2023年江西省宜春市高考数学二模试卷（理科）及答案解析.pdf

2023年江西省宜春市高考数学二模试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合A=x|y =7 一4 +3x -2,8=x|l o g2（x -1）1）则4 n B =（）A.x|l x 2 B.x|2 x 3 C.x|l x 2 D.x|2 x 32.若复数z满足捻为纯虚数，且 臼=2,贝i z的虚部为（）A.1 B.7-2 C.yfl.D.13.给出下列命题，其中正确命题的个数为（）若样本数据的,x2，刈0的方差为4,则数据2%1-1,2X2-1，2/0-1的方差为8；回归方程为y =0.6-0.25x时，变量久与y具有负的线性相关关系；随机变量X服从正态分布N（3R2）,p（x 04.已知实数,y满足约束条件 +y 3 W0,则z =3-2 y的最大值是（）y 1A.3 B.l C.r D,5.已 知 出 坂 为单位向量，且|2方一方|=C，则日与江+而勺夹角为（）A.治 B.穹 C.I D,3 3b 66.若a=0.04,b=Z nl.04,c=l o g31.04,则（）A.c b a B.b a c C.c a b D.b c a7.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数m,n只有1为公约数，则称n互质，对于正整数n,火力是小于或等于n的正整数中与律互质的数的个数，函数以n）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：0（3）=2,租（7）=6,（9）=6.记与为数列 仪3叨 的前71项和,则工0=（）A.n匚 B.39-1 C.以1 D.310-12 28.函数/（乃=s i nx +的图象（0 3 4）关于直线x =表寸称，将/x）的图象向左平移*个单位长度后与函数y =g（x）图象重合，下列说法正确的是（）A.函数g(x)图象关于直线工屋对称 B.函数g(x)图象关于点(-也0)对称C.函数g(x)在(05)单调递减D.函数g(x)最小正周期为方9.在R t A B C中，CA=1,C B =2.以斜边4 B为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为()AA-V 2TT -BQ -8 x/2TT C,近3 2 7 r 八D.4近7 r1 0.如图所示，在等腰梯形A B C。中，力B =4,A D =C D =B C =2,D-现将梯形4 B C D依次绕着B、C、。各点顺时针翻转，则在第一次绕/着点B翻转的过程中，对角线B C扫过的平面区域面积为()AL-、BA.2 7 r B.3 7 r C.8 7 r D.4 7 r1 1 .已知数列 an满足+6 9+0 粤+7 c?=2 4+1,若数(7 1 十列 1 J U j的i前几 项和土,对任意n e N*不等式5 1 B.2 1 C.O D.O1 2 .已知双曲线卷 9=1的左、右焦点分别为鼻，F2,过右焦点五2的直线，与双曲线的右支交于4 B两点，若 A F A A B aF z的内心分别为/，K,则/&尻 与 K&F?面积之和的取值 范 围 是()A.3 6,2 4 1 5)B.3 6,4 8/3)C.1 8兀,3 0兀)D.1 8兀,3 6兀)二、填空题(本大题共4小题，共2 0.0分)1 3 .已知1 一N+x)d x,则到点M(a,0)的距离为2的 点 的 坐 标 可 以 是.(写出一个满足条件的点就可以)1 4 .己知点4(-1,一1),B(l,-1),若圆(-(1)2 +(-2。+4)2 =1上存在点时满足西？而=3,则实数a的 取 值 的 范 围 是 .1 5 .已知“X)是定义在R上的奇函数，满足x +1)=当x G 0修 时，/(x)=一 1,则/i(x)=(x-l)/(x)-2在区间-2 02 1,2 02 3 上 所 有 零 点 之 和 为 .1 6 .如图，多面体A B C C E F中，面力B C D为正方形，D E 1平面/B C D,E/CF/DE,且A B =D E =2,CF=1,G为棱B C的中点，H为棱0E 上的动点，有下列结论：/当H为D E的中点时，G H平面8 E F；/AB存在点“，使得G H J.4 C；三棱锥B -G H F 的体积为定值；三棱锥E -B C F 的外接球的体积为1 4 7 r.其 中 正 确 的 结 论 序 号 为 .三、解答题(本大题共7小题，共 8 2.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 7 .