中考数学压轴专练专题07二次函数与平行四边形存在型问题（教师版）.pdf

突 皿 中 考 智 学 压 轴：学 霸 秘 笈 大 揭 秘 1 019版)弓 题 07:次 函 数。、F行 四 边 形 存 在 型 同 题【典 例 分 析】W T 2 1.如 图，抛 物 线 丫=0%2+加 _ 3经 过 点 火 2,-3),与 久 轴 负 半 轴 交 于 点 B,与 y轴 交 于 点 C,S.OC=3OB.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)点 D在 y轴 上，且 ZBDO=4 B/C,求 点。的 坐 标；(3)点 M在 抛 物 线 上，点 N在 抛 物 线 的 对 称 轴 上，是 否 存 在 以 点 4 B,M,N为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形？若 存 在。求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 M的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.(1)根 据 当 x=0时，y=-3,可 知 C(0,-3)根 据 O C=3 O B,可 知 B(-1,0)利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 即 可.(2)如 图：连 接 A C,作 BFJ_AC交 A C的 延 长 线 于 F,根 据 已 知 条 件 得 到 AF x 轴，得 到 F(-1,-3),可 知 NBAC=45。,设 D(0,m),则 OD=|m|根 据 NBDO=NBAC=45。,即 可 得 到 结 论；(3)设 M(a,a2-2a-3),N(1,n),以 AB 为 边，则 AB MN,A B=M N,如 图：过 M 作 ME_L对 称 轴 y 于 E,AF_Lx 轴 于 F,于 是 得 到 A ABFT 4 N M E,证 得 NE=AF=3,M E=BF=3,得 到 M(4,5)或(-2,11)；以 A B为 对 角 线，BN=AM,BN A M,如 图 3,则 N 在 x 轴 上，M 与 C 重 合，于 是 得 到 结 论.满 分 解 答(1)当 x=0时，y=-3,C(0,-3),：OC=3OB,OB=1.-.B(-LO).-.(.3-V(f t0-，二 抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-2x-3.(2)连 接 A C,作 B F,A C 交 A C的 延 长 线 于 F,VA(2,-3),C(0,-3),，AF x 轴，：.F(-1,-3),，BF=3,AF=3,.ZBA C=45,设 D(0,m),则 OD=|m|,V ZBD O=ZB A C,ZBDO=45,AOD=OB=1,/.m=l,/.D i(0,1),D2(0,-1)；设 M(a,a*-2a-3),N(1,n),以 A B 为 边，贝 AB=NIN,过 X 作 正 1 对 称 轴 y于 E,AFlx轴 于 F,则 AABF 丝 ZiNME,.NE=AF=3,N1E=BF=3,a-1=3,二.a=4 或 a=-2,.,.M(4,5)或(-2,5)；以 A B为 对 角 线，BN=AM,BN A M,如 图，则 N 在 x轴 上，M 与 C 重 合，AM(0,-3),综 上 所 述，存 在 以 点 A,B,M,N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形，M(4,5)或(-2,5)或(0,-3).例 2 如 图，直 线 A D 对 应 的 函 数 关 系 式 为 y=-x-1,与 抛 物 线 交 于 点 A（在 x轴 上）、点 D,抛 物 线 与 x轴 另 一 交 点 为 B（3,0）,抛 物 线 与 y 轴 交 点 C（0,-3）,（1）求 抛 物 线 的 解 析 式；（2）P 是 线 段 A D 上 的 一 个 动 点，过 P 点 作 y 轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 E 点，求 线 段 PE长 度 的 最 大 值；（3）若 点 F 是 抛 物 线 的 顶 点，点 G 是 直 线 A D 与 抛 物 线 对 称 轴 的 交 点，在 线 段 A D 上 是 否 存 在 一 点 P,使 得 四 边 形 GFEP为 平 行 四 边 形；（4）点 H 抛 物 线 上 的 动 点，在 x 轴 上 是 否 存 在 点 Q,使 A、D、H、Q 这 四 个 点 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形？如 果 存 在，直 接 写 出 所 有 满 足 条 件 的 Q 点 坐 标；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.