2023年高考第一模拟试题：数学（甲卷理科）（全解全析）.pdf

2023年高考数学第一次模拟考试卷数学.全解全析注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单选题1.已知集合。=乩2,3,4,5,6,Z=1,2,3,8=2,3,4,5,则(CVA)(CUB)=()A.6 B.1,6 C.2,3 D.1,4,5,6【答案】A【详解】解：由题意，。/=4,5,6，0 8 =1,6,&/)0(。/)=6,故选：A.2.若=-l+2i(a e R,i 为虚数单位)，则|i|=()1 +1A.2V I B.V10 C.y/5 D.V2【答案】B 详解因为*=-l+2 i,故a+i=(l+i)(T +2i)=_3+i,故q=_3,则|”“=卜3 7卜 历T=M.故选：B.3.北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月2 3日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天矶、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为()【答案】BC2 1 0【详解】因为王衡和天权都没有被选中的概率为2=蕾=5，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1-郎=1.故 选:B.4 .若平面向量3 与否的夹角为6 0,同=2 语|=1,则归-2 可=A.7 3 B.2 7 3 .C.1 D.2【答案】D【详解】|a-2 ft|=7 2-4a-b+4b2=4-4 x 2 x l x-+4 x l =2 ,故选 D.考点：向量的模5 .已知力（0,2）,3（z,0）（r 0）,动点C在曲线7：/=4 x（0 x l）,若/B C 面积的最小值为1 .则f不可能为（）A.-4 B.-3 C.-2 D.-1【答案】D【详解】设因为x e 0,l ,所以y e-2,2 ,即e-2,2 .直线的方程为即2 x +夕-2/=0（/0）.2 2因为为卜2,2,，0.y；2则点C到直线Z8 的距离为）号+夕。-y+o-2?d=eTT=-TT因为40,2）,8&0）,所以|/刎=炉 兀.所 以%c=g x/+4 x22勺+%-2 -+tyv-2t乙_ 一 乙_+422 =Y 时-c=十：黑小2,2 ，可得当为=2 时，（S&m 入M=l,符合题意;-3 时，s 匕匕/24可得当盟=2时，（葭徜 c）m i n=l，符合题意;当 二 一 2 时 S=卜2,2 ，可得当先=2 时，（S f）m M=l，符合题意;当t =-l 时，c 2 一%+2S&ABC 2 ）o 卜 2,2 J3可得当盟=1 时，（Sa.）1 n hi=不符合题意.故f不可能为T.故选:D.6.定义域为 0,兀 的函数./（力=（6$沦5-8 5 5 卜0 5 8 +；（0 0）,其值域为-J ，则刃的取值范 围 是（）A.fo,|B.|,3 C.o,1 D.【答案】D【详解】因为/（x）=3 s i n c o s（oc-c o s2 cac+；=s i n 2 以 一1+：s i n ,处一,由一;W/（力1 可得一3 0 5 足（28-弓 卜 1,7 1 7 r 冗 7 T 7 T 7 I T 1 20 x 7 t 则 4 2（y x ITICO,由题意可得一W 2 7 t t y W ,解得一4。4.6 6 6 2 6 6 3 3故选：D.7 .函数f（x）=（x 2-2 x）e 的图象大致是（）【详解】由/（x）=0得x=0或x=2,故C错；又广（切=（一一2）e，当x 0时，/小）0：当-&x&时，/（力 2 2 =2022,则 q=（）A.1 B.2 C.3 D.2022【答案】A【详解】令机=1,则“=+%故见+|-。“=%，:4为常数，故数列%是等差数列%-4=%=d:.a2022=q +（2022-1）=2022a=20224 =1故选：A.9.已知直线/：办+勿=1.若/上有且仅有一点尸，使得以点尸为圆心，1 为半径的圆过原点0,则a-b 的最大值为（）A.&B.2&C.2D.1【答案】A【详解】由题意可知，|。尸|=1,P点有且仅有一 个，。到直线/的距离为1,即|0+0-lj=y/a2+b21,即/+/=1，a-cos 0b=sin，设(0 8 2 兀)，则 a b=cos 6 sin 6=V2 sin I：)W 0,当且仅当si鸣71-0 j即:用4即6a=-2 厂时，等号成立，故a-b 最大值为&.,2b=-2故选:A.10.在正四棱台4 G A 中，4B=24BI，4 4=6.