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第 一 章 行 列 式 从 1987年 全 国 统 考 以 来，行 列 式 的 题 以 填 空、选 择 为 主，题 量 不 多，且 偏 重 于 计 算.对 于 落 到 行 列 式 的 考 题，大 致 为 三 种 类 型，一 是 数 字 型 行 列 式 的 计 算，一 是 抽 象 型 行 列 式 的 计 算，还 有 就 是 行 列 式 值 的 判 定（特 别 是 行 列 式 是 否 为 零？）在 这 些 考 题 中 不 仅 考 查 行 列 式 的 概 念、性 质 及 计 算，还 涉 及 到 矩 阵、向 量、方 程 组、特 征 值 二 次 型 等 知 识 点.一、数 字 型 行 列 式 的 计 算 1.（08.6分）设 n 元 线 性 方 程 组 Ax=b,其 中 2a 1证 明 行 列 式 同=（+l）a.评 注：本 题 关 于 三 对 角 线 行 列 式 的 计 算 通 常 用 递 推 法.（96年 数 四 考 题 中 出 现 过）例 如，本 题 按 第 一 列 展 开，有 Dn=2 a Dn-y-aDn-2得 D,aD,T=aDn_-a2Dn_2=aDn_x-a D,从 而 D.-a D g=a(D z-吗-3)=a-D2-aDt)=an那 么 Dn=aD,z+an=a(Dn_2+a-1)+a=a2D _,+a=an),+(Y)a=(+Y)an2.(97,4,3分)设 阶 矩 阵 0 1 1 1 11 0 1 1 11 1 1 0 11 1 1 1 0评 注：除 去 用 行 列 式 的 性 质 及 展 开 公 式 计 算 外，你 能 利 用 特 征 值 更 简 便 地 求 出 行 列 式 的 值 吗？综 述 对 于 数 字 型 行 列 式 的 计 算 主 要 是 按 行、列 展 开 公 式，但 在 展 开 之 前 往 往 先 运 用 行 列 式 的 性 质 对 其 作 恒 等 变 形.以 期 某 行 或 某 列 有 较 多 的 零 元 素，这 时 再 展 开 可 减 轻 计 算 量.同 时,也 要 注 意 一 些 特 殊 公 式，如 上（下）三 角、范 德 蒙 行 列 式、拉 普 拉 斯 展 开 式 的 运 用.虽 然 单 独 命 题 的 计 算 题 并 不 多，但 在 特 征 值 问 题 中 有 较 多 区 E-川 型 行 列 式 的 计 算，在 线 性 相 关 矩 阵 可 逆、个 未 知 数 八 个 方 程 的 齐 次 方 程 组、二 次 型 的 正 定 等 问 题 中 都 会 涉 及 到 行 列 式 的 计 算，因 此 对 行 列 式 的 计 算 要 重 视，不 要 因 小 失 大.二、抽 象 型 行 列 式 的 计 算 1.(00,3 分)若 4 阶 矩 阵 A 与 3 相 似，矩 阵 A 的 特 征 值 为:，则 行 列 式|B-|-E|=.2 r2.(06,4 分)设 矩 阵 A=2 E 为 2 阶 单 位 矩 阵，矩 阵 3 满 足 24=8+2E,则 忸|=-3.(08,4 分)设 3 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 1,2,2,E 为 3 阶 单 位 矩 阵，则|44一|-日=.要 会 计 算 这 些 题(1)(03,43分)若 心,。2，%4 3 都 是 4 维 列 向 量，且 4 阶 行 列 式|,4,。3，川=加，a2,p2,a=n,则 4 阶 行 列 式，片+&I=(1)m+n-,(2)一(?+)；(3)n-m；(4)m n.评 注：作 为 抽 象 型 行 列 式，本 题 主 要 考 查 行 列 式 的 性 质.F2 1 0(2)(04,4分)设 矩 阵 A=1 2 0，矩 阵 8 满 足 AR4*=23A*+E,其 中 A*为 A 的 20 0 1伴 随 矩 阵，E 是 单 位 矩 阵，则 忸|=.评 注：本 题 没 有 必 要 解 出 8=；缶-2 0-)，注 意|碎=-闺，不 要 出 错.(3)(05,g,4 分)设 均 为 3 维 列 向 量，记 矩 阵 4=(,%)，8=(6+。2+。3，+2a2+4。3，%+3a2+9%),如 果 冈=1,那 么 忸|=.评 注：本 题 还 涉 及 到 范 德 蒙 行 列 式.另 外，本 题 用 行 列 式 性 质 恒 等 变 形 也 是 可 行 的，例 如.忸|=|3+4+/+2a2+4心 3+3a2+9局=ax+a2+ay a2+3a3%+5a3|=|弓+%+。