(本小题1 2.0分)在 A B C 中，角4,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a+b=2 cco sB.(1)求证：C=2B-,(2)求浮的最小值.bcosB1 8 .(本小题1 2.0分)党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向，为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程.为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛.甲、乙两个单位进行党史知识竞赛，每个单位选出3 人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为3 分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2 分，答错或不答扣1 分，已知甲队3 人每人答对的概率分别为|,另；乙队每人答对的概率都是|,设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示首轮甲队总分.(1)求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)；(2)求在甲队和乙队总分之和为1 2 分的条件下，甲队与乙队得分相同的概率.1 9 .(本小题1 2.0 分)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，过P 点作P D 1 平面力B C,垂足为。，过。点作D E J 平面P 4 B,垂足为E,连接P E并延长交4 B 于点G.(1)证明：G 是线段4 8 的中点；(2)求平面瓦4 c 与平面P 4 C 夹角的正弦值.p2 0 .(本小题1 2.0分)在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：捻+，=1(。6 ()的离心率为：，左、右焦点分别是鼻，尸2,以此为圆心，6为半径的圆与以尸2为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设过椭圆C的右焦点尸2的直线小 的斜率分别为，右，且向 心=2,直线，1交椭圆C于M,N两点，直线交椭圆C于G,”两点，线段M N,G H的中点分别为R,S,直线R S与椭圆C交于P,Q两点，4 B是椭圆C的左、右顶点，记P Q A与A P Q B的面积分别为S i，S2,证明：自为定值.2 1 .(本小题1 2。分)已知函数/(x)=+(a l)x,a G /?.(1)讨论f(x)的单调性;(2)对任意的x 0,/(x)W 一 一 4 x -1,恒成立，求a的取值范围.2 2 .(本小题1 0.0分)=细+提)在平面直角坐标系久O y中，曲线C的参数方程 2 1 2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程m pc os。+2psin6-1 =0.(1)求曲线C的普通方程；(2)若直线I与曲线C有两个不同公共点，求m的取值范围.2 3 .(本小题1 2.0分)已知函数/(x)=|2 x+4|+|x-4|.(1)求不等式|2%+4|+|%-4|10的解集;(2)若f(x)的最小值为?n,正实数Q,b,c满足Q+b+c=7 n,求证：2+厂+占 之 六.答案和解析1 .【答案】C【解析】解：由一/+3 x 2 =(x 1)(%2)N 0,可得1WXW2,故 A=x|l x 2 ,由B =x|0 x-1 2 =x|l x 3 ,所以4 n B =xl x2 .故选：C.解一元二次不等式求集合4解对数不等式求集合B,应用集合交运算求结果.本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2 .【答案】B【解析】解：设2 =a+b i(a,b 6 R),保=篙 貂=喏+钞 为 纯 虚 数，修。a=-h,又|z|=|a bi=V a2+b2=V 2b2=2,b2=2,解得b =2.z的虚部为土 .故选：B.设2 =a+bi(a,b G R),利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得b 的值，即为所求虚部.本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.3.