出“蛋 圆”抛 物 线 部 分 的 解 析 式，并 写 出 自 变 量 的 取 值 范 围;(2)你 能 求 出 经 过 点 C 的“蛋 圆”切 线 的 解 析 式 吗？试 试 看；(3)开 动 脑 筋 想 一 想，相 信 你 能 求 出 经 过 点。的“蛋 圆”切 线 的 解 析 式.16.将 一 矩 形 纸 片 O48C放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，。(0,0),A(6,0),C(0,3).动 点。从 点。出 发 以 每 秒 1个 单 位 长 的 速 度 沿。向 2终 点 C 运 动，运 动 一 秒 时，动 点 尸 从 点 A 出 发 以 相 等 的 速 度 沿 A O 向 终 点。运 动.当 其 中 3一 点 到 达 终 点 时，另 一 点 也 停 止 运 动.设 点 P 的 运 动 时 间 为/(秒).(1)用 含 t的 代 数 式 表 示 OP,O Q；(2)当 f=l时，如 图 1,将 OPQ沿 翻 折，点。恰 好 落 在 边 上 的 点。处，求 点。的 坐 标；(4)连 结 A C,将 OPQ沿 P。翻 折，得 到 EPQ,如 图 2.问：PQ 与 A C 能 否 平 行？PE与 AC能 否 垂 直？若 能，求 出 相 应 的 r值；若 不 能，说 明 理 由.图 2图 117.如 图 16,在 平 面 直 角 坐 标 系 中，直 线 y=-J 5 x-G 与 无 轴 交 于 点 A,与 y 轴 交 于 点 C,抛 物 线 y=012一 考 2%+。0)经 过 A,B,C 三 点.(1)求 过 A,B,C 三 点 抛 物 线 的 解 析 式 并 求 出 顶 点 尸 的 坐 标；(2)在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 P,使 a A B P 为 直 角 三 角 形，若 存 在，直 接 写 出 P 点 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由；(3)试 探 究 在 直 线 A C 上 是 否 存 在 一 点 M，使 得 a M B F 的 周 长 最 小，若 存 在，求 出 M 点 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.图 1618.如 图 所 示，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，矩 形 A 8 0 C 的 边 8 0 在 x 轴 的 负 半 轴 上，边 0 C 在 y轴 的 正 半 轴 上，且 A3=l,0B=6 矩 形 A 3 0 C 绕 点。按 顺 时 针 方 向 旋 转 600后 得 到 矩 形 所。.点 A 的 对 应 点 为 点 E,点 8 的 对 应 点 为 点 尸，点 C 的 对 应 点 为 点。，抛 物 线 y=ox?+法+0过 点 A,E,D.(1)判 断 点 E 是 否 在 y 轴 上，并 说 明 理 由；(2)求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式；(3)在 x 轴 的 上 方 是 否 存 在 点 P,点。，使 以 点 Q B,P,。为 顶 点 的 平 行 四 边 形 的 面 积 是 矩 形 A 8 0 C 面 积 的 2 倍，且 点 尸 在 抛 物 线 上，若 存 在，请 求 出 点 P,点。的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.19.已 知：如 图 14,抛 物 线 y=巳/+3 与 轴 交 于 点 A,点 8,与 直 线 y=+b 相 4 43交 于 点 8,点 C,直 线 y=尤+与 y 轴 交 于 点 E.4(1)写 出 直 线 B C 的 解 析 式.(2)求 ABC的 面 积.(3)若 点 M 在 线 段 A B 上 以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度 从 A 向 8 运 动(不 与 A,B 重 合)，同 时，点 N 在 射 线 8 c 上 以 每 秒 2 个 单 位 长 度 的 速 度 从 6 向 C 运 动.设 运 动 时 间 为 f秒，请 写 出 的 面 积 S 与 t 的 函 数 关 系 式，并 求 出 点 M 运 动 多 少 时 间 时，的 面 积 最 大，最 大 面 积 是 多 少？20.