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2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷（3 月份）一、单项选择题（共7小题）.1.已 知 集 合 =-2,1,2,3 ,N=-2,2 ,下列结论成立的是（）A.B.M ClN =0 C.MUN=M D.CMN=12.在复平面内与复数z=篝所对应的点关于实轴对称的点为A,则A对应的复数为（）1+1A.1+Z B.1 -/C.-1 -z D.-1+zlnx,x04.一个正三 棱 锥（底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是)A,返45.设当x=。时，B.返 C.返 D.返3 4 12函数f (x)=3 s i n x+4 c os x取得最小值，则s i n 8=()A.35B.C.卫 D.三5 5 56.已知数列 的前项和为S，且 的=2,如+i=S，若“丘（0,2 0 2 0）,则称项斯为“和谐项”，则数列 的所有“和谐项”的平方和为()AA.1 Xv 4.11+.8二-oR.1 xv 4-1 1-4-rc.1 vX 4.1 0+.8 Dn.1 Xv 4J 2 -43 3 3 3 3 3 3 37.己知函数/(X)g(x)=-r3+2 x2-3 x+c.若对V xi W (0,+),3 x2 6 l,3 ,使/（九 1）=g（X2）成立，则 C的取值范围是（)4 4 4 4 4 4A.-5c B.-TcW C.cW D.c e2 3 e2 3 3 e2二、多项选择题（共 4 小题）8.某特长班有男生和女生各1 0 人，统计他们的身高，其 数 据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）男生7 85 6 7 92 32女生316 1 3 4 5 517 1 1 2 318197A.女生身高的极差为12B.男生身高的均值较大C.女生身高的中位数为165D.男生身高的方差较小9.已知菱形A8CD中，ZBAD=60,AC与 8。相交于点O.将A8O沿 折 起，使顶点 A 至点M,在折起的过程中，下列结论正确的是（）A.B DL C MB.存在一个位置，使CZ5M为等边三角形C.与 BC不可能垂直D.直线。M 与平面BC。所成的角的最大值为601 0.设 4,B 是抛物线y=N上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（）A.若。4_LOB,则2B.若 0 A L 0 8,直线AB过 定 点（1,0）C.若 OA_LOB,。到直线AB的距离不大于1D.若直线AB过抛物线的焦点F,且 何|=得，则|即=11 1.已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当x 0 时，f(x)=-/*(x-1)B.函数/(x)有 3个零点C.f(x)0 的解集为(-8,-1)u(0,1)D.V xi,X2GR.都有-f(X 2)|2三、填 空 题(共 4 小 题).,.、s i n2x-ta n x,x C 41 3 .平行四边形A 8C)中，M为 C 的中点，点 N满 足 曲=2 筱，若 屈=入 京+|1 讪，则A+|i 的值为.1 4 .在三角形A 8 C 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,A=3 0 ,C=4 5,c=3,点P 是平面A B C 内的一个动点，若N B PC=60 ,则 P8C面 积 的 最 大 值 是.1 5.抛物线C：V=4x 的焦点为F,动点P在抛物线C 上，点 A (-1,0),当 兽-取 得P A最小值时，直线AP的方程为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 6 .某班5 0 名学生在一次数学测试中，成绩全部介于5 0 与 1 0 0 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 5 0,6 0),第二组 6 0,7 0),第五组 9 0,1 0 0 .如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(I )由频率分布直方图估计5 0 名学生数学成绩的中位数和平均数；(I I )从测试成绩在 5 0,6 0)U 9 0,1 0 0 内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为,n,求事件“|?