3 a-,+3a3 2a3 I=2|/+%+%+3%=2|a,+a2 a2 a-la a2 a,|综 述 对 于 抽 象 型 行 列 式 的 计 算，可 能 考 查 行 列 式 性 质 的 理 解、运 用，可 能 涉 及 矩 阵 的 运 算，也 可 能 用 特 征 值、相 似 等 处 理(如 第 2题).这 一 类 题 目 往 往 综 合 性 强，涉 及 知 识 点 多.因 此,考 生 复 习 时 要 注 意 知 识 的 衔 接 与 转 换，如 果 内 在 联 系 把 握 得 好，解 题 时 的 思 路 就 灵 活.这 一 类 题 目 计 算 量 一 般 不 会 太 大.三、行 列 式 同 是 否 为 零 的 判 断 1、(98,3分)齐 次 方 程 组 Ax+x2+矛 七=0%(+/ix,+x3=0 xt+x2+2r3=0的 系 数 矩 阵 为 A.若 存 在 三 阶 矩 阵 B W 0 使 得 AB=0,则(A)/l=-2,且 忸|=0.(B)A=-2,且 忸|H 0.(C)A=1,且 怛|=0.(D)A=l,且 忸|c0.作 为 选 择 题，只 需 在 4=-2 与 4=1中 选 择 一 个，因 而 可 以 用 特 殊 值 代 入 法.评 注：对 于 条 件 AB=O应 当 有 两 个 思 路：一 是 B 的 列 向 量 是 齐 次 方 程 组 小:=()的 解；二 是 秩 的 信 息 即 r(A)+r(B)n 时、必 有 行 列 式|A叫 丰 0.(B)当 m n 时，必 有 行 列 式 A 用=0.(C)当 n m 时，必 有 行 列 式 却 H0.(D)当 n m 时，必 有 行 列 式 阴=0.若 4=，%)是”阶 矩 阵，那 么 行 列 式|川=0=矩 阵 A 不 可 逆 Q 秩 r(A)nQ Ar=0 有 非 零 解=0 是 矩 阵 A 的 特 征 值=A 的 列(行)向 量 线 性 相 关.因 此，判 断 行 列 式 是 否 为 零 的 问 题，常 用 的 思 路 有：用 秩；用 齐 次 方 程 组 是 否 有 非 零 解;用 特 征 值 有 能 否 为 零；反 证 法 也 是 重 要 的；因 为 行 列 式 是 一 个 数，若|川=-|山，则 亦 能 得 出|川=0 的 结 论.这 里 所 涉 及 的 思 路 与 方 法 可 以 平 行 的 转 移 到 矩 阵 A 是 否 可 逆 的 判 定 中 去.第 二 章 矩 阵 矩 阵 是 线 性 代 数 的 核 心.矩 阵 的 概 念、运 算 及 理 论 贯 穿 线 性 代 数 的 始 终.考 研 题 中 矩 阵 的 题 目 有 20多 个.且 绝 大 多 教 是 填 空 题，约 占 线 性 代 教 总 题 量 的 28%.伴 随 矩 阵 与 秋 逆 是 出 题 最 多 的 考 点，矩 阵 的 运 算、矩 阵 方 程、矩 阵 的 秩 及 初 等 矩 阵 等 知 识 点 都 应 当 认 真 仔 细 地 复 习 一、矩 阵 运 算 到 这 确 结 论，但 烦 琐.这 些 题 要 做 好 1 2-2(1)(9743分)设 A=0/3,B 为 三 阶 非 零 矩 阵，且 AB=0,则=._3-1 1(2)(9543 分)设 维 向 量 a=(g,0,0,；),矩 阵 A=E a 7 a,B M E+Zaa,其 中 E 为 阶 单 位 矩 阵，则 AB=.(A)0(B)-E(C)E(D)E+ar评 注：当 a 是 行 向 量 时，a a，是 一 个 数，而 a a 是 阶 矩 阵.(3)(04,4,4 分)设 4=-10000-1B=P A P,其 中 P 为 3 阶 可 逆 矩 阵，则 010B2 m-2 A2=.综 述 要 熟 练、准 确 掌 握 矩 阵 运 算.对 于 矩 阵 运 算 要 注 意 它 与 数 字 运 箕 的 区 别，不 要 混 淆.特 刚 地，如 何 处 理 AB=0?在 概 念 与 方 法 上 要 搞 清 楚.如 何 求 A?当 r(A)=l时，要 会 分 解 A为 的 7的 形 式.二、伴 随 矩 阵1 0 01、(95,3 分)设 4=2 2 0,A*是 A 的 伴 随 矩 阵，则(4*尸=3 4 5评 注：要 知 道 关 系 式(A*/=(A T)*A间 在 已 知 矩 阵 A 的 情 况 下，只 要 求 出 行 列 式|A|的 值，也 就 可 以 求 出(A-5*或(A-*.2、(96,3 分)设 阶 矩 阵 A 非 奇 异(2 2),A*是 A 的 伴 随 矩 阵，贝 U(A)*=4(B)(A*)*=|A Z(C)(A*)*=|A Z(D)评 注：由 A*(A*)*=|A E,左 乘 A 有(A4*)(A*)*=k*A,即(|川 E)(A*)*=亦 知 应 选(C).