2023年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷含答案解析版.pdf

2023年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷一、单项选择题（共 8 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5 分）（2023道里区校级一模）已知集合M=3 =20231 xl,N =川y=lo g 的 x，0 x l,则）A-b|0”七 B.5 0 l c.y y 0”是“A 4 8 C 为钝角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.（5 分）（2023道里区校级一模）定义在K 上的奇函数/（X）满足/（l +x）=/（l-x）.当X G0,1 时，f(x)=xi+3 x,则/(2023)=()A.-4 B.4 C.14 D.04.（5 分）（2023道里区校级一模）苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣.蝶恋花春景是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道.墙外行人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼.”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行.在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（）A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直5.（5 分）（2023道里区校级一模）已知/（-1,0）,8（1,0）,若直线y=%（犬-2）上存在点P,第1页（共25页）使得N/P8=90。，则实数上的取值范围为（）乌3立33，3且，3-(-A.C6.（5 分）（2023道里区校级一模）长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3 个种子选手，将 这 12人任意分成3 个 组（每组4 个人），则 3 个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）A1 c 3 口 1 clA.B.C 一 D.一55 55 4 37.（5 分）（2023道里区校级一模）在边长为3 的菱形N8CD中，ABAD=60,将 A48。绕直线8。旋 转 到.A 4BD,使得四面体4 8 c o 外接球的表面积为18万，则此时二面角/-8。-b c B.c ab C.cb a D.bc a二、多项选择题（共 4 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分）9.（5 分）（2023道里区校级一模）已知函数/（x）=sin（2 x-工），则下列说法中正确的是（6）A.y=f（x）|的最小正周期为江B.y=/（x）的图象关于x 对称C.若 y=的图象向右平移夕（夕 0）个单位后关于原点对称，则s的最小值为（万D./（x）在-工，白上的值域为-1,1 6 210.（5 分）（2023道里区校级一模）已知圆锥5。（。是圆锥底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为3,底 面 半 径 为 石.若 尸，0 为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥S。的侧面积为3店万第2页（共25页）B.A S P。面积的最大值为2 遥C.三棱锥O-S P。体积的最大值为gD.圆锥S。的内切球的体积为士不31 1.（5 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）已知抛物线C:V=4y,。为坐标原点，尸为抛物线C的焦点，点尸在抛物线上，则下列说法中正确的是（）A.若点/（2,3）,则|尸川+|P 尸的最小值为4B.过点8（3,2）且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C.若 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 都 在 抛 物 线 上，则A O A E 的周长为8 6D.点，为抛物线C上的任意一点，G（0,-l）,HG=t HF,当f 取最大值时，G F H的面积为21 2.