2021年全国高考数学模拟试卷（文科）（五）（全国Ⅲ卷）（附答案详解）.pdf

2021年全国高考数学模拟试卷（文科）（五）（全国ni卷）一、单 选 题（本大题共1 2 小题，共 60.0 分）1.（2 0 2 1全国模拟题）已知复数z 满足z（l +i）=2 +33则复数z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（2 0 2 1 全国模拟题）已知集合 4 =*=+2*-3 MO,B=x|x+a 0,且2 n5 =%|-3 x b,则a?b2B.若 a,c 同号，且2 色，则b e ad b,c d,则 a c b dD.若a b,c d,则ac bd6.（2 0 2 1全国模拟题）如图所示的正四面体4-B C D 中，E,F分别为棱BC,AC 的中点，给出下列说法：EFCD:EF平面A B Q；EF 14D；EF 与 所 成 的 角 为 60。,其中正确的是（）A.B.C.D.7.（2 0 2 1.全国模拟题）港珠澳大桥是一座“圆梦桥、同心桥、自信桥、复兴桥”，体现了我国的综合国力，自主创新能力.为此某校团委组织了一场与“港珠澳大桥”有关的知识大赛，赛后甲、乙、丙、丁四位同学去了解他们四人的排名顺序，有如下一段对话，甲说：我不是最好的也不是最差的：乙说：与甲相反；丙说：乙不可能是最好的；丁说：我比甲要好一些，试根据他们的对话，他们的成绩从高到低的排序可以为（）A.丙、丁、甲、乙 B.丙、甲、丁、乙C.乙、丙、丁、甲 D.乙、甲、丙、丁8.（2 0 2 1全国模拟题）将函数f（x）=s i n2 x的图象向左平移W（l 8 l a 0）的右焦点尸的直线/与C的两个交点分别位于第三象限与第四象限，若直线/的斜率为e -*其中e 为 C的离心率），则离心率e 的取值范围是（）A.,+8）B.（2,+oo）C.（14）1 1.（2 0 2 1全国模拟题）如图所示，在三棱锥P-4BC中，AC J.CB,Zi P A B 是等边三角形，平面P A B，平面4 B C.已知三棱锥P -A B C 外接球的半径为4,则该三棱锥体积的最大值为（）D.(1,2)第 2 页，共 19页A.V3C.4V31 2.（2 0 2 1.全国模拟题）已知定义在R上的可导函数f（x）,对任意的实数x,都有/（x）-f（-x）=2 x,且当x e （0,+8）时,f（x）1 恒成立，若不等式/（a）-/（I -a）2 a-1 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.+8)B.(0 闫c.（F）D.二、单 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）1 3.（2 0 2 1 全国模拟题）已知s i na=%a G（0,2）,则t a n a-=.1 4.（2 0 2 1全国模拟题）某企业一种型号的针孔打印机，出厂时打印正点率为1 0 0%,但经过一段时间工作后，发生了微小的误差，需进行重新调整,经统计连续三天的误差情况，第一天打印5 0 个点的正点率为0.9 8,第二天打印8 0 个点的正点率为0.9 7,第三天打印1 0 0 个点的正点率为0.9 6,则这三天打印的平均正点率的误差估计值约为（结果保留2 位小数）.1 5.（2 0 2 1 全国模拟题）在A A B C 中，NA =6 0。，AC=2,BC=V 7，点。在边 A B 上,且4。=2 B D,贝 i J C D =；s i nz f i C D =.1 6.（2 0 2 1全国模拟题）如图，正方形A B C Q 的边长为1,E是以C -4为直径的半圆弧上一点，则 荏.前 的 最 大 值 为 .J/八三、解 答 题（本大题共7 小题，共 82.0分）1 7.（2 0 2 卜全国模拟题）已知等差数列 即 中，a3+a7=1 2,a4=5,正项等比数列也 中，瓦七坛（1）求数列。与%的通项公式；（2）记/=anbn,求数列 cn 的前n项和Sn.18.（2021全国模拟题）由于受新冠疫情影响，某厂的甲、乙两家员工餐厅用餐量直线下降，效益快速下滑，因此该厂对甲、乙两家员工餐厅除加强卫生标准的检查与落实外,拟将其中一家餐厅改为既可提供员工用餐，还可对外承接用餐业务，增加效益，为此厂务办对两家餐厅进行综合考核.考核从两方面进行，并且各占5 0%,相加得分高者可对外承接用餐业务.考核一：从在甲、乙两家餐厅都用过餐的员工中随机抽取100人，每人分别对这两家餐厅进行菜品的口味评分（满分均为100分，以平均分作为最终得分），统计评分数据，并统计了甲餐厅分数的频数分布表，绘制了乙餐厅分数的频率分布直方图；甲餐厅评分频数分布表：分数50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数527401810乙餐厅评分频率分布直方图（如图）：考核二：专家从用餐环境、卫生及对经营管理者的理念角度给甲、乙两家餐厅的评分分别为80分，82分.（1）请问哪家餐厅可以对外承接用餐业务？（2）厂务办从对甲餐厅评分在 90,100内及对乙餐厅评分在 60,70）内的评分中，按分层抽样抽取4个评分，再从4个评分中随机抽取2个，征求打分员工今后改进餐厅管理的建设性意见，求甲.乙两家餐厅的评分都被抽到的概率.第 4 页，共 19页1 9.(2 0 2 1全国模拟题)如图1 所示的平行四边形A 8 C D 中，点E为边A 8 的中点,A B =2,AD=1,DAB=6 0,现将 4 D E 沿 OE折起，使点A到达点P的位置，得到四(1)证明：C E,平面P E D；(2)求三棱锥P -C D E 的体积.2 0.(2 0 2 1全国模拟题)已知椭圆C：5+=l(a b 0)的左、右焦点分别为&,F 2,以生4为直径的圆过椭圆的上、下顶点，长轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P(4,t)(t R 0),过点尸的直线A P 与 B P分别交椭圆于点C,D,证明：直线C。