当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（)A,也2B.33几 57)C.-2D.57【答案】D【详解】图 1设底边长为m原四棱锥的高为正如图1,。,a 分别是上下底面的中心，连结o q,0IA|,OA,根据边长关系，知该棱台的高为，则匕“2 题笫-4&CQ=5h la2 h22A由4 4=石，且四边形4。/为直角梯形，0 =4 4 4=a,O A=AB =a，可得422当且仅当0 2=48-2 2,即a =4时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径4=4。|=应，下底面半径厂=/0 =2&，设球的半径为凡 显然球心M在。所在的直线上.显然球心M在 所 在 的 直 线 上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在 线 段 上，如图2,设O M=x,则=0 xl,显然1=M =R则，有+x 2 =收+(1)2，即“2何+x 2 =J(&+(j x)2解得x 0)上一动点，尸为E的焦点，点。为圆W-4x+必+3=0上一动点，若|M|+|P 0的最小值为3,则2=()A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【详解】X2-4X+/+3=0 可转化为(X-2)2+/=1,则圆心为例(2,0),半径为1.因为|Pf|+|P 0|的最小值为3,点。为圆(X-2)2+V=1 上一动点,设抛物线：/=2 夕初0）的准线为/,贝 I 的方程为：x=-过点尸作为垂足，则归 产|=归 如图，则|尸 尸|+归。|=|P|+归pG|2 1+勺由 1 +=3,可得 p=4,故选：Bb,c 的大小顺序为（C.a bc)B.cahD.b a 0,即 0 x e 时/(x)单调减，乂 i d e C ,ba.若，=叱 有 两个解占,三，则1X1el),则 g )=，丫2 0，即 g(x)在。，+8)上递增，x+1 M%+1)g(X)g(D=0，即在,(1,+8)上，2(x )x In x7-In x,2 2tl n x J 2,若=上 即 一=-L-,故,X+1 玉 x2-%1%+再 In X j%2有 xx2 e22 2.当*2 =3 时,e*吟，故 c a.故选：A二、填空题1 3 .若定义在R上的偶函数/)和奇函数g(x)满足/(x)+g(x)=e，则g(x)的解析式为g(x)=.【答案】甘1【详解】由题意得:/(-x)+g(-x)=e-x,即/(x)-g(x)=e T ，/(x)+g(x)=e*,-得:2 g(x)=e-e-,解得：g(x)=L 故答案为：1 4 .我国南宋著名数学家秦九韶在 数学九章的 田域类 中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为1 3,1 4,1 5 里，求三角形沙田的面积.请问此田面积为 平方里.【答案】84且 A B=1 3 里,B C=1 4 里,A C=1 5 里，在4人 8：中，由余弦定理得，c AB2+B C2-A C2 1 32+1 42-1 52 52 A B B C 2 x1 3 x1 4 1 3_ 1 2所以 s i n B=V l-c o s2S =，1 1 1 2则该沙田的面积：即4 A B C 的面积S=-A B*B C*s i n B=-xl3 xl4 x=84.2 2 1 3故答案为84.1 5.已知函数/(x)=s i n x+x,在点停 /图）处的切线与直线/3+制一1 =0平行，则的值为【答案】-1【详解】因为解x）=s i n x+x,所以八x）=c o s x+l,所以+卜吟+1 =1,即函数x）在 点 停 了 即 处切线的斜率为1,因为切线与直线/平行，所以-=1，即2 =-1.b a故答案为：-11 6.已知函数/3=（1-乂47）的图象关于点（1,0）中心对称，若”,x2em,n,使得a 7 2）/（）-/（七）0,则加）-/（）的 最 大 值 是.【答案】卫 叵#%石9 9【详解】/（x）关于点（L0）中心对称，V =（l-x 2）（a-x）所以 r 21 r ，-y=l-（2-x）a-（2-x）3 2-y=-x+ax+x-a y=-x3+（6-a）x2+（4a-11+6-3 a，a=6-a所以1=4 11,解得a=3,-a=6-3。/（x）=（l-x2）（3-x）=x3-3x2-x +3,r（x）=3x2-6 x-l,令/”（x）=0解 得*=1-乎,=1 +半，c 1&+x 2=2,x1-x2=-,所以/（x）在区间 演,司,/（切0,/。）