（1）先 根 据 直 线 解 析 式 求 出 点 A 的 坐 标，再 利 用 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式 计 算 即 可 得 解；（2）根 据 直 线 解 析 式 表 示 出 点 P 的 坐 标，利 用 抛 物 线 解 析 式 表 示 出 点 E 的 坐 标，再 用 点 P 的 纵 坐 标 减 去 点 E 的 纵 坐 标，整 理 即 可 得 到 PE的 表 达 式，再 联 立 直 线 解 析 式 与 抛 物 线 解 析 式 求 出 点 D 的 坐 标，得 到 点 P 的 横 坐 标 的 取 值 范 围，然 后 根 据 二 次 函 数 的 最 值 问 题 解 答；（3）把 抛 物 线 的 解 析 式 转 化 为 顶 点 式，然 后 求 出 点 F 的 坐 标，并 利 用 对 称 轴 根 据 点 P 在 直 线 上 求 出 点 G 的坐 标，然 后 根 据 平 行 四 边 形 的 对 边 平 行 且 相 等 列 式 解 方 程 即 可 判 断 并 求 出 点 P 的 坐 标；(4)当 点 H 在 x 轴 下 方 时，根 据 平 行 四 边 形 的 对 边 平 行 且 相 等，可 得 点 H 的 纵 坐 标 与 点 D 的 纵 坐 标 相 等，然 后 代 入 抛 物 线 解 析 式 求 出 点 H 的 横 坐 标，再 求 出 H D 的 长 度，然 后 分 点 Q 在 点 A 的 左 边 与 右 边 两 种 情 况 求 出 点 Q 的 坐 标；当 点 H 在 x轴 上 方 时，A Q 只 能 是 平 行 四 边 形 的 对 角 线，根 据 点 D 的 坐 标 得 到 点 H 的 纵 坐 标，然 后 代 入 抛 物 线 解 析 式 求 出 点 H 的 横 坐 标，然 后 根 据 点 H 的 横 坐 标 表 示 的 点 到 点 Q 的 距 离 等 于 点 D 的 横 坐 标 表 示 的 点 到 点 A 的 距 离 相 等 求 解 即 可.满 分 蟹 答(1)令 y=0,贝 I-X-1=0,解 得 x=-1,所 以，点 A 的 坐 标 为(-1,0),f a-b+c=0(a=1设 抛 物 线 解 析 式 为 y=ax2+bx+c,(3,0),C(0,-3)在 抛 物 线 上，|9Q+3/+C=0,解 得|b=-2,I c=-3 c=-3所 以，抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-2x-3：(2);P 是 线 段 AD 上 的 一 个 动 点，过 P 点 作 y轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 E 点，设 点 P(x,-X-1),则 点 E 的 坐 标 为(x,x2-2x-3),PE=(-x-1)-(x2-2x-3),=-x-1-x2-2x-3,=-(X勺 三 联 立，：二 二 3,解 得 忆；1，)；士 3，所 以，点 D 的 坐 标 为(2,-3),.P是 线 段 AD 上 的 一 个 动 点，Kx2,.当 x=4时，PE有 最 大 值，最 大 值 为(3)V y=x2-2x-3=(x-1)2-4,点 F 的 坐 标 为(1,-4),点 G 的 横 坐 标 为 1,y=-1-1=-2,工 点 G 的 坐 标 为(-1,-2),AGF=-2-(-4)=-2+4=2,/四 边 形 GFEP为 平 行 四 边 形,，PE=GF,-x2+x+2=2,解 得 X1=O,X2=1（舍 去），此 时，y=-1,.点 P 的 坐 标 为（0,-1）.故，存 在 点 P（0,-I）,使 得 四 边 形 GFEP为 平 行 四 边 形；（4）存 在.理 由 如 下：当 点 H 在 x轴 下 方 时，：点 Q 在 x轴 上，/.HD/AQ,二 点 H 的 纵 坐 标 与 点 D 相 同，是-3,此 时 x-2x-3=-3,整 理 得，x2-2x=0,解 得 x1=0,x；=2（舍 去）,.HD=2-0*2,.点 A 的 坐 标 为（-1,0）,-1-2=-3,-1-2=1,二.点 Q 的 坐 标 为（-3,0）或（b 0）,当 点 H 在 x 轴 上 方 时，根 据 平 行 四 边 形 的 对 称 性，点 H 到 A Q 的 距 离 等 于 点 D 到 A Q 的 距 离，；点 D 的 纵 坐 标 为-3,.,.点 H 的 纵 坐 标 为 3,Ax2-2x-3=3,整 理 得，x2-2x-6=0,解 得 Xl=l-J7,X2=l+,.点 A 的 横 坐 标 为-1,点 D 的 横 坐 标 为 2,2-（-1）=2+1=3,根 据 平 行 四 边 形 的 性 质，1-+3-4-，1+3=4+，.,.