若 A 不 可 逆，上 述 关 系 仍 成 立，你 能 证 明 吗？3、(05,4 分)设 矩 阵 A=(%)3X 3满 足 A*=A 1 其 中 A*为 A 的 伴 随 矩 阵，A7为 A 的 转 置 矩 阵.若 1,必 2，a 3为 三 个 相 等 的 正 数，则 名 1为(A)坐(B)3(C):(D)V33 3评 注：A*=A 在 往 年 数 学 一、数 学 四 的 考 题 中 都 出 现 过，至 于|川=1的 推 导 还 可 利 用 A A*=|A|E,于 是 A 4，=|A|E.然 后 两 边 取 行 列 式 来 论 证.本 题 进 一 步 可 知 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵.要 会 处 理 分 块 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 5、(02,4,3 分)设 A B C。=为 阶 矩 阵，A*,8*分 别 为 A,8 对 应 的 伴 随 矩 阵，A 0.分 块 矩 阵。=,则 C 的 伴 随 矩 阵 C=0 B。网 叫!出)伊*明 0(C)|A|B*o0 BA*(D)|B|A*O0 AB*综 述 伴 随 矩 阵 是 常 考 题 目 之 一.首 先 应 理 解 伴 随 矩 阵 的 概 念，要 掌 握 基 本 关 东 式:44*=AA=A E,并 能 将 其 作 各 种 恒 等 变 形 推 导 出 伴 随 矩 阵 的 各 种 关 系 式.诸 如:刑 I(2)若 A 可 逆，则 A=|A|A T,(A*)T=(A T)*=*AMl(3)r(A)=n,1,0,如 果 r(A)=n如 果 r(A)=如 果 r(A)一 1(4)若 A可 逆，且 A a=4 a,a，0 则 A%=服 2(5)(M)*=-(A*)*=|4 2 A,(A*)T=(A7)*a b d-b另 外，若 A是 2 阶 矩 阵，则=.了 解 此 关 系 式 对 于 2 阶 矩 阵 求 逆 是 c a|_-c a简 便 的.三、可 逆 矩 阵 1、(97,6分)设 A 为 阶 非 奇 异 矩 阵，a 为 维 列 向 量，分 为 常 数，记 分 块 矩 阵 P=E 0-aTAf|A|_A abQ=Ta其 中 A*是 A 的 伴 随 矩 阵，E 为 阶 单 位 矩 阵.(1)计 算 并 化 简 PQ.(2)证 明：矩 阵 Q 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是 a，A-a。八 评 注 本 题 考 查 分 块 矩 阵 的 运 算.要 把 握 住 小 块 矩 阵 的 左 右 位 置.要 看 清 74-勿 是 1阶 矩 阵，是 一 个 数.2、(03,4 分)设 维 向 量 a=(a,0,0,。尸，a 0,E 是 阶 单 位 矩 阵，A-E-a aT,B-E+a ara其 中 A 的 逆 矩 阵 为 8,则。=.评 注：考 查 矩 阵 运 算 的 分 配 律、结 合 律，以 及 可 逆 定 义.试 问 a a=?7.(08,4 分)设 A 为 阶 非 零 矩 阵，E 为 阶 单 位 矩 阵.若 4=0,则(A)E-A 不 可 逆，E+A 不 可 逆；(B)-A不 可 逆，+4 可 逆；(C)E-A 可 逆，E+A 可 逆；)E-A 可 逆，E+A 不 可 逆.评 注：本 题 用 特 征 值 也 是 简 捷 的，由 A 3=0 n A 的 特 征 值;l=0 n E-A(或 E+A)的 特 征 值 均 不 为 0=E-A(或 E+A)可 逆.要 会 单 位 矩 阵 恒 等 变 换 的 技 巧(1)(92,4,3 分)设 A B,A+B,4 一】+8 一|均 为 阶 可 逆 矩 阵，则 缶-1+8 一|尸 等 于(A)A-1+B(B)A+8(C)A(A-+B-)lB(D),(A+B)T注 意，一 般 情 况 下(A+8)T 不 要 与 转 置 的 性 质 相 混 淆.(2)(0023 分)设 4=-120003-40005-6o-007_,E 为 4 阶 单 位 矩 阵，且 B=(E+A)T(E-A),则(E+B)T=_.练 习 题-00 0-0 0 a.0(1)(94,2,3 分)设 A=:,其 中。产 0,i=l,2,，及，则 0 0 0an-_a0 0 0k=_.