2023年高考数学(文)一轮复习8. 5 直线、平面垂直的判定与性质.pdf

8.5直线、平面垂直的判定与性质【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.【知识梳理】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线I与平面a互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直17n?amCn=P_LG?/线都垂直，那么该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a2b7Ta/b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直J12 1?卬X性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直1a l j 、a G 6=a/,La/?【知识拓展】1.三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)直线/与平面a 内的无数条直线都垂直，则/，a.(X)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(X)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(X)(4)若直线aJ_平面a,直 线 平 面 a,则直线a 直线b.(J)【教材题改编】1.下列命题中错误的是()A.如果平面a,平面夕，那么平面a 内一定存在直线平行于平面月B.如果平面a 不垂直于平面夕，那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面夕C.如果平面a_L平面 平面J_平面y,a A =/,那么/J_平面yD.如果平面a,平面夕，那么平面a 内所有直线都垂直于平面答 案 D解析 对于D,若平面a_L平面夕，则平面a 内的直线可能不垂直于平面,即与平面尸的关系还可以是相交、平行或在平面尸内，其他选项均是正确的.2.“直线a 与平面a 内的无数条直线都垂直”是“直线。与平面a 垂直”的 条件.答 案 必要不充分3.在三棱锥PA8C中，点尸在平面ABC上的射影为点Q(1)若 P A P B=P C,则点 0 是ABC 的 心；(2)若 以 _LPB,PBPC,P C V P A,则点。是ABC 的 心.答 案 外 垂解 析(1)如 图 1,连接OA,OB,OC,0P,在 RtAPOA,RtZXPOB 和 RtAPOC 中，PA=PC=PB,：.OA=OB=OC,即 0 为ABC的外心.(2)如图2,延长40,BO,C。分别交BC,AC,AB于点，D,G.：PCVPA,PBLPC,PAPB=P,02/21PA,PB?平面 PAB,，PCJ_ 平面 P A B,又 AB?平面 PAB,：.PCAB,ABLPO,P O C P C=P,PO,PC?平面 PGC,平面 P G C,又 CG?平面 PGC,：.A B L C G,即CG为ABC边A B上的高.同理可证BO,A 分别为ABC边AC,8 c上的高，即O为ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1 (2021全国甲卷)已知直三棱柱ABCA iB C i中，侧 面 为 正 方 形，A B=BC=2,E,尸分别为AC 和 CG 的中点，BF ABi.(1)求三棱锥F-E B C的体积;(2)已知。为棱A i8上的点，证明：BFVDE.(1)解 如图，取BC的中点为M,连 接 由 已 知 可 得EM/IB,AB=BC=2,C F 1,E M=A B 1,AB/AiBi,由 B F lA iB,得 EMLBF,又 EMJ_CF,B F Q C F=F,所以EMJ_平面BCF,故 V 锚 F-EBC=V 三 除 E-FBC=X BC 义 C F X E M=X X Z X IX I.(2)证 明 连接A|E,B|M,由(1)知 EM/AB,所 以 即 在平面EMBA内.