2023年江西省赣州市高考数学摸底试卷（文科）及答案解析.pdf

2023年江西省赣州市高考数学摸底试卷(文科)一、单选题(本大题共1 2小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1 .已知集合4 =洌0+1)(%-2)0 ,8=久|代 2，则408=()A.(-1,4)B.(0,2)C.0,2)D.(-1,2)2.已知i为虚数单位，若 分=l +i,则实数a的值为()A.-1 B.1 C.2 D.33.已知命题p：Vx 6/?,cosx 1；命题q：3x0 G R,ex +ex 则卜列命题中为真命题的是()A.p Aq B.(r p)Aq C.p A(-q)D.(-p)V q4 .某公司对20 22年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图,在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约21 5 6万元.则下列说法错 误 的 是()A.该公司20 22年营收总额约为30 80 0万元B.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多C.该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多D.该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%5 .若a为锐角，t a n a =,则t a n a =()cos2a+lV3D1-21c2 V3A.6.若等比数列 斯 的公比为q，其前n项和为工，刖n项积为，并且0 C I 9 1 1 B.0 的 1C.Sn的最大值为S8 D.7n的最大值为心7.古希腊数学家帕普斯在微学汇编第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即 了 =s/（y表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，I表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知R t AC B,AB 1 AC,AB =2,AC =4,则4 ACB的重心G到AC的距离为（）A.I B.|C.1 D.28.已知a =l o g o.70.3,b=l o g0 30.7,c=0.5,则（）A.a b c B.c b a C.a c b D.b c af（x 0）9.已知函数f（x）=0）A.3 B.4 C.5 D.61 0 .已知函数f（x）=COS（3X +b（3 0）的最小正周期为7,y T 0）个单位长度后图像关于y轴对称，则实数6的最小值为（）A R-c 4 D 10 io J 10 101 1 .已知棱长为3的正四面体S -A B C的内切球球心为。，现从该正四面体内随机取点P,则点P落在球。内的概率为（）A&B.递 C.&D.06 37rl8 31 2.M为双曲线盘一，=/（a 0,b 0）右支上一点，&,尸2分别是双曲线的左、右焦点，且 丽 丽=0,直线M F2交y轴于点N,若A N Fi M的内切圆的半径为匕，则双曲线的离心率为（）A.V 2 B.V 3 C.2 D.3二、填 空 题（本大题共4小题，共2 0.0分）1 3 .已知|五|=4,|3|=3，且五10+3），则向量不在向量至上的投影为.1 4.已知函数/（%）=#一1（2）7+x g,则曲线y=/（%）在（2）（2）处的切线方程为1 5.已知函数y=1 +lo g a(2 -x)(a 0且a于1)的图像恒过定点P,且点P在圆工2+丫2 +根 式+巾=0外，则符合条件的整数m的取值可以为 一.(写出一个值即可)1 6.已知锐角4B C的内角4 B,C的对应边依次记为a,b,c,且满足c 一 b=2 bc o s 4,则s i n(C +B)+2 c o s 2(4-B)的 取 值 范 围 为 一.三、解答题(本大题共7小题，共8 2.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 7.(本小题1 0.0分)双减政策落地后，五项管理原则出台.某学校为了加强落实其中的“读物管理”，鼓励优质读物进校园，营造学校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野、陶冶情操、增长知识、启迪智慧、塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用，决定举办“阅读经典 收获未来”知识竞赛.班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲、乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲、乙两人5次模拟大赛的成绩，统计结果如茎叶图:(1)你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由；(2)据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著 红楼梦、游记、(T三国演义、冰 浒 传 及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对I个的概率.