如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中，O A B 的 顶 点 A 的 坐 标 为(10,0),顶 点 B 在 第 一 象 限 内,且 邳=3 逐，sinZ O A B=-(1)若 点 C 是 点 B 关 于 x 轴 的 对 称 点，求 经 过 0、C、A 三 点 的 抛 物 线 的 函 数 表 达 式;(2)在(1)中，抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 P,使 以 P、0、C、A 为 顶 点 的 四 边 形 为 梯 形？若 存 在，求 出 点 P 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由:(3)若 将 点 0、点 A 分 别 变 换 为 点 Q(-2 k,0)、点 R(5k,0)(k l的 常 数)，设 过 Q、R 两 点，且 以 Q R 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 的 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 为 N,其 顶 点 为 M,记 4QNM 的 面 积 为 S AQMN，QNR 的 面 积 S AQNR，求 SAQMN.S AQNR 的 值 yBA21.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 A A B C的 边 A B在 x 轴 上，且 OAOB,以 A B为 直 径 的 圆 过 点 C 若 C 的 坐 标 为（0,2）,AB=5,A,B两 点 的 横 坐 标 X A,XB是 关 于 X 的 方 程 V 一（加+2）x+一 1=0 的 两 根:求 m,n 的 值 若 N A C B的 平 分 线 所 在 的 直 线 I 交 x 轴 于 点 D,试 求 直 线 I 对 应 的 一 次 函 数 的 解 析 式 1 1过 点 D 任 作 一 直 线/分 别 交 射 线 CA,CB（点 C 除 外）于 点 M,N,则 一+L 的 值 C M C N是 否 为 定 值，若 是，求 出 定 值，若 不 是，请 说 明 理 由22.已 知:如 图，抛 物 线 y=-x2+bx+c与 x 轴、y 轴 分 别 相 交 于 点 A(-1,0)、B(0,3)两 点,其 顶 点 为 D.(1)求 该 抛 物 线 的 解 析 式;(2)若 该 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 E.求 四 边 形 ABDE的 面 积;(3)4 A O B与 a B D E是 否 相 似？如 果 相 似，请 予 以 证 明；如 果 不 相 似，请 说 明 理 由.(注：抛 物 线 y=ax2+bx+c(a#0)的 顶 点 坐 标 为-二，)2a 4 a23.已 知 抛 物 线 y=30r2+2bx+c,(I)若 a=6=l,c=-l,求 该 抛 物 线 与 x轴 公 共 点 的 坐 标;(H)若 a=b=l,且 当 时，抛 物 线 与 x轴 有 且 只 有 一 个 公 共 点，求 c的 取 值 范 围;(HI)若 a+匕+c=0，且 X=0 时，对 应 的 乃 0；x2=1时，对 应 的%，试 判 断 当 0 xv 1时，抛 物 线 与 x轴 是 否 有 公 共 点？若 有，请 证 明 你 的 结 论；若 没 有，阐 述 理 由.24.如 图，四 边 形 A E F G 和 ABC。都 是 正 方 形，它 们 的 边 长 分 别 为 a,b(0 N 2 a),且 点 产 在 A。上(以 下 问 题 的 结 果 均 可 用 a,匕 的 代 数 式 表 示).求 S DBF；(2)把 正 方 形 A E R J 绕 点 A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 45得 图，求 图 中 的 54。防；(3)把 正 方 形 AEFG绕 点 A旋 转 一 周，在 旋 转 的 过 程 中，S&WF是 否 存 在 最 大 值、最 小 值？如 果 存 在，直 接 写 出 最 大 值、最 小 值；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.25.已 知 AB=2,AO=4,Z D A B=90,A D/B C(如 图 13).E 是 射 线 BC 上 的 动 点(点 E 与 点 8 不 重 合)，M 是 线 段 O E的 中 点.