【答案】B【解析】解:对于,由方差的性质可知：数据2 xi -1,20-1，2/0 -1 的方差为2 2 x 4=1 6,错误；对于，由回归方程知：b =-0.2 5 则变量 与y具有负的线性相关关系，正确；对于，由正态分布曲线的对称性可知：P(2 X 3)=P(3 X 4)=P(X 4)-P(X 3)=0.6 4-0.5 =0.1 4,错误；对于，由相关系数意义可知：|r|越接近/时，样本数据的线性相关程度越强，正确.故选：B.根据方差的性质、回归直线的意义、正态分布曲线的对称性和相关系数的意义依次判断各个选项即可.本题主要考查方差的性质、回归直线的意义、正态分布曲线的对称性和相关系数的意义，属于基础题.4.【答案】B【解析】解：画出可行域如下图所示，叶 x-y=0向上平移基准直线-2 x+y=0 到可行域边界点B(L 1)的位置，此时-2 x+y取得最大值为-2 x 1 +1 =-l,zm a x=3 T =故 选:B.画出可行域，向上平移基准直线-2 x+y=0 到可行域边界位置.，由此求得z=3-2 x+y的最大值.本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题.5 .【答案】A【解析】解：已知落族为单位向量，故：同=1，|加=1；由于：|2五一石|=，故4|五E 一4 五.方+|石=7,整理得五i=-今所以|五 +3|=J (a+b)2=1；所以,”9=3=的空=廿=4，|a|a+b|a|a+b|1x1 2由于0 9 n,故。=宗故选：A.直接利用单位向量和向量的数量积及向量的模的运算求出结果.本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.6.【答案】A【解析】解：因为a=0.04,b=Z nl,04,c=l o g31.04,当x(0,l)时，设/(x)=l n(x +l)-x,则f (x)=4?-1=壬 0，所以f。)在(0,1)上单调递减且f(0)=0,所以/(0.04)=l n(l +0.04)-0.04 l n(l +0.04),所以a b；又因为3 e,所以 1 n3/ne=l,log31.03=c,所以c b a.故选：A.构造函数f (x)=l n(x +1)-x,利用导数判断函数单调性,再结合对数的性质即可判断大小关系.本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题.7.【答案】D【解析】解：由题意可知：若正整数m W 3n与3n不互质，则m为3的倍数，共有=3 一】个,故中(3n)=3-3nt=2-3T,.崂2 =22=3,即数列 仪3与 是以首项0(3)=2,公比q=3的等比数列，(3 )2-3故 S 1 0=2(二 与=310-1-故选：D.根据题意分析可得3(3)=2-3-1,结合等比数列求和公式运算求解.本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题.8.【答案】C【解析】解：由已知等+2=1兀+9,3 =6 k +2,k&Z,b o Z又0 V 3 4,*CL)2 fg(x)=sin 2(x +力+刍=sin(2%+y),2 x g+=y r =kji+g k 6 Z,4 错；6 3 22 x(3)+与=力上兀,k e Z,B错;X 6(0,时，2x +y e(y,y)C(H,),*正确;g(x)的最小正周期是T =:=e。错.故选：C.由对称性求得3,由图象平移变换求得g(x),然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项.本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题.9.【答案】C【解析】解：由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴，卜截面，/由对称性知其内切球球心。在4 B上，。至I J CA,C B的距离O E,O F相等为球 的半径，设其为r,因为N 4 C B是直角，所以O E C F是正方形，即CF =CE =r,A由。F H C A得 疆=喋，即3 =容，解得r=gL A D C 1 Z 5球体积为V =nr3=3兀 x (|)3=|7 r.J3 3 ol故选：c.根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心。位于对称轴4B匕由平行线性质求得球半径r后可得球体积.本题考查旋转体的内切球问题，方程思想，属基础题.10.【答案】D【解析】解：等腰梯形A8C。中，AB=4,AD=CD=BC=2,过点C作CN _1,48与点7，则NB=X aB-Z)C)=1,因为CB=2,所以乙1BC=6O。，NBC。=120。