（5 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）已知00,片0 且6 -1,ab=（ea-V）l n（b+V）,则下列说法中错误的是（）A.a4bB.若关于b的方程”=加有且仅有一个解，则机=eaC.若关于b的 方 程 型=，有两个解a，b2,则4+&2 e二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分.1 3.（5 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）d-2）（l-2 x）4 的展开式中，常数项为一.X2 11 4.（5分）（2 0 2 3 道里区校级一模）已知x +y =4,且 xy0,则+的最小值x-y y为一.1 5.（5分）（2 0 2 3 道里区校级一模）设 S,是数列%的前项和，Sn=2 a +n-3,令b“=b g/%-1），则5.苞=1 6.（5 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）如图，椭 圆 三+4=1与双曲线 工-4=1（切 0,0）a h m n有公共焦点片（-c,0）,F2（C,0）（c 0）,椭圆的离心率为q,双曲线的离心率为e 2,点尸为第3页（共25页）1 3两曲线的一个公共点，且/尸 巴=6 0。，则r+=；/为片出的内心，F、，I,Ge e2三点共线，且 不 标=0,轴上点4,8满 足 刃=2,就=不，则;1 2+2 的最小值三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）已知A/1 8 C 中，角/,B,C的对边分别为a,h,c,设&4 8 C 外接圆的半径为R ,且b c =2 R“l +2 c o s 8 c o s C）.（1）求角力的大小；（2）若。为 8 c 边上的点，A D =B D =2,C D =1,求 t a n 8.1 8.（1 2 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）已知递增等差数列%满足：出+%+%=2 7,q,%，%成等比数列.（1）求数列%的通项公式；勺+1（2）若a =j 2 ,求数列也,的前项和刀,.。，+”“+21 9.（1 2 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）如图，在四棱锥P-AB C。中，底面N 8 C。是边长为2的菱形，A D 为等边三角 形,平 面 尸 L 平面/8 C。，P B V B C .（1）求点N到平面P 8 c 的距离；（2）E 为线段PC上一点，若直线A E与平面A B C D所成的角的正弦值为噜,求平面ADE与平面4 5 C O 夹角的余弦值.第4页（共25页）EC20.（12分）（2023道里区校级一模）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回.（1）若盒子中有8 个球，其中有3 个红球，从中任意摸两次.求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；记摸出的红球个数为X,求随机变量X 的分布列和数学期望.（2）若 1号盒中有4 个红球和4 个白球，2 号盒中有2 个红球和2 个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2 号盒，然后丁从2 号盒中任取一球.已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.21.（12分）（2023道里区校级一模）已知平面内动点M 到定点F（0,l）的距离和到定直线y=4 的距离的比为定值g.（1）求动点的轨迹方程；（2）设动点的轨迹为曲线C,过点（1,0）的直线交曲线C 于不同的两点4、B,过点4、8 分别作直线x=/的垂线，垂足分别为4、B、,判断是否存在常数/,使得四边形的对角线交于一定点？若存在，求出常数，的值和该定点坐标；若不存在，说明理由.22.（12分）（2023道里区校级一模）已知函数/（幻=/%-依2+x+l.（1）当。=0 时,求函数g（x）=xe*-/（x）的最小值；（2）当y=/（x）的图象在点（1 ,f（1）处的切线方程为y=l 时，求。的值，并证明：当时，f/（1 +与 （6 +IP-2 .k=k第5页（共25页）2023年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题(共8 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(5 分)(2 0 2 3 道里区校级一模)已知集合 M=U R=2 0 2 3 x ,N =y y=l o g2 0 2 3 x ,0 x l ,则 M 0|N =()A.