甲 乙8 05 437893 410 21 8.(本小题1 2.0分)已知数列 an是等差数列，%是等比数列，且满足的=瓦=1,3 b3 b2=m.(1)若数列%是唯一的，求实数小的值；(2)若m =0,a3=9b2,求数列 斯为 的前n项和1 9.(本小题1 2.0分)如图，在四棱锥P-4 B C O中，平面P C。m A P D P DA =APD C =底面4 B C 0是平行四边形，D C =PC =2AD =2,且点M,N分别是棱P C,A D的中点.(1)证明：4。1平面C M N；(2)求点P到平面A B C D的距离.2 0 .(本小题1 2.0分)已知函数/(x)=e，+c o s久一m x,x e (0,+o o).(1)若函数/(无)在(0,7 T)上单调递减，求实数m的取值范围；(2)若/一1 m 0),尸为其焦点，点M(2,y()在C上，且又。.=4(0为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)若4 B是C上异于点。的两个动点，当N 4 0 B =90。时，过点。作。N _ L 4 B于，问平面内是否存在一个定点Q,使得|N Q|为定值？若存在，请求出定点Q及该定值；若不存在，请说明理由.2 2 .(本小题1 2.0分)在直角坐标系x O y中，已知曲线C 俨=&c s t(t为参数)，曲线C 2：p =r(r 0),以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)曲线G的极坐标方程及曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知4,B是曲线C i上的两个动点(异于原点)，且乙4。8 =9 0。，若曲线C?与直线4 B有且仅有一个公共点，求r的值.23.(本小题12.0分)己 知 函 数=|x +2a+2x 一 ：|(a H 0).(l)a=1,解不等式f (x)卜6；(2)证明：f(x)2.答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=x-1 x 2,B =x|0 x 2Jex-e-x=2.当且仅当x =0时等号成立，故q为假，所以r p为假，r q为真，综上，p A q为假，（-i p）A q为假，p A （r q）为真，（-p）V q为假.故选：C.根据余弦函数性质、基本不等式判断己知命题的真假，再确定对应否命题真假，进而判断各选项中复合命题的真假.本题主要考查了复合命题真假的判断，属于基础题.4.【答案】D【解析】解：对于4湖南省的营收额约为2156万元，占比7.0 0%,所以20 22年 营 收 额 约 为 翳 =30 8 0 0万元，故选项A正确；对于B：华南地区的营收额占比为19.34%,河南省的营收额占比为6.19%,有 察 =3.12,所以华南地区的营收额比河南省的3倍还多，故选项8正确;对于C：华东地区的营收额占比为35.17%,西南地区的营收额占比为13.4 1%,东北地区的营收额占比为11.6 0%,湖北的营收额占比为7.29%,有 13.4 1%+11.6 0%+7.29%=32.3%35.17%,故选项 C正确；对 于 湖 南 的 营 收 额 占 比 为7.0 0%,华中地区的营收额占比为20.4 8%,有 福 端 =34.2%,故选项。错误.Zll.4-OVO故选：D.根据题意给的数据，结合选项依次计算即可求解.本题主要考查了统计图的应用，属于基础题.5.【答案】B【解析】解：。为锐角，c o s aH0,tana=1=-11-厂=-sin2-a+co-s-2-cr=-1t 4a nz2a +,-1cos2a+l 2cosza-l+l 2cosla 2cosza 2 2即 t an 2a 2 tana+1=0,解得 t c m a=1,故选：B.根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出关于t c m a的式子，即可解得答案.本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：由0。91 1,且q W (0,1)可得%1,故3错误;由等比数列前n项和公式可知与=幺 詈，由指数函数性质可得无为单调递增，即%无最大值，故C错误；设7；为数列 即 前n项积的最大值，则需满足自；长；，可得a l an,又0&9 1 可得n=8，即7；的最大值为 8，故。正确.故选：D.根据等比数列定义以及0 。9 1 1,故 4 8 错误；由等比数列前7 1项和的函数性质可知Sn无最大值，由前n项积定义解不等式可知7n的最大值为7 8,故 C错误，D 正确.本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于中档题.7.【答案】B【解析】解：直角三角形绕4 C 旋转一周所得的圆锥的体积为U =4TTX4=等，三角形4 B C 的面积S =|x 4 x 2 =4,记重心G 到A C 的距离为九，由U =S/i,可 得 等=(2兀 八)x 4,解得无=|,所以 4 cB 的重心G 到4 C 的距离为|.