2023年离散数学图论部分形成性考核书面作业讲评.pdf
离散数学图论部分形成性考核书面作业讲评图论作为离散数学的一部分，教学目的是培养学生的抽象思维能力与数学建模能力，并为学生学习后续专业课程等建立必要的数学基础。图论部分重要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容涉及图的基本概念与结论、几种特殊的图和树，重要内容有图的基本概念、图的连通性与连通度、图的矩阵表达、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。因此，本次作业重要是复习这部分的重要概念与计算方法，共安排了五种类型题目，其中单项选择题、填空题各有10个题，判断说明题、计算题、证明题各有4题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型。通过对作业的批阅，发现作业中错误比较集中在以下一些问题中，在此给出一些分析。一、单项选择题1.设 图G的邻接矩阵为0 0 10 0 01 0 00 1 00 1 00 01 10 00 11 0则G的边数为（）.A.5 B.6C.3 D.4对的答案是：Do许多同学选择答案B。重要是对邻接矩阵的概念理解不到位。定义3.3.1设G=V,是一个简朴图,其中足 也,也.,vn,则阶方阵A（G）=（劭）称为G的邻接矩阵.其中各元素1 匕与匕相邻 j o 匕与匕不相邻或z =j而当给定的简朴图是无向图时，邻接矩阵为对称的.即当结点打与讨目邻时,结点中与必也相邻，所以连接结点W 与灯的一条边在邻接矩阵的第i行第/列处和第j行第i列处各有一个1,题中给出的邻接矩阵中共有8个1,故有8+2=4条边。6.图G 如右图所示，以下说法对的的是（）.A.0,切 是割边B.（。，是边割集C.（d,e）是边割集D.5,(a,c)是边割集对的答案是：C许多同学选择答案A。重要是对割边、边割集的概念理解不到位。定义3.2.9 设无向图G=为连通图，若有边集臼u ,使图G 删除了E i的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了 E i的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是 G 的一个边割集.若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）假如答案A 对的，即删除边伍,后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A 是错误的。8.无向图G 存在欧拉通路，当且仅当（）.A.G 中所有结点的度数全为偶数B.G 中至多有两个奇数度结点C.G 连通且所有结点的度数全为偶数D.G 连通且至多有两个奇数度结点对的答案是：Do许多同学选择答案C。重要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。这样应当用定理4.1.1 选择才是对的的。9.设 G是有八个结点，机条边的连通图，必须删去6 的（）条边，才干拟定G的一棵生成树.A.m n+l B.m-n C.m +n+D.n-m +对的答案是：A许多同学选择答案Do 重要是把定理5.1.1给出的图T为树的定义等价之一是图T 连通且e=v-l 中的公式用错了.大家只要把机代入公式6=丫-1 中的e,把代入公式e=v-l 中的v,可以知道答案A 是对的。二、填空题1.己知图G中有1个 1度结点，2个2 度结点，3个3 度结点，4个4 度结点，则G的边数是.应当填写：15。许多同学填错答案重要对握手定理掌握的不好。定理3.1.1（握手定理）设 G是一个图，其结点集合为V,边集合为E,则Edeg（y）=2|E|veV由于图G中有1个 1度结点，2 个 2 度结点，3个 3 度结点，4个4度结点,即g d e g =1x1+2 x2 +3 x3 +4 x4 =3 0 ,所以边数有国=3 0/2 =15。veV2 .设给定图G（如由图所示），则图G的点割集是.应当填写:f,c,e0许多同学填错答案重要对点割集的概念理解不对的。定义3.2.7设无向图G=匕所为连通图，若有点集Uu V,使图G 删除了山的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了坏的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称0是G 的一个点割集.若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点.许多同学填写的/，c 是不满定义3 2 7 的，由于/是/,c 的真子集，而删除团后，图是不连通的。6.设有向图。为欧拉图，则图。中 每 个 结 点 的 入 度.应当填写：等于出度。许多同学填1，不知为什么。假如大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理4.1.2：一个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度.大家一定能填写出对的答案的。7.设完全图K“有个结点（应2）,根条边，当 时，K“中存在欧拉回路.应当填写：为奇数。许多同学填错答案重要对完全图的概念理解不对的。