2021年高考数学模拟训练卷 (五)(含答案解析).pdf

2021年高考数学模拟训练卷（5）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.（）分）1.已知集合4 =%|3 -2%0,B=xx2 0,b 0),长方形A B C。的顶点A,B分别为双曲线E的左、右焦点，且 点 C,。在双曲线E上，若|A B|=6,|B C|=|,则双曲线E的离心率为()A.V2D.V512 .设函数/(%)=M x +a。？一 3 x +2),若/(%)0在区间(1,+8)上恒成立，则实数Q的取值范围是()A.04 B.-1,0 C.0,2 D.-14 二、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13 .设向量为=(k,2),另=(1,1),若往3，则k =.(x+2y 4 工 014 .若不等式组1+3 y-4 N0 表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数的值为_ _ _ _.(y 015 .函数/(x)=4 s i n(3%+)(4 0,a)0,0 (p 2).(1)求数列 出 3 的通项公式；(2)求数列 na“的前项和S”.18.某农贸市场新上市“绿色蔬菜”，现对其日销售量进行统计，统计结果如下表格.日销售量(吨)123频数10 25 15频率0.2m n(1)求?，的值；(2)若将表格中的频率看作概率，且每天的销售量互不影响.求 4 天中该“绿色蔬菜”恰好有2 天的销售量为2 吨的概率；已知每吨该“绿色蔬菜”的销售利润为2 千元，若 表示该“绿色蔬菜”两天销售利润的和(单位：千元)，求f 的分布列和期望.19.如图，在四面体P AB C中，P A1平面A 8 C,面H 4 C1面P B C.(1)求证：8CJ平面P AC；(2)若P 4 =4 B =2,BC=1,求异面直线A 8与P C所成角的正弦值.2 0.已知点&,尸2是椭圆C：m+=l(a b 0)的左、右焦点,点尸是该椭圆上一点，当乙居P F2 =7时，P a F2面积达到最大，且最大值为次.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线/：y=x+n i与y轴交于点。，与椭圆交于M,N两点，若前0=2而，求实数，的值.2 1.已知函数f(x)=(x。2)蜻,a e R.(1)当。=1时，求函数f(x)的极值；(n)若函数/(X)在(-8,2 上存在单调递增区间，求“的取值范围.2 2 .在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为 *=为参数 以平面直角坐标(y=4 4-5 s in y 系的原点。为极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过点P(2,0),倾斜角为:的直线/与曲线C 相交于M,N两点，求 看+高 的 值.2 3.己知函数/Q)=|2 x+3|+|2 x-l|.(1)求不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围.【答案与解析】1.答案：。解析：解：集合2=x|3-2x|,B=xx2 2x)=x|0 x 2,则4 nB=x|4-00,排除 O.4X故选：C.判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值和极限思想进行排除.本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及利用排除法是解决本题的关键.7.答案：D解析：如图所示，设 C。上的P1，P2两点刚好满足P1B=P2Z=4 B,那么，当 P在P1P2之间时，就满足“44PB的最大边是AB”，根据几何概型 记2 =CD,DPi=C D,设CD=4,A D=x,9)DP2=解析：本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系，属于中档题.由题意得，AB所在直线即为以FC为直径的圆与圆C 的公共弦，先求出以F(-3,4),C(0,0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦A 8的方程.解：因为圆/+y 2 =4的圆心为c(o,o),半径为2,所以，FC=J(-3)2+42=5,AB所在直线即为以FC为直径的圆与圆C 的公共弦所在直线，又以尸(一 3,4),C(0,0)为直径的圆的方程为(x+|)2+(y 2)2 =泉所以，将两圆的方程相减可得公共弦A B的方程3x-4 y +4=0,故选B.9.答案：B解析：解：在 48C中，,siMA=siMB+siMC sinBs讥C,.,.由正弦定理可得M 一 be,再由余弦定理cosA=立 匕 Q=2二 鸟=:2bc 2 3故选：B.由题意利用正弦定理、余弦定理求得cosA的值，可得A 的值.本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题.10.