，由余弦定理得，BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosl200=4+4-2 x 2 x 2 x(-今=1 2,解得BD=2，3,因为4cBe=1 2 0,即BC翻转 120。，所以BD翻转 120。,所以BD扫过的平面区域面积为S=：兀x(2 2,n+2 _信/=1 _ f l2=_ l _?_ n 2(n(n+l)-2n,n-Z U-2n-1(n+l)-2n-n-Zc_ 3,1 1,1 1,.1 1$=+h 寻+h/+才 一j 二31 18 2.21(n+l)-2n_ 5 1=8-(n+l)-2no.使 不等式Sn /1 -%2+x)dx=x +fxdx=2+0=2,到点M(2,0)的距离为2的点是圆(x-2)2+y 2=4上的点，可取(2,2).故答案为：(2,2)(答案不唯一).根据定积分的几何意义先求出a，再写出到点M(a,O)的距离为2的点表示一个圆.本题主要考查定积分的应用，属于基础题.14.【答案】。爸【解析】解：设 M(x,y),则 加=(_1 _ 匕 _ 1-y),丽=(1 一%,_i-y),AM-MB=(-1-x)(l-%)+(-1 _ y)2=3，即/+(y+1)2=4,M 在以(0,-1)为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆(x-a)2+O -2a+4)2=1有公共点，所以2-1 V(0-a)2+(-1-2a+4)2 2+1,解得。a 0,0 C B C 4V 2.bcosB bcosB sinBcosb sinBcosB cosB当且仅当4cosB=之 即 cosB=?，cosB 2S.B G(0 5)，当且仅当B=:时等号成立，.当时，*的 最 小 值 为 4 c.4 bcosB【解析】(1)由正弦定理得sirM+sinB=2sinCcosBf进而可得sin(C-8)=s in B,可得结论;(2)由(1)可得B e(0(),进 而 可 得 第=驾 史 抖，运算可得结论.本题考查解三角形，考查正弦定理以及三角恒等变换，属中档题.1 8.【答案】解：(1)由题设，X的可能取值为0,3,6,9,T7C/V C、1 1 2 1 c 八，2 1 2,1 1 2,1 1 1 7又 P(X=0)=3X2X3=9-P(X =3)=3X2X3+3X2X3+3X2X3=18,n 八 2 1 2,2 1 1,1 1 1 7 c c、2 1 1 1P(X=6)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=-,P(X =9)=-x-x-=-,X的分布列为:X 0 3 6 91 7 7 19 1 8 1 8 91 7 7 1 9.E(X)=0 x-+3 x-+6 x-+9 x-=-（2）设“甲队和乙队得分之和为12”为事件4,“甲队与乙队得分相同”为事件B,则 P(4)空243=2以X1-9+z2v(23Xc718x3+72-3/I33Xc718P（刎=位。抬）2=於尸(8|4)-2138,在甲队和乙队总分之和为（12分）的条件下，甲队与乙队得分相同的概率蓊.【解析】（1）由题设X的可能取值为0,3,6,9,应用独立事件乘法、互斥事件加法求各对应值概率，进而写出分布列并求期望；（2）应用条件概率公式求概率即可.本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，条件概率的求解，属中档题.19.【答案】解：（1）证明：；P。_L 平面4 B C,4B u 平面ABC,AB 1 PD,又。E_L平面P4B,4 B u 平面P4B,则4B 1 DE,:DE CPD=D,DE,P D u 平面PDE,AB 1 平面 PDE,又PG u 平面P O E,贝 I JAB 1 PG,又PA=P B,则G是4 8 的中点；（2）建立以P为坐标原点的空间直角坐标系P-x y z,如图所示:不妨设PA=2,则4(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),G(l,l,0)PC_L平面PAB,DE JL平面P4B,:.PC“DE,由三棱锥的性质可知。是 4BC的重心,CD _ 2而=I 则凯案号则 E(|,|,0),丽=,|,0),前=(一 2,0,2),设平面E4C的法向量记=(x,y,z),则 产 更=0,即 伊 一=。，取,则 沅=(1 21),m-AC=0 l-2 x +2z=0二平面PAC的法向量而=(0,2,0)，设平面E4C与平面PAC的夹角为。，0 6 0,3+4/3+4，2 2则中点R(修 悬)同理可算$(修，蒜)3+4，3+4，3+4。