-川 1 0”概率.(1)求数列 3 的通项公式；(2)设数列 Cn 其前“项和为Tn,如 果T”S m对任意的吒N*恒成立，求实数m的取值范围.1 8 .某地区上年度电价为0.8 元/Z W”,年用电量为母汗力，本年度计划将电价降到0.5 5 元/A W%至 0.7 5 元/k W 之间，而用户期望电价为0.4 元/A W 4 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K).该地区电力的成本为0.3 元/k W 1.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设 A=0.2 a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长2 0%?(注：收益=实际用电量X (实际电价-成本价)2 2 21 9 .已知AABC 的内角A,B,C 所对的边分别是a,h,c,其面积S=b+c-a .4(1)若 求 co s B；(2)求 s i n (4+B)+s i n B co s B+co s (8-A)的最大值.2 22 0.已知椭圆0：号 Jy=l(ab 0)的左、右顶点分别为A,B,点尸在椭圆。上运动,I/若A P A B面积的最大值为2JE椭 圆 O的离心率为之.(1)求椭圆。的标准方程；(2)过B点作圆：x2+(y -2)2=凡(0 r 2)的两条切线，分别与椭圆。交于两点 C,。(异于点B),当 r 变化时，直线C。是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标,若不是，请说明理由.2 1.已知函数/(x)=e-j x2(e=2.71828为自然对数的底数)有两个极值点M,x2.(1)求 a 的取值范围；(2)求证：xi+x2 0 时，f(x)=xlnxt则令，(x)=伉+1=0,解得/=1 ,所以当OVxV工e e时，/(x)单调递减，心 2 时，/,(X)单调递增，e当元WO时，f(x)=告 ，则令，(x)=-1 2 0,所以当x=-1-.B C=g：.VP.ABC S ABC-O P=X -X()2 乂1=亨.故选：C.3 4 4解：f (x)=3 si n x+4 c o sx=5(p si n x+77c o sx)=5 si n(x +0 ),其 中 si n 二三,3 3 0小3c o sQ =.D由/(6)=5 si n (0+(p)=-5,可得 si n (0+(p)=-1,兀*,0 +0 =-y+2 k兀，kcZ,兀6 =-(p -+2 k ，k c Z,冗 兀 3si n 0 =si n(-$一 +2 k兀)=si n(-Q -z-)=-c o s0N N 3故选：C.6.已知数列。的前项和为S，且 m=2,期+i=S，若斯W(0,2 0 2 0),则称项期为“和谐项”，则数列 斯 的所有“和谐项”的平方和为()A.-x 4U+1-B.-x 4H-4 C.-X 410-H1-D.-X 41 2-3 3 3 3 3 3 3 3解：因为 an+=Sn9 所以 an=Sn-(心 2),则 an+-an=Sn-Sw-i,即 an+-an=an,3 4.1所以-=2(n 2)，因为 0=2,所以“2=5 1=0=2,a”故f 2n r l,n 2a=,n 1 2,n=l因为 a,e(0,2 0 2 0),所以于是数列”“的所有 和谐项”的平方和为:af+a2+-+ai0+af1=4+4+42+-+410=4+L7-=4-HrZ-=Yx 4”居，乙 1 u 1 1 1 4 o o o故选：A.7.已知函数 f(x)=x19ex,g(x)=-x3+2x2-3 x+c.若对V x i W (0,+),3 x 2 l,33 ,使/(为)=g(X 2)成立，则c的取值范围是()4i 4 A 4 4A.-c B.-y 0,解得：1 VXV 3,故g (x)在 1,3 递增，而 g(X)而=g(1)=-导c，g(x)u,x=g(3)=c,故 g (x)6 -+c c ，若对V x i 6 (0,+8),3X2 G 1 ,3 ,使/(x i)=g(%2)成立,4则(0,21-c,故 e4+c 0,3,解得：丁4 辰仔4,4/e2 3le故选：B.二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分。8.某特长班有男生和女生各1 0人，统计他们的身高，其 数 据（单位：c m）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（)男生7 83 5 6 7 92 32女生16 1 3 4 5 517 1 1 2 318197A.