(1)设 BE=x,/XABM的 面 积 为 y,求 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式，并 写 出 函 数 的 定 义 域;(2)如 果 以 线 段 A 8为 直 径 的 圆 与 以 线 段 O E为 直 径 的 圆 外 切，求 线 段 BE的 长；(3)联 结 B。，交 线 段 AM于 点 N,如 果 以 4 N,。为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似，求 线 段 BE的 长.B备 用 图26.某 县 社 会 主 义 新 农 村 建 设 办 公 室，为 了 解 决 该 县 甲、乙 两 村 和 一 所 中 学 长 期 存 在 的 饮 水 困 难 问 题，想 在 这 三 个 地 方 的 其 中 一 处 建 一 所 供 水 站.由 供 水 站 直 接 铺 设 管 道 到 另 外 两 处.如 图，甲，乙 两 村 坐 落 在 夹 角 为 30的 两 条 公 路 的 A 3段 和 C O段（村 子 和 公 路 的 宽 均 不 计），点 M 表 示 这 所 中 学.点 5 在 点 M 的 北 偏 西 30的 3km处，点 A在 点 M 的 正 西 方 向，点。在 点 M 的 南 偏 西 60的 km处.为 使 供 水 站 铺 设 到 另 两 处 的 管 道 长 度 之 和 最 短，现 有 如 下 三 种 方 案：方 案 一：供 水 站 建 在 点 M 处，请 你 求 出 铺 设 到 甲 村 某 处 和 乙 村 某 处 的 管 道 长 度 之 和 的 最 小 值；方 案 二：供 水 站 建 在 乙 村（线 段 C O某 处），甲 村 要 求 管 道 建 设 到 A处，请 你 在 图 中，画 出 铺 设 到 点 A和 点 M 处 的 管 道 长 度 之 和 最 小 的 线 路 图，并 求 其 最 小 值；方 案 三：供 水 站 建 在 甲 村（线 段 某 处），请 你 在 图 中，画 出 铺 设 到 乙 村 某 处 和 点 M 处 的 管 道 长 度 之 和 最 小 的 线 路 图，并 求 其 最 小 值.综 上，你 认 为 把 供 水 站 建 在 何 处，所 需 铺 设 的 管 道 最 短？27.已 知：如 图，在 RtACB中，ZC=90,AC=4cm,BC=3cm,点 P 由 B 出 发 沿 BA方 向 向 点 A 匀 速 运 动，速 度 为 lcm/s；点 Q 由 A 出 发 沿 AC方 向 向 点 C 匀 速 运 动，速 度 为 2cm/s；连 接 PQ.若 设 运 动 的 时 间 为 t(s)(0 t 2),解 答 下 列 问 题：(1)当 t 为 何 值 时，PQ BC?(2)设 4AQP的 面 积 为 y(cm2),求 y 与 t 之 间 的 函 数 关 系 式；(3)是 否 存 在 某 一 时 刻 t,使 线 段 PQ恰 好 把 RtACB的 周 长 和 面 积 同 时 平 分？若 存 在，求 出 此 时 t 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由；(4)如 图，连 接 PC,并 把 PQC沿 QC翻 折，得 到 四 边 形 PQP C,那 么 是 否 存 在 某 一 时 刻 t,使 四 边 形 PQP C 为 菱 形？若 存 在，求 出 此 时 菱 形 的 边 长；若 不 存 在，说 明 理 由.k 128.已 知 双 曲 线 y=与 直 线 y=光 相 交 于 A、B 两 点.第 一 象 限 上 的 点 M(m,n)(在 A 点 x.4k左 侧)是 双 曲 线 丁 二 上 的 动 点.过 点 B 作 BD y轴 于 点 D.过 N(0,-n)作 NC x轴 交 双 x曲 线 y=于 点 E,交 BD于 点 C.x(1)若 点 D 坐 标 是(-8,0),求 A、B 两 点 坐 标 及 k 的 值.(2)若 B 是 CD的 中 点，四 边 形 OBCE的 面 积 为 4,求 直 线 CM的 解 析 式.(3)设 直 线 AM、BM分 别 与 y 轴 相 交 于 P、Q 两 点，且 MA=pMP,MB=qMQ,求 p q 的 值.29.一 种 电 讯 信 号 转 发 装 置 的 发 射 直 径 为 31km.现 要 求：在 一 边 长 为 30km的 正 方 形 城 区 选 择 若 干 个 安 装 点，每 个 点 安 装 一 个 这 种 转 发 装 置，使 这 些 装 置 转 发 的 信 号 能 完 全 覆 盖 这 个 城 市.