卜 l0VB.30l C.y -L-y 1 =y 1 0 y =l og20 23 x ,0 x 0 ”是“A 4 8 c 为钝角三角形”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解答】解：.在 蔗 0 ,KP|A8|-|S C|c os6 0 ,CO S 0 0 ,且。(0,万)，所以两个向量的夹角。为锐角，又两个向量的夹角e为三角形的内角B的补角，所以8为钝角，所以4 1 8 c 为钝角三角形，反过来，A 4 8 c 为钝角三角形，不一定8为钝角，则“万 前 0 ”是“A/1 BC为钝角三角形”的充分条件不必要条件.故选：A.3.(5 分)(20 23 道里区校级一模)定义在/?上的奇函数/(x)满足/(l +x)=3。7).当x w 0,1 时，/(x)=d+3x,则/(20 23)=()A.-4 B.4 C.1 4 D.0【解答】解：根据题意，函数/(1 满足f(l +x)=f(l-x),变形可得f(2+x)=f(-x),第6页(共25页)又由 /(x)为奇函数，则/(-x)=-/(X),则有 f(x+2)=-f(x),则有/(x +4)=-/(x +2)=/),即函数/(X)是周期为4 的周期函数，故/(20 23)=/(-1 +20 24)=/(-1)=-/(1)=-(1 +3)=-4,故选：A.4.(5 分)(20 23 道里区校级一模)苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣.蝶恋花春景是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道.墙外行人，墙里佳人 笑.笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼.”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行.在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是()A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直【解答】解：设墙面为a,秋千静止时所在平面为,秋千板所在直线为/,秋千绳所在直线为加，秋千荡起来某个过程所在平面为？，由于秋千绳在运动过程中形成的平面与墙面平行，则秋千绳与墙面始终平行，”正确；由于/a,则/秋千绳在运动过程中形成的平面，在静止时，机，运动起来的时候(除了机 处)两者都不垂直，8错误；由图可知/在运动过程始终与a垂直，C 正确;由图可知1/在运动过程始终与 垂直，。正确.故选：B.第7页(共25页)5.(5 分)(20 23 道里区校级一模)已知4(-1,0),8(1,0),若直线y =A(x-2)上存在点P ,使得N 4P 8=90。，则实数后的取值范围为()口3且303石3-(-A.C【解答】解：若乙4P B=90 ,则点P在以4(-1,0),8(1,0)为直径的圆上(点尸不能是N、8),.以Z(-1,0),8(1,0)为直径的圆的圆心为。(0,0),半径厂=1,则圆。的方程为/+/=1,即直线y =%(x-2)与圆O:f+/=i有公共点(公共点不能是4、B),当直线y =%(X-2)与圆O：f+y2=有公共点时，解得押+(-1)2当直线y =k(x-2)与圆。:公+了2=1 的公共点为/或8 时，k =0,不符合题意；综上，实数4 的取值范围为-*,o)u(o,日 .故选：B.6.(5分)(2 0 2 3 道里区校级一模)长郡中学体育节中，羽毛球单打1 2 强中有3个种子选第8页(共25页)手，将 这 1 2 人任意分成3 个 组（每组4 个人），则 3 个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）A.B.C.-55 55 4【解答】解：1 2 个队平均分成3 组，共 有 种 组 队 方 式,4若 3 个强队恰好在同一组，则 共 有咛4种组队方式,段D.3故所求概率尸=j3355故选：B.7.（5 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）在边长为3的菱形1 8 c o 中,Z BAD=6 0 ,将&4a o 绕直线8。旋 转 到.4 8。，使得四面体N B C Z）外接球的表面积为1 8，则此时二面角/-8。-。的余弦值为（）.1 口 1 r 1 八 百A.B.C.D.3 2 3 3【解答】解：取 8。的中点E,连接ZE,CE,则 8O J.4E,B ZJ J.C E,.N 4EC 为二面角4-8。