(1)(01,1,3分)设 矩 阵 A 满 足 A2+A _ 4E=0,其 中 E 为 单 位 矩 阵，则 M-Ef=.评 注：用 定 义 法 求 逆，数 学 一 还 有 相 当 的 考 生 不 会 这 种 方 法，正 确 率 约 为 57%,这 是 值 得 考 生 思 考 的.原 因 究 竟 是 什 么？综 述 可 逆 是 矩 阵 中 的 一 个 重 要 知 识 点，在 考 研 中 出 现 频 率 较 高，在 矩 阵 方 程 的 求 解 中 也 会 涉 及 到 求 逆 问 题.首 先，应 理 解 逆 矩 阵 的 概 念，掌 握 逆 矩 阵 的 性 质；其 次，要 正 确 熟 练 地 求 出 逆 矩 阵；还 要 掌 握 可 逆 的 充 分 必 要 条 件，会 证 可 逆.要 熟 悉(A Y=A,(M-)=-A-,(ABY=B-Ak证 明 矩 阵 A 可 逆 的 方 法 很 多，核 心 问 题 是 行 列 式|山。0(如 第 5 题).还 可 用 定 义 法，可 用 反 证 法.当 然 也 可 用 特 征 值 或 齐 次 方 程 组 等，方 法 是 灵 活 的.求 逆 矩 阵 的 基 本 方 法：定 义 法，伴 随 矩 阵 法(A T=A*),初 等 行 变 换 法(A:)-(E:A-1).特 殊 情 况 可 用 分 块 矩 阵 的 技 巧(如 第 5 题).四、初 等 变 换 8、(01,3 分)设 7 2 4 3 4 4。14 a3 alA=%,，22 23。24,B=a24。23 a22a2甸(%”33 34%4%3 4 32。3110 2 4 3。44 _a44 4 3 a42。41 _-o o o r 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0片=,巴 二 0 0 1 0 0 1 0 01 0 0 0 0 0 0 1其 中 A 可 逆，则 3 一 1等 于(A)A-PtP2；匕 年 名；(C)P,P2A-；鸟/明 评 注：本 题 考 查 初 等 矩 阵 的 两 个 定 理，一 个 是 行 变 换、列 变 换 左 乘、右 乘 初 等 矩 阵 的 关 系，一 个 是 初 等 矩 阵 逆 矩 阵 的 公 式，复 习 初 等 矩 阵 时 应 搞 清 这 两 个 基 本 定 理.9、(04,4 分)设 阶 矩 阵 A 与 8 等 价.则 必 有(A)当|A|=a(awO)时，忸|=a；(B)当 同=(。/0)时，网=一。(C)当 闯。时，忸|=0；(D)当=0 时，忸|=0(D)10、(06,4 分)设 A 为 3 阶 矩 阵，将 A 的 第 2 行 加 到 第 1行 得 B,再 将 8 的 第 1列 的-11 1 0-倍 加 到 第 2 列 得 C,记=0 1 0，则 0 0 1(A)C=PAP-,(B)C=PAPT；(C)C=PTAP,(D)C=PAPT.本 题 考 查 初 等 矩 阵 左 乘 右 乘 问 题 及 初 等 矩 阵 逆 矩 阵 的 公 式.理 工 类 还 这 样 考(1)(04,4 分)设 4 是 3 阶 方 阵，将 A 的 第 1列 与 第 2 列 交 换 得 B,再 把 B 的 第 2 列 加 到 第 3 列 得 C,则 满 足 A Q=C 的 可 逆 矩 阵。为-0 1 0-_0 1 0-0 1 0-_o 1 r(A)1 0 0；(B)1 0 1；(C)1 0 0；(D)1 0 01 0 1 _0 0 1 0 1 1_ _0 0 1评 注：对 于 矩 阵 的 初 等 变 换 要 会 用 初 等 矩 阵 来 描 述，还 要 熟 悉 初 等 矩 阵 逆 矩 阵 的 三 个 公 式.(2)(05,4 分)设 A为 2 2)阶 可 逆 矩 阵，交 换 A 的 第 1行 与 第 2 行 得 矩 阵 3,A*,8*分 别 为 A,3 的 伴 随 矩 阵，则(A)交 换 A*的 第 1列 与 第 2 列 得 B(B)交 换 A*的 第 1行 与 第 2 行 得 B*(C)交 换 A*的 第 1列 与 第 2 列 得 3*.(D)交 换 A*的 第 1行 与 第 2 行 得 3评 注：本 题 考 查 初 等 矩 阵 的 两 个 定 理：一 个 是 左 乘 右 乘 问 题，一 个 是 初 等 矩 阵 逆 矩 阵 的 公 式.同 时 注 意 求 伴 随 矩 阵 有 两 种 思 路：一 是 用 定 义 法，一 是 用 可 逆 矩 阵 来 转 换(A*=|A|A-).(3)(97,1,5分)设 A 为 阶 可 逆 矩 阵，将 A 的 第 i 行 和 第/行 对 换 后 得 到 的 矩 阵 记 为 8,证 明 8 可 逆.