2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试数学试题.pdf

2023年 普 通 高 等 学 校 招 生“圆 梦 杯”统 一 模 拟 考 试 数 学 试 题 一、单 选 题 1.若 全 集 U=R,集 合 M=k 9,N=x|2 x N l,则 M N）=（）x-3 x；A.B.x-3 x C.|x-x 3 1 D.2.若 i（2-z）=l,则 z+z=（）A.1 B.2 C.3 D,43.已 知 6 w（0,兀），若 sin2e=cos，+?）,则 t a n 2 6+=（）A.1 B.3 C.G D.-5/334.赵 州 桥 是 世 界 上 现 存 年 代 最 久 远，跨 度 最 大，保 存 最 完 整 的 单 孔 坦 弧 敞 肩 石 拱 桥.赵 州 桥 的 设 计 应 用 到 平 摆 线：当 一 个 圆 沿 着 一 条 直 线 作 无 滑 动 的 滚 动 时，圆 周 上 的 定 点 P的 轨 迹 为 平 摆 线.赵 州 桥 的 拱 可 以 近 似 看 作 平 摆 线，设 拱 与 水 面 交 于 M,N 两 点（M在 N 的 左 侧），W=3 7 m,若 拱 左 半 部 分 的 一 点 K到 水 面 的 距 离 为 6 m,则 线 段 长 度 的 近 似 值 为（）M NA.5m B.7m C.9m D.1 Im5.某 人 连 续 两 次 对 同 一 目 标 进 行 射 击，若 第 一 次 击 中 目 标，则 第 二 次 也 击 中 目 标 的 概 率 为 0.7,若 第 一 次 未 击 中 目 标，则 第 二 次 击 中 目 标 的 概 率 为 0.5,已 知 第 一 次 击 中 目 标 的 概 率 为 0.8,则 在 第 二 次 击 中 目 标 的 条 件 下，第 一 次 也 击 中 目 标 的 概 率 为（）A I4 R 14,2 8 2525 33 33 396.己 知 向 量 a,方 的 夹 角 为 60,M|=2 G,则 同+2忖 的 最 大 值 为（A.3币 B.4不 C.5币 D.6不7.已 知 函 数/（x）=（4”2-l）e，+（4a+2）x,若 x）4 0,则 4 的 取 值 范 围 是（）B._112 2C.D.1 2-e22，-2e-1e8.已 知 函 数 x）=Asin（5+e）（0）,记 f（x）的 导 函 数 为 广，/（X）在 区 间 上 单 调，且-|）=/（：）=0,记 g（x）=/（*）/（：），则 g（x）在 区 间 c 上 的 零 点 个 数 为（）A.0 B.0 或 1 C.0 或 2 D.1 或 2二、多 选 题 9.下 列 四 个 条 件 中，是。尸 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 的 是（）A.a2/32 B.-BC1 D.na2 nB2a p10.已 知 函 数/（x）=*3-2 x+l,则（）A.函 数 的 图 像 关 于 直 线 x=0对 称 B.有 三 个 零 点 C.点（O,T）是 曲 线 y=x）的 对 称 中 心 D.曲 线 y=/（x）与 y=+6x2-10 x+5关 于 直 线 x=l对 称 1 1.已 知 0,函 数“X）的 定 义 域 为（0,+8）,且 满 足 当 工（0,4 时，/（）=6-，当 X“时，/（%）=/,（%-a）,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 存 在 极 值 点，则 B.若 z i e N,再 w,a+a,则/伉）4C.若 方 程=在 区 间（0,2上 恰 好 有 三 个 解，贝 D.若/（x）0）的 直 线/交 E于 A,8 两 点，其 中/的 斜 率 A0,A在 第 一 象 限，将 AM。沿 x轴 折 叠，得 到 AM。，且 平 面 AMO与 平 面 BM。互 相 垂 直，下 列 结 论 正 确 的 是（）试 卷 第 2 页，共 5 页aA.当 k=血 时，若 则 B.当。=1时，周 长 的 最 小 值 为 4+2立 C.当。=2时;若 5 AM&=2，则 点。到 平 面 A M 8 的 距 离 为 半 D.当 女=1时，设 三 棱 锥 O-A M B 的 外 接 球 半 径 为 r,贝 IJre 粤,+s三、填 空 题 13.(x-1乂 1-2/丫 的 展 开 式 中 炉 的 系 数 为(用 数 字 作 答).4 a14.