2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）.pdf

2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）已知集合人=川21 4 ,B=x-axa+3）,若=则。取值范围是（）A.（2,-F oo）B.（00,1 C.1 ,+8）D.（2,4-c o）2.（5 分）设复数z =l +i（，是虚数单位），则|z 2+三|=（）zA.1 B.垃 C.石 D.23.（5 分）从 4 位男生，2 位女生中选3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法种数共有（）A.8 B.12 C.16 D.204.（5 分）设函数f（x）=2,-2 T+Y,则使得不等式/（2x-l）+f （3）0 成立的实数x的取值范围是（）A.(oo,-1)B.(oo,2)C.(l,+oo)D.(2,4-00)X,35.(5分)已知实数x,y 满足x-y +l.O ,则z =x-2 y 的最大值为()x 3y 3 0S2+S4 5 a2+a4A.-5B.1C.2D.36.(5 分)已 矢 口 5/2sin(6Z +-)=sin a r t a n y-l,则 t a n a =()A.-2B.2c.D.227.(5 分)设”“是等比数列，前项和为s”,若X，则上-=(1-3c1-A.51-4B.1-2D.8.（5 分）已知函数y =c os（ox +0）的图象如图所示，其中切为正整数，|例 0）的焦点为尸，过点尸作倾斜角为60。的直线交抛物线于点 A,B（点 A位于x 轴上方），O是坐标原点，记 A A O P 和 的 面 积 分 别 为 S 1,S2,贝 嚓=（）A.9 B.4 C.3 D.210.（5 分）九章算术卷 五 商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍费”.现记截面之间几何体体积为乂，“刍蔑”的体积为匕，若（=；，台体的体积公式为v=g （s+底7+S，），其中s、s，分别为台体的上、下 底 面 的 面 积.则“方 亭”的 上、下 底 面 边 长 之 比 为（）布-1 75-1 r 小 +1 n 正+12 4 2 411.（5 分）已知|M H 方|=2,且B的夹角为60。，若向量|3-初,1,则5 1 的取值范围是（）A.-4,4 B.一 2 6,26 C.0,26 D.0,412.（5 分）对任意e2,使 得 不 等 式 成 立 的 最 大 整 数 攵 为（）eA.-2 B.-1 C.0 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分.1 3.（5分）已知函数/（x）=剋 ，则曲线y =/（x）在（0,0）处的切线方程为一.ex1 4.（5分）某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X （小时）近似服从正态分布，人均活动时间约4 0 小时.若某高中学校 1 0 0 0 学生中参加该活动时间在3 0 至 5 0 小时之间的同学约有3 0 0 人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过5 0 小时的人数大约为.2 21 5.（5分）已知耳，心分别为双曲线C：5-5=1（。0 力0）的左、右焦点，过点F 2 作 C的一条渐近线的垂线，垂足为G.连接-G,设直线FQ,乙G的斜率分别为仁，k2,若k,k2=-,则双曲线C的 离 心 率 为.1 6.（5分）钝角A A B C 的面积是独5,A C =2,B C =3,角 A的平分线交BC于点。，4 A D=.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,2 3 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1 7.（1 2 分）已知数列伍“满足q =4，n（n+l）a a _,+（n+l）a -nan_t=0 ,n.2,n&N .（I ）求证：数列 J 为等差数列；（n+l）a（I I）设数列（2+1 以 的前项和S“.证明：-5 1 .41 8.（1 2分）如图，三棱柱A BC-A耳 中，底面MBC是正三角形，0,是其中心，侧面B C C.B,是正方形，O,是其中心.（I ）判断直线。与直线M 的位置关系，并说明理由；（I I）若四面体A A B C 是正四面体，求平面B C G 瓦与平面A 8 C 所成锐二面角的余弦值.1 9.（1 2 分）某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、3、C、。四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、。顺序作答；每位同学初始得分均为1 0 分，答对问题A、B、C、。分别 加 1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于1 4 分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足1 4 分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、。