评 注：本 题 考 查 初 等 矩 阵 的 性 质，要 知 道 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 左 右 乘 的 关 系 以 及 初 等 矩 的 阵 逆 矩 阵.经 初 等 变 换 矩 阵 的 秩 不 变，易 知/(?!)=r(B)=，也 可 证 明 8 可 逆.五、矩 阵 方 程 1 0 0 11.(98,3分)设 矩 阵 A,B 满 足 A*BA=284 8 E,其 中 A=0-2 0,E 为 单 位 0 0 1矩 阵，4*为 A 的 伴 随 矩 阵，则 8=.要 会 解 这 样 的 矩 阵 方 程(05,4,4分)设 矩 阵 A,B,C 均 为”阶 矩 阵，E 为 阶 单 位 矩 阵，若 8=E+AB,C=C+C 4,则 B-C=.(A)E；(B)-E；(C)A；(D)A.练 习 题(1).(00,1,6分)设 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 1 0 0 0 0 1 0 0A*=1 0 1 00-3 0 8_且 ABA-1=B A-i+3 E,其 中 E 是 4 阶 单 位 矩 阵，求 矩 阵 B.评 注：本 题 已 知 矩 阵 A*,因 此 对 应 当 继 续 恒 等 变 形 向 已 知 条 件 靠 拢，用 式 来 求 8 较 好.若 由 得 8=3(A E)T,然 后 用 A=|A|(A*)T 先 求 出 A,再 求(A)T.最 后 亦 可 求 出 8,但 这 样 计 算 量 较 大.-1-2 0(2).(99,4,3 分)已 知 A B-8=A，其 中 8=2 1 0,则 4=.0 0 2评 注：求(3-石 尸 时，方 法 有 多 种，若 熟 悉 分 块 A OI F A_1 o-0 0 B 及 2 阶 矩 阵 求 逆 法 就 可 直 接 写 出(B-E Y.综 述 解 矩 阵 方 程 时 首 先 要 作 符 号 运 算，再 根 据 矩 阵 运 算 法 则、性 质 把 方 程 化 简(特 别 要 注 意 矩 阵 的 乘 法 没 有 交 换 律)，可 能 出 现 的 简 化 方 法 有 以 下 三 种 形 式：AX=B,XA=B,AXB=C.接 着 应 判 断 矩 阵 A 是 否 可 逆，若 A 可 逆，则 前 两 个 方 程 分 别 化 为 对 于 第 3 个 方 程，若 A,5 均 可 逆，则 可 化 为 X=A-CB.当 把 X 描 述 清 楚 后，再 带 入 已 知 数 据 作 数 值 运 算 就 可 求 出 X.随 着 时 间 的 推 移，当 前 矩 阵 方 程 的 化 简 部 分 比 早 年 要 复 杂，己 知 条 件 也 可 能 由 A 转 换 为 与 A 有 某 种 关 联 的 矩 阵，到 目 前 为 止 还 没 有 考 过 矩 阵 4 不 可 逆 的 情 形.试 问，若 A 不 可 逆，你 如 何 解 A X=B?六、矩 阵 的 秩 12.(95,3分)设 矩 阵 Am xn的 秩 r(A)=加，Em为 m 阶 单 位 矩 阵，下 述 结 论 正 确 的 是(A)A 的 任 意 m 个 列 向 量 必 线 性 无 关.(B)A 的 任 意 一 个 机 阶 子 式 不 等 于 零.(C)若 矩 阵 8 满 足 8A=0,则 8=0.(D)A 通 过 初 等 行 变 换，必 可 化 为(E,“,0)形 式.13.(98,3 分)设“(3)阶 矩 阵,1 a aa 1 aA=a a 1a a aaaa,若 A 的 秩 为 一 1,则。必 为 11 1(A)l；(B)；(C)-l(D)-l-n n-1评 注：A 是 实 对 称 矩 阵，你 能 简 捷 看 出 A 的 特 征 值 是 1+(-1)氏 1-。,1-。/-。吗？秩(4)=?(有 三 种 情 况！)练 习 题 14.(01,3分)设 矩 阵 A=k1111k11ai ri ik 11 kb b,秩 r(A)=3,则 左=_.15.(01,3分)设 三 阶 矩 阵 A=b a b,若 A 的 伴 随 矩 阵 的 秩 等 于 1,则 必 有 b b a(A)。或 a+2b=0；(C)a W 人 且。+26=0；(B)a=/?或 a+2 W 0；(D)Q W 且 Q+2b W 0一 01 0 016.(07,4分)设 矩 阵，A=00001 00 1,则 A?的 秩 为 _.0 0 0 0(08,1,10分)设 为 3 维 列 向 量，矩 阵 a=a a+如 其 中 夕 分 别 是 a,/?