2023年九年级中考数学复习 垂径定理的计算.pdf
微专题垂径定理的计算【知识与方法】在圆中求弦长和半径（直径），通常要用到垂径定理，构造直角三角形求解，其基本模型如下：图中有如卜-关系：【例题简析】【例1】如图，。的直径A B=8,点P为0B的中点，过 点P的弦CD与AB的夹角N AP C=30 ,求 弦C D的长.南I图）（例 答案图）【解析】作 O ECD,连接 0 C.求得 O E=1,CE=y/75,：.C)=2y/75.【针对练习】1.（2 0 2 2安徽）已 知 的 半 径 为7,A B是。0的弦，点P在 弦A B上.若P A=4,P B=6,则 0 P 的 长 为（）A.E B.4 C.y23 D.52.（2 0 2 2南充）如图，A B为。0的直径，弦CD _ LAB于 点E,O FB C于 点F,Z B 0 F=6 5 ,则 N A0 D 为（）A.7 0 B.6 5 C.5 0 D.4 5 3.（2 0 2 2云南）如图，已 知A B是。0的直径，C D是。0的弦，AB 1 CD,垂足为E.若AB=2 6,CD=2 4,则N 0 C E的余弦值为（）4.如图，0 A为。0的半径，弦C B 1 0 A于 点D,点D为0 A的中点，若0 A=4,则 CB=.5 .（2 0 2 2 长沙）如图，A、B、C 是。0上的点，0 C1 AB,垂足为点D,且 D为0 C的 中 点，若 0 A=7 ,则 B C 的长为.6 .已知。的半径为 1 0 cm,AB,CD 是。0 的两条弦，AB CD,AB=1 6 cm,CD=1 2 cm,则弦AB 和CD 之 间 的 距 离 为.7 .（2 0 2 2 宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，隋代建造的赵州桥距今约有1 4 0 0 年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表 示 为 一.桥的跨度（弧所对的弦长）AB=2 6 m,设 所在圆的圆心为0 CLAB ,垂足为，半径为D .拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5 m,连接0 B .求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 1 m）.O（第7赎）8 .如图，A B 为。0的直径，AB=1 3,弦 A C=5,点 D为 B C 的中点，求 弦 AD的长.9.如图，在4 A B C 中，AB=AC,以 A B 为直径的。0交 B C 于 点 D,过 点 D作00的切线D E,交 A C 于 点 E,A C 的反向延长线交。0于 点 F.（1）求证：D E1 AC；（2）若 D E+EA=8,0的半径为1 0,求A F 的长度.1 0.如图，00是4 A B C 的外接圆，A D 是。0直径，B C 与过点A 的切线E F 平行.(1)求证：AB=AC；(2)设AD,B C相交于点G,若 D G=B C=1 6,求 AB 的长.【答案简析】1.D.2.C.3.B.4.4c .5.7.6.2cm 或 14cm.7.设主桥拱半径为R,由题意可知AB=26,CD=5,.,.B D=4B=1 3,0D=0C-CD=R-5,V Z0BD=90,.,.OD2+BD2=OB2,A(R-5)2+132=R2,解得 R=19.419,答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.8.连接 BC,BD,0D,B C与0 D交于点E.则BC=12,0E=2.5,BE=6,ED=4,阳 虫)ABD=2 V I?AAD=3 V I?9.(1)证明：VOB=OD,.,.ZABC=ZODB,VAB=AC,，ZABC=ZACB,/.ZODB=ZACB,.ODAC.V D E是0 0的切线，0 D是半径，ADEIOD,/.DEAC；(2)如图，过点 0 作 0H1AF 于点 H,则 Z0DE=ZDEH=Z0HE=90,四边形ODEH是矩形，.OD=EH,OH=DE.设 AH=x.VDE+AE=8,OD=10,/.A E=10-x,0H=DE=8(10 x)=x 2.在 RtAAOH 中，由勾股定理知:AH2+0H2=0A2,即 x2+(x2)2=102,解 得 x,=8,x2=6 （不合题意，舍去）.AH=8.V O HAF,1.AH=FH=3F,.,.AF=2 AH=2 X 8=1 6.1 0.证明：V E F 切。0于 A,/.0 AEF,Z 0 AF=90 ,又.EFB C,/.Z 0 G C=Z 0 AF=90o,A OA I BC,-=-/.AB=AC2）连 接 O B,V 0 G B C,0 G 过圆心，.,.B G=$C=g x i6=8,设 0 B=x,则 0 G+0 D=D G=1 6,0 G=1 6-x,在 Rt A B O G 中，由勾股定理得：x2=82+（1 6 x）2,x=1 0,.*.0 G=6,AG=4,在 Rt AAB G 中，由勾股定理得：AG=/卢+/=45.（第io版）