在 各 项 均 为 正 数 的 等 差 数 列%中，若%+4+4=1 2,则 一+上 的 最 小 值 为 a5 ai15.已 知 椭 圆 C:上+=1,斜 率 为-直 的 直 线/分 别 交 X 轴 负 半 轴、y 轴 负 半 轴 于 A、4 3 2B 两 点,交 C 于 T、尸 两 点，点 T 在 x 轴 上 方，过 点 8 作 x 轴 的 平 行 线 交 C 于 Z、J 两 点，则 面 积 的 最 大 值 为.四、双 空 题 16.已 知 正 方 体 A B C 0-A 4 G。的 棱 长 为 1,以 点 A 为 球 心 作 一 个 半 径 为，的 球，若 球 面 与 正 方 体 表 面 相 交 所 得 到 的 交 线 长 为 也，则 这 样 的 球 有 个，并 写 出 一 个 6满 足 条 件 的/的 值：五、解 答 题 17.在 数 列 q 中，|=-4a+i=3a-.(1)求%的 通 项 公 式；求 数 列|。.|的 前 项 和 S.18.如 图，在 长 方 体 A 8 C O-A S G P 中，E,F,G,H 分 别 为 A R,C D,4 氐 的 中 点，且 A8=2AA=24O=2.证 明：直 线 尸 G,EH,G。交 于 一 点;(2)设 直 线 FG,EH,C R 交 于 点、M,记 M 关 于 平 面 M R。的 对 称 点 为,求 二 面 角 G-M-M 的 正 弦 值.19.记 锐 角 A 5 C 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为。、b、c,已 知(sinA-2sin2B)tanA=2-2cos2B.求 生；be(2)求 sinB+?n C的 取 值 范 围.sinA20.2022年 卡 塔 尔 世 界 杯 采 用 的“半 自 动 越 位 定 位 技 术”成 为 本 届 比 赛 的 一 大 技 术 亮 点,该 项 技 术 的 工 作 原 理 是 将 若 干 个 传 感 器 芯 片 内 置 于 足 球 中，每 个 传 感 芯 片 都 可 以 高 频 率 定 位 持 球 球 员，以 此 判 断 该 球 员 是 否 越 位.为 了 研 究 该 技 术 的 可 靠 性，现 从 生 产 的 传 感 芯 片 中 随 机 抽 取 100个，将 抽 取 到 的 传 感 芯 片 的 最 高 频 率(单 位：H z)统 计 后，得 到 的(1)求 这 批 芯 片 的 最 高 频 率 的 平 均 值 最(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表)和 方 差(2)根 据 频 率 分 布 直 方 图，可 以 近 似 认 为 这 批 传 感 芯 片 的 最 高 频 率 服 从 正 态 分 布 试 卷 第 4 页，共 5 页N(Q 2).用 样 本 平 均 数 作 为 的 估 计 值，用 样 本 标 准 差 S作 为 b 的 估 计 值 0,试 估 计，从 这 批 传 感 芯 片 中 任 取 一 个，其 最 高 频 率 大 于 80Hz的 概 率；(3)若 传 感 芯 片 的 最 高 频 率 大 于 80Hz,则 该 传 感 志 片 是 可 精 确 定 位 的，现 给 每 个 足 球 内 置/仅=1,2,3,4)个 传 感 芯 片，若 每 个 足 球 中 可 精 确 定 位 的 芯 片 数 不 少 于 一 半，则 该 足 球 可 以 满 足 赛 事 要 求，能 够 精 确 判 定 球 员 是 否 越 位，否 则 就 需 要 增 加 裁 判 数 量，通 过 助 理 裁 判 指 证、慢 动 作 回 放 等 方 式 进 行 裁 定.已 知 每 个 传 感 芯 片 的 生 产 和 维 护 费 用 约 为 1万 元/场，因 足 球 不 可 精 确 定 位 而 产 生 的 一 次 性 人 力 成 本 为 12万 元/场，从 单 场 比 赛 的 成 本 考 虑，每 个 足 球 内 置 多 少 个 芯 片，可 以 让 比 赛 的 总 成 本 最 低？2 19 399附：P(/-crx/4-cr),/z+2cr),尸(-3crnW+3 b)a.21.已 知 桶 圆 C：5+aL=l的 左 顶 点 为 A,右 焦 点 为 尸，过 点 7(4,0)的 直 线/交 C 于 M,N 两 点，其 中 M 在 第 二 象 限.(1)若/过 点(0,1),求.A M N 的 面 积；(2)设 线 段 交 半 径 为 1 的 圆 F 于 点 G,直 线 7 G 与 A W 交 于 点 R,若 直 线 AM,N R 的 斜 率 之 比 为-23,求|MG|.22.