-C的平面角，设 N/E C =2 9由题意可知 ABD和 A 5C。都是边长为3的等边三角形，设A 1,N分别是 48。和A 8 C D 的中心，过 W,N分别作两平面的垂线，则垂线的交点就是三棱锥外接球的球心O,AE=CE=3 s i n6o 0 =,M E =N E=,C N =6 ,2 2由 R O M E =O N E 可得 N O E M =/LO EN =Q ,因为四面体/8C D 外接球的表面积为1 8%,所以外接球的R,满 足 4万斤=1 8万，所以R =O C =逑，2所以O N =甚 二=整,可得O E=3二，故c o s 6 =-1-23 2所以（：0 5 2 8=2（：0 52 6-1 二 -！，3即二面角H-8 O-C的余弦值为-L3第9页（共25页）故选：A.8.(5 分)(2 0 2 3 道里区校级一模)已知=1.2 1,6 =0.2 1,c =b c B.c a b C.c b a D.b c a【解答】解：构造/(x)=/(l+x)-x ,x 0 ,/(X)=J-1 =产0，1+x 1+x函数/(x)在(0,+8)上单调递减，且 0)=0,所以/(x)/(0)=0，即/”(1 +X)1.2 1 0.2 1,即 a 6；.-1.2 15 2.59 e,n TW O.2 1 e02-1,即6 0)个单位后关于原点对称，则夕的最小值为D.f(x)在 上 的 值 域 为 -1,1 6 2【解答】解：函数/(x)=s i n(2 x-乙)的周期为：万：y=|/(x)|的最小正周期为工，所以/不正确;第10页(共25页)x =9 时，/（x）=s i n（2x?-令=s i n =l ,所以y =/（x）的图象关于x =q对称，所以8 正确；y =/（x）的图象向右平移0（9 0）个单位后关于原点对称，即：y =s i n（2（x-e）-工），关于6原点对称，可知：-2（p-?=k兀,=2 2 9 k c Z ,当人=一1 时，（p 0 ,/的最小值为言，所以。不正确；x e-py,2 x-e -y,所以/（x）在-奈夕上的值域为-1 ,1,所以“正确;故选：BD.1 0.（5分）（2 02 3 道里区校级一模）已知圆锥S。（。是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为3,底 面 半 径 为 逐.若 P,。为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥S。的侧面积为3&B.A S P 0 面积的最大值为2 石C.三棱锥O-S P。体积的最大值为g4D.圆锥SO 的内切球的体积为一13【解答】解：对选项/,圆锥S O（。是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为3,底面半径为6.圆锥的高为2,设 8 c 是底面圆的一条直径，S 恻=；x 2#x 3;r =3 有乃，所以正确；1o选项8,圆锥的顶角N 8 O C 9 0。，三角形S P。面积的最大值为5 x 3 x 3 =,故 8 错误;对于C,四面体S OP。的体积的最大值为：!x l x V 5 x V 5 x 2 =1,故 C正确；选项。，设圆锥的内切球的半径为r,可得：也=阻，即 二=三，O C SC J5 3解得厂=心 结，3 +V 5第11页（共25页）所以圆锥SO 的内切球的体积为3 X%X()3 声3万，故。错误;3 3+2 亚 3故选：AC.1 1.(5 分)(2 02 3 道里区校级一模)已知抛物线C:Y=4 y,0 为坐标原点，尸为抛物线C的焦点，点 P 在抛物线上，则下列说法中正确的是()A.若点，(2,3),则|尸川+|尸尸|的最小值为4B.过点5(3,2)且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C.若正三角形O DE 的三个顶点都在抛物线上，则A O D E 的周长为D.点为抛物线C上的任意一点，G(0,-l),HG=t HF,当f取最大值时，A G F H的面积为2【解答】解：由抛物线的定义可得，|尸 尸|等于点尸到抛物线准线的距离，所以|尸川+1 尸产|的最小值为点A到抛物线准线的距离4.故/正 确：因为3?4x2,故过点8(3,2)且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，其中两条为抛物线的切线，一条为过点5(3,2)且与抛物线对称轴平行的直线，故 B错误；顶点在原点。的正三角形与抛物线相交于。、E 两点，设正三角形的边长为2 根，.根据对称性，可得。(加,(?,),且点。在抛物线上，.,./=4 属，解得?=4 6,.