在正方形CCIBIB 中，由于F,M分别是CG,BC的中点,所以由平面几何知识可得所以8FJ_平面EMBiAi,又 DE?平面 E M 8 1 A 1,所以 BFLDE.【备选】如图，在四棱锥尸一A8C中，四边形ABCQ是矩形，AB_L平面外。，AD=AP,E 是 P O 的中点，M,N分别在 4B,PC 上，且 MN_L48,MNJ_PC.证明：AE/MN.证明 平面布D,AE?平面附),J.AELAB,又 ABC。，J.AELCD.：AD=AP,E 是尸。的中点，：.AEPD.又 CnP=。，CD,PQ?平面 PCD,，AE_L 平面 PCD.；M N LAB,AB/CD,J.MNLCD.又,：M N LPC,P C Q C D=C,PC,8?平面 PCD,平面 PCD,：.AE/MN.思 维 升 华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性6,aa?ba);面面平行的性质(a，a,a/?aJ_ );面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.跟踪训练1 (2019 全国II)如图，长方体A B C D-A C t D t的底面A B C D是正方形，点E在 棱 AAj上，BELECi.(1)证明：BE上平面EBiCi；(2)若 A=4E,A B=3,求四棱锥E-B B C C 的体积.证明 由 已 知 得 平 面 ABBA,BE?平面AB8A,故 B|CiB.又 BELECi,5 G C E G =G,B C,EG?平面 E 8 C 1,04/21所以BEJ_平面EBiCi.解 由(1)知 NBEBi=90。.由题设知 RtAAB；RtAAiB|,所以 N A E B=ZA,Bi=45,故 AE=A8=3,AA2 AE=6.如图，作 E R LB B i,垂足为尸，则 EF_L平面B B C C,且 EF=AB=3.所以四棱锥E-8 B C iC 的体积V=|x3X 6X 3=18.题型二平面与平面垂直的判定与性质例 2(12分)(2021全国乙卷)如图，四棱锥P-ABCC的底面是矩形，P D L J&A B C D,M 为 8 c 的中点,且 PBAM.(1)证明：平 面 以 平 面 PBO切入点：线面垂直|(2)若 PO=O C=1,求四棱锥PABC。的体积.(1)问关键点：找 平 面%M 或平面P8O的垂线；(2)问关键点：底面矩形面积的计算|思路(1)由线面垂直一线线垂直一线面垂直一面面垂直;分 析(2)由(1)知AM18D-由相似比可求A D-由锥体体积公式一结论答题得分模板规范答题不丢分(1)证明PO_L 平面 A8CO,AMU 平面，仄 二一 线面垂直线线垂直1分-线线垂直力线面垂直3分.P。J.AM.PB A.AM.S.PBQPD=P,PB U 平面 PBD,P D U 平面 PBD,AM_L平面尸8。.又AMU平面尸AM,；.,.三棱锥 PA8C 的体积为 VP-ABC=GPO.SAABC=GX哗X乎X 3=平.3 D Z 4 O思 维 升 华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义.面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性质的应用面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.跟踪训练2如图，在四棱锥物BC。中，底面ABC。为矩形，平 面 以 平 面 ABC。，PALPD,PAPD,E为A D 的中点.(1)求证：PELBCx求证：平面以8,平面PCD证 明(1)因为布=尸 ,E 为AQ的中点，所以 PEA.AD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD所以 PE1.BC.(2)因为底面A8CQ为矩形，所以ABLAD又因为平面必。，平面A8C。，平面也。平面A8CQ=A,A8?平面A8CQ,所以4B_L平面PAD.又 尸。?平面P A D,所以A8_LPD又因为 B4_LPO,且 B4nA8=A,PA,A2?平面必B,所以PO_L平面 力B.又PD?平面PCD,所以平面RW_L平面PCD.