点 Q 的 坐 标 为（4-，0）或（4+，0）,综 上 所 述，存 在 点 Q（-3,0）或（1,0）或（4-/,0）或（4+，0）,使 A、D、H、Q 这 四 个 点 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形.例 3 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，平 行 四 边 形 4B0C如 图 放 置，点 4 C的 坐 标 分 别 是(0,4)、(-1,0),将 此 平 行 四 边 形 绕 点。顺 时 针 旋 转 90，得 到 平 行 四 边 形 ABOC.(1)如 抛 物 线 经 过 点 C、4 4,求 此 抛 物 线 的 解 析 式；(2)在(1)情 况 下，点 M 是 第 一 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 动 点，问：当 点 M 在 何 处 时，4M4的 面 积 最 大？最 大 面 积 是 多 少？并 求 出 此 时 M 的 坐 标；(3)在(1)的 情 况 下，若 P为 抛 物 线 上 一 动 点，N 为 十 轴 上 的 一 动 点，点 Q坐 标 为(1,0),当 P、N、B、Q构 成 以 BQ作 为 一 边 的 平 行 四 边 形 时，求 点 P的 坐 标.思 路 点 桢(1)由 平 行 四 边 形 A B O C 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 90。，得 到 平 行 四 边 形 A B O C,且 点 A 的 坐 标 是(0,4),可 求 得 点 A，的 坐 标，然 后 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 经 过 点 C、A、A，的 抛 物 线 的 解 析 式；(2)首 先 连 接 A A，设 直 线 A A，的 解 析 式 为：y=kx+b,利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 直 线 A A，的 解 析 式，再 设 点 M 的 坐 标 为：(x,-X2+3X+4),继 而 可 将 A AMA，的 面 积，继 而 求 得 答 案；(3)分 别 从 B Q 为 边 与 B Q 为 对 角 线 去 分 析 求 解 即 可 求 得 答 案.满 分 斛 然 解：(1):平 行 四 边 形 4B0C绕 点。顺 时 针 旋 转 90,得 到 平 行 四 边 形 ABOC,且 点 4的 坐 标 是(0,4),，点 4 的 坐 标 为:(4,0),:点 A、C的 坐 标 分 别 是(0,4)、(-1,0),抛 物 线 经 过 点 C、4、4,设 抛 物 线 的 解 析 式 为：y=Q，+bx+c,ga-b+c=0c=4,16a+4b+c=0(a=-1解 得：b=3,c=4此 抛 物 线 的 解 析 式 为：y=-，+3x+4;图 1(2琏 接 乂,设 直 线 从 彳 的 解 析 式 为：)=kx+b.(b=4 U+b=0 解 得:w，直 线 A A的 解 析 式 为：j=f+4,设 点 M 的 坐 标 为：(乂 一 小+3x+4),则 SU M A，=X 4 X x2+3汇+4(汽+4)=-2x2+8x=-2(犬-2)2+8,.当 x=2时，的 面 积 最 大，最 大 值 5二 4n4,=8,.M的 坐 标 为：(2,6)；(3)设 点 P的 坐 标 为(爸-V+3+旬,当 P,N,B,Q构 成 平 行 四 边 形 时,平 行 四 边 形 4B0C中，点 4、C的 坐 标 分 别 是(0,4)、(-1,0),.点 B的 坐 标 为(1,4),点 Q坐 标 为(1,0),P为 抛 物 线 上 一 动 点，N为 x轴 上 的 一 动 点，当 BQ为 边 时，PN/BQ,PN=BQ,：BQ=4,.-x2+3x+4=+4,当 一 炉+3x+4=40寸，解 得：x.=0,xz=3,.用（0,4）,丁（3,4）；当 一 产+3x+4=-4时，解 得：X.=f-,=二-,玛（里 9-4）,-4）;当 BQ为 对 角 线 时，BP/QN,BP=Q N,此 时 P与 艮，P；重 合;综 上 可 得：点 P的 坐 标 为：P：(0,4),P.(3.4),/,_4),g d 平,一 4)例 4 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛 物 线？=-；/+w+c与%轴 交 于 点 4 B,与 y轴 交 于 点 C,直 线 y=x+4经 过 4C两 点.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式;(2)在 4c上 方 的 抛 物 线 上 有 一 动 点 P.如 图 1,当 点 P运 动 到 某 位 置 时，以 4P,40为 邻 边 的 平 行 四 边 形 第 四 个 顶 点 恰 好 也 在 抛 物 线 上，求 出 此 时 点 P的 坐 标;如 图 2,过 点 0,P的 直 线 y=日 交 4C于 点 E,若 PE：0E=3:8,求 k的 值.