这个正三角形的边长为6 m =246，故 C错误；第 12页(共 25页)对。选项：尸为抛物线的焦点，如图，过，作 垂 直 抛 物 线 C的准线y =-l 于点由抛物线的定义，知/=四=乜 3I4 用1。切1s i n Z H G D 当 f取最大值时，取最小值，即直线G 与抛物线。相切.设直线H G的方程为y=k x-,.y=k x-/口 由，得/-4 6 +4 =0,l x =4y=6k2 1 6 =0,=1,/.x2 4 x +4 =0,x =2 ,/./(2,1),:.SXCFH=；|G 尸I=1 x 2 x 2 =2,故。正确.故选：A D .1 2.(5 分)(2 02 3 道里区校级一模)已知0,0 且 6 -1,ab=(ea-l)l n(b+l),则下列说法中错误的是()A.a 0B.若关于6的方程上吆=，”有且仅有一个解，则机=eaC.若关于b的方程上=有两个解4，b,则4+a 2 eaD.当 a 0 时，-1 +?b 2 2 b+2【解答】解：因为必=(e-l)/(b +l),化简可得J_=色 女 工，令)=七 二。力0)，e-1 b e-1则 f(x)=(7二,且有 fl n(x+1)=/w(x +1),(ex-1)x令(x)=e*(l-x)-l,则 h x)=e*(l-x)-e*=-xex,故x 0 ,函数(x)在(-o o,0)上递增,x 0 时，h(x)0 ,函数(x)在(0,+o o)上递减，所以力(x)W%(0)=0，即f(x)O，得 x 0,则 g(x)递增,令 g(x)0，得 x 0 ,则y=J单调递增,a当a (0,l)时，y 0,则J单调递减，a即当Q =1时，函数有极小值e,所以只有一个解时加=e 或加 0,故 5 错误;由上吆=1=机，由图易知，不妨设4 b,a a 心则 0 4 1 1 ,所以A+&=2e(f-1)是否成立,即(/+l)lnt 2 e(/-l)是否成立,令 )=(/+)lnt-2e(Z-l),/1 ,取f=e 时，m(e)=e+1 -2e(e-1)0 不成立，故 C 错误;因为h 2 2(6+1)nnk|J -a-11-1-jea-l 2 2ea2a.1 2aea 一 厂山 -1 H ,-c+1,所 以 2cle 0,只需证明z(a)0 成立即可,z(a)=2e2a-2(a+V)ea=2ea(ea-l-a)0,所以z(a)在(0,+oo)上单调递增，所以z(a)z(0)=0 成立，故。正确.故选：BC.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.(5 分)(2023道里区校级一模)己-2)(1-2x)4的展开式中，常数项为X【解答】解：(l-2x)4的展开式通项为&|=C：.(_2x)=C(-2上,其中/(),1,2,3,4，因为(工-2)(1-2x=1(1_ 2幻4 _ 2。_ 2外4,XX在7；+1=0(-2)J 1 3 =0,1,2,3,4)中，由/-1=0,可得r=l,X在-2 4M=C;(-2 产 /=(),1,2,3,4)中，得&=0,所以展开式中，常数项为C；-2)-2C：=-10.故答案为：10.第15页(共25页)2 114.(5分)(2023道里区校级一 模)已知x+y=4,5.x y 0,则+的最小值为x-y y2.【解答】解：x+y=4,且x y 0,2+1 2y+x y x+y 4 4 2x-y y(x-y)y(x-y)y (x-y)y (4-2y)y-y 2+2y令 g(y)=-y2+2 y,g(y)=-y2+2y=(y-1+1,当 y=i 时,g(y)max=i 当 y=1 ,则x=4-y =3,满足x y 0,符合题意，故 二 _ +_L的最小值为2=2.x-y y 1故答案为：2.15.(5分)(2023道里区 校 级 一 模)设S,是数列%的前项和，S=2 a+n-3,令b,=log(%-1)贝IJ +5 +6/=31【解答】解：已知5“是数列%的前项和,S=2an+n-3)则%=S,-S i=2%+”3-2%-1)+3，即4 -1 =2(%-1),又 =2%2,即1 =1 ,即数列0-1 是 以1为首项，2为公比的等比数列，即4=则“=1呜(。“-1)=，呜21=；(T)，3.1-1 125-1,则 0b1 +b02 +0b1 2 5 =1-2-5-x-(-2-+-2.-)=31,125 2x125故答案为：31.第16页（共25页）1 6.（5 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）如图，椭 圆 三+=1 与双曲线-4=1（/0,0）a b m n有公共焦点耳（-。,0）,F2（C,0）（c 0）,椭圆的离心率为4,双曲线的离心率为内，点尸为1 1两曲线的一个公共点，且 N P g=6 0。