定义3.1.6简朴图G=匕 E中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全 图.有个结点的无向完全图记为K”.由定义可知，完全图K”中的任一结点v 到其它结点都有一条边，共有T条边，即每个结点的度数是T,当为奇数时，-1为偶数。由定理4.1.1的推论可知，应当填写：为奇数。10.给定一个序列集合 1,0 1,10,11,0 0 1,0 0 0 ,若 去 掉 其 中 的 元 素,则该序列集合构成前缀码.应当填写：1。由于在二进制中1是10 和11的前缀。而前缀码的定义是（定义5.2.10）：给定一个序列集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码.填写该题答案是，大家一定要对前缀码的定义理解非常清楚。三、判断说明题2.给定两个图Gi,G （如下图所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由.（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路.分析：大家的判断都对的，并且欧拉图的理由说明也是对的的。问题是1.欧拉回路的书写不规范，对的的写法（不惟一）：V I e V 2 C 2 V 3 63 V 4 e5V5 ei V 2 08 C 6 V 4 04力2.汉密尔顿图的理由说明不对，其实只要写出一条汉密尔顿回路（不惟一）：a（a,b）b（b,e）e（e,fif（f,g）g（g,d）d（d,c）c（c,d）a即可。四、计算题1 .设图 G=,其中 V=“1,。2,。3,44,。5,E,（1）试给出G 的图形表达；（2）求 G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？解：（1）图G是有向图：（2）邻接矩阵如下：0 10 0 00 0 0 1 0A(D)=1 0 0 0 00 0 0 0 10 10 0 0（3）单侧连通图.讲评：作业中的问题重要是粗心大意，如有向图中有些边上没标方向，在邻接矩阵中第1 行第3 列中填了 l o 因此，做题要细心。2.图 G=,其中 V=a,b,c,d,e,f,E=(a,b),(a,c),(a,e),(h,d),(b,e),相应边的权值依次为 5,2,1,2,6,1,9,3 及 8.（1）画出G的图形;（2）写出G的邻接矩阵;（3）求出G权最小的生成树及其权值.解：（1）G的图形表达为:（2）邻接矩阵:-0 1 1 0 1o-1 0 0 1 1 01 0 0 0 1 00 1 0 0 1 11 1 1 1 0 10 0 0 1 1 0（3）粗线表达最小的生成树:e -XQ最小的生成树的权为1+1+5+2+3=1 2.讲评：作业中的最小的生成树求错，重要是没有把握“取权数最小的边且与前面取到的边不构成圈”的方法。4.设有一组权为 2,3,5,7,1 1,1 3,1 7,1 9,2 3,2 9,3 1,试(1)画出相应的最优二叉树；(2)计算它们的权值.讲评：作业中最优二叉树都画对了，但计算总权值时把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误。五、证明题讲评：证明题几乎所有做错，应当是大家对证明题方法没有掌握，也是一些概念不清楚所导致的，希望大家各自分析因素，找出问题所在，通过作业逐步掌握做证明题的方法。1 .若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的.证明：用 反 证 法.设G中的两个奇数度结点分别为和口 假 设 和u不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G i,G 2,且 和v分别属于Gi和G 2,于是G和Gi各具有一个奇数度结点.这与握手定理的推论矛盾.因而和v 一定是连通的.2 .设G是一个阶无向简朴图，是大于等于2的 奇 数.证 明 图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等.证明：由于是奇数，即阶完全图每个顶点度数为偶数.那么，若G中顶点V的度数为奇数时，在补图G中丫的度数一定也是奇数，所以G与8中的奇数度顶点个数相等.3.设G是连通简朴平面图，则它一定有一个度数不超过5的结点.（提醒:用反证法）证明：由于G是连通简朴平面图，它的每个面至少有3条边，所以有3r2e,E?r 3假设结论不成立，则每个结点的度数都大于等于6.则有6v2e,即有.W .3由欧拉公式：2=v+r-e-+-e=03 3矛盾.所以G中至少有一个结点的度数小于或等于5.4.设连通图G有七个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加&条边才干2使其成为欧拉图.证明：由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知人是偶数.又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充足必要条件是图G不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图.故最少要加工条边到图G才干使其成为欧拉图.2