已 知 函 数 6=公 1-111(0)有 三 个 零 点 演，巧，电(芭 e；(3)记 f(x)较 大 的 极 值 点 为 匕，当 区。时，证 明：/(%,)+/(2)0.*2参 考 答 案：1.A【分 析】求 出 集 合 M、N,利 用 补 集 和 交 集 的 定 义 可 求 得 集 合 用(6N).详 解 因 为 用=9=国 3 l=P|xij,由 于 U=R,则 N=xx；,因 此，M e(N)=x-3xg).故 选：A.2.D【分 析】根 据 给 定 条 件，利 用 复 数 的 除 法 运 算 求 出 复 数 z,即 可 求 解 作 答.I 1|(一 讣【详 解】由 i(2 z)=l 得：2 z=即 z=2：=2 y=2+i,贝 氏=2 i，i i i-(-i)所 以 2+2=(2+。+(2-。=4.故 选：D3.C【分 析】利 用 三 角 恒 等 变 换 可 得 出 关 于 cos(0+；)的 二 次 方 程，求 出：的 取 值 范 围，求 出 cos(e+：)的 值，可 求 得 角，的 值，代 值 计 算 可 得 出 tan(2e+：的 值.详 解 因 为 sin2e=cos(e+5)=_cos(e+：)=_cos(2e+5),所 以，2cos，(e+：)-cos(e+：)-i=0,因 为 eo,兀)，则 所 以，_ i 4 c o s(e+j*故 cos(e+|=-g,所 以，。+：=,，则。喑，一 八 兀、(5兀 兀、4兀(兀、兀/T故 tan 2。H=tan 1|=tan=tan it H=tan=,I 2j I 6 2)3 I 3)3故 选：C.4.B【分 析】由 题 中 的 图 形 特 征 和 数 据 特 征，计 算 长 度 的 近 似 值.37【详 解】设 圆 的 半 径 为 n n,由 题 意 可 知，M N 与 圆 的 周 长 相 等，则 有 2口=37,=二 6,答 案 第 1页，共 28页K到 水 面 的 距 离 为 6 m,可 看 作 圆 近 似 滚 动 彳 个 圆 周，如 图 所 示,KO/MN,K A 1 M N Q B J L M N,A 8 为 垂 足，则=/C 46m,4 3=6m,4MK=MA?+W b J 传 _ 6）+62 7m故 选：B5.C【分 析】设 出 事 件，利 用 全 概 率 公 式 计 算 出 尸（8）=P（A），（8|4）+尸（孙 P（B|Z）=0.6 6,再 利 用 条 件 概 率 公 式 计 算 出 答 案.【详 解】设 第 一 次 击 中 目 标 为 事 件 4,第 二 次 击 中 目 标 为 事 件 B,则 网 网 A）=0.7,P（B|A）=0.5,P（A）=0.8,所 以 P=0.2,故 P（B）=P（AB）+P（AB）=P（A）-P（B|A）+P（A）-P（B|A）=0.8x0.7+0.2x0.5=0.66,则 叫 竺 3）、v 7 P（B）0.66 0.66 33故 选：C6.B【分 析】设 同+小 卜 小 0）,由 已 知 条 件 得 向 2一 卧 向+M=12,把 等 式 改 写 为 关 于 W的 方 程，方 程 有 解，判 别 式 对,可 求 同+2 1|的 最 大 值.【详 解】向 量 a,b 的 夹 角 为 60 邛 卜 2月，则 有 自（。2 一 以+入 讨 一 2卧 利 3 6 0。+肉=向 2一 耶|+河=12,设 回+2 1卜 山 0）,同=2瓦 答 案 第 2 页，共 2 8页.1 一 2所-1-2 朴 利+阵=12，即 7林 5项+公 _ 12=0,M|存 在，方 程 有 解，贝 I J有 4=25公 一 2 8(r-1 2)2 0,解 得 0 0,即”一 工 时，若 x)=(2a+l)(2a l)e+2 x 4 0,则 有(勿-l)e+2 x 0,令 g(x)=(2 a T)e*+2 x,则 有 g(x)4 0,若 为-1,易 知 g(x)在 R上 单 调 递 增，不 一 定 都 满 足 g(x)()，；.2-1 0,解 得 1 1 1丁 一,由 g x)l n-,所 1-2 1-2。