，则皿+殴=4 ；/为 尸鸟的内心，耳，/,ei e2G三点共线，且 讦 炉=0,轴上点8满 足 力=/1 万，BG=p G P,则 无+的 最 小【解答】解：由题意得椭圆与双曲线的焦距为|=2 c,椭圆的长轴长为2 a,双曲线的实轴长为2m,不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：|尸;-|尸鸟|=2 根，由椭圆的定义：|尸耳|+|P J=2 ，可得：|尸耳上zn +a ,|PF2=a-m ,又/丹 桃=6 0。，由余弦定理得：I 尸耳+|尸 一|尸 耳|.|沙|=|入 =4。2,即（）2 +a）2+（。一 加 y -（加 +a）（a -加）=4 c 2,整理得：a2+3m2=4 c2,u u，、i a 3 z.p m 1 3.所以：-7 H-5-4 ,B P +=4 :c c e,e2 ./为 尸鸟的内心，所 以 仅 为/尸片鸟的角平分线,则有编同理:iw =mAF2A I),11 PF2_IP,AF,AF2A I.IP PFX+PF2 _2a,AIAF,+AF2 2c e,B P|Al=eIP,71=痔,第17页（共25页）：.A I=A7P,故|刈=巧，为耳 工的内心，G，I,G三点共线,即G为/坨 B的角平分线，则 有 回 1 =也=即，P G P F2 P FA又1 8 g 何 期 I，.|G g|BF-BF2 _ 2 c _ P G P F,-P F2 2 m 即|丽=e?|研,BG=j uGP ,.就|=|研，i=e2,A2+=q2+e；=；（e；当 且 仅 当 天=冬，即e?=任 时，等号成立，纥 0,又 小 +&+%=2 7,%,。2，as成等比数列，第19页（共25页）则 3 q +1 2 d =2 7,(q +d)2=q (q +4 d)，联立求解u j 得 q =1 ,d=2,则 勺 =1 +2(-1)=2 -1 ,即数列 可 的通项公式为a“=2 -1 ；%+1/c、，、-r，n,a-2 2(2 -l)x2 2n+l 2 an+an+i(2N+1)(2 +3)2H+3 2 n+1门，22 2 23 22 24 23 2+l 2 则 T=(-)+(-)+(-)+.+(-)5 3 7 5 9 7 2n+3 2n+l2+I 2 2n+3 3 1 9.(1 2 分)(2 0 2 3 道里区校级一模)如图，在四棱锥尸-/B C D 中，底 面 是 边 长 为2的菱形，为等边三角形，平面平面P B 1B C.(1)求点4到平面P 8 C 的距离；(2)为线段PC上一点，若直线A E 与平面ABCD所成的角的正弦值为叵,求平面ADE1 0与平面4 8 c o 夹角的余弦值.【解答】解：(1)取 4。的中点。，连接。8,OP.如图所示：为等边三角形，AD=2,OP LAD,AO=,OP=y/3,又 平 面 平 面/BCD,且平面P 4OC 平面=。尸u 平面PZ。，0P，平面 ABCD,OB u 平面 ABCD,OP 1 OB,PBVBC,BCHAD,A D LP B,第 20页(共 25页)O P L A D,且 O Pu 平面 P 0 8,P 8 u 平面尸。8,O P P B=P,A D 平面 P O B,O B u 平面 P O B,O B L A D ,在菱形48C。中，AB=2,则 08=6,P B=JP O2+O B2=瓜,设点A到平面P B C的距离为h,则VA_P BC=VP_ABC,=OP,即,x x 2 x 病=:X1X6X2XV J，解得人=逅，33 3 2 3 2 2故点A到平面P B C的 距 离 为 好；2(2)由(1)得 0 4,O B,0 P 两两垂直，则建立以。为原点的空间直角坐标系O-师,则 0(0,0,0),尸(0,0,73),C(-2,6 0),4(1,0,0),D(-1 ,0,0),E 为线段尸C 上一点，设 方=f定，则E(-2 f,拒 t,百-4),AE=(2 t-1 ,8,0 同,：OP 1 A BCD,平面4 8 c o 的法向量为丽=(0,o,5，.o s|=E在 13-加=叵，解得 O P -E (一2f-Ip+3/+函-育产,近 1 3,唁,咚半)，设平面4。上的法向量为五=(x,y,z),n A D =-2 x=0则一 _ 5 百 26 ,取 y=-2,则 x=0,z=l,n AE=x 4-y 4-z=03 3 3平面4O E 的法向量为万=(0,-2,1),.平面A D E与平面A B C D夹角的余弦值为|cos万，O P|=m 丝 =r=,n -O P V3xV5 5故平面A D E与平面A B C D夹角的余弦值为.5第21页(共25页),z2 0.（1 2 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回.