女生身高的极差为12B.男生身高的均值较大C.女生身高的中位数为165D.男生身高的方差较小解：4、找出所求数据中最大的值1 7 3,最小值1 6 1,再代入公式求值极差=1 7 3-161=1 2,故本选项符合题意;B、男生身高的数据在167 192之间，女生身高数据在161 173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167,所以中位数是1 6 6,故本选项不符合题意；D、抽取的学生中，男生身高的数据在167 192之间，女生身高数据在161 173之间,男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意.故 选:AB.9.已知菱形ABCO中，Z B A D=60 ,4 c与 相 交 于 点。.将48。沿8。折起，使顶点A至 点 在 折 起 的 过 程 中，下列结论正确的是（）B.存在一个位置，使 为 等 边 三 角 形C.O M与 不 可 能 垂 直D.直线。M与 平 面 所 成 的 角 的 最 大 值 为60解：菱形A 8C O中，/B A O=60,A C与8。相交于点。.将A 8O沿 折 起，使顶点A至 点M,如图：取8。的中点E,连 接M E,E C,可知E C L B D,所以8 0 _ L平面M C E,可知M C _ L B ),所以A正确;由题意可知4 B=B C=C D=D 4 =B O,三棱锥是正四面体时，C D M为等边三角形，所以B正确;三棱锥是正四面体时，0M与8 c垂直，所 以C不正确;在平面M B D与底面B C D垂直时，直 线D M与平面B C D所成的角的最大值为6 0 ,D正确.故选：ABD.1 0.设4,8是抛物线y=/上的两点，。是坐标原点，下列结论成立的是()A.若 OA _ L OB,贝”。4|OB|)2B.若0 4 _ L 0 2,直线A 8过 定 点(1,0)C.若OA L OB,O到直线A B的距离不大于1D.若直线4 8过抛物线的焦点尸，且|A F|=，则I M =1解：对于选项 A：A(xi,Xi2),B(必 蝶)，.,O4 J _ 0 3,赢 瓦=o，；.xiX2+(m 2)0_ 12=0,.XX2(1+X 1 X 2)=0,/.Xn=-,2 X1OAOB=l x12(l+x12)-2(1 4-2)=VX1 X1Jl+xi2T5+1 小+2|X|布=2,当且仅当=1时等号成立，故选项A正确；对于选项8：若。4 L O B,显然直线4 B的斜率存在，设直线4 8的方程为：y=kx+m,联立方程y=k x+i Rl y=x2，消去 y 得：x2-kx-/H=0,设A（X”yi）,3（X2,”）*.x+X2=k,xxi=-m,_ 2 2 _/2 _ 2*yly2_x 1 x2-m*.*O A.L O Bf OAOB=O，的X2+yi”=0,，-in+m2=0f.m=0 或 1,易知直线A B不过原点，机=1,直线AB的方程为：y=H+l,恒过定点(0,1),故选项8 错误，原点O 到直线A 8的距离d=/-宁,.,R 2 o,.,42+12,.Wl,故选项。正确;V l+kZ对于选项。：直线AB过抛物线的焦点F(0,)，设直线A 8的方程为：y=kx+-,4 4联立方程 y j x+,消去)，得：x2-k x-v=0-2_ 4X -y设 A(xi,y),B(M,丁 2),不妨设点A 在 y 轴右侧，.X+X2=k,XX2=-)4.”2，1十/.7 1 击.巴平.8 8=丫 2+/=1，故选项。正确，故选：AC D.1 1.已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时，f(x)(x-1)B.函数f(x)有 3 个零点C.f(x)0 的解集为(-8,-1)u(0,1)D.Vxi,X2 R,都有-/()|2解：函 数f(x)是 定 义 在 R 上的奇函数，当 x 0 时，-x 0,/(-x)=e x(-x+1),.*./(x)=-/(-x)=e x (x -1),x=0时，f(0)=0.因此函数/(x)有三个零 点:0,1.当 x 0 时,f(x)=ex(x+1),f(x)=)(x+2),可得 x=-2 时，函数/(x)取得极小值，/(-2)=二去.可得其图象：ef(x)0 时的解集为：(-8,-1)u (0,1).V x i,M R,都有(x i)-f(x2)|W|y(0+)-f(0.)|都正确.故选：BC D.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。