故 选:B.根据题意，用式子分别表示出圆锥体积、三角形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求出距离.本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了三角形重心的性质，属于中档题.8.【答案】D【解析】解：因为0 b=log0 30.7 log0 3y/03=g=c=O.25o s O.70 5 1=lo g0 70.7 a=l go.7 0,3，所以b c a.故选：D.利用对数、指数的性质判断大小关系即可.本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.9.【答案】A【解析】解:72(x)-/(x)-6 =0,解得/(x)=-2 或/1(x)=3,当x 0(舍);当x 0时，f(x)2,解得x=1+四 或x=1&0(舍)，/(%)=3,解得x=3+J，或“苧 0,且却 7 兀，.擎 生 兀，即2 3 3,|3|3 3 3.y=/的图像关于点名,1)中心对称，b=1,且cos(当 3 )=0,即即 3 曰=5+kn(k 6 Z),解得co=：+*(k 6 Z),v 2 co 0)个单位长度后得到/(%-m)=cos(|x-|m 一 ；)+1的图像,-6)的图像关于y轴对称，一|/n -：=/c7T(/c 6 Z),解得m=-合 一 等(k Z),v m 0,当 =-1 时，得一套+:=含故 选:B.根据周期范围得出3 范围，根据对称中心得出b的值，并结合3 范围得出3 的值，即可得出/(X)的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出/（x-r n）,即可根据图像关于y轴对称，得出一37n-3=卜江也e Z），再根据ni的范围得出实数M的最小值.本题考查三角函数的性质，属于中档题.11.【答案】C【解析】解：由正四面体各侧面为等边三角形，若。为力BC的中心，连接S O,则内切球球心。在线段SO上，如下图示：BO=|BD=|AB-S呜=6,所以内切圆半径r=0 0,而5。1_面2 8。，BO iffiSXC,BD u 面ABC,SD u 面SAC,故 B0 1SD,SO 1 B D,注意。在面BCS上，又SD=BD,所以。为等腰三角形BS。的垂心，故 8。=SO,又SO,=JSB2-BO2=V6.令 BO=S0=x,则 r=V6-x所以/=3+（连%）2,可得 x=故r=手，4而正四面体 S-ABC 的体积匕=SO-ShABC=1 x V 6 x|x 32X y =.其内切球体积为/=in r3=/,P落在球。内的概率为学=叁兀.3 8 1 lo故选：C.根据正四面体的结构特征及性质求其内切球的半径，求出内切球体积和四面体体积，利用几何概型一体积比求概率即可.本题主要考查正四面体体积的求解，属于中档题.1 2.【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线捻一=0,6 0),的内切圆半径为b,v环瓦-祈瓦=0.M F 1 1 M F2,内切圆的半径为b,由等面积法可得：二 +M N-I N F/=2b,M F2 +2a+M N-|N F/=2b,NF2 -I N F/=2b-2a,由图形的对称性知:NF2 =NFt,即2 b-2 a=0,得 4 的整数即可)【解析】解：因为函数y =l+l o ga(2-x)的图像恒过定点(1,1),所以因为点P 在圆好+y 2 +m x+机=o 外，所以 1?+I2+m +m 0且_ 4 m 0,解得1 m 4,又m 为整数，所以讥的取值可以为5,6,7,故答案为：5(不唯一，取m 4 的整数即可).先求定点P 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m 的取值.本题主要考查了指数函数的性质，考查了点与圆的位置关系，属于基础题.1 6 .【答案】(2,当心)【解析】解：因为c-b=2bcosA,所以si nC sinB =2sinB cosA,B P si n(2 4 +8)sinB =2sinB cosA,展开整理得si n(A -8)=sinB,因为锐角4 4 8 c 中，A,B G (0,4 +B ,A B E(一所以=即4 =2 8,由(OA =2B 5,得 看 B ：,si n(C +B)+co s2(/I -B)=sinA+2cos2B =sin2B +0 C =n-3 Bcos2B+1 =&si n(2 B +令 +1,因为所以藉2B+I),12 4 4所以年。皿2 8 +5 竽，2 4，4所以si n(C +B)+2 co s2(4 -B)的范围为(2,空).故答案为：(2,萼).先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系化简整理可得A,B的关系，将A,C用B表示,求出B的范围，再利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可得解.本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.17.