（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次.求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率;记摸出的红球个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.（2）若 1 号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1 号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球.已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.【解答】解：（1）设事件4=摸出的两个球中恰好有一个红球”,P(A)=C当C 一1 5 ,Cl 2 8CkC2k 5 15 X 可取 0,1,2,尸(X =k)=3 ；,k =0 ,1,2,P(X=0)=,P(X =)=,Cu 1 4 2 83P(y=2)=,2 o故 X的分布列为X012p51 41 52 832 85 1 5 3 3(Z)=0 x 4-lx +2 x =-1 4 2 8 2 8 4（2）设事件8=“丁取到红球，事件。=甲、乙、丙三人中至少有1 人取出白球”,产（力+容空C；7 C；7 C：7 4 9P(B)+旭 生 L J+Gx JKC；7 C；7 C；7 C；7 9 8第22页（共25页）2 1.(1 2 分)(2 0 2 3 道里区校级一模)已知平面内动点到定点尸(0,1)的距离和到定直线y=4的距离的比为定值;.(1)求动点的轨迹方程；(2)设动点的轨迹为曲线C,过点(1,0)的直线交曲线C于不同的两点/、B,过点/、8分别作直线x=f的垂线，垂足分别为其、瓦，判断是否存在常数f,使得四边形/4 及8的对角线交于一定点？若存在，求出常数f的值和该定点坐标；若不存在，说明理由.【解答】解：(1)设(x j),由题意可得化简 可 得 金+二=1,|-4|2 4 3所以M 的轨迹方程为：或+工=1.4 3(2)设过点(1,0)的直线：x=m y+,联立14 +3 I 消去 x 可得：(3 +4m*2)y2+my-8 =0,0 ,%-凹t _ 1因为S是定值，则-=1,可得，=3,s=2,2存在常数，=3 ,使得四边形A%B B的对角线交于一定点(2,0).x=my+1设必)，B(x2,y2),贝 1 J 4。,凹)，耳。,外),可得乂+%=.,1,yty2=7 7 -可 得 乂+必=明%,若存在常数/，使得四边形/啰避的对角线交于一定点，由对称性可知，该点一定在x 轴上，设该点为。(s,0),则4、B、。共线，又 4 5 =(-，必一切)，AiD =(s-t,-yl),则(%-。=(8-%)(s-f)，可得-必%+=(为-%)s，所以s=-内+巾=(吵+D +E%-乂%一必_ 一 沙-。+夕 2 -(M +)-乂 +”1)%-2%第23页(共25页)2 2.（1 2 分）（2 0 2 3 道里区校级一模）已知函数/（x）=/nx-a x2+x+l.（1）当”=0 时，求函数g（x）=xe*-/（x）的最小值；（2）当y=/（x）的图象在点（1,f（1）处的切线方程为y=l 时，求 a的值，并证明:1 t当时，2 历（1+-）*（+1）2 一2.k=k【解答】解：（1）当=0 时，f（x）=l n x+x+l .函数g(x)=xe -f(x)=xex-l n x-x-,X G(0,+),g，(x)=(x+1 X-1 =(X+l)(e、-),X X函数y=e*-！在 x(0,+a)单调递增，x存在唯一%0,使得x0=-l n xQ,XW(O,Xo)时，g x)0,此时函数g(x)单调递减；工(/，+8)时，g 0,此时函数g(x)单调递增.因此X=时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(x)mZ,J=g(x0)=1 +x0-x()-1 =0.(2)f(x)=In x-ax2+x+1,f x)=-2 ax+1,X 当y=/(x)的图象在点(1 ,f(1)处的切线方程为 =1,ff(1)=2 -2 a =0,解得 a =1 .下面证明：J/n(l +-)A 0,此时函数/(x)单调递增;)时,f(x)0,此时函数/(x)单调递减.；.X=1 时，函数“X)取得极大值即最大值，f(1)=1 .二 X G(1,+8)时，f (x)=In x-X2+X+1 11.5(1+)*(1+不k=K 231)+7 2 ,n11i+L L +1+2 3 n2 2&+1+百+应+-1-k-I-2=1+2(正一1)+2(万一五)+2(6-4 )=2 a 1,/(1+3 2 6-1 +w =(G +-2.A=I k第25页（共25页）