题型三垂直关系的综合应用例3在四棱锥P-A B C D中，是等边三角形，且平面B4_L平面48C,AD=2AB2BC,ABAD=乙48c=90.(1)在AO上是否存在一点M,使得平面PCMJ_平面ABC。，若存在，请证明；若不存在，请说明理由;(2)若K?)的面积为8巾，求四棱锥P-A 8C。的体积.解(1)存在，当M为A。的中点时，平面P C M,平面A8CZX证明：取A。的中点M,连接CM,PM,由以。是等边三角形，可得PMAD,由 平 面 以.平 面ABC。，PM?平 面%。，平面 附。C平面ABC)=A。,可得PM_L平面ABCD,由平面PCM,可得平面PCM_L平面ABCD.(2)设 A B=a,可得 BC=a,A D la,可得 M C=AB=M D=a,则 CD=y2a,PD=2a,P M=W，由 PM1MC,可得 PC=yJPM2+MC2=yj3a2+d2=2a,可得a=4,08/21所以四棱锥P-A B C D 的体积V=1s 四迎衫ABCD-P M=jx|x (44-8)X4X43=323.【教师备选】如图，在四棱锥S-ABC。中，四边形ABC。是边长为2 的菱形，Z ABC=60,SA。为正三角形.侧面底面ABC。，E,F 分别为棱A。，SB的中点.求证：AF平面SEC；(2)求证：平面AS8_L平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M,使得BOJ_平面M AC?若存在，求 需 的值；若不存在，请说明理由.证明 如图，取 SC 的中点G,连接尸G,EG,E 分别为AC,AB的中点，所以 DE/BC.又因为OE?平面4CB,BC?平面AC8,所以OE平面AiCB.解 线段A|2 上存在点。，使 4 C L 平面。EQ.理由如下：如图，分别取4 C,AiB的中点P,Q,连接PC,PQ,Q E,则 PQBC10/21A,因为 D E/B C,所以 DE/PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.因为。E_L4。，DELDC,AiDQDCD,AQ,OC?平面 AQC,所以OEJ_平面AQC,又 AiC?平面AjDC,所以 DEA.AC.又因为尸是等腰D4iC底边4 c 的中点，所以4C L O P.因为。C D P=D,D E,。尸?平面。EQP,所以AC_L平面DEQP.从而AC_L平面DEQ.故线段A山上存在点Q,使得A C 平面。EQ.课时精练1.（2022哈尔滨模拟）设机，是两条不同的直线，a 是平面，小，”不在a 内，下列结论中错误的是（）A.n/a 则/n_LB./a,J _ a,则 m/nC.mVa,n?_L，则 aD.m-n,n/a,贝！?J_a答 案 D解析 对于A,&,由线面平行的性质定理可知，过直线”的平面厅与平面a 的交线/平行于，V/Ma,/?a,I,故 A 正确；对于B,若?J_a,n a,由直线与平面垂直的性质，可得?，故 B 正确；对于 C,若 zn_La,m J-n,则 a 或?a,又?a,.n/a,故 C 正确；对于D,若机_L,n/a,则“a 或，”与 a 相交或机?a,而/w?a,则机a 或，与 a 相交，故 D 错误.2.已知m,/是两条不同的直线，a,4 是两个不同的平面，则 下 列 可 以 推 出 的是（）A.m H,“7?夕,/J_aB.m H,aC，=l,z?aC.m/l,tnVa,l邛D./J_a,m/l,m/p答 案 D解析 对 于 A,有可能出现a,夕平行这种情况，故 A 错误；对 于 B,会出现平面a,相交但不垂直的情况，故 B 错误；对于 C,m/l,mA-a,IL/H a/Z/i,故 C 错误；对于 D,/J_a,又由 m花a邛,故 D 正确.3.如图，在斜三棱柱A8CA山C i中，/8A C=90。，B C ilA C,则 G 在底面ABC上的射影H 必在（）A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D./XABC 内部答 案 A解析 由 AC_LAB,ACLBCi,ABQBCi=B,AB,BG?平面 A B G,得 AC_L平面 ABCi.因为AC?平面ABC,所以平面ABG J_平面ABC.所以G 在平面ABC上的射影H 必在两平面的交线AB上.4.