思 路 点 核(1)由 直 线 的 解 析 式 y=x+4易 求 点 A 和 点 C 的 坐 标，把 A 和 C 的 坐 标 分 别 代 入 y=-1 x2+bx+c求 出 b和 c的 值 即 可 得 到 抛 物 线 的 解 析 式；(2)若 以 AP,A 0为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 第 四 个 顶 点 Q恰 好 也 在 抛 物 线 上，则 PQ A O,再 根 据 抛 物 线 的 对 称 轴 可 求 出 点 P的 横 坐 标，由(1)中 的 抛 物 线 解 析 式，进 而 可 求 出 其 纵 坐 标，问 题 得 解；过 P点 作 PF OC交 A C于 点 F,因 为 PF O C,所 以 aP E Fs()(：,由 相 似 三 角 形 的 性 质：对 应 边 的 比 1 3值 相 等 可 求 出 PF的 长，进 而 可 设 点 点 F(x,x+4),利 用(_ y _/4)-(.4)=2,可 求 出 x 的 值，解 方 程 求 出 x 的 值 可 得 点 P的 坐 标，代 入 直 线 丫=1即 可 求 出 k 的 值.满 分 斛 冬 解：直 线 y=x+4经 过 4,C两 点,点 坐 标 是(一 4,0),点 C坐 标 是 又；抛 物 线 过.4,C两 点,一 合(-守-4匕+c=0,解 得:c=4C&=-11 c=4.抛 物 线 的 解 析 式 为=-*一-4.(2)如 图 11 2V y=-xL-x+4,2.抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 X=-l.V 以 4P，40为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 第 四 个 顶 点 Q恰 好 也 在 抛 物 线 上,A PQ/AO,PQ=AO=4.,:P,Q都 在 抛 物 线 上,：.P,Q关 于 直 线 x=-l对 称，.P点 的 横 坐 标 是-3,1 _ 5.,.当 x=_ 3时，y=-x(-3)2-(-3)+4=-,.P点 的 坐 标 是(-3,3；过 P点 作 PF/0C交 4c于 点 已：PF/0C.F P E F-A OEC,PE PF k 才 又 脸=；,”=4,：.PF=,设 点 广(x，x+4),(-7*2-x+4)-(x+4)=7，化 简 得：X?+4x+3=0,解 得：x：=-1,x2=-3.当 x=一 IB寸,y=7)当 x=-30寸 y=p即 P点 坐 标 是(-L；)或(-39.又：点 P在 直 线 y=人 上，-k=-；或 k=(2)在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 有 一 点 P,使 PA+P C 的 值 最 小，求 点。的 坐 标；(3)点 M 为 x 轴 上 一 动 点，在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 N,使 得 以 A、C、M、行 四 边 形？若 存 在，请 直 接 写 出 点 N 的 坐 标.思 路 点 拨 N 四 点 为 顶 点 的 四 边 形 为 平(1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax?+bx+c(a#0),再 把 A(-1,0),B(5,0),C(0,-)三 点 代 入 求 出 2a、b、c 的 值 即 可；(2)因 为 点 A 关 于 对 称 轴 对 称 的 点*A 的 坐 标 为(5,0),连 接 B C 交 对 称 轴 直 线 于 点 P,求 出 P 点 坐 标 即 可；(3)分 点 N 在 x 轴 下 方 或 上 方 两 种 情 况 进 行 讨 论.满 分 斛 答 解：(1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=m 二+i.v+c,.抛 物 线 经 过 H(-1，),B(5,0),C(0,-2.5)三 点，a b+c=Q,25a+5b+c=0,c=-25a=0.5,解 得,力=-2，c=2.5.所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=05 2.V-2.5.(2)如 图，连 结 则 5 c 与 对 称 轴 的 交 点 就 是 所 求 的 点 P.设 直 线 B C 的 解 析 式 为 y=kx+b,:B(5,0),C(0,-2.5),5k+b=O,b=-2.5.解 得 A;=0.5,h=-2.5.：.直 线 B C 的 解 析 式 为 y=0.5x-2.5.：抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=-b&=-22a 2x 0.5把 龙=2 代 入 y=0.5x 2.5 中，得 y=-1.5,P(2,-1.5).