递减;在区间（-o o,x j,（x 2，+o o）J （x）0J（x）递增，所以/（X）的极大值是xj,极小值是 ）,依题 意 ,x2 e w,n,使得所以上 ,是/(x)的单调递减区间，所以7 )-/()的最大值是/(再)-/仁)=x；-3x；-X+3-(-3x；-x,+3)=x；-x；-3x j +3x；-xt+x2=(x,-x2)-(x,+x2)2-x,x2-3(x,+x2)-14百(8、32正=-=-.3 I 3)9故答案为：必 更9三、解答题17.已知数列%的前n项和5 满足S“=2a”-2(e N*).求数列 勺 的通项公式；令“=4,-4,求 数 列 标 的前项和T.【答案】%=2”北亨+-8【详解】(1)当 =1,5 =%=2 4-2,故q=2,因为S=2%2,当之2时,SI=2%-2,两式相减得:S S _=“=勿 为,即%=2%_,故数歹I ,为等比数列，公比q =2,所以 a“=2x 2 T=2.(2)bn-an-4n=2 -4 ,2n 4T=1一 产故 小 -9+弄弄+会),人4 12 3 n x T x令H=三+尹+?+一.+产 ,1 12 3 小5忆=%+3+齐+尸 ，-得1 1 1 1 1 1 n渣=广+m+展+齐+萍-广即“=8-安+2 n 2-2+22-2+M-8 .1 8.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1 0分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.【答案】0.6；(2)分布列见解析，(X)=13.【详解】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4仇C,所以甲学校获得冠军的概率为P=PABC)+P(ABC)+P(ABC,P(45(5)=0.5 x 0.4x 0.8 +0.5 x 0.4x 0.8 +0.5 x 0.6 x 0.8 +0.5 x 0.4x 0.2=0.16 +0.16 +0.24+0.04=0.6.（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以,=0）=0.5 x 04x 0.8 =0.16,p(x =10)=0.5 X 0.4x 0.8+0.5 x 0.6x 0.8+0.5 x 0.4x 0.2=0.44,P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0,4x0.2+0.5x0.6x0,2=0.34,p(%=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.即X 的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望 (X)=0 x0.16+10 x0.44+20 x0.34+30 x0.06=13.19.如图，在三棱锥S-/8 C 中，底面/8 C 为直角三角形，且=90。，底面/8C,且=点/是 S 3 的中点，4 N _ L S C 且交S C 于点N.(1)求证：S C J_ 平面4 W N；(2)当=时，求二面角N-M4-C的余弦值.【答案】(1)详见解析；(2)1【详解】因为“J_ 底面AB C,8 C u底面/8 C,所以“，8 cB C rSABC LA BSArAB=A u 平面S Z 84 3 u平面5 5,n 8 C J _ 平面”8乂 4 W u平面&48,所以 8 c l 411.因为S/=A B,M 是SB 的中点，所以AM V SBA M I SBAM B CSB cB C =BS B u平面S B C8Cu平面S B C=AM _ L平面 SBC又SC u平面S B C,所以AM 1 SCS C I ANSC LA MAN c AM=A/Nu平面4 MNAM u平面4 W N=S C _ L 平面 AMN设/8 =&1=1,则/(O,O,O),8(1,O,O),C(1,1,O),S(O,O,1),A f(1,O,|),/S为z轴，建立空间直角坐标系/-x y z ,.而 C，就=(1,1,0)设平面力CM 的一个法向量为斤=(x,%z)T r.ij=0 卜+N=则。_ 八 即 1 1 取力=(-1,1)A M -n=0 x+z=02 2由可知CS=是平面A M N的法向量 _、C S n 1-1+1 Icos(Co,n)=-=j=,=|CS|切|V3xV3 3二面角N-M V-C 的余弦值为:2 0.己知双曲线C：，一(=1(a0,b0)与双曲线V/=有相同的渐近线，儿 厂 分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过/且垂直于x 轴的直线与双曲线交于第一象限的点8,的面积为2(72+1)求双曲线C 的方程；(2)若直线了 =丘-1与双曲线的左、右两支分别交于M,N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于产,。