的 转 置，证 明(I)秩 r(A)2；(II)若 a,线 性 相 关，则 r(A)2.综 述 要 正 确 理 解 矩 阵 秩 的 概 念，若/(A)=r,则 A 中 有 r阶 子 式 不 为 0.而 r+1阶 子 式 必 全 为 0.在 这 里 要 分 清“有 一 个”与“每 一 个，当 r(A)=时，A 中 能 否 有 r 1阶 子 式 为 0?能 否 有 r+1阶 子 式 不 为 0?你 如 何 描 述 r(A)r?要 搞 清 矩 阵 的 秩 与 向 量 组 秩 之 间 的 关 系，在 线 性 相 关 的 判 断 与 证 明 中 这 种 转 换 是 重 要的(参 看 第 三 章 有 关 内 容).经 初 等 变 换 矩 阵 的 秩 不 变，这 是 求 秩 的 最 重 要 的 方 法.有 时 可 以 把 定 义 法 与 初 等 变 换 法 相 结 合 来 分 析 推 导 矩 阵 的 秩.矩 阵 的 秩 的 重 要 公 式：(1)r(A)=r(Ar)(2)r(姑)=r(A),%H 0.(3)r(A+8)r(A)+r(B)(4)r(AB)min(r(A),r(B).(5)若 A 可 逆,则 r(AB)=r(5),r(BA)=r(B).(6)若 A 8=0,A 是?x 矩 阵，则 r(4)+r(B)W.(7)若 4 口 8,则 r(A)=r(5).第 三 章 向 量 向 量 既 是 重 点 又 是 难 点.由 于 维 向 量 的 抽 象 性 以 及 在 逻 辑 推 理 上 的 较 高 要 求，导 致 同 学 们 在 学 习 理 上 会 有 一 定 困 难.从 以 往 考 试 来 看，首 先 应 理 解 向 量 的 线 性 组 合，掌 握 求 线 性 表 出 的 方 法；其 次(也 是 重 点)要 理 解 线 性 相 关、线 性 无 笑 等 概 念，要 掌 握 向 量 组 线 性 相 关、线 性 无 关 的 有 关 性 质 及 判 别 法，这 一 类 考 题 出 现 频 率 较 高；第 三，要 理 解 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 的 概 念，掌 握 其 求 法，要 理 解 向 量 组 秩 的 概 念，会 求 向 量 组 的 秩：第 四，要 了 解 内 积 的 概 念，掌 握 施 密 特 正 交 化 方 法.一、向 量 的 线 性 表 出 1.(99,3 分)设 向 量/可 由 向 量 组 名,4,线 性 表 示，但 不 能 由 向 量 组：%，线 性 表 示，记 向 量 组(II)：,MI，贝 I(A)。,不 能 由 线 性 表 示，也 不 能 由(H)线 性 表 示.(B)a”,不 能 由 线 性 表 示，但 可 由(U)线 性 表 示.(。名,可 由(I)线 性 表 示，也 可 由(H)线 性 表 示.(D)a,“可 由 线 性 表 示，但 不 可 由(H)线 性 表 示.2.(00,8 分)设 向 量 组 a=(a,2,10尸，a2=(-2,1,57,=(-1,1,4/,=(12,。尸，试 问：当。，c 满 足 什 么 条 件 时，/3,(1)6可 由 4,&3线 性 表 出，且 表 示 惟 一？(2)6 不 能 由 a,c%,a,线 性 表 出？(3)/可 由 名,切 2，火 线 性 表 出，且 表 示 不 惟 一？并 求 一 般 表 达 式.批 注：本 题 也 可 直 接 对 增 广 矩 阵 作 初 等 行 变 换，有 c,2 1 1：1a-2-1:12 1 1:0 2+-1+-:-ab-.2 2 210 5 4:cj 0 0 j：5b-C然 后 可 讨 论 解 的 三 种 情 况，请 读 者 完 成.3.(04,13 分)设 0=(1,2,0),%=(1,。+2,-3a)，,4=(1,2,a+2。)，6=(1,3,-31，试 讨 论 当 为 何 值 时，(I)尸 不 能 由,，,a3线 性 表 示；(H)/可 由 名,打 2，氏 惟 一 线 性 表 出，并 求 出 表 达 式；(HI)/可 由 线 性 表 出，但 表 达 式 不 惟 一，并 求 出 表 达 式.请 独 立 完 成 下 面 的 考 题(1)(03,4,13 分)设 向 量 组(I)：6=(1,0,2),cx2=(l,l,3)r,a,=(1,-和 向 量 组(H)：4=(1,2,。+3，夕 2=(2，。+6尸，J33=(2,l,a+4)T.试 问：当 a 为 何 值 时,向 量 组(I)与(H)等 价？当 a 为 何 值 时，向 量 组(I)与(H)不 等 价？