C 4 ex 0nrn2 5 兀、_，./2 5兀、，/2 5兀、1 /1、3)1)f(-)=s in2(-)-t a n (-)-(-1)=,444 2 2则/(/(一 )=/(1)=1=2：4 2 e故答案为：e1 3.平行四边形A 3 C O中，M为C。的中点，点N满 足 而 毛 前，若蒜二入葡+.而，则A+n的值为解：平行四边形A 8 C Z)中，M为C。的中点，点N满 足 而=2前，1 2.-2xesin2x-t+anx,-2xe，解：根据题意，函数f(x)=则 入+(1=/故答案为：1 4.在三角形A B C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,A =3 O ,C=4 5 ,c=3,点P是平面A B C内的一个动点，若/BPC=6 0,则P8 C面积的最大值是？鱼 .一 8 一解：在a A B C中，由正弦定理一b=仔 得，s in A s in Ca C s in A _3 X s in 3 00 3加a s in C s in 4 5 0 2 在 PBC中，由余弦定理得，a P B P C2-2PBP C s N B P C,q qJ.P P C1-2 PB-PC-co s 6 0,:二=序”。-PBPC,2 2Q：PB2+P。22PBPC,？=P8 2+PC2-PB/PC，PBPC,2当且仅当P 8=P C时取等号，.PBPCW9,2.SPBC=PB PC,sinG O 1 W 工xx 返2 2 2 2 8：./PBC的最大值为8故答案为：2叵.81 5.抛物线C：V=4x的焦点为F,动点P 在抛物线C上，点 A (-1,0),当嚼卜取得最小值时，直线4P 的方程为 x+v+l=0或 x-v+l=0.解：设 P 点的坐标为 2,4 0,-：F(1,0),A (-1,0).|PF|2=(4/2-I )2+1 6 1=1 6/+8 1+11 PA i2=(4 尸+1)2+1 6 个=1 6 1+2 4 4+1.(I P F)2 _6t4d+8t29 +l 1 6 t29 16-,_.IPA 16t4+2 4 t2+l 1 6 t4+2 4 t2+l 1 6 t?中+24/16当且仅当1 6 产=劣，即/=如 取 等 号，t2 2此时点P 坐 标 为(1,2)或(1,-2),此时直线AP 的方程为y=(x+1),即x+y+l=0或 x-y+l=0,故答案为：x+y+l=0或 x-y+l=0,四、解答题：本题共6 小题，共 70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 6.某班5 0名学生在一次数学测试中，成绩全部介于5 0与 100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 5 0,60),第二组 6 0,7 0),第五组 9 0,100.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(I)由频率分布直方图估计5 0 名学生数学成绩的中位数和平均数；(H )从测试成绩在 5 0,6 0)U 9 0,100 内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为加，”,求事件”依-川10”概率.解：(I )由直方图知，成绩在 5 0,8 0)内的频率(0.004+0.018+0.04)X 10=0.6 2,所以中位数在 70,8 0)内，设中位数为x,则(0.004+0.018)X 10+0.04X(%-70)=0.5,解得x=7 7,所以中位数是 77,设平均数为7,则7=55X 0.04+65X0.18+75x 0.4+85x 0.32+95x 0.06=76.(I I)由直方图知，成绩在 50,6 0)内的人数为：50X 10X 0.004=2,设成绩为x,y,成绩在 90,100 的人数为 50X 10X 0.006=3,设成绩为 a、b、c,若 m,ne 50,6 0)时，只有盯一种情况，若机，吒 90,100 时，有ab,be,ac三种情况,若m,分别在 50,6 0)和 90,100)内时，有xb,xc,yaf yh9 y e,共有6 种情况,基本事件总数为10种，事件川 10”所包含的基本事件个数有6 种，:p(|m-n)10)10 517.已知数列 满足：Sn=2afl-4 n,设为=a+4,Dn(1)求数列 斯 的通项公式；(2)设数列/其前项和为乙，如果6 W/n对任意的正N*恒成立，求实数2的取值范围.解：（1）当=1 时，ai=Si=2a-4,解得 m=4,当 时，Sn=2a,i-4 ，Sn-=2an-4（-1）由 -）得 C ln =Sn S-1=2。-2。