以，g(x)在 1 8111三 工)上 单 调 递 增，在(in公 万,+8)上 单 调 递 减，由 g(x)4 0,则 有 g(x)|=-2+21n-0,解 得 已，、61 i-2 J-2 a 2e所 以/a 4 e2e 时,满 足/(x)4 0；当 2a+l 0,即 a-g 时，若/(x)=(2a+l)(2a l)e*+2 x 4 0,贝 I 有(2a-l)e*+2x20,即 g(x)2O,易 知 e*之 x+1,当 且 仅 当 x=0时 取 等 号，当 上 工 0时，所 以 g(x)=(2a-l)e+2x(2 a-l)(x+l)+2x=(2a+l)x+(2 i7-l),即 g(W)0,所 以 不 满 足/(X)4 0恒 成 立；,、r 1 e-2-综 上，若/(x)W。，。的 取 值 范 围 是-于 三 故 选：A8.C【分 析】由 题 知 2 4 2G=t+0 G W 2,进 而 得 0 或 G=2,再 结 合 三 角 函 数 的 答 案 第 3 页，共 2 8页性 质 分 别 讨 论 求 解 即 可 得 答 案.【详 解】解：由 题 知：r（x）=A（acos（yx+e）因 为/心。，所 以%+=2 4 2 4，解 得 0=一 1+鼻(攵|_g)=_1+1&,女 2,一 耳 0+夕=5+女 2兀 火 2Gz因 为/（x）在 区 间（0，胃 上 单 调，所 以 W 4 2 T=巴，解 得 0/422 2 co2所 以，或 刃=2,令 g(x)=0 得/(x)=/(j 或=当 G=2时，由 一(o+(p=kR,k e Z4/日 717 7 r得 力=+kn,k sZ,兀 兀 7 7 7 2 G+9=+乂 兀，乂 e Z此 时，/（x）=Asin 2x+-+Z：7ij=Acos2x,由 兀）得 2xw（兀,2兀），当/（x）=时，Acos2x=Acosl,即 cos2x=cosl,由 于 函 数 丫=8$%与 y=cosl 在（兀,2兀）上 只 有 一 个 交 点，故 方 程 cos2x=cos 1在（I，兀）有 一 个 解：当 时，AcOS2x=AcOS；,即 COS2x=COS；,由 于 函 数 y=8 S X 与 y=cos；在（兀,2兀）上 只 有 一 个 交 点，故 方 程 cos2x=cos；此 时 方 程 在 件 兀）有 一 个 解；所 以，啰=2时，g（x）在 区 间 怎，兀）上 的 零 点 个 数 为 2 个；2当 口=时，由 a)+(p=k,Tt,k.G ZA.IT得 夕=+kn,kwZ,一 5 力+夕 二+七 兀 他 Z 6此 时/(x)=Asin-X-+/7T|=Asin3 6 J2 兀 x 3 6(i7 t 1)2 7 1由 g-,K-x-e1 2/3 6兀 兀 2 6,2答 案 第 4 页，共 28页当 x)=G)时,士 Asin(|噬 卜 土 碎 图,即 可|暇 卜 呜 司，由 于 函 数 丫=5皿 在(已，5)上 为 正 数，sin(g.)0,故 方 程 5布 臣 一 看 卜 1 6 _ 胃 无 解；当/1(x)=/(：)时,4sin(+高=Asin/高,gpsinf|x-J=sinf1-J,由 于 函 数 y=sinx在 上 为 正 数，sin-？?，但 A 不 满 足 条 件：对 于 B 选 项，由，)0 可 知 a0,0,由 不 等 式 的 性 质 可 得“0,a p所 以，!0=夕 ao,a p因 为/?a/?,但/?a/?,所 以，,/3C2,PliJCO,由 不 等 式 的 性 质 可 得 a 夕，另 一 方 面，若 a。,取 C=0,则 aC?=/C。，所 以，aC2 pC2 n a/,aC1 PC2 a,所 以，aC2/?C2是 a/7的 一 个 充 分 不 必 要 条 件，C 满 足 条 件;对 于 D 选 项，取 a=-2,0=1,则/2 0,则 lna2in夕 2,但。夕，D 不 满 足 条 件.故 选：BC.10.BD【分 析】利 用 函 数 的 对 称 性 可 判 断 A C 选 项；解 方 程 f(x)=0可 判 断 B 选 项；求 出 曲 线 y=f(x)关 于 直 线 x=l对 称 的 曲 线 对 应 的 函 数 解 析 式，可 判 断 D 选 项.答 案 第 5 页，共 28页【详 解】对 于 A C 选 项，函 数 f(x)的 定 义 域 为 R,“x)+/(-x)=(V-2x+l)+(-d+2x+l)=2,故 函 数 图 像 的 对 称 中 心 坐 标 为(0,1),A C 均 错；对 于 B 选 项，/(X)=丁 2x+1=(xI M+工 1),由 f(x)=0可 得%=1,%=与，七=一 弓 小，B 对；对 于 D 选 项，曲 线 y=/(x)关 于 直 线 x=1对 称 的 曲 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为/(2-X)=(2-X)3-2(2-X)+1=-/+6 X2-10X+5,D 对.