在正方体ABC。-A iB C Q i中，下列命题中正确的是（）A.AC与 B C 是相交直线且垂直B.AC与 4。是异面直线且垂直C.与 8 c 是相交直线且垂直D.AC与 是 异 面 直 线 且 垂 直答 案 D解析 如图，连接4囱，则A B C 为等边三角形，则4 C 与 8 1c是相交直线且所成角为60。，故 A 错误;因为4 O B C,所以AC与4。是异面直线且所成角为60。，故 B 错误；连接C。，因为BCL平面C D A G,所以8 C L C A,所以8 5 与 BC所成角为N A B C,为锐角，故 C 错误；连接 8 ),因为 AC_L8O,AC.LDDi,且 BDCDDi=D,B D,。四？平面 BDOi,12/21所以AC，平面BOO1，则则A C与 8 A 是异面直线且垂直，故 D 正确.5.如图，在正四面体P-4 B C 中，D,E,尸分别是AB,BC,C 4的中点，下面四个结论不成立的是（）A.BC平面PO产B.QF_L平面以 C.平面PZ）FJ_平面以ED.平面PZ）E_L平面ABC答 案 D解析 因为BCDF,DF?平面PDF,2C?平面 PDF,所以BC平面P D F,故选项A 正确；在正四面体中，AEBC,PELBC,AEQPEE,且 AE,PE?平面附E,所以BC_L平面以E,因为D F/B C,所以F_L平面PAE,又 OF?平面P D F,从而平面PO以L平面PAE.因此选项B,C 均正确.6.（2021新高考全国II改编）如图，在正方体中，。为底面的中心，P 为所在棱的中点，M,N 为正方体的顶点.则满足MNJ_OP的是（）A.C.答 案 c解 析 设正方体的棱长为2,对于，如图（1）所示，连接A C,则 MNAC,图故NPOC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,在 RtaOPC 中，OC=g，CP=,I 万故 tan N POC=,故 M NO P不成立.对于，如图(2)所示，取 AN的中点8,连接PB,OB,图则 O P=/12+，S?2=小,P B=0 8=3 2+2 2=小,所以 OP2+PB1=OB1,所以OPLPB,又 P B/M N,所以 OPJ_MN.对于，如图(3)所示，取 A O 的中点C,连 接 OC,PC,B D,因为尸，C 分别是OE,A O 的中点，所以C P L B D,又 OCJ_平面 AOEB,80?平面 4DE8,图所以 OCLBD,X OCQCP=C,OC,CP?平面 0 c P,所以 BOJ_平面。C P,所以 BD J_OP,又 BD/MN,所以0PLMN.对于，如图(4)所示，取 4 N 的中点8,M E的中点F,连接P8,BF,OF,14/21图(4)若 OPJ_M N,又 OF_L平面 M E N 4,所以 OF_LMN,所以 MN_L平面 OFBP,所以MN_LBF,显然，MN与 B F不可能垂直，所以。P_LMN不成立.7.已知ABC在平面a 内，/4=9 0。，D4_L平面a,则直线C 4与 0 8 的 位 置 关 系 是.答 案 垂直解析；OA_L平面 a,CA?平面 a,.,.D4_LCA,在ABC 中，V ZA=90,J.ABLCA,且 ZMCBA=A,DA,BA?平面 ZMB,.CAJ_ 平面 D A B,又 OB?平面 DAB,J.CAVDB.8.如图所示，在四棱锥P-ABC。中，弘 _L底面ABC。，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点M满足 时，平面平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）答案。_ 1_尸。（或 8知_ 1_尸（7 等）解 析：阴，底面A8CQ,：.B D Y P A,连接 AC（图略），贝（I B D J_4C,且 。4c=A,PA,AC?平面南C,平面 PAC,J.BDLPC.：.当 DM_LPC（或 BM_LPC）时，即有 PC_L平面 MBD,而 PC?平面PCD,，平面MBO_L平面PCD.9.如图，在三棱锥A-B C Q 中，ABAD,B C Y B D,平面A8Q_L平 面 8 c。，点 E,F（E 与 A,。