回答7 111正确的概率依次为士、-且各题回答正确与否相互之间没有影响.3 2 3 4（I）求小强同学前三道题都答对的概率；（1 1 ）用 X 表示小强同学答题结束时的得分，求 X 的分布列；（I I I）求小强同学能通过比赛的概率.2 220.（1 2分）设F,分别为椭圆C:=+=l（a 方 0）的左、右焦点，P 是椭圆C的短a h轴的一个端点，已知6的 面 积 为 C O SZ P/s =-1.（I ）求椭圆C的标准方程；（I I）是否存在与P g平行的直线/,满足直线/与椭圆C交于两点M,N ,且以线段为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.21.（1 2 分）已知函数 f（x）=x 2+x-/（o x +6）,aw R,ax O.（I ）当。=1,6 =0 时，求证：/（x）；（I I ）若x）.x 2恒成立，求劭的最大值.（-）选考题：共 10分.请考生从第22,2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程I V-CCS f）22.（1 0 分）在直角坐标系x O y 中，曲线:一 :（，为参数，常数r 0）.以坐标原点 y=rsind为极点，X 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C 2的极坐标方程为0 2-8 夕s i n。+1 5=0 .（I）若曲线G 与 有 公 共 点，求，的取值范围；（H）若厂=1,过曲线q上任意一点P 作曲线c 2的切线，切点为。，求|八21 的最小值.选修4-5：不等式选讲（本小题满分0 分）2 3.已知函数 x）=|3 x+l|+|x-2|.（I ）解不等式：/（%）5；（H）若关于x的不等式在 0,3 上恒成立，求实数，的取值范围.2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）已知集合4=划2,4,8 =x|-a/3 D.2【解答】解：因为 z 2+=（l+i）2+=2i +l-i =l+i,z 1 +i所以i z?+2|=应，z故选：B.3.（5 分）从 4 位男生，2 位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法种数共有（）A.8 B.1 2 C.1 6 D.2 0【解答】解：由题设知不同的选法可分两种情况：第一种情况，只 有 1 位女生入选，不同的选法有C；C：=1 2 种；第二种情况，有 2位女生入选，不同的选法有C；C；=4种，根据分类加法计数原理知，至少有/位女生人选的不同的选法有1 6 种，故选：C.4.（5分）设函数f（x）=2 -2 T+x 3,则使得不等式/（2 x-l）+f （3）0成立的实数x的取值范围是（）A.(o o,1)B.(o o,2)C.(l,-i-o o)D.(2,+o o)【解答】解：由函数解析式知函数/(x)是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为/(2工 一1)v/(-3),:.2x-3,解得xv l,的取值范围是(-o o,-l).故选：A .川,35 .(5分)已知实数x,y满足k-y +L.0 ,则z=x-2 y的最大值为()x 3 y 3 0A.5B.1C.2 D.3【解答】解：画出线性约束区域,所以当直线)，=4x-z经过6(3.0)点时，目标函数z=x-2 y有最大值，最大值为3.故选：D.6 .(5 分)已 知 忘s in(a+?)=si n2t a n1,则 tan a=()A.-2 B.2 C.-D.-2 2【解答】解:因 为 夜s in(a+2)=s in cr tan 4-l ,42所以由2 +8 0 =2 皿2 4-1.2因为 c osa fsi rg,2所以 s in a+co s a=-8 s a ,即 s in a=-2 co s a,所以 tan a =-2 ,故选：A.7.（5 分）设 a,J是等比数列，前”项和为S，若=1,则，_ =（）a2+g【解答】解：设等比数列 4 的公比为外得：q?=3,一 -9 -a2+a4%q+%q 1 4故选：B.8.（5 分）已知函数 y=cos（5 +0）的图象如图所示，其中。为正整数，|2,则（）A.co=,(P=TT-2 B-69=1 (p=2-7r C.a)=2,一 4 D.co=2,(p=4 九【解答】解：由图象知工 2 工，.工 2 9，.匹 包，2 4 0 2G 2 4 啰为正整数，.，.69=2,/.丁 二 8 5（2%+0）,把点（2,-1）代入 y=cos（2x+）得，cos（4+（p）=-,贝 lj 4+9=2攵 乃+乃，所以勿=2k冗+4 一 4,4 w Z,，i（p 0）的焦点为尸，过点尸作倾斜角为60。的直线交抛物线于点 A,B（点 A位于x 轴上方），O 是坐标原点，记 AAO尸和AB。尸的面积分别为S,S2,贝 曝=（）A.9 B.4 C.3 D.2【解答】解：由题意可知，直线4 5 的方程为y=7 J（x-当），代入V=2 p x,整理得f _ 9 p x+L/=o.3 4设点A、B的坐标分别为（%，）%），（%，%），3 I因为点A位于冗轴上方，所以内=，x2=-p,2 6故选：C.1 0.（5分）九章算术卷 五 商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍薨”.现记截面之间几何体体积为匕，“刍薨”的体积为匕，若年 =：,台体的体积公式为V=g（S +J裒+S。，其中5、S，分别为台体的上、下 底 面 的 面 积.