故 选：BD.11.ABD【分 析】先 研 究 M X)=&T,X 0 的 单 调 性 与 极 值，结 合 x)=0(xa)可 得 函 数 在 其 他 范 围 上 的 性 质，从 而 可 判 断 A 的 正 误，利 用 分 类 讨 论 求 出 函 数/(X)在(0,4 上 的 最 值 后 可 判 断 B 的 正 误，结 合 特 殊 情 形 可 判 断 C D 的 正 误.【详 解】设(*)=&b,0,则(x)=(+=-&)-r _x l-2xe=e x 2Vx则 当 0 x；时，当 时，(x)4,/(x)=4f(X-Q),故 当 Xf(a,2旬 时，/(工)二 4(工 一),当 xe(2a,3。时，f x)=of x-a)=crf x-2a),L,以 此 类 推 可 知，对 任 意 的 N,当+时，无 一 也(0,包，则/(x)=anf(x-na)=any/x-na-明 故/(x)在(M M+M 上 的 图 象 为/(幻 在(0,句 上 的 图 象 向 右 平 移。个 单 位，然 后 横 坐 标 不 变,纵 坐 标 变 为 原 来 的/倍,答 案 第 6 页，共 28页故 y(x)在(o,+8)上 存 在 极 值 点 等 价 于/(x)在(o,4 存 在 极 值 点，而 当 xe(O,a 时，/(x)=/i(x),由/?(x)的 性 质 可 得 故 A 正 确.对 于 B 选 项，若 由/?(x)的 性 质 可 得：当 x0,a 时,f(x)1mx=f(a)=G,即 故 当 xe(w,a+，叫 时，f(x)=af(x-a)=af(x-na)a此 时,设 丫(a)=e?-2ae,0a5，则 当+M 时，f(x)=qf(x-a)=a,f(x-na)0,而 ajx-w4,Vxc(4,2a也 需 成 立，取 x=2a,则 小 份 e V,Vx(a,2a,故.ae4 6，若 则 优 NlxeJ，矛 盾，Ovavl,故 D 正 确.对 于 C,答 案 第 7 页，共 28页当 g W a 0,由 s(4)的 图 象 是 连 续 不 间 断 可 得 存 在 使 得 s(4)0,_ 2 2 _ 2 2故。1苑 0一%_ 0即%弧 日 晒 个 一 m%,xex,0 x 取=q,由 A 的 讨 论 可 得%)=01y/x一 限 仍,%v x 2al,其 中 23q.a；Jx_2a 2q t2a.x2i oiS/2(x)=/(x)+-x-,当 o 4 时，小)皿=吗)=各-3,而=/T-i_ 2e 2 1 1又-j-=故 2 U7 1故 X)的 图 象 与 y=:-(x 在(0,aJ上 无 交 点，7 i即 x)=t-打 在(0吗 上 无 解.2 2当 4 x K 2q 2 t/j,2 i此 时 02 2q 0=_x2,7 1故/(x)在 q,2 的 图 象 和)，=；-京 在 4 2 上 的 图 象 如 图 所 示：7 1由 图 象 可 得/(可=(-；不 在 知 2 上 只 有 两 个 实 数 根，故 f(x)=g-g x 在(0,2 上 只 有 两 个 实 数 根，这 与 题 设 矛 盾，故 C 错 误.故 选：ABD.【点 睛】思 路 点 睛：具 有 性 质(6=/(-。)”的 函 数 可 称 为 类 周 期 函 数，此 类 问 题 可 先 研 究 给 定 范 围 上 的 函 数 的 性 质，再 结 合 类 周 期 性 得 到 其 他 范 围 上 的 函 数 性 质，其 中 有 些 范 围 答 案 第 8 页，共 28页的 探 究 问 题 可 通 过 特 例 来 处 理.12.AC【分 析】借 助 坐 标 运 算 解 决 空 间 几 何 体 的 问 题【详 解】平 面 直 角 坐 标 系 xQy中，设 A（%,y）,3（孙 力），有 M。，必。，如 图 所 示,将.A M。沿 x 轴 折 叠，得 到 AM。，且 平 面 A。与 平 面 及 W。互 相 垂 直，以 0 为 原 点,所 在 直 线 为 y 轴，平 面 8 W。内 0 M 的 垂 线 为 x 轴，平 面 4 时。内 0 M 的 垂 线 为 z轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 有 A（O,X Q J,8（-%,0）,l y=4x对 于 A 选 项，当 左=正 时，直 线/的 方 程 为 y=&(x-a),由 f-.