(3)存 在，.当 点 N 在 x 轴 下 方 时，.抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=2,C(0,-1),Ni(4,一；)；当 点 N 在 x轴 上 方 时，如 图，过 点 N 作 N D lx轴 于 点 D,在 AAN D 与 MCO中,N A D=NCMO 2)或(2-y/14)考 点：二 次 函 数 综 合 题【变 式 训 练】I.抛 物 线 y=-x2+6x-9 的 顶 点 为 A,与 y轴 的 交 点 为 B,如 果 在 抛 物 线 上 取 点 C,在 x 轴 上 取 点 D,使 得 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形，那 么 点 D 的 坐 标 是()A.(-6,0)B.(6,0)C.(-9,0)D.(9,0)【答 案】D【解 析】【分 析】首 先 确 定 顶 一 点 坐 标 A 和 y 轴 的 交 点 坐 标，然 后 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 确 定 点 C 的 坐 标，进 而 确 定 D 点 坐 标.【详 解】解：令 x=0得 尸-9即 点 B 坐 标(0,-9),.y=-x:-6x-9(x-3)2,顶 点 坐 标 A(3,0),对 称 轴 为 x=3,.C在 抛 物 线 上：四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形，.*.C(6,-9),.CD=6:AB=6;/.D(9,0),故 选 D.【点 睛】本 题 考 查 了 抛 物 线 的 图 像 性 质，属 于 简 单 题，一 般 式 化 为 顶 点 式，求 出 对 称 轴 是 解 题 关 键.2.如 图，抛 物 线 y=M-2x-3与 x轴 交 于 点 A、D,与 y 轴 交 于 点 C,四 边 形 A8CD是 平 行 四 边 形，则 点 8 的 坐 标 是()A.(-4,-3)B.(-3,-3)C.(-3,-4)D.(-4,-4)【答 案】A【解 析】【分 析】首 先 利 用 抛 物 线 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 求 出 A、D、C 的 坐 标，再 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 B 点 坐 标.【详 解】解：令 y=0,可 得 x=3或 x=-l,点 坐 标 为（-1,0）；D点 坐 标 为（3,O）j令 x=O,贝.C点 坐 标 为（0,-3）,四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，二.AD=BC,AD/BC,.W=BC=4,.B点 的 坐 标 为（-4,-3）,故 选：A.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 抛 物 线 与 坐 标 轴 的 交 点 及 平 行 四 边 形 的 性 质，掌 握 坐 标 轴 上 点 的 特 点 是 解 答 此 题 的 关 键.13.如 图，抛 物 线 y 2（x+2）（x-8）与 x轴 交 于 A,B 两 点，与 y轴 交 于 点 C,顶 点 为 M,以 A B 为 直 径 作。D.下 列 结 论：抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 x=3；。D 的 面 积 为 16K；抛 物 线 上 存 在 点 E,使 四 边 形 ACED为 平 行 四 边 形；直 线 C M 与。D 相 切.其 中 正 确 结 论 的 个 数 是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 抛 物 线 的 解 析 式 得 出 抛 物 线 与 x轴 的 交 点 A、B 坐 标，由 抛 物 线 的 对 称 性 即 可 判 定;求 得（D D 的 直 径 A B 的 长，得 出 其 半 径，由 圆 的 面 积 公 式 即 可 判 定；过 点 C 作 CE AB,交 抛 物 线 于 E,如 果 CE=AD,则 根 据 一 组 等 边 平 行 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 即 可 判 定；求 得 直 线 C M、直 线 C D 的解 析 式 通 过 它 们 的 斜 率 进 行 判 定.