不重合）分别在棱 AO,BD h,K EFLAD.求证：（1）EF平面ABC；（2）4。_L4c.证 明（1）在平面AB。内,因为 AB_L4。，EFVAD,所以 EF/AB.又因为E尸?平面ABC,AB?平面ABC,所以E F平面ABC.(2)因为平面ABO1.平面B C D,平面4 8 D C平面BCD=BD,8C?平面BCD,BC工B D,所以BC_L平面A8D因为AD?平面A 8 ),所以8 C L 4 D又 A8_LA,BCQAB=B,AB,BC?平面 ABC,所以AD _L平面ABC.又因为AC?平面A B C,所以AO_LAC.10.如图，在四棱锥P ABC。中，底面ABC。是边长为2的菱形，Z BAD=6 0,侧面两。为等边三角形.(1)求证：A D L P B；若平面以，平面A B C D,点E为P 8的中点，求三棱锥尸一A O E的体积.证明 如图，取A。的中点。，连接08,OP,BD,因为!为等边三角形，。是A O的中点，所以O PLAO,因为底面A B C D是菱形，Z BAD=60,所以A3。是等边三角形，OBLAO,因为 O PCO B=O,OP,OB?平面 P08,所以AO_L平面POB,因为PB?平面POB,所以 AO_LPB.(2)解 因为底面ABC。是边长为2的菱形，阴。为等边三角形，所以以=PO=A=2,PO=y3,底面A B C D的面积为2小，因 为 平 面 平 面ABC。，平面以QC平面ABCQ=A),PO LAD,所以PO_L平面ABCD,因为 为P 8的中点，所 以 Vp-ADE VB-ADE-2PABD4PABCD16/21=：x g x小 X2小=g.11.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖膈”.在如图所示的四棱锥P-A B C D中，PD_L平面ABCD,底面ABCD是正方形，且 PO=C。，点 E,尸分别为PC,PD 的中点，则图中的鳖膈有（）A.2 个C.4 个答 案 CB.3 个D.5 个解析 由题意，因为POJ_底面A8C。,所以 POJ_DC,PDLBC,又四边形ABC。为正方形，所以BCLCC,因为 P D C C D=D,所以 8CJ_ 平面 PCD,BC1PC,所以四面体POBC是一个鳖腌,因为。E?平面尸C C,所以BCLOE,因为PO=C,点 E 是 P C 的中点，所以。EJLPC,因为P C C 8 C=C,所 以 平 面 PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖席,同理可得，四面体P-A B。和 F-A B Q 都是鳖膈.1 2.如图，在正方形ABC。中，E,尸分别是BC,CC的中点，G 是 E F 的中点.现在沿AE,A尸及E F把这个正方形折成一个空间图形，使 B,C,力三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有（)A.AG_L平面 EF”C.AEF答 案 BB.44_1平面777D.“G_L平面AE尸解 析 根据折叠前、后 A H L H E,不变,平面EF”，B 正确；.过A 只有一条直线与平面77/垂直，.A 不正确；,：AGLEF,EFA.GH,AGCGH=G,AG,G”?平面/MG,，EF_L 平面 HAG,又 EF?平面AEF,.平面/M G,平面A E F,过点”作直线垂直于平面AEF,一定在平面4A G 内，C 不正确；由条件证不出HG_L平面AEF,A D 不正确.13.如图，在三棱柱ABC中，已知平面ABC,BC=CG，当底面A B C i满足条件时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案 AC.LBiCi解析 当底面4 1 8 c l满足条件A iG L B iG 时，有 A3 _L 8G.理由如下：.44_L平面 ABC,BC=CCi,.四边形BCGBi是正方形，ABCilBiC,V CC/AA,AAiCilCCi.又 4Ci_LBiG,CCiCBC尸Ci,CCi,C G?平面 BCGBi,，AiCi_L平面 BCCiBi,：A C/A C,，ACJ_ 平面 BCGS,VBC1?Y BCCB,：.BC1.AC,.ACCBC=C,AC,BiC?