、消 去 x 可 得 y=yl2(x-a)y2-2y/2y-4a=0,则 有 y=0+，2+4,%=3-,2+4,若 B _L OB,AB=(2,x2 Afj,y,)=(一%，_ J，OB=(一，*2，)=A B OB=y；+“2&必)=6(l-Jl+2a)+8a-2 Jl+2a=0,令 Jl+2 a=M l),则 2a=/_l,6(l-r)+4(/2-l)-(r2-l)r=0,答 案 第 9 页，共 28页即 一 户+4/一 5，+2=。-2）。一 1）2=0,由 fl,得 f=2,则 有 2a=产 一 1=3,=A选 项 正 确；对 于 B 选 项，当。=1时，点 M 与 焦 点 F 重 合，直 线/的 方 程 为 了=冲+1（m 0）,y=4x由 i,有 4（疗+1）+,16（加+1）-84+/1=4+2 0，等 号 不 能 成 立，4+2&不 是 周 长 的 最 小 值，B 选 项 错 误；对 于 C 选 项，当 a=2时，M（2,0）,直 线/的 方 程 为 x=%y+2（z0）,y2=4x由，-、消 去 X 可 得 y2-4?y-8=0,乂+必=4 m，%=-8,x=my+2Sa“a=gx2帆|=|%|，点 A 到 平 面 QMB的 距 离 为，点。到 平 面 A M 8 的 距 离 设 为，由/，得 卜 号/?=如 评，2&=反%|=8,解 得 让 华，即 点。到 平 面 A M B 的 距 离 为 越，C 选 项 正 确；31 v2=4x对 于 D 选 项，当 Z=1时，直 线/的 方 程 为 x=y+a,由 消 去 x 可 得/-4 y-4a=0,x=y+a乂+必=4,=-4a,8 M o 外 接 圆 圆 心 为 C,半 径 为 A;,Z.BMO=45,由 正 弦 定 理 一=2,（=厂 Isin A B M O y/2 AM。外 接 圆 圆 心 为 C?,半 径 为 4,N A M O=135，由 正 弦 定 理.,八=24，己=罐,sin Z A M O A/2平 面 A M。与 平 面 B M O 互 相 垂 直，。为 O M 中 点，如 图 所 示，答 案 第 10页，共 28页三 棱 锥 0-4 M B的 外 接 球 半 径 为 r,则 r2=|CA|2=|C2AI|2+|CC2|2=A2+C,D=r；+C,O-0D2=苧+粤，10Al2+Q优=x：+y：+x；+=(y+a)2+y2+(%+。)2+y2=2(y,+j2)2-21j2J+2a(yl+y2)+2iz2=2t?2+24a+32,2+2_ 2=四 2+124+16=枣 叫 2 _ 3 2 6,即/M,故 D 选 项 错 误；2 2 4 4 4故 选：AC【点 睛】思 路 点 睛：解 析 几 何 中 的 曲 线，经 过 翻 折 得 到 立 体 几 何 中 的 几 何 体，两 者 通 过 坐 标 法 建 立 联 系，由 坐 标 运 算 解 决 位 置 关 系、距 离 角 度 等 问 题.13.40【分 析】写 出 展 开 式 通 项，令 x 的 指 数 为 5,求 出 参 数 的 值，代 入 通 项 即 可 得 解.【详 解】(1-2x2)5 的 展 开 式 通 项 为 Tk+l=C：-(-2)=C*(-2)*一(0 4 4 5,后 e N),因 为=碎-2巧 5_(1_2巧，所 以,x(l-2 x2)5 的 展 开 式 通 项 为 XTM=C*.(-2)*-x2*+1(O 5,Z:eN),由 2女+1=5,可 得 k=2,而(1-2/中 不 含 V 项，故(X-1)(1-2X2)的 展 开 式 中 v 的 系 数 为 C；.(_2)2=40.故 答 案 为：40.14.-+7224 a.【分 析】由 已 知 得 线=4,由 各 项 均 为 正 数，得 公 差 d 的 范 围，把 一+表 示 为 d 的 函 数,a5%答 案 第 11页，共 2 8页利 用 导 数 讨 论 单 调 性 计 算 最 小 值.【详 解】设 等 差 数 列 q 公 差 为 d，由 4+a+4=34=12,得 4=4,fa=a,-5d=4-5rf 0 4等 差 数 列 各 项 均 为 正 数，则 有、八，所 以 04d 0 54 a5 _ 4+。6 _ 4 4-rfa5 a7。6-d 4+d 4-d 4+d-八-1-64-1-屋+3 32=4,x-八 d-11-26-1,令 上 令 息。