(2)(0529分)确 定 常 数 a,使 向 量 组 a=(l,l,a)T,a2=(1,a,1/,a,=可 由 向 量 组 4=(l,l,a)何=(-2,a,4),4=(一 2,4,。尸 线 性 表 示，但 向 量 组 片,4,女 不 能 由 向 量 组 aPa2,a3线 性 表 示.(3)(97,1,7分)设 向 量 组 a?线 性 相 关，向 量 组。2，口 3，。4线 性 无 关，问：(1)能 否 由 4,火 线 性 表 出？证 明 你 的 结 论.(2)%能 否 由 4,a2,a?线 性 表 出？证 明 你 的 结 论.批 注：对 于 攵 乡+e%+%&=0,若 知 k H0,那 么 移 项 处 理 亦 知 名 可 由 线 性 表 出,故(1)的 证 明 也 可 以 为：因 为 风 火，火 线 性 相 关，故 存 在 不 全 为 零 的 数 人,右，心，使 得%乌+k2a2+k3a3=0成 立，其 中 必 有因 为 若 K=0,则 网，&不 全 为 零，使 k2a2+左 3。3=0，于 是%，。3线 性 相 关，进 而%,。?,谓 线 性 相 关，这 与 已 知 矛 盾.故 攵 尸 0.由 此 有 CX=-0C-,.-OCy,即 a 可 由 CC-,CXy线 性 表 出.h&注 意“若%,4,区 线 性 无 关，%,a 2,/线 性 相 关，则 万 可 由 囚,。2,4线 性 表 出，且 表 示 法 惟 一.”这 一 定 理 在 考 研 中 多 次 出 现，应 当 理 解 并 会 运 用 这 一 定 理.综 述 若 己 知 向 量%,a 2,4,的 坐 标，而 判 断 能 否 由 名,a2,a,线 性 表 出.可 转 换 为 方 程 组 内 四+x 2a2+4%=是 否 有 解（如 第 2 题）；如 果 向 量 的 坐 标 没 有 给 出，应 从 逻 辑 推 理 开 始（如 第 1题）讨 论.也 要 会 讨 论 两 个 向 量 组 的 相 互 线 性 表 出 问 题.二、向 量 组 的 线 性 相 关 问 题 4.（96.3分）设 有 任 意 两 个 维 向 量 组 名,火,a,“和 屏 夕 2,或”,，若 存 在 两 组 不 全 为 零 的 数 4，%,，4”和,%2,勺”,使（4+勺）火+（4“+尤”）+（4-4）/+（4“-%）优=o,则（A）%和 月，夕 2,以 都 线 性 相 关;（B）.小 和 瓦 夕 2,，凡 都 线 性 无 关;+。,%+总,6 一 心 凡 线 性 无 关;（D）+月%+&,%-瓦,4-f lm线 性 相 关；5.（96.8分）设 向 量 4,a?,名 是 齐 次 方 程 组 A r=0 的 一 个 基 础 解 系，向 量 4 不 是 方 程 组 A x=O的 解 即 A，0.试 证 明 向 量 组 民 A+a S+a?,0 线 性 无 关.评 注：用 定 义 法 证 明 线 性 无 关 时，应 注 意 k1al+kOi,+kfii 0作 恒 等 变 形，常 用 技 巧 是“同 乘”与“重 组”本 题 这 两 个 技 巧 都 要 用 到.另 外，用 秩 也 是 一 种 常 见 的 方 法.6.（97.3分）设 向 量 组%,仁,43线 性 无 关，则 下 列 向 量 组 中 线 性 无 关 的 是（A）+%。2+%0-（B）a,+a2,a2+a3,a+2 a2+a3（C）a+2a2,2 4+3a3,3a3+ax（D）a,+a2+ay,2a,-3%+22a3,3,+5a2-5a3评 注：本 题 系 数 较 复 杂，单 纯 用 观 察 法 是 困 难 的，要 知 道 3，尾,3）=（,。2&）0这 一 技 巧.1232107.（02.3分）设 三 阶 矩 阵 A=-224,三 维 列 向 量 a=（。,1,1尸，已 知 A a 与 a 线 性 相 关，则。=.那 么 由 Ad,d 线 性 相 关，有 123210a11【分 析】因 为 A a=-224a2a+33a+4,那 么 由 Aa,a 线 性 相 关，有 a 2a+3a 13a+4,-=?=-11评 注：两 个 向 量 a,n 的 坐 标 成 比 例 三 个 向 量 a,/线 性 相 关 n a,/共 面.知 道 线 性 相 关、线 性 无 关 的 几 何 意 义 在 相 关 概 念 的 理 解 上 是 会 有 帮 助 的.8.（02.4分）设 a,a?,%均 为 维 向 量，下 列 结 论 不 正 确 的 是（A）若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 左，取，,&，都 有 女 0+&%+&。