平面 ACS,，8C|J_ 平面 ACB,.又 ABi?平面 ACE,：.ABLBC.14.（2022 广州模拟）如图，在四棱锥S-ABCQ中，底面四边形ABC。为矩形，SAL平面ABCQ,P,Q 分别是线段BS,4。的中点，点 R 在线段SO上.若 AS=4,AD=2,A R L P Q,则AR=.CD18/21答 案 半解析 如图，取 SA的中点E,连接PE,QE.VSA1T ABCD,AB?平面 ABC。，：.SA1AB,而 AB_LA,ADQSA=A,AD,SA?平面 SA。，平 面%O,故尸E_L平面SAD,又 AR?平面SAD,C.PELAR.又；AR_LPQ,PECPQ=P,PE,PQ?平面 PEQ,，AR_L平面 PEQ,；E。？平面 PEQ,：.ARLEQ,；E,。分别为SA,A。的中点，：.E Q/S D,则 4R_LSC,在 RtAASD 中，AS=4,AD=2,可求得SD=2小，由等面积法可得AR=华.15.（2022 玉溪模拟）如图，四棱锥P-A B C Q 的底面为矩形，底面ABC。，AD=,P D=A B=2,点、E 是 PB的中点，过 A,D,E 三点的平面a 与平面P8C 的交线为/,则下列结论正确的有.（填序号）/平面以）；AE平面PCD；直线PA与/所成角的余弦值为 小；平面a 截四棱锥P-ABC D 所得的上、下两部分几何体的体积之比为之答 案 解析 如图，取PC的中点F,连接EF,DF,P则A)E F,即A,D,E,尸四点共面，即/为EF,对于，EF/AD,A。?平面 PAD,EF?平面 PAD,所以EF平面 D,即/平面抬力，故正确；对于，由E尸A Q,若AE平面P C Q,则必有AEQF,即四边形A D F E为平行四边形，则A Q=E F,矛盾，故错误；对于，以 与/所成的角，即 以 与E F所成的角，即 必 与AO所成的角,由 PO_L底面 ABC。，所以 POJ_4),cos/?4)=M=坐，故正确；rxi J对于，连接BD,VP-ABCD-P D S WA f i C D=|x 2 X 2=1，VABCDEF=VA-BDE VD-BCFE-_3lyX 25*x小A +,lyh/2xJ_53义4*啦-6,V/AOFEVABCDEF3-55-656-4-31 6.如图(1),在平面四边形 A8DC 中，Z A B C=Z D=9 0 f AB=B C=2,C D=f 将ABC 沿 5C边折起如图(2),使，点、M,N分别为AC,A D的中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此 题.A=巾，AC为四面体ABDC外接球的直径，平面4 8 c l平面BCD(1)判断直线M N与平面ABO的位置关系，并说明理由;(2)求三棱锥A-M N B的体积.解(1)若选：A D=在中,BC=2,C D=,可得 BD=小，又由A B=2,所以20/21所以ABLBD,因为 AB_LBC,且 BCnBD=B,BC,BD?平面 C B D,所以 A8_L平面 C8O,又因为CO?平面C 8 D,所以A8J_CD,又由 CO_LBO,A B C B D=B,且 AB,B。?平面 A B D,所以 CD_L平面 ABD,又因为M,N 分别为AC,AD的中点，所以MNC D,所以M N,平面ABD若选：4 c 为四面体ABDC外接球的直径，则NAOC=90。，CDA.AD,因为 CQ_LBO,ADCBD=D,AD,BD?平面 A8O,可证得COJ_平面ABD,又M,N 分别为AC,A C 的中点，所以MNCQ,所以MN_L平面ABD.若选：平面ABC_L平面B C Q,平面ABCC平面BCD=8C,因为AB_LBC,且 48?平面A8C,所以AB_L平面CBD,又 CZ)?平面C B D,所以A5_LCQ,因为 CJ_8O,A B C B D=B,且 AB,BD?平面 A B O,所以 CO-L平面 ABD,又因为M,N 分别为AC,A。的中点，所以MNC D,所以M N,平面ABD(2)由(1)知平面A B O,其中A8O为直角三角形，可得 SAANBSADB,MN=3CD=3,故三棱锥A MNB的体积为VA-MNB=VM-ABN=3 X*X 3=*