则“方 亭”的 上、下 底 面 边 长 之 比 为（）【解答】解：设“方亭”的上底面边长为a ,下底面边长为匕，高为,则 y=g/?(a 2+q/+/72),1 1 ,耳=ha(a+b)=h(a+ah),V2=V-V；=-h(a2+ab+h2)-h(a2+ah)=-h(-a2-ah+lb1),3 2 6匕2户-加 2-i =a 小_iV 3 ()2+3 b 2故选：A.1 1.（5分）已知|a|=|阴=2,且2，5的夹角为6 0。，若向量|5-初,1,则5的取值范围是（）A.-4,4 B.-2 ,2 C.0,2币 D.0,4【解答】解：解 法1：O A =a,O B=h,O C=e,则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界）,设向量5 忑的夹角为6，由图Mitas可知，6取值范围为总,；b-c=b c cos 0 =2 c cos 0,由于|3|c os 6 为向量3 在向量B 上的投影，且 畸 射|c os 6 2 .故 的 取 值 范 围 是 0,4.解法 2：不妨设 M=(2,0),b=(1,7 3),c=(x,y).因 为 一利,，1,所以(工-2)2+y 2“i,设x =2 +rc os a,y=rsina?01,a e R,所以 B=x +G y=2 +rc osa+/3 rs i n a=2+2 rs i n(a +),6由于-啜(J-r rs i n(a +军减1 1,故方工 e 0,4.6故选：D.1 2.(5 分)对任意e2,使得不等式(/nr-攵)x 3/t r成立的最大整数%为()eA.-2 B.-1 C.0 D.1【解答】解：由题意知(历 r 一初x 3/nr,有 0,(p(r)=3/?=3ln。尸 50)=二 =0.35,2故累计时长超过50小时的人数大约有0.35 人.故答案为：0.35/1.2 215.(5 分)已知耳，心分别为双曲线C：A =im 0力 0)的左、右焦点，过点K 作 Ca b的一条渐近线的垂线，垂足为G.连接K G,设直线g G,E G 的斜率分别为人，右，若叫=_(则双曲线C 的离心率为【解答】解：已知焦点耳，心的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中.根据对称性，不妨设点G 在渐近线y=3 x 上，则直线E G 的方程为y=-3(x-c),与 y=2、联立,h aab得 G(C,他)，所以匕=年 一=里？，由纸,=,c c a2 a-+c2 3+cc得-(一号=，化简得。2=2，故6=忘.tz2+c2 h 3故答案为：近.16.（5 分）钝角AABC的面积是主叵，AC=2,B C=3,角 A 的平分线交BC于点。,4则【解答】解：由SMsc=gAC-BC-sinC=5,得sinC=乎，若角 C 为锐角，则 cosC=；,此时 AB?=AC2+3C?-2A C 3C cosC =1 0,即 AB=M，由 于 他 3 C A C,则AABC为锐角三角形，不符合题意.故 C 为钝角，此时,cosC=L,AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosC=16,4AD故 AB=4.在 A A 8 中，由正弦定理得-sin ZACDCDsinZGADAD同理，在 AABD中，-sin ZABDBDsin ZBAD而在AABC中,ACsin ZABDABsin ZACD由于 NC4D=NBAD,=-,BD AB 2由于5 c =3,故 8=1,所以 AZ)2=AC2+cr2-2AC CDcosC=6,所以AD二#.故答案为：.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,2 3 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12 分）已知数列 满足 q=；,（+（+1）-=0,几.2,eN .（I）求证：数列 一1 为等差数列；（+1）q（II）设数列（2+1）“；的前项和S”.证明：S 1.【解答】证明：（I）.（+1）%=%+11 1 1（+1）4%-1-=1 ,(1+1)4(+!)na_x数列1 1 是首项为1，公差为1的等差数列；.(6分)(I I )由 (I )知：-=n,/.a=-,(+l)a“n(n+1)(2 +叱卧*二；U，n2(n +l)2 n2(n +l)2 n2(n +1)2/)+(*+e-*)=所以S“且各题回答正确与否相互之间没有影响.3 4（I）求小强同学前三道题都答对的概率；（n）用x表示小强同学答题结束时的得分，求x的分布列;（HI）求小强同学能通过比赛的概率.【解答】解：（I）小强同学前三道题都答对的概率尸=2x L x 1=L3 2 3 9(II)X 可能取 6,7,9,1 0,1 1,1 4,1 6,1 7,1 8,1 9.答题得分情况如下：随机变量X的分布列为:初始分ABCD累计得分能否通过比赛对错得 分（1分）对错得 分（2分）对错得 分（3分）对错得 分（6分）1 0q1 1q1 341 61 6能1 041 1q1 3X1 1q1 71 7能1 071 11 3X1 1X99否1 071 1X9q1 241 81 8能1 0q1 1X9q1 2X1 01 0否1 0q1 1X9X77否1 0X8q1 071 3q1 91 9能1 0X8q1 071 3X1 11 1否1 0X8q1 0X8d1 41 4能1 0X8q1 0X8X66否1 0X8X66否X6791 01 11 41 61 71 81 9P4292 _611 212 413 6 _91T 813 6172（I l l）小强同学能通过比赛的概率为：八 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 7r =X X +X X X +X X X +X X X +X X X =.3 2 3 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 722 22 0.