【答案】解：(1)甲 的 平 均 成 绩 为 五=胆&等 =82,乙的平均成绩为E=73+74+90+92=8 2)甲的成绩方差受=|(70-82)2+(78-82)2+(84 -82)2+(85-82)2+(9 3-82)2 =58.8,乙的成绩方差为赍=(73-82产 +4 4 -82)2+(8 1 _ 8 2)2+(9 0-82)2 4-(9 2-82)2 =6 2,由于%!=X2,S j 则甲的成绩较稳定，故派甲参赛比较合适：(2)记四大名著 红楼梦、他 游 记 八 律国演义、休浒传少的作者依次记为4 8 C D,则游戏互动中，观众丙随机连线的结果有:AB C D,AB D C,AC B D,AC D B,AD B C,AD C B,B C D A,B C AD,B D AC,B D C A,B AC D,B AD C,C AB D,C AD B,C B D A,C B AD,C D AB,C D B A,D AB C,D AC B,D B AC,D B C A,D C B A,D C 4 B共24种连法，其中恰好连对 1 个的结果有：AC D B,AD B C,B D C A,B C AD,C AB D,C B D A,D AC B,0B 4 C共8种，所以观众丙恰好连对1个的概率为鲁=【解析】(1)分别求出甲乙的平均成绩和方差，再根据平均成绩和方差即可得出结论；(2)利用列举法，再结合古典概型即可得出答案.本题考查茎叶图，考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.18.【答案】解:(1)由数列%是等比数列，瓦=1,设其公比为q,由题设 3b 3 历=m,得 3q 2q =7n,g|J 3q2-q-m =0(*)因为数列抄n 是唯一的，所以对于方程(*),若方程(*)有一个根为0，另一个不为0，把0代入方程，得巾=0,当m =0时，q=g或0(舍去)，故q =满足唯一，性；若方程(*)有两个相等的实根，且根不为0,败1 =(一1产+12m =0,解得巾=一今，代入(*)式，解得9=上，又瓦=1,所以%是唯一的等比数列，符合题意，所以m =0或一七；(2)由m=0,所以3b 3 h2=0,得3q 2 q =0,解得q =:或0(舍去)，此时当=G)“T,所 以=9b2=3,所以等差数列 斯 的公差d =号 二？=1，所以与=l +(n l)x l=n,即即%=n x (1)n-1,所以7；=1 x 1+2 x g+3 x )2+n x )一】，所以=1 x ；+2 x )2+3 x (I)3+-+(n-l)x +n x (1)n ，得=1+J +(J)2+-+(-】一 n x =|竽 x (i),所 以 禽=?一 等x声.【解析】(1)利用等比数列的通项公式和3b 3-尻=山得到关于公比的二次方程，讨论根的情况可得答案；(2)求出等差数列的通项公式，得到a n b n =nx)n-l,利用错位相减法求和.本题考查等差数列与等比数列的性质，错位相减法求和，化归转化思想，属中档题.19.【答案】(1)证明：因为0C=PC=2,NPOC=*所以 P C D是正三角形，所以P O =2；p又4D=l,n 4=全 由余弦定理得AP=J12+22-2X1X2XCOS|=V3,则+ap2=o p 2,所以4DAP=3，即A D 1A P；因为点M是PD的中点，所以CM 1 D P,点N是4D的中点，所以MNAP,所以力。1 MN；又平面PC。平面力P 0,平面PCO n平面4P。=DP,CM u 平面PCD,所以CM_L平面力P D,因为A D u平面A P D,所以CM 14D,因为CM CMN=M,CM,M N u平面CMN,所以4。1平面CMN.(2)解：由(1)得CM 1 平面4PD,CM=2sin=/3,MN=AP=在直角 CMN中，CN=J(次 尸+,尸=手，设点P到平面4BC0的距离为八，由 f c。=VC-APD即4 x G x 1 x 孚)x/i=|x(|x lx V 3)x V 3;解得/即点P到平面4BCD的距离为空1【解析】(1)先利用长度关系得出4。1 A P,再根据面面垂直得出线面垂直；(2)利用等体积法由%TCD=%-4PD可得答案.本题主要考查直线与平面垂直的证明，点到平面距离的求法，等体积法的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)由f(x)在(0,兀)上单调递减，则(0)=/一5讥-加3 0 在(0,兀)上恒成立，令。(%)=/(%)且x 0,则g(x)=ex-cosx 1-cosx 0,故gQ)=/(%)在(0,+8)上单调递增，要使/Q)0在(0,T T)上 恒 成 立,则/=-m enf即所求的实数M的取值范围为 e7 r,+8).(2)证明：由(1)知：/(%)=e*s i n x-m 在(0,+8)上单调递增，因为e*1 m en 9 所以(=e2 1 m 0,所以函数/(%)在(0,+8)上存在唯一零点&w G，7T),即/O o)=0,此时m=/。一 s 勿%,当 W (0,&)时f Q)V 0，/(X)单调递减；x W (%o，+8)时(%)0,/(%)单调递增，X/(x0)=e*。+cosx0-m x0=ex +cosxQ%0(ex0 s i n x0)=(1-%0)ex +cosx0+xosinxQ f记g(%)=(1%)ex+cosx+xsinx,x G (,兀)，则“()=xex+xcosx=x(ex c o s x)x(l cosx)0,所以g(x)在&兀)上递减，则g(x)渥)=(1-勺祓+%(1-当X 4.8 1+竽 0，4 L L L L L所以/(X。)