3+4 欠2当直线斜率存在时，设直线P Q：y=m x +n,点R,S 在直线P Q 上,点R,S 坐标代入整理得糖7 n+”上+*+铲=：，(8 m+4n)kg+6k2+3 n=0易知七，与为方程(8 m+4n)k2+6 k +3 n=0 的两个根,则k 也=a H=一 2，所以九=-yym,所以直线P Q：y=m%-则直线恒过点E(*0)当直线的斜率不存在时，由对称性可知的=-%，由七 心=-2,2 2不妨设也=E所 以 盘?=悬=捍直线P Q：x=过(黑,0),根据可知，直线P Q 恒过点E(,0),因为 P Q 4 的面积S i=5|A E|yi-乃 1，1时，(a-l)x+1 0,A f(x)0,f (x)在(0,+oo)上单调递增；当a 0；当 x e (0,J-)时，0；当x e(4，+8)时，f(x)0；1 C l L C L万)在(0,一)上单调递增，在(A，+8)上单调递减；综上所述：当a 岂1时，在(0,+8)上单调递增；当a l 时，f(x)在(0,占)上单调递增，在(占,+8)上单调递减.(2)由/(x)x2ex-Inx 4x 1 恒成立得：a 4-3 xex 警 令人 /、=xexx-2-I-n-x-1=-x-2-e-x-2-l-n-x-l=-e-2-ln-x-+-x-2-l-nx-l，X X X X令九(%)=ex x 1,则/(%)=ex-lf则当xW(8,0)时,h!(x)0,Zl(%)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，九(%)九(0)=0,即e x+1(当且仅当=0时取等号)，.e2lnx+x 2Inx+%+1(当且仅当2+X=0时取等号)；令t(x)=2lnx+x,则t(x)=|+1=牛 0恒成立，二 t(x)在(0,+8)上单调递增，又1)=1,心=_2+”.使得t(*o)=，即2，nx()+3 =0,.e2lnx+x 2Inx+X+1 等号可以成立，,、e2lnx+x 2lnx l 2lnx+x+l 2lnx-l.gO)=-=L 1 a+3 1和a 2lnx+x+1,令t（x）=2/n x+x,利用导数和零点存在定理可说明等号能够成立，采用放缩法可得g（x）2 1,由此可得结果.本题考查利用导数讨论含参数函数单调性、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是采用参变分离的方式，根据所构造函数为指对混合函数的特征，采用放缩法来对函数进行变形，从而求得最值.22.【答案】解：（1）因为 =：（2 7宗）2 1,（X =!+工）2 1 2 t 为参数），y=2，-3则4%2-y2=4（x 1）,故曲线的普通方程为4-y2=4（%1）；（2）mpcos0+2psin9 1 =0,则?n x 4-2y-1 =0,m x 4-2y-1 =0由2 2 _ 、，化简整理可得（1 6 -瓶2）/+2m%-1 7 =0,x-彳=1（%2 1）有两个不等正根.1 6-m 2。0,4 =4 根2+6 8（1 6 -巾2）0 2m Q 17。、16-mz 16-mz则4 m C 7，故m的取值范围为（4,、/F）.【解析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数3 可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x的取值范围，即可得解；（2）求出直线，的普通方程，分析可知直线I 与双曲线 2 _ 4=1 的右支有两个交点，将直线I 与双曲线/一叱=1 方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于7 n 的不等式组，即可解得实数m4的取值范围.本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于中档题.23.【答案】解：当 x 1 0可化为-2x-4-x +4 1 0,解得x 一半当 2 x 1 0可化为2x+4%+4 1 0,此时可得2 x|x+2 (x-4)|+0=6,当x=-2时，f(x)取得最小值为6,则m =6,即a +b+c=6,1 1 111所以(亦+而 +用)3+2b+2c)=(亦 +而 +市)(a +b+b+c+c+a)2(1 +1 +I)2=9,则 出+高+士 即得证.【解析】(1)分类讨论，去掉绝对值符号，分别解不等式，即可得解;(2)利用绝对值不等式的性质可得m =6,再由柯西不等式即可得证.本题考查绝对值不等式的解法以及柯西不等式的运用，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.