（1 2分）设 耳，g分别为椭圆C:*+方=1（。6 0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知尸4月的面积为应，c o s Z f；P=-1.（I）求椭圆C的标准方程；（H）是否存在与P g平行的直线/,满足直线/与椭圆C交于两点M,N ,且以线段为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.【解答】解：（I）设|%|=2 c,则2/谯 的 面 积 等 于 百巴|。尸|=他，所 以 劭=忘.由 c o s 2 N O P工=cosZFtP F2=-g ,即 2 c o s?ZO P F2-1 =-）得 c o s N O P=芋因为在直角 A O P6中，|0 P|=。，|6 K I=c,|P F|=J|+|O g F =2+,2 =q ,所以COSN O P R=2,所以2 =无.a a 3由及 a2=b2+c2 9 得 a=/3 ,b =1 ,c=,所以椭圆C的标准方程为三+y 2=l.（5分）3（I I ）因为直线尸鸟的斜率为-4，所 以 可 设 直 线/的 方 程 为y =-1g x +,，代入X2 2y =1 93整 理 得-&/依 +加一1 =0 .6由=（应加）2 4x*（6得加 2 3.6 2、几 五正Tx.A/(X|,-%+/%),N(X,X1+/?1),则 X+E-6 _ 6(/2-1)火 i j 入 十 九2 -，A|2 -若以线段M N为直径的圆经过坐标原点O,则 两 两=0,即 x1x2+x2+tn)=0,彳 导 x2 +/)+m=0 ,g、j 3 6(1)0 6垃m所以 _ x-m x-F m2 5因为2-；4(I I )若/(x).丁恒成立，求 他 的最大值.【解答】解：(I )证明：当。=1,6 =0时，/(x)=x2+x-lnx,所 以/(X)=2X+_=(2X 1)(X+1),x o,X X所 以 当 时，r(x)o；当oxg时，r(x)0 2 4 2 4 2 2所以/(x):；(I I)，(%).12恒 成 立,BP x-ln(ax+b).,0 9 且要求o r +b 0,所以e -公.b ,若Q VO,对任意的实数人，当xvO且无 时，由于0 /,a故不等式优-ar.b不成立.若0,g(x)=ex-ax,贝lj g (x)=e 。.当 xeI na),g (x)0 ,从而g(x)=ex-办 在(-0 0,而)上单调递减，在(/a,+o o)单调递增，故 g(x)-/-冰有最小值g(加 a)=a-alna,因此女,a-alna,所以她,cr-a2I na,设(a)=a2-a2lna(a0),则(a)=a(-2lna),所以/i (a)=/一/痴 在(0,/)上单调递增，在(涓,+8)上单调递减，11 z 从而/z (a)=/加 Q 的最大值为力(/)=6 一 6 历/=,21当a=),方=丝时，取等号，故她的最大值为2.2 2(二)选考题：共10分.请考生从第22,2 3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.(10 分)在直角坐标系x O y 中，曲线:x=s，(。为参数，常数/().以坐标原点 y=r s in 为极点，X 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线G 的极坐标方程为-8 p s in 6 +15 =0 .(I )若曲线G 与a 有公共点，求 r 的取值范围；(I I)若 r =l,过曲线C1上任意一点P 作曲线C2 的切线，切点为Q,求|PQ|的最小值.【解答】解：(I )曲线C1的普通方程为f +丁=/(,.0),曲线G的普通方程为V+(y -4)2 =1若 C1与 C)有公共点，则(一 1掇1(0 0)2+(4 0)2 r +1,所以蜜9 5.(H )设 P(c o s a,s in a),由|P Q =|P C212-|C2GI2=I PC212-1,得IPQI2=c o s2a+(s in a-4)2-1=16-8 s in a.l 6-8 =8.当且仅当s in a=l 时取最大值,故IPQI的最小值为2&选修4-5：不等式选讲(本小题满分0 分)2 3.已知函数/(x)3 x+l|+|x-2|.(I)解不等式：/(x)5；(H)若关于x 的不等式/(好./+M 在 0,3 上恒成立，求实数机的取值范围.【解答】解：(I)由|3 x+l|+|x-2|5 得，1x -1 ,x 5 3x 1 x+2 5 3x+1 x+25解得X V-1 或 1 VXV2或 X.2,故不等式f(x)5 的解集为(-8,+00).(II)由题意知，当3 时,|3 x+l|+|九 一 2|.f+加恒成立.若 0 x 2,则 3 x+1 +2 x.x2+，可得/Z 2,(%2+2x+3)”而=3 ；若德/3,则3 x+l+x-2.d+%,nz,(-x2+4x-l)w/n=2.综上可知，实数/（幻 的取值范围是（-8,2J.