0 /(2 7 T)=e2 i r+1-2mrt e2n+1-2iten=en(en-2 兀)+1 0,所以f(x)在(0,&)、(x o,2 力上各有一个零点，即/(X)在(0,+8)上有两个零点.【解析】(1)由题设可得f (x)=ex-sinx-m 0,B OA=9 0,则方必+y/2 =4-4+y/2 =0-解得y02=-6 4,当4 8 与轴不垂直时，乃+为 工。，1。犯，此时直线AB的方程为：y =整理得y =b三%+S鲁，xlx2 为 十，2 十o7 17 2 =-6 4,则4 B 的方程为：y =3 (x-8),则直线4 B 恒过定点M(8,0),由O N J.AB,即。N 1 N M,故N 在以0M为直径的圆上，该圆方程为(X -4产+y 2 =货,即当Q 为该圆心(4,0)时，NQ =4为定值;当4B _ L x 轴时，=-y2=8,此时久 1=不=8,而O N 1 A B,故N(8,0)：当Q(4,0)时，也满足|NQ|=4,综上，平面内存在一个定点Q(4,0),使得|Q N|为定值4,法二：设直线A B 的方程为久=m y +7 1,做乙,%),B x2,y2)0,由韦达定理得：yr+y2-8 m,yi-y2=8 n,由NBC M =9 0,即瓦？-O B xrx2+yyz=+乃%=解得乃%=64,即为,7 2 =_8 n =-64=n =8,直线4B 恒过定点M(8,0),由0 N J.4 B,即0N1NM,故N 在以0M为直径的圆上，该圆方程为(X -4尸+y 2 =第，即定点Q 为该圆心(4,0)时，|N Q|=4为定值.【解析】(1)由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数P，即可得方程；(2)法一：设B(x2,y2),XiX2 K 0,%0,利用 OB =9 0。求得力 九=-64,讨论4 B 与x 轴是否垂直，求直线4 B 所过的定点；法二：设直线4 8 的方程为x =m y +n,4%,%),B(x2,y2),联立抛物线及韦达定理、AOB=9 0 得 1 乃=-64；最后结合ON，4 B 确定N的轨迹，即可确定定点和定值；.本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，圆锥曲线中定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.2 2.【答案】解：(1)由曲线C j 为参数)，消去参数t,得 稔)2+y 2 =c o s 2 t +s i n 2 t =1,所以曲线C l 的直角坐标方程为三+y 2 =1，又由x =pcosd,y=psind,得p2cos+2 p2s i n20 =2,所以曲线G的极坐标方程为P 2 c o s 2。+2 p2s i n20 =2,由曲线 C 2：P=r,得 p2=2,即 x 2+y 2=r2,所以曲线C 2 的 普 通 方 程 为+y 2 =r2(r 0)；(2)由题意乙40 B=9 0。，设Z(p i，a),则 B(p 2，a+9 0 ),又 曲 线 与 直 线 A B 有且仅有一个公共点,故r为点。到 直 线 的 距 离，由曲线C i 的极坐标方程p 2 c o s 2 8 +2 p2s i n20 =2,得a=二 管 一 的,所 咤=cos2a+2sin2a21 _ cos2(a+90o)+2sin2(a4-90)_ sin2a+2cos2a 升-g 2 2所 端 +2 1，即禽23f又|。川 x 0B =AB xr,所以r=3凶!=钙=艮=理协以 明 有|3，故所求实数r的值为苧.【解析】(1)先求曲线C i 的直角坐标方程，再由x =p c o s 8,y =p s i n。写成极坐标方程；由p?=+y 2 写出曲线C 2 的直角坐标方程；(2)根据曲线C 2 与直线4 8 有且仅有一个公共点，得出r是直角三角形A 0 B 斜边上的高，根据等面积法转化为r=黑史求解即可.本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题.-3%1,%工一212 3.【答案】解：(1)由题设/(%)=|%+2|+|2%-1|=4 3 -%一 2 所以，不等式等价于产打2 A 或卜2|,l-3x-1 6 (3-x 6 1 3%+1 6解得一(x -2 或-2 x ：或;x 所以原不等式的解集为1(2)证明：f(%)=|x +2 a|+2|x I,(-3%2Q+,%工一2Q2 a+，一 ,2a%4a 2a-3x -2 a+，x 当a 0时，f(x)=x -2 a,-x -2a综上，结合各分段上一次函数的性质知：/(X)在(-8,*)单调递减，在(力,+8)上单调递增，所以f (x)m i n =呜)=加+蜘=1 2 al +册2 2,(当且仅当a=j,x =，时等号成立),所以/(x)2.【解析】(1)分类讨论求解绝对值不等式的解集；(2)由绝对值对应函数的单调性求函数最小值范围，即可证结论.本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题.