【详 解】:在 y=：(x-2)(x-8)中，当 y=0时，x=-2 或 x=8,点 A(-2,0)、B(8 0),抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=0 3,故 正 确；T O D 的 直 径 为 8-(-2)=1 0,即 半 径 为 5,G)D 的 面 积 为 25兀，故 错 误；在(X 2)(X-8)=了:一，一 4 中,当 x=0 时 y=-4,点 C-4),当 产-4时,为 一 3 7=7,解 得：制=0、x：=6,所 以 点 E(6,-4),则 CE=6,VAD=3-(-2)=5,AAD#CE,四 边 形 ACED不 是 平 行 四 边 形，故 错 误;1,3 1、25y=-x2-r-4=-(x-3)2-:?4 2 4 4一 25，点 M(3,425如 图，连 接 CD,25过 点 历 作 M Nl_y轴 于 点 N,则 有 N(0,-)，MN=3,9 225VC(0,-4),：.CN=-f.工”二。M+肱 衿 丁,4 16在 即 ODC 中，/C0D=9T,：.C F-6笆,.必/=(芋)2=答,4 上 90,即 DC1CW,.C D 是 半 径，二 直 线 C W 与。相 切，故 正 确，故 选 B.【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 与 圆 的 综 合 题，涉 及 到 抛 物 线 的 对 称 轴、圆 的 面 积、平 行 四 边 形 的 判 定、待 定 系 数 法、两 直 线 垂 直、切 线 的 判 定 等，综 合 性 较 强，有 一 定 的 难 度，运 用 数 形 结 合 的 思 想 灵 活 应 用 相 关 知 识 是 解 题 的 关 键.4.已 知 二 次 函 数 y=x?+bx+c图 象 的 顶 点 坐 标 为(1,-4),与 y 轴 交 点 为 A.(1)求 该 二 次 函 数 的 关 系 式 及 点 A 坐 标；(2)将 该 二 次 函 数 的 图 象 沿 x 轴 翻 折 后 对 应 的 函 数 关 系 式 是.；(3)若 坐 标 分 别 为(m,n)、(n,m)的 两 个 不 重 合 的 点 均 在 该 二 次 函 数 图 象 上，求 m+n 的 值.(4)若 该 二 次 函 数 与 x 轴 负 半 轴 交 于 点 B,C 为 函 数 图 象 上 的 一 点，D 为 x 轴 上 一 点，当 以 A、B、C、D为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 时，请 直 接 写 出 该 平 行 四 边 形 的 面 积【答 案】(1)y=x2-2x-3,点 A 的 坐 标 为(0,-3)；(2)y=-x2+2x+3；(3)m+n=l；(4)6 或 9+3行 或 15.【解 析】试 题 分 析：(I)由 y=x2+bx+c的 二 次 项 系 数 为 1,顶 点 坐 标 为(1,-4),得 出 该 二 次 函 数 的 顶 点 式 为 y=(x-l)2-4,展 开 得 到 二 次 函 数 的 关 系 式 为 y=x2-2x-3,再 令 x=0,求 出 y=-3,得 到 与 y 轴 交 点 A 的 坐 标；(2)先 求 出 y=x2-2x-3的 顶 点 坐 标(1,-4)沿 x 轴 翻 折 后 的 顶 点 坐 标 为(1,4),再 由 二 次 项 系 数 互 为 相 反 数 得 出 新 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-(x-l)2+4,展 开 即 可 求 解；(3)先 将(m,n)、(n,in)两 点 的 坐 标 分 别 代 入 y=x2-2x-3,得 到 n=m2-2m-3d),m=n2-2n-3(2),再 用-，整 理 得 出 m2-n2-m+n=0,即(m-n)(m+n-1)=0,由 n#n,求 出 m+n=l；(4)先 由 y=x2-2x-3,求 出 B 点 坐 标 为(-1,0).当 以 A、B、C、D 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 时，分 两 种 情 况 进 行 讨 论：如 果 B D 为 平 行 四 边 形 的 边，那 么 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 BD AC,且 BD=AC,则 A、C 关 于 二 次 函 数 y=x2-2x-3的 对 称 轴 x=l对 称，得 到 AC=2,进 而 根 据 平 行 四 边 形 的 面 积 公 式 得 到 S，ABDC=A G O A,代 入 数 值，即 可 求 解；如 果 B D 为 平 行 四 边 形 的 对 角 线，那 么 B D 与 A C 互 相 平 分，设B D与 A C交 于 点 P,由 P在 x 轴 上，其 纵 坐 标 为 0,得 出 C 点 纵 坐 标 为 3,再 由 C 为 函 数 图 象 上 的 一 点，把 y=3代 入 y=x2-2 x-3,求 出 x 的 值，得 到 P 点 坐 标 为（匕 立，0）,则 BD=2BP=3+J 7,然 后 根 据 2S；ABCD=S A ABD+S ACBD,将 数 值 代 入 即 可 求 解.