问：（1）能 否 找 到 这 样 的 4 个 安 装 点，使 得 这 些 点 安 装 了 这 种 转 发 装 置 后 能 达 到 预 设 的 要 求？（2）至 少 需 要 选 择 多 少 个 安 装 点，才 能 使 这 些 点 安 装 了 这 种 转 发 装 置 后 达 到 预 设 的 要 求？答 题 要 求：请 你 在 解 答 时，画 出 必 要 的 示 意 图，并 用 必 要 的 计 算、推 理 和 文 字 来 说 明 你 的 理 由.（下 面 给 出 了 几 个 边 长 为 30km的 正 方 形 城 区 示 意 图，供 解 题 时 选 用）尖 子 生 题 库 答 案 c=31.解：(1)由 已 知 得：解 得-l-b+c=0c=3,b=2.抛 物 线 的 线 的 解 析 式 为 y=幺+2+3(2)由 顶 点 坐 标 公 式 得 顶 点 坐 标 为(1,4)所 以 对 称 轴 为 x=l,A,E关 于 x=l对 称，所 以 E(3,0)设 对 称 轴 与 x 轴 的 交 点 为 F所 以 四 边 形 ABDE的 面 积=SMB0+S梯 形 B0FD+5AoFE=A O B O+(B O+D F)O F+E F D F=g x lx 3+g(3+4)x l+g x 2 x 4=9(3)相 似 如 图，B D=y/BG2+DG2=Vl2+12=V2B E=y/BO2+OE2=V32+32=372DE=yjDF2+EF2=7 42=2#所 以 加 始+台 炉=2 0,。炉=2()即：加 刀+台 炉:力 炉 所 以 此 力 后 是 直 角 三 角 形 所 以 NA08=N08E=90,且 也=也=也，BD BE 2所 以 A 4 O 8 口 DBE.2.(1)VA,B 两 点 的 坐 标 分 别 是 A(10,0)和 B(8,273),tan N O A B=-V3,10-8/.Z O A B=60当 点 A在 线 段 AB 上 时，：N O A B=60,TA=TA,.ATA是 等 边 三 角 形，且 TP_LTA,c 1 1A TP=(10-1)sin 60=y-(10-1),AZP=AP=-AT=-(10-1),i n，S=SMTp=5APTP=(10-t)2,当 A与 B 重 合 时，AT=AB=-=4,sin 60所 以 此 时 6t10.(2)当 点 A在 线 段 A B 的 延 长 线，且 点 P 在 线 段 AB(不 与 B 重 合)上 时，纸 片 重 叠 部 分 的 图 形 是 四 边 形(如 图(1),其 中 E 是 TA与 C B 的 交 点),当 点 P 与 B 重 合 时，AT=2AB=8,点 T 的 坐 标 是(2,又 由(1)中 求 得 当 A与 B 重 合 时，T 的 坐 标 是(6,0)所 以 当 纸 片 重 叠 部 分 的 图 形 是 四 边 形 时，2t6.(3)S存 在 最 大 值 当 6Wt10时，S=(10-t)2,八 Q z kJ*T A在 对 称 轴 t=10的 左 边，S 的 值 随 着 t的 增 大 而 减 小，.当 t=6时，S 的 值 最 大 是 26.当 2Wt+4百 当 t=2时，S 的 值 最 大 是 4JJ；当 0t2,即 当 点 A和 点 P 都 在 线 段 AB 的 延 长 线 是(如 图，其 中 E 是 TA与 CB 的 交 点，F 是 TP与 CB 的 交 点)，；NEFT=NFTP=NETF,四 边 形 ETAB 是 等 腰 形，；.EF=ET=AB=4,.S=-E F O C=-x4x2V3=4732 2综 上 所 述，S 的 最 大 值 是 4 此 时 t的 值 是 0tW2.3.解：(1).NA=RtN,AB=6,AC=8,/.BC=O.点。为 AB 中 点，.8O=L A B=3.2;NDHB=NA=90,NB=NB.:.BHDsMAC,也=吗.=吗 4C=AC BC BC X8=在 10 5(2)-：QR/AB,:.ZQRC=ZA=90.：ZC=ZC,:./RQC s ABC,RQ _ Q C y _ 10-x A B B C 6 10 3即 y 关 于 x的 函 数 关 系 式 为：y=-x+6.(3)存 在，分 三 种 情 况：当 PQ=PR时,Zl+Z2=90,.N1=NC./.cosZl=cos CIf 3 力.2(5 人 12J 当 PQ=RQ时,x-6.当 PR=Q/?