A r m)=+2”65 p2-16)2/0,解 得 04d 0,解 得 12-8&d 2，d）在 012-8a）上 单 调 递 减，在（12-8夜,1J上 单 调 递 增，一,小 2-80）=2-8,7 2 二 三 普,（12-8V2）-16 8所 以 2+幺 的 最 小 值 为 4x主 心 也-1=工+也.a5 a 7 8 2故 答 案 为：+V25 I 3 Y【分 析】设 直 线/的 方 程 为 y=-3 x+m,根 据 题 意 求 得-6，/3-/n2 y/3 6-m2-令=3-m 屋（0 3,利 用 导 数 法 求 出 函 数）=力+,3-2在（0,3）上 的 最 大 值,即 可 得 出 AZ77面 积 的 最 大 值.【详 解】设 直 线/的 方 程 为 y=-孝 x+?，由 题 意 可 知 机 0,答 案 第 12页，共 28页直 线/交 y 轴 负 半 轴 于 点 3(0,?)，设 点“%,%)、2(%,%),则 乂 0,联 立 尸 一 6了 3x2+4=12可 得 3x2 2石，nr+2m2-6=0,A=12/n2-12(2m2-6)=12(6-m2)0,由 于?0,解 得-指?0，可 得 芭 二，解 方 程 3x2-2Gnr+2/一 6=0可 得 1=(6-也,，3所 以，亘,竽”所 以，所 以，6-tn2 m2 J 可 得 623,故 S m 0,直 线 z/的 方 程 为 卜=机，联 立：2 s 可 得 X=士 毡 H，所 以，|Z/|=拽 比 尤 3/+4)2=12 6l6-m2+加 V,=-x.+m=-1 2 1 2所 以，点 T到 直 线 y=机 的 距 离 为 1=必 _?=反 正 二 2所 以,S 力 4 研=3 埠 应 白 乙，75 N2 G 2.6(-3+J3-6(13+-，3-)V3(13+-j3-)(g+几+j3-)答 案 第 13页，共 28页令 f()=j3+2+73 一 2，其 中。3,则/()=3+2+3-2/?2/3n+n2 2j3n-n2令/()=0,可 得=述,3当 0 K 时,23当 一 J3n+n2 2l3n-n22/t 3，/、3+2.0,/()=.243 一 2 2yhn+n22n-32 y l3 n-/因 为 1 3+2 2(2/t-3 V(2j3n+n2)(2l3n-n2)2 7-4/一 2(9-叫 故 当 上 考 时,3+2 丫(2-3、2-3n+n2,1 2,3 一/27-4/z22(9-n2)0,则/()0,当 竽 3时,3+2 2n-3 23+2 J(2d3n-n2)所 以，函 数/（“）在 上 单 调 递 增,上 单 调 递 减,故 当 小 乎/停|+怦 7 4 M+师 可,因 为（亚 石+3+/2 6-3）=6上=2 3?，故 J 2 G+3+2-3=2行.，故 仁 小 半；2 3=3 4.2 2.故 答 案 为:J4,2 2【点 睛】方 法 点 睛：圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题 解 决 方 法 一 般 分 两 种：一 是 几 何 法，特 别 是 用 圆 锥 曲 线 的 定 义 和 平 面 几 何 的 有 关 结 论 来 求 最 值；二 是 代 数 法，常 将 圆 锥 曲 线 的 最 值 问 题 转 化 为 二 次 函 数 或 三 角 函 数 的 最 值 问 题，然 后 利 用 基 本 不 等 式、函 数 的 单 调 性 或 三 角 函 数 的 有 界 性 等 求 最 值.16.4（答 案 不 唯 一）9【分 析】分 0 r 4 1、1厂 夜、r=0&r（百、在 百 五 种 情 况 讨 论，作 出 图 形,作 出 球 面 与 正 方 体 表 面 相 交 的 交 线，利 用 扇 形 的 弧 长 公 式、导 数 法 以 及 零 点 存 在 定 理 可 得 出 满 足 条 件 的 球 的 个 数，并 可 写 出 一 个 满 足 条 件 的 厂 的 值.答 案 第 14页，共 2 8页【详 解】分 以 下 几 种 情 况 讨 论:(1)当 0 r l时，球 面 与 正 方 体 A B C O-A g G A的 面 A8C。、面 4 A夕 出、面 惧,均 有 交 线,且 交 线 均 是 以 点 A为 圆 心，半 径 为，吟 个 圆，r=孚(0,1,合 乎 题 意;(2)当 1 厂 立 时，设 球 面 交 棱 8用 于 点 E,设 NBAE=a,其 中 0 a：,则 r=一，如 下 图 所 示:cose?D,由 图 可 知,球 面 在 面 A B C Q、面 fiCC.fi,、面 C D D 的 交 线 均 是 半 径 为 8E=t a n c的:个 圆,7 T球 面 在 面 A8C。