试 题 解 析：（1）.二 次 函 数 y=x?+bx+c图 象 的 顶 点 坐 标 为（1,-4）,.该 二 次 函 数 的 顶 点 式 为 y=（x-1）2 4 即 y=xJ2x-3,当 x=0 时,y3.与 y 轴 交 点 A 的 坐 标 为（0,-3）；（2）y=x2-2x-3 的 顶 点 坐 标 为（1,-4）,二 沿 x 轴 翻 折 后 二 次 函 数 图 象 顶 点 坐 标 为（1,4）,新 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-（x-1）2+4,即 将 该 二 次 函 数 的 图 象 沿 x 轴 翻 折 后 对 应 的 函 数 关 系 式 是 y=-x2+2x+3；（3）.坐 标 分 别 为（m,n）、（n,m）的 两 个 不 重 合 的 点 均 在 二 次 函 数 产 x?-2x-3的 图 象 上，.,.n=m;-2m-3（D,m=n;-2n-3（Z）,-，得 n-m=（m;-2m-3）-（n;-2n-3）,整 理，得 m-n-ni-n=C,（m-n）（m-n-1）=0,/m=n,.*.m-n=0,.m-n=b（4）；y=x2-2x-3,当 y=0 时，x2-2x-3=0,解 得 x=-l或 3,A B 点 坐 标 为（-1,0）.当 以 A、B、C、D 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 时，分 两 种 情 况，如 图：如 果 A D为 平 行 四 边 形 对 角 线 时，那 么 B D A C,且 BD=AC,二 AC x轴，A、C 关 于 二 次 函 数 y=x2-2x-3的 对 称 轴 x=1对 称，：A 点 坐 标 为（0,-3）,.C 点 坐 标 为（2,-3）,AC=2,S o ABDC=AC0A=2 x 3=6；如 果 B D为 平 行 四 边 形 的 对 角 线，那 么 B D与 A C互 相 平 分，设 B D与 A C交 于 点 P.P 为 B D中 点，B D在 x 轴 上，.P在 x 轴 上，其 纵 坐 标 为 0,P 为 A C中 点，A 点 坐 标 为 0,-3,C点 纵 坐 标 为 3,把 产 3 代 入 J2 x-3,得 3=x;-2x-3,解 得 x1=l-行，X;=1-T7(不 合 题 意 舍 去)，二.C 点 坐 标 为 币,3),P 点 坐 标 为(安 匕，0),.,.BD=2BP=2x(=3-7 7,-S=A B C D=S_A B D_S_C B D=2S_A BD=-X(3-/7)x3x2=9-3 5；若 以 AB为 对 角 线，S=5x3=15.综 上 可 知，当 以 A、B、C、D为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 时，该 平 行 四 边 形 的 面 积 为 6 或 9+3疗 或 15.考 点：二 次 函 数 综 合 题.5.如 图，已 知 二 次 函 数 丁=-#+以+的 图 象 交 工 轴 于 点 4(-4,0)和 点&交 y轴 于 点 C(0,4).(1)求 这 个 二 次 函 数 的 表 达 式；(2)若 点 P在 第 二 象 限 内 的 抛 物 线 上，求 P4C面 积 的 最 大 值 和 此 时 点 P的 坐 标；(3)在 平 面 直 角 坐 标 系 内，是 否 存 在 点 Q,使 4,B,C,Q四 点 构 成 平 行 四 边 形？若 存 在，直 接 写 出 点 Q的 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】y=-x2-3x+4:(2)点 P(-2,6),8；(3)足 条 件 的 点 Q的 坐 标 为(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).【解 析】【分 析】(I)由 A、C 两 点 坐 标，利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 抛 物 线 解 析 式；(2)由 A、B 关 于 对 称 轴 对 称，则 可 知 P A=P B,则 当 P、B、C 三 点 在 一 条 线 上 时 满 足|PA-PC|最 大，利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 直 线 B C解 析 式，则 可 求 得 P 点 坐 标；(3)分 A B为 边 和 A B为 对 称 线 两 种 情 况，当 A B 为 边 时，利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 到 C Q=A B,可 得 到 关 于 D 点 的 方 程，可 求 得 D 点 坐 标，当 A B 为 对 角 线 时，则 A B 的 中 点 也 为 C Q的 中 点，则 可 求 得 Q 点 坐 标.