答案：A解析：本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键.根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的直径为斜边所在侧面对角线，从而求得外接球的半径r,代入球的表面积公式计算.解：Z.ACB=9 0,BAC=3 0,BC=1,AC=V 3.A Ai _L 底面 ABC,三棱柱 4 BC-4/1 6 的体积 V =：x l x W.C C i =3,得 C g=2百，三棱柱ABC-4 B1C1 的外接球半径r =1 J i +(V 3)2+(2/3)2=2-:,S球=4 7 r X 22=16 7 r.故选：A.11.答案：B解析：本题考查双曲线的方程的应用以及双曲线的几何性质，属于基础题.利用C 点的坐标，代入双曲线方程，建立a 和人的关系求解.解：由题意可知(3,|),代入双曲线方程，得/一 票=1,又 M+/=9,解得 口 2=%力 2=5,C2=9,所以e =-=a 2故选B.12.答案：4解析：本题考查不等式恒成立问题的解法，导数的几何意义，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.解：/(x)0整理得限 炉-3 x +2)Tnx,如图:为了满足不等式恒成立，则a 0,且在x =1处的切线斜率，/(1)g (l),所以/(x)=5，g(x)=a(2x-3),所以(1)g (l)得a。作出可行域如图,y 0若a 0.联立a x +3y 4 =0%+2y -4 =0解得C(占志)，又B 0,0),由题意可得：(一 )2+(匕丝)2=4-土 解得a=4.7 v3-2a a7 3-2/a故答案为：4.由约束条件作出可行域，对分类可得a 0,然后求出三角形的顶点坐标，由边长相等列式求得a值.本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.15.答案：1解析：本题主要考查了由y=4s讥(wr+0)的部分图象确定其解析式，其中确定w的值是解题的关键，属于基本知识的考查.解：由题意得，4=2,?=等一 =乃,3=生=2,4 12 6 4 7 T把 点&2)代入函数/(x)中，/=2sdn(2 x,+q=2,g=?=1，故答案为1.16.答案：2解析：本题考查直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题目.解:设 4(巧,%)，B(x2 ly2)(y=x+b.联 立 _ i 2 可得3/-x-b =0,y-x所以X 1X 2=-2b,xx+x2=2,因为。4 1 OB,所以刀1刀2+ViV2=xix2+(Xi+b)(%2+b)=-4b+2b+b2=-2b+b2=0,解得6=0（舍）或b=2.故答案为2.17.答案：解:,内=2,an-=2n _ 1(n 2).an=(an -Qn-l)+(an-l -an-2)+(。2-。1)+=2n-1+2时2+2+12n-l=2-1=2n-l.an=2n 1.(2)n an=n-2n n,设数列 n -2?的前n项和为7；,则 7；=2+2 x 22+3 x 23+-+n-2n,27；=22+2 x 23+3 x 24+-+(n -1)-2n+n -2n+1,：.-Tn=2+22+-+2n-n-2n+1=-n-2n+1=(1-n)-2n+1-2,:.Tn=(n -1)2+1+2.数列 n an的前 n 项和Sn=(n -1).2n+1+2-巧2解 析:(1)由于=2,an-an_t=2n _ 1(n 2).利 用“累加求和 考点0n=(an-a“_ D +(即一】一an.2)+-+(a2-%)+%,再利用等比数列的前n项和公式即可得出(2)m。=n-2n-n,利 用“错位相减法”、等比数列与等差数列的前 项和公式即可得出.本题考查了“累加求和”、“错位相减法”、等比数列与等差数列的前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.答案：解：(1)由已知得血=1U+Z 3+15n=0.3.10+25+15(2)4天中该“绿色蔬菜”恰好有2天的销售量为2吨的概率：P=废 X G)2 X (|)2=0.37 5.由已知得f的可能取值为4,6,8,10,12,P(f =4)=0.2 x 0.2=0.04,P(f=6)=0.2 x 0.5+0.5 x 0.2=0.2,P(f=8)=0.2 x 0.3+0.3 x 0.2+0.5 x 0.5=0.37,=10)=0.5 x 0.3+0.3 x 0.5=0.3,P =12)=0.3x0,3=0.09,1 f的分布列为：Ef=4 x 0.04+6 X 0.2+8 x 0.37+10 x 0.3+12 X 0.09=8.4.4681012P0.040.20.370.30.09解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.(1)由频率=翳，能求出?，的值.(2)由己知条件利用独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出4天中该“绿色蔬菜”恰好有2天的销售量为2吨的概率.