、面 A 4 B、面 叫 R O的 交 线 均 是 半 径 为 r,且 圆 心 角 均 为-2 a 的 扇 形 弧,由 题 意 可 得 3 x x ta n a+3 x(二 一 2 a x!=兀,2 2)cos a 6整 理 可 得-3 G s in a+5 c o s a-3 G=0,7 1令 f(a)J 2 a-3 6 s i n a+5 c o s a-3 G,其 中 O v a,兀 4答 案 第 15页，共 2 8页则 尸(a)=-3&c o s a-5 s i n a,令 g(a)=/),其 中 0 夕/5 ta n a-5),因 为 0 a 0,0 ta n a l,所 以 g(a)0,个 卜 竽 一 7 0,所 以，存 在 4 0,总，使 得/(%)=0,且 当 0 a 0,此 时 函 数/(。)单 调 递 增，当/a(时，/(a)0,此 时 函 数/(a)单 调 递 减，因 为()=5一 3 6/用=0,所 以，在(0,%)和(4,：)内 各 存 在 一 个 零 点，故 当 1 忘 时，满 足 条 件 的 球 有 两 个；因 为 平 面 BCC百，故 球 面 在 侧 面 BCG用 上 的 交 线 是 以 点 8 为 圆 心，半 径 为 也 一 研=的、圆,同 理 可 知，球 面 在 面 面 CG C 的 交 线 都 是 半 径 为 1的，圆，4此 时，交 线 长 为 3X 1=；2 2(4)当 时，设 球 面 交 棱 C Q 于 点 尸，设/。/尸=万，则。：,答 案 第 1 6页，共 2 8页因 为 A 4t，平 面 A B q。，所 以，球 面 在 面 A f G。的 交 线 是 半 径 为 AF=7 T圆 心 角 为 1-2 6 的 扇 形 弧，,1 jr同 理 可 知，球 面 在 面 B C G 4、面 CG。上 的 交 线 都 是 半 径 为 一 圆 心 角 为 g-2 夕 的 扇 cosp 2形 弧，所 以，交 线 长 为 3x 二 一 2夕!=上 叵 兀，整 理 可 得 上 叵 夕+5cos/7-3 6=0,2)cos/?6 7 i令 g(P)=I 2/?+5COS/?-3/J,其 中。M-述 0,所 以，函 数 g(在 上 单 调 递 增,兀 兀 2 4)因 为 g(0)=5-3 6 0,所 以，存 在&e(。，：，使 得 g(月)=0,此 时，满 足 条 件 的 球 只 有 一 个；(5)当 时，球 面 与 正 方 体 A B CO-A BC IA 各 面 均 无 交 线.综 上 所 述，满 足 条 件 的 球 共 有 4个.故 答 案 为：4;(答 案 不 唯 一)9【点 睛】方 法 点 睛：利 用 导 数 解 决 函 数 零 点 问 题 的 方 法：(1)直 接 法：先 对 函 数 求 导，根 据 导 数 的 方 法 求 出 函 数 的 单 调 区 间 与 极 值，根 据 函 数 的 基 本 性 质 作 出 图 象，然 后 将 问 题 转 化 为 函 数 图 象 与 x轴 的 交 点 问 题，突 出 导 数 的 工 具 作 用，体 现 了 转 化 与 化 归 思 想、数 形 结 合 思 想 和 分 类 讨 论 思 想 的 应 用；(2)构 造 新 函 数 法：将 问 题 转 化 为 研 究 两 函 数 图 象 的 交 点 问 题；(3)参 变 量 分 离 法：由 f(x)=0分 离 变 量 得 出=g(x),将 问 题 等 价 转 化 为 直 线 y 与 函 答 案 第 17页，共 2 8页数 y=g(H的 图 象 的 交 点 问 题.17.%”1 I58+20 x 图;+n-40 x S=520-20 xg)-n 75【分 析】(1)由 题 知 数 列 是 首 项 为 4+2=1，公 比 为：的 等 比 数 列，进 而 得/V；(2)由 题 知“=(|”一 为 单 调 递 减 数 列，再 根 据%0，为 0,分 46和“27两 种 情 况 讨 论 求 解 即 可;【详 解】(1)解：因 为 在 数 列%中，,=|,4am=3q,-g,3 1所 以，+|=7勺 一 三，所 以，等 式 两 边 同 加 上 g 得 口,川+|=|,+小，4因 为，a=所 以，数 列 是 首 项 为 4+=1,公 比 为 1 的 等 比 数 列，所 以，(2)解：因 为“In-1 0,即 fl+1 a 所 以，为