【详 解】解：(1：.二 次 函 数 y=r 2+bx+c的 图 象 交 x轴 于 点 以 一 4,0)和 点 B,交)轴 于 点 C(0,4).-1 6 4b+c=0 I c=4-(b=-3-I c=.二 次 函 数 的 表 达 式 为 y=-x2-3.1+4,(2)如 图 1,由(1)有，二 次 函 数 的 表 达 式 为 3*+4,令 y=0,得=-4,或=1,3(1,0)连 接 月 C,PA,PC,点 P是 直 线 从。平 移 之 后 和 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 时,S“4c最 大,.F(4,0),C(0,4),.直 线 AC解 析 式 为 y=x+4,设 直 线 平 移 后 的 直 线 解 析 式 为)，=%一 4+b,.(y=x2 3犬+4Y y=x+4+b.x2+4万+b=0；/.=16-4b=0：.b=4,，点 P(-2,6),过 点 P作 PD_Ly轴:PD=2,。=4,./(-4,0),C(0,4)OA 4,OC=4,CD=2,S APAC1 1 1 1=S 梯 形 7100 P-S&PCD-S“AOC=/+4)x-PD x C D-尹 4 x OC=-(2+4 x 4=8 存 在 点 Q,使 4 B,C,Q四 点 构 成 平 行 四 边 形,理 由：以 为 边 时，C Q A B,CQ=AB过 点 C作 平 行 丁 的 直 线/,V C(0,4),二 直 线，解 析 式 为 y=4,.点 Q在 直 线，上，设 Q(d,4),/.CQ d A(-4,0),/.AB=5：.d=5,/.d=+5,4(-5,4)或(5,4),以 AB为 对 角 线 时，CQ必 过 线 段 月 B中 点，且 被 AB平 分，即：AB的 中 点 也 是 CQ的 中 点，1(一 4,0),B(l,0),二 线 段 月 B中 点 坐 标 为(一；,0),2(0,4),一 直 线“解 析 式 为)，=J+4,设 点 Q(m,：m+4),.,J(m+7+4尸=+1 6,.m=0(舍)或 m=-3,-4),即：满 足 条 件 的 点 Q的 坐 标 为 Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).16.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数)，=一 于 2+fe t+c的 图 象 与 坐 标 轴 交 于 A、B、C 三 点、,其 中 点 A的 坐 标 为(0,8),点 B 的 坐 标 为(一 4,0).(1)求 该 二 次 函 数 的 表 达 式 及 点 C的 坐 标；(2)点。的 坐 标 为(0,4),点 F 为 该 二 次 函 数 在 第 一 象 限 内 图 象 上 的 动 点，连 接 CZX C F,以 C D、C F 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 C D E F,设 平 行 四 边 形 CDEF的 面 积 为 S.求 S的 最 大 值；在 点 F 的 运 动 过 程 中，当 点 E 落 在 该 二 次 函 数 图 象 上 时，请 直 接 写 出 此 时 S 的 值.【答 案】y=-*+x+8,C(8,0)；(2)50；18.【解 析】【分 析】(1)把 A 点 和 B 点 坐 标 代 入 y=-；x2+bx+c得 到 关 于 b、c 的 方 程 组，然 后 解 方 程 组 求 出 b、c 即 可 得 到 抛 物 线 的 解 析 式；然 后 计 算 函 数 值 为 0 时 对 应 的 自 变 量 的 值 即 可 得 到 C 点 坐 标(2)连 结 DF,O F,如 图，设 F(t,&2+t+8),利 用 S w边 柩 OCFD=SACDF+SAOCD=SAODF+SAOCF,利 用 三 角 形 4面 积 公 式 得 到 SACDF-tMt+16,再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 得 到 A C D F 的 面 积 有 最 大 值，然 后 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 S 的 最 大 值；由 于 四 边 形 CDEF为 平 行 四 边 形，则 CD EF,CD=EF,利 用 C 点 和 D 的 坐 标 特 征 可 判 断 点 C 向 左 平 移 8 个 单 位，再 向 上 平 移 4 个 单 位 得 到 点 D,则 点 F 向 左 平 移 8 个 单 位，再 向 上 平 移 4 个 单 位 得 到 点 E,即 E1 1(t-8,-H2+t+12),然 后 把 E(1-8,-12+1+12)代 入 抛 物 线 解 析 式 得 到 关 于 t的 方 程，再 解 方 程 求 出 t后 计 算 4 4 CDF的 面 积，从 而 得 到 S 的 值.【详 解】解：.二