，则%,。2,圆 线 性 无 关.（B）若 名,名,%线 性 相 关，则 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 勺#2,，有 k1%+kfCX-,H-F ks（xs 0.）,名,a,线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 此 向 量 组 的 秩 为 s.（D）a,a2,4 线 性 无 关 的 必 要 条 件 是 其 中 任 意 两 个 向 量 线 性 无 关.评 注：反 本 题 考 查 向 量 组 线 性 相 关、线 性 无 关 的 概 念 及 其 等 价 说 法，作 为 理 解 概 念 请 回 顾 第 4 题.9.（05.4分）设 4,4 是 矩 阵 A 的 两 个 不 同 的 特 征 值，对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 6,则名,4al+a2)线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是(A)4。；4。；(C)4=O；(D)4=O10.(05.4分)设 行 向 量 组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线 性 相 关，且 a H 1,则。=.11.(06.4分)设 a，区 均 为 维 列 向 量，A 是/X 矩 阵，下 列 选 项 正 确 的 是(A)若,a 2,4 线 性 相 关，则 A a，A%,，Aa,线 性 相 关.(B)若 al,a2,-,as 线 性 相 关，则 Aa,A a2,-,Aas 线 性 无 关.(C)若 ava2,-,as线 性 无 关,则 AavAa2,-,Aa,线 性 相 关.(D)若 a2,名 线 性 无 关，则 A at,Aa2,-,Aas线 性 无 关.评 注：要 学 会 秩 的 方 法 判 断 线 性 相 关 性.12.(07.4分)设 a2,令 线 性 无 关，则 下 列 向 量 组 线 性 相 关 的 是(A)4a,a,华,43-；(B)(xt+(X-,(X-,+cx3,cx+(x；(C)a,-2a2,a2-2a3,a,-2a,；(D)+2a2,a2+2a,a3+2at13.(08.10分)设 4 为 3 阶 矩 阵，%,a2为 A 的 分 别 属 于 特 征 值-1,1的 特 征 向 量，向 量 Aay-a2+ay.(I)证 明 名,%,a?线 性 无 关.(H)令 P=(%，42，/)，求 P-MP.证 明 向 量 组 线 性 无 关(1).(93.1.6分)设 A 是 X z矩 阵，8 是 m x 矩 阵，其 中 加，E 是 阶 单 位 矩 阵,若 A B=E,证 明 8 的 列 向 量 线 性 无 关.评 注：【证 法 一】用 定 义 法，【证 法 二】用 秩.这 是 两 个 重 要 思 路，值 得 很 好 体 会.(2).(01.4.8 分)设%=(0,怎,(i=l,2,r;r)是“维 实 向 量，且%M 线 性 无 关，己 知=(4 也，,M y 是 线 性 方 程 组%内+%2工 2+%M“=Oa2x+a22x2+a2nxn=0,1,1,1V,%=(2,2+。,2,21,C T,=(3,3,3+a,3)，,%=(4,4,4,4+。尸，问 a 为 何 值 时，ava2,a3,aA线 性 相 关？当 仁,见 以 3，%线 性 相 关 时,求 其 一 个 极 大 线 性 无 关 组，并 将 其 余 向 量 用 该 极 大 线 性 无 关 组 线 性 表 出.评 注：这 是 数 二 1999年 与 2004年 两 个 考 题 的 综 合 变 形.要 会 求 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组(1)(94.4.3 分)设 有 向 量 组 a=(1,-1,2,4)，生=(，3,1,2)，=(3,0,7,14),&=(1,-2,2,0)，%=(2,1,5,10)，则 该 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 是.(B)/,4，%.(口)%,。2，。4，5.评 注：当 选 择 与,4,&作 为 极 大 线 性 无 关 组 时，由 第 一 种 方 法 立 即 知 a3=3a,+a2+0a4,a5=2a,+a2+0a4即 用 极 大 线 性 无 关 组 表 示 向 量 组