-1 -4,即 an=2an-1+4,可得斯+4=2(斯.i+4),B P bn=2bn-,所 以 仇=加 2门=8 2i=2+2,则 an=2n+2-4；(2)由(1)知 Cn=(/)d 2,所以1加/I如-n仁1-2由 T“W m 对任意的 N*恒成立，所以18.某地区上年度电价为0.8元/Z W ,年 用 电 量 为 成 本 年 度 计 划 将 电 价 降 到 0.55元/?至 0.75元4 卬”之间，而用户期望电价为0.4元4 W力经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K).该地区电力的成本为0.3 jc/kWh.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注：收益=实际用电量X(实际电价-成本价)解：(1)设下调后的电价为x元/hv”,依题意知用电量增至 一+a，电力部门的收益为x-0.4y=(，+a)(x-0.3)(0.55 x 0.75：x-0.40 9a 依 题 意 有 宣T+a)()aX(0.8-0.3)(1+20%：,0.55 x 00.55 x 4=1,VAG(0,71),:a=E b=&,近由正弦定理IRTT，可得sinB=b*1nA=近 乂”-=返,sinA sinB a-6又：ab,3为锐角，-c o s B=V l-si n2B=F-4/.sin(A+B)+sinBcosB+cos(B-A),兀、兀、=sin(B+-)+sinBcosB+cos(B-)4 4=2ZinB+2/osB+sinBcosB+X:osB4-sinB2 2 2 2=2(sin8+cosB)+sinBcos8令 Z=sinB+cosB,贝 ij t2=+2snBcoBf,原 式=分+-(什&)2-右三(&I,.当寸，8=二，此时，原式的最大值为印4 22 22 0.已知椭圆0：号 J y-l(a b 0)的左、右顶点分别为A,B,点尸在椭圆。上运动,az bz若尸4 8 面积的最大值为2愿，椭圆O 的离心率为高.(1)求椭圆O 的标准方程；(2)过 B 点作圆E：x2+(y-2)2i2,(0 r .最大,SPAB-X 2ab=ab=2V3,ab=2愿c 1-=-a 22,2_ 2a-b-ca=2，解得，b=V3-,c=l2 2.F 陌圆。的标准方程为江g=i；4 3(2)设过点B(2,0)与圆E 相切的直线方程为：y=k(x-2),即 履-y-2%=0,.直线与圆氏N+(y-2)2=产相切,_|-2-2k|.得(4-r2)公+8Z+4-3=0.设两切线的斜率分别为Ai,h (k/k 2),则 kk=i.设 C(x i,y i),D(X 2,2),y=k1(x-2)联立|2 2，得(3+4 k J)乂2-16如2*+1612-12=0.+-=1I 4 38 k/-6 -12k：x i=5，y 1 -T 2，1 3+4 k/3+4kJ8k92-6 8-6 k,2-12k2-12%同 理 叼=-J=-=，y2=-7=-T.2 3+4k92 4+3k,2 3+4k22 4+3kJ-12k -12k j丫2-丫1 4+3k j2 3+4k j2*，k c Dx2-xl-s-S k j2 8k J-6 -4(k j+l)，4+3 k/3+4kJ.直线CO的方程为y+12kl k3+4k4(k12+l)3+4k 直线CO恒过定点(14,0).2 1.已知函数/(x)=e-六2(e=2.71828为自然对数的底数)有两个极值点x i,x2.(1)求 a 的取值范围；(2)求证：x+X20,g(x)在 R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当 0 时，由g(x)=0 得工=防”，当无W (-8,ina)时，gf(x)0,函数g(x)单调递增,，g(x)mm=g(I na)a-alnae,令。(a)=a-2 1 n a (a 0),0 7(a)=l =。Za a当(0,2)时，(p ()0,0,A(p (a)0,即。2历 ，从而l n a a2f g ()=夕-。2 (),又g (0)=l 0,(x)在(0,I na)和(.I na,a)上各有一个零点，符合题意.综上，实数的取值范围为(e,+);(2)证明：不妨设的1 2,贝！(-8,n a),xiE Una,+8),则汨 加/a,故(及)p Una)=0,即 g (%2)-g C 2lna-x z)0,又,.”i,及为函数g (x)的两个零点，：.g(x i)=g(X2),；g(x i)g(2lna-%2),又 X2lna,故 2/Q-xilna,又函数g (x)在(-8,Jna)上单调递减，.x2lna-X2f B P x+x22lna.