必过x 轴上的一定点.21.(2021全国模拟题)已知函数/(x)=詈.(1)当a=1时，判断函数/(x)在区间(0,2)内极值点的个数；(2)当a 泄，证明：方程f(x)=*+5+1-a在区间(0,|)上有唯一解.22.(202L全国模拟题)在直角坐标系中，圆。1的 参 数 方 程 为;：肾。$戊色为参数)，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆。2的极坐标方程为 p=2sin9.(1)将圆01的参数方程化为普通方程，圆。2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设圆01与x轴的正半轴的交点为A,点P在圆内与圆。2公共弦所在的直线上，求|P川+IP 0 J的最小值.23.(2021全国模拟题)已知函数/1(x)=|x-2|+|x-a|.(1)若不等式/(x)2,/(x)的最小值为1,且m 0,n 0,=a,求2?n+n的最小值.第 6 页，共 19页答案和解析1.【答案】A【知识点】复数的代数表示及其几何意义【解析】解：由已知可得z =鬻=屋:：；)=|+夕，所以对应的点在第一象限，故选：A.由已知先化简复数z,进而可以求解.本题考查了复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.2.【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】解：-A=(x-3 x 1 ,B-xx -a,且 4 n F =x|-3 x -1 ,a 1.故选：C.可求出集合A,B,然后根据4 C B =x|-3 W x W-1 即可求出“的值.本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.3.【答案】B【知识点】数列的递推关系【解析】解：数列%；的前项和为Sn,Sn=n2,则a 8 =S8-S7=82-72=1 5.故选：B.利用数列的前项和与通项公式的关系，求解即可.本题考查数列的递推关系式的应用，是基础题.4.【答案】B【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：抛物线C：y =4/的准线方程为：y =-i点P的坐标为(1,4),由抛物线的定义可知仍用=4一(-表)=热第8页，共19页故选：B.求出抛物线的直线方程，利用抛物线的定义转化求解即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.5.【答案】B【知识点】不等式的概念与不等关系、不等式和绝对值不等式【解析】解：对于A：令a=-l,b=-2,则。2 从，故 A 错误；对于B；由&得2-逋 0,所以be ad 0,a c a c ac故 B 正确；对于 C：令a=1,b=1,c=5,d=0,则 a c b d,故 C 错误；对于。：令a=1,b=1,c=0,d=1,ac b,可得a=2 0 2 0-2 0 1 9 =1,i =2,由a 1 0)的离心率为6,过右焦点且斜率为e-；的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限，0 e-可得22 a(e,l)2 g4故选：A.先确定双曲线的渐近线的斜率，可得即可得出结论.本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用0e-：2求解离心率的范围，属于中档题.a1 1.【答案】D【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：设APAB的边长为“，三棱锥P HB C外接球的球心为。，A B C的外接圆的圆心为0,A C 1 CB,.球心。必在 P A B底边A B的高上，=2 x 4,可得a =2x 4 x曰=4取,则 的 高 九=P 0=6,又当O CI A B时，SMBC取得最大值，此时。C=AB=2 V 3,S 08C=4A/3 x 2旧=12,此时三棱锥P -力B C的体积的最大值为U =1 x 12 x 6 =2 4.故选：D.设A P/I B的边长为a,三棱锥P-A B C外接球的球心为O,A B C的外接圆的圆心为。，可得球心。必在P 4B底边A B的高上，再由正弦定理求得a,再求出三角形A B C面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值.本题考查多面体外接球体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.12.【答案】4【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】解：S/(x)-/(-x)=2 x,得/(x)-x =r(-x)-(r),记尸(x)=f(x)-x,则有尸(x)=F(-x),即F(x)为偶函数，又当x e (0,+8)时，F 0恒成立，所以FQ)在(0,+8)上单调递增，所以由/(a)-/(I -a)2 a-1,得 f (a)a /(I -a)-(1-a),即尸(a)F(1-a)=F(|a|)F(|l -a|),所以解得a 2故选：A.由/(x)-/(-x)=2 x =/(x)-x=/(-x)-(-x),记F(x)=/(x)x,分析可得F(x)为偶函数，且在(0,+8)上单调递增，于是不等式/(a)-/(1-a)2 a 1恒成立可转化为广(a|)F(|l -a|),脱“尸”解之即可.