时,过 点 P 作 尸 M J_QR于 M,则 QM=RM.B/r-H Q8 4 QM 4-，一，10 5 QP 5A%,，寸/A xD 八 C3 12 H 0 x+6=，5 5A则 式 为 PQ中 垂 线 上 的 点，/二 图 1于 是 点 H 为 E C 的 中 点，:.C R=-C E-A C 2.2 4 QR BAtan C=，CR CA3,5 x+6 _ 6么 _ 11 5.f,x.2 8 21 Q 1综 上 所 述，当 x 为 匕 或 6 或 54.解：,:M N/B C,.：.X AM N s AABC.此 雪 即 AB AC 4：-H。，时，PQR为 等 腰 三 角 形.NAMN=NB,Z A N M=Z C.N,B C3 A N=-x.42 分 1 3 3,=AMN（0 X 4）.3 分 2 4 o（2）如 图 2,设 直 线 BC 与。0 相 切 于 点 在 RtZABC 中，BC=y lA B2+A C2=5.由（1）知 AMN s ABC.AM MN 即;M N4 5M N=-x,4O D x.5 分 8过 M 点 作 M Q 1 B C 于。，则 M Q=0。=.8在 RtZXBMQ与 RtZXBCA中，N 8 是 公 共 角,/./B M Q s/B C A.BM=QM.BC ACu 55 X x 25 25二 B M=-=x,A B=B M+M A=x+x 4.3 24 2496x=一 49.当 工=生 时，。与 直 线 B C 相 切.7 分 49(3)随 点 M 的 运 动，当 尸 点 落 在 直 线 BC 上 时，连 结 AP,则 0,点 为 A P 的 中 点.:M N B C,:N A M N=/B,Z A O M=Z A P C.：./A M 0 s 丛 ABP.国 J 丝.AM=MB=2.AB AP 2故 以 下 分 两 种 情 况 讨 论:3 当 0 xW2 时，y=SA P M N=-x2.83 3当 X=2 时，y最 大=X2 2=5.8 分 当 2Vx 4 时，设 V 四 边 形 AMPN 是 矩 形，PN/AM,PN=AM=x.PN 分 别 交 BC 于 E,F.AM N N不 可 能 是 正 方 形，因 为 Op不 能 与 0A垂 直.、B 四 边 形 M8/W是 平 行 四 边 形.FN=BM=4x.PF=x-(4-x)=2x-4.又 XPEF s/ACB.(尸 丫，S EF.v A8)SM B CSAPEF=m(X-2)一.y=S M N P-S EF=7%2-T(X _ 2)-=-7o Z o当 2V 冗 4 时，v=x2,+6x-6=|8 8(Q：.当 x=时，满 足 2VxV4,y最 大=2.Q综 上 所 述，当 工=:时，y 值 最 大，最 大 值 是 2.k5.解：(1)(-4,-2)；(-m,-)m(2)由 于 双 曲 线 是 关 于 原 点 成 中 心 对 称 的,一 定 是 平 行 四 边 形 可 能 是 矩 形，mn=k即 可 P图 4.9 分 x2+6x-6.10 分 咛）+2.11分.12分 所 以 OP=OQ,OA=OB,所 以 四 边 形 APBQ解：(1)作 BEJ_OA,AAOB是 等 边 三 角 形.BE=OB-sin60=2jL；.B(2 百，2)；A(0,4),设 AB的 解 析 式 为=自+4,所 以 26%+4=2,解 得 上=程，的 以 直 线 AB的 解 析 式 为 y=旦+4-3(2)由 旋 转 知,AP=AD,ZPAD=60,：.APD是 等 边 三 角 形，PD=PA=A O?+是 尸 2=7196.解:(1)作 BE_LOA,二 A O B 是 等 边 三 角 形 二 BE=OB-sin60=20,：,B(2V3,2).(0,4),设 A13的 解 析 式 为 丁=依+4,所 以 2 6 攵+4=2,解 得 女=一 4,以 直 线 AB的 解 析 式 为 y=-弓 光+4(2)由 旋 转 知，AP=AD,ZPAD=60,APD 是 等 边 三 角 形，PD=PA=ylAO2+O P2=M如 图，作 BE_LAO,DH_LOA,GB_LDH,显 然 AGBD 中 NGBD=30?.GD=-BD=,DH=GH+GD=+273=-2 2 2 2百 3-3 7GB=BD=-,OH=OE+HE=OE+BG=2+-=-2 2 2 2 设 OP=x,会-2向 土 而 由 z c,-2造 土 而、解 得：x=-所 以 P(-,0)3 37.解：(1)B G=D E,B G L D E2分 BG=D E,B G 1 D E 仍 然 成在 图(2)中 证 明 如 下.四 边 形 A8C。、四 边 形 A3CO都 是 正 方 形 BC=CD,CG=CE,NBCD=NECG=90NBCG