由已知得 的可能取值为4,6,8,10,12,利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率,由此能求出f的分布列和期望.19.答案：(1)证明：在四面体PA8C中，PA _L平面ABC,BC u 平面ABC,PA 1 BC,又面PAC，面PBC,在平面PAC中，过A作AE 1 PC,AE u 平面PAC,面PAC n面PBC=P C,则4 E 1平面PBC,BC u 平面ABC,：.AE I B C,而 4 E n P 4=4 AE,P4 u 平面 PAC,B C，平面 PAC；(2)解：分别取PB,BC,AC中点F,G,H,连接 FG,GH,F H,则FG/PC,GH/AB,则“GH为异面直线A B与P C所成角或补角.由P 4=4 B =2,BC=1,结合可得AC=6，PC=小,FH=*则 FG=,GH=1,21+?-三 q Fj在中，由余弦定理可得：cosG H =詈.2X1X 14 异面直线4B 与 PC所成角的正弦值sin/FGH=1-(%=叵.y v 14 7 14解析：本题考查线面垂直的证明与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.(1)由已知可得P4 1 B C,在平面PAC中，过 A 作4 E _ L P C,由面面垂直的性质得A E，平面PBC,则力E 1 B C,再由线面垂直的判定可得BC 1平面PAC；(2)分别取 P8,BC,AC 中点 F,G,H,连接 FG,GH,F H,则FGPC,G H/A B,则“GH为异面直线A 2与 PC所成角或补角，再由已知求解三角形得答案.20.答案：解：(1)由题可知当点P 在短轴端点时，面积最大值为儿=百 ，此时N&PF2=g /OP&=所以b=y/3c，5o又知M=炉+C2(3),联立解得q=2,c=l,b =V3所以椭圆C 的标准方程为巴+廿=1.4 3(2)设M(Xi，%),JV(x2,y2),Q(0,m)42 y 24+3-1,联立化简得：7/+8mx+4m2 12=0,y=%+m=(8m)2-28(4m2-12)0,即()成立，符合题意，一 13解析：(1)利用 P&F?面积最大值为be=V，b=y/3c9 a2=h2 4-c2()求出a,b,得到椭圆方程.(2)设MQi，%),/V(x2,y2),Q(0,m),联立直线与I陌圆方程，利用韦达定理以及向量相等关系，转化求解机即可.本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.21.答案：解：(I )由已知得f (%)=(%1)靖，故/(%)=e*+(%-l)e*=x e”,当x 0时，/(x)0,f(x)单调递增；当x 0时，/(%)a 2 1时,f(x)0,f(x)单调递增;当x a2-1 时,f(x)0，/(%)单调递减，因为函数f(x)在(-8,2 上存在单调递增区间，所以4 2-1 2.解得一次 a a?-l时，当 工 a 2-l时，判断函数的单调性，结合函数/(x)在(-8,2 上存在单调递增区间，推出。2-1 2.即可求a的取值范围.本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力.2 2.答案：解：(1)曲线C的 参 数 方 程 为 I t+S s L d(。为参数)，转换为直角坐标方程为Q-3)2 +(y +4)2 =2 5,转换为极坐标方程为p 2 +8psin9-6 pcos0=0,化简为p =6 cos0 -8sin6.(2)过点P(2,0),倾斜角为；的直线/,整理得参数方程为x =2 +t-J(t为参数),把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2 +3/t 一 8 =0,所以0 +t2=-3 V 2.t i t2=-8,所以 1 .1 _ 6-储=J(t i+t 2)z _ 4 t也 _ _ 5V 2PM|P N|一|t i t2|一|t 也|一 8 一 8解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.答案:解：(1)函数/(x)=|2 x+3|+|2 x-l|,/(X)6 即为|2 x+3|+|2 x-1|5 ,I2.x 3 2.x+1 6 L2 x+3 -2.x+1 6 (,2 x+3 +2.x 1 V 6即为-2 V%V -|或一|x 或%1,综上可得 2 x 1 恒成立，即为/(%)1 4-l o g2(a2-2 a)=l o g2(2 a2-4 a)恒成立，而/(%)2x+3 2%+1|=4,当 且 仅 当 一 时，取得最小值，BP Wl o g2(2 a2-4 a)4,即为0 2 a 2-4 a 1 6,解得一 2 a 0 或2 a 1 +l o g2(a2-2 a)=l o g2(2 a2-4 a)恒成立，运用绝对值不等式的性质可得八x)的最小值，再由二次不等式的解法可得所求范围.本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查绝对值不等式的性质以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题.