两点，M N M P Q ，求实数4 的取值范围.【答案】/-/=412)(1,75【详解】(1)解：如图，其中2(-。,0),F(c,0)=1有相同的渐近线，所以a=b则 c=yja2+b2=C a，由题知8尸_L/尸,所以8 C,一a则 ；网为=卜+。）7零邑2/1），解得2所以双曲线C的方程为-仁=1.4 4（2）解：设（%,乂），N（%,%）y=kx-则y2=（1-卜2 +2 米一5=0-=14 41-公 大0所以卜=4 公-4（1-用.（-5）0,则-1 左1,玉+x2且不 工 2 =-2k=-k2-5-k2所以|M V|=J 1+后 2 卜-匕|=J+P-2 4 +lx 忐-4k设尸（/三，/、），。（/4，乂、），由 y=k x-得天=T1 ,同理，匕=11y=x K-4 +1所以|尸 0=J 1+父 肉-Z24+公-k22,1 +，5-4 公所以兀=黑=-f l=G 4k2 ,其中，T%1Ml 2 V 1 +*1-k2因为，5-4 如 w（i,否 ,故力的取值范围是（1,石 2 1.已知函数/(x)=%4-a x S-b x(a e R,0)若6 =0,求函数/(x)的单调区间；若存在x e R,使得/(x 0+x)=x,7),设函数y =/(x)的图像与x 轴的交点从左到右分别为A,B,C,3,证明：点8,C分别是线段ZC和线段5 3的黄金分割点.(注：若线段上的点将线段分割成两部分，且其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，则称此点为该线段的黄金分割点)【答案】(D 答案见解析(2)证明见解析【详解】(1)因为所以/(力=加(-3).当 a 0 时,由川卜)0 解得x3,由，(力 0 解得x 0 解得x3,由/(x)3,所以/(x)在(-8,3)上单调递增，在(3,2)上单调递减.综上可知:当a 0 时，/(x)在(一-3)上单调递减,在(3,+8)上单调递增：0时，/(“在(-应3)上单调递增，在(3,+8)匕单调递减.(2)若存在x(,e R ,使得/(%+x)=/(X o-x),则亍(X。+X)4 _ 伍+x)3 -i(x0+x)=(xo-X)4-a(x0-x)J-f e(x0-x),得a x()x (x 0 +x)-+(/-x)-2 a x (x +x)+(x0-x)+(x0+x)(x0-x)-2 Z x =0 ,得axu(x +X2)-6 7(3X Q+X2)-6 =0 对任意 x 恒成立，即办?(-1)+x；-3“x；-b =0 对任意x 恒成立，所以 2 ,0所以。=-2；a代入得 X)=a%7 +2 x),由 /(x)=0 可得 a x(x3-4 x2+8)=0.因为函数/(x)的图象关于x=l 对称，所以有X(X-2)(X2-2X-4)=0,得 中=1-右,xg=0,xc=2,xD=1 +45,CCI.,AB B C CD B C所 以 正 二 就 正=而 所以点8,。分别是线段4c和80的黄金分割点.1x=t22 2.在平面直角坐标系xQ v中，已知直线：/：(f 为参数).以坐标原点。为极点，x2 3.已知函数/()=|叙-1|一|+2|.y=2+tI-2轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。=2。求曲线C的直角坐标方程；设点M 的直角坐标为(0,2),直线/与曲线C的交点为4,B,【答案】x2+j 2-/J x-y=0(2)2 君【详解】(1)由P=2 s i n(e +。),得p=2 gs i n6 +*c o s。.两边同乘P，即p2=ps i ne +5 A pc os。.由x=pc os a y=s i n6,得曲线C的直角坐标方程为x?+/-瓜1X=t2(2)将 r-代入/+贯-3 7 =0,得/+2.+2 =0,y=2+t1 2设 48对应的参数分别为 出则 4 +2 =,tg=2所以 4 0,2 0.由参数，的几何意义得I 川+1 81=h +f 2 1=2 囱*+总求|M 4|+|M B|的值.-y 二 0(1)解不等式等x)8；(2)若关于x 的不等式/(劝+5 +2|02-8 的解集不是空集，求。的取值范围.9 11【答案】j f I (2)a 9【详解】(1)由题意可得 x)=3x+3,x S 2u 1 c 1-5 x-l,-2 x 4当x 4-2 时，一 3 x+38,得x 一|,无解；1 Q 9 1当一2 c x e 时，-5 x-l ，即 x ；4 5 5 4、与 冗 2 时，3 x 3 得x 一,即一W x 一.4 3 4 3所以不等式的解集为a i-(9%9,贝|J 由题可得 2 一 8 9,解得。9.