本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与推理运算能力，属于中档题.13.【答案】一更3【知识点】同角三角函数的基本关系【解析】解：因为s b i a =p a 6 (0,2),所以a =3 c o s a =r t a n a =6 2 3则 t a n a-=4=cosa 3 V3 3故答案为：一勺.3由已知可先求出a,代入即可求解.本题主要考查了同角基本关系，属于基础题.14.【答案】0.03【知识点】众数、中位数、平均数第12页，共19页【解析】解：根据题意知，这三天的正点数约为：50 x 0.98+80 x 0.97+100 x 0.96=222.6,其打印点的总数为50+80+100=230,所以这三天打印的平均正点率约为登，所以误差估计值约为1 一 筹=募 x 0.03.故答案为：0.03.根据题意求出这三天打印的正点数，计算这三天打印的平均正点率，求出误差估计值.本题考查了加权平均数的计算问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题.15.【答案】2 14【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用、正弦定理由余弦定理得Be?=AC2+AB2-2AC-AB cosA,即 7=4+X2-2X2X X X,整理得好-2x-3=0,解得 =3或x=-1（不合题意，舍去），所以AB=3；又因为4。=2B O,所以4。=2,BD=1；所以A a cc是正三角形，则CC=2；在 ABOC中，由余弦定理得，BD2=DC2+BC2-2DC-BC-cosZBCD,即 l =4+7-2 x 2 x x cos 乙BCD,解得cos/BC。=亲，所以sin/BCD=小-（另=金=等故答案为：2,叵.14 ABC中利用余弦定理求得AB的值，再计算CO的值；BOC中利用余弦定理求得cos乙B C D,再求s i n z _ B CD的值.本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力与推理应用能力，是中档题.16.【答案】竽【知识点】向量的数量积【解析】解建立如图平面直角坐标系,以C D为直径的圆的方程为(x -1)2+(y -I)2=设+g e o s。,1+/讥8),(0 e 7 T),AE AC=-+-cos6+1+-sin0 =s i n(0+-)+-2 2 2 2、4，2V 0 0 7 T,e 0,f(x)单调递增;当X 6(1,+8)时，/(*)0,则“(x)=T+i-。=皿券心空等2，又Q I，所以g(%)0在 e (0,|)上恒成立，所以g(x)在(0,|)上单调递减，又因为 g(l)=1+l-a =|-a|x2+a(l%)+(1 d)x=x2 2 ax+Q+%2 ax+a+%,令-2 ax+Q+%=0,可得=ZCL-L所以9(紫 7)仇所 以 存 在(竟 ,1),使g(&)=0,即方程f(x)=1 x +l-a在区间(0,|)上有唯一解.【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】(1)对f(x)求导，求出f(x)的单调性，即可判断极值点个数；(2)令g(X)=2-a，n x +(1 -a)x,x 0,利用导数判断g(x)的单调性，利用零点存在定理即可求得g(x)又唯一零点，即可得证.本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查方程与函数零点的关系，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题.2 2.【答案】解：(1)圆。1 的参数方程为 j：；i：aC s a(a为参数)，转换为普通方程为Q-1)2 +y 2 =1;fx pcosd圆。2 的极坐标方程为p =2 s)仇 根 据 卜=p s m e ,转换为直角坐标方程为一+X2+y 2 =p 2(y-1)2 =i-(2)由于圆。1 与圆。2 交于两点，所噌:晨工;,整理得y=x，由于点01 (1,0)与点4(2,0)均在直线y =%的下方，点。1 关于y =x 的对称点为。2，所以|P 川+|P。/=PA+PO2 O2A,又点。2(0,1),所以 1 02 A l=V22+l2=V5，第1 8页，共19页|P4|+|POi|的最小值为6.【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出f 的值.(2)利用两点间的距离公式的应用求出最小值.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.23.【答案】解：(1)因为不等式/。)3%-1 的解集为 2,4,即方程|x-2|+|x-a|=x-1的两个实根为2,4,所以|2-a|=l,|4-a|=1,解得a=3,经检验a=3符合题意.(2)1 a 2,则/(x)=|x-2|+|x-a|x-2 x+a=a-2=a 2,当且仅当2 x 0,n 0,所 咤+；=3,所以2巾+71=4(2皿+71)(5 +$=：(4+5 +岑)2 9(4 +4)=|，当且仅当2m=兀=割寸，等号成立.故2m+n 的最小值为|.【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式【解析】(1)由题意可得2,4 为方程氏一2|+k 一(1|=%-1 的两个实根，解 a 的方程组可得。的值，检验可得所求值；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，则可得 +：=3,利用乘“1”法及基本不等式即可求解2m+71的最小值.本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.