高一第二学期数学期末考试解答题（解析版）.pdf

高 一 第 二 学 期 数 学 期 末 考 试 解 答 题 一、解 答 题 1.（2021浙 江 高 一 期 末）杭 州 市 为 迎 接 2022年 亚 运 会，规 划 修 建 公 路 自 行 车 比 赛 赛 道,该 赛 道 的 平 面 示 意 图 为 如 图 的 五 边 形 N 8 8 E,运 动 员 的 公 路 自 行 车 比 赛 中 如 出 现 故 障，可 以 从 本 队 的 器 材 车、公 共 器 材 车 上 或 收 容 车 上 获 得 帮 助.比 赛 期 间，修 理 或 更 换 车 轮 或 赛 车 等，也 可 在 固 定 修 车 点 上 进 行.还 需 要 运 送 一 些 补 给 物 品，例 如 食 物、饮 料，工 具 和 配 件.所 以 项 目 设 计 需 要 预 留 出 8。，8 E 为 赛 道 内 的 两 条 服 务 通 道（不 考 虑 宽 度），ED,DC,CB,BA,N E 为 赛 道，ZBCD=ZBAE=,ZCBD=-,CD=2A/6km,DE=8km.3 4（1）从 以 下 两 个 条 件 中 任 选 一 个 条 件，求 服 务 通 道 8 E 的 长 度;皿 E 哈;3（2）cosZDBE=-（2）在（1）条 件 下，应 该 如 何 设 计，才 能 使 折 线 段 赛 道 历 1E最 长（即 54+A 最 大），最 长 值 为 多 少？【答 案】（1）答 案 见 解 析；型 业.3【解 析】【分 析】在 BCD中，利 用 正 弦 定 理，可 求 得 89=6.选：先 由 三 角 形 的 内 角 和 可 得 鲂。=击，从 而 知 皮 汨 为 直 角 三 角 形，然 后 由 勾 股 定 理,得 解;选：在 汨 中，由 余 弦 定 理 可 得 关 于 8石 的 方 程，解 之 即 可.在 B E 中，结 合 余 弦 定 理 和 基 本 不 等 式，即 可 得 解.(1)在 BCO中，由 正 弦 定 理 知 BDsin ZBCDCDsin ZCBDBD _ 2A/6.2T T.%，解 得 30=6,sin sin 3 4选：;NBCD=卷,NCBD=q,ZBDC=TT-(Z B C D+ZCBD)=+=,7乃 71 71/.NBDE=NCDE-NBDC=-=-12 12 2在 RfABDE 中,BE=yBD1+DE2=A/62+82=10：若 选 在 皿 E 中 由 余 弦 定 理 知 8 s 跖=型 需 浮 3 62+B2-825 2x6x BE14化 简 得 5BE2-36BE-140=0,解 得 班：=10或-笠(舍 负),故 服 务 通 道 B E 的 长 度 BE=10；(2)在 ABE 中，由 余 弦 定 理 知，BE2=Bfic+AE2-2BA-A E-cosZ.BAE,:.OO=BA2+AE2+BA AE,/.(BA+AE)2-BA-AE=100,Bp(BA+AE)2-100=BA AE+,当 且 仅 当 3A=A4时，等 号 成 立，此 时 g(BA+AE)2=100,54+短 的 最 大 值 为 迎 g.4 3【点 睛】关 键 点 睛：本 题 主 要 考 查 解 三 角 形 的 实 际 应 用，还 涉 及 利 用 基 本 不 等 式 解 决 最 值 问 题，熟 练 掌 握 正 弦 定 理、余 弦 定 理 是 解 题 的 关 键，考 查 逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力，属 于 中 档 题.2.(2021浙 江 高 一 期 末)如 图，直 角 AABC中，点 M,N 在 斜 边 8 c 上(M,N 异 于 8,C,且 N 在 例，C 之 间).（1）若 是 角 力 的 平 分 线，A M=3,且 C M=2 M B,求 三 角 形 Z 8 C 的 面 积;TT（2）已 知【AB=3,AC=3yf3,ZMA/V=,Z B A M=0.6 若 sin6=4,求 M V 的 长；求 A 4 M N 面 积 的 最 小 值.【答 案】（1）;（2）M N=1（s）=2-L8 4 I MMN/min 4【解 析】【分 析】（1）过 点“作 交 A B 于 E,作 M/L A C 交 A C 于 F,利 用 三 角 形 相 似 求 出 线 段 的 长，从 而 求 出 三 角 形 的 面 积；277 7T 71（2）依 题 意，表 示 出 乙 4M8=-一 夕，AANC=-+6,ZNAC=-0,再 由 正 弦 定 理 表 示 出 AN,A M,CN,M B,由 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 出 tan。，即 可 求 出 CN,MB从 而 得 解；由 面 积 公 式 即 三 角 恒 等 变 换 求 出 面 积 最 小 值.解：（1）如 图，过 点 M 作 交 A 3 于 E,作 M F _L A C 交 A C 于 F,则 A M E B s A C E WCF M F C M c-=-=-=2M E BE M B因 为 NC48=90,A M 平 分 NC48 且 A M=33 匚 35/2/.M E=M F=-2:.CF=3y/2,BE=4“3&3&9 0/.AB=AE+BE=-+-=-2 4 4,口 _ 3 6 rr _ 95/2.AC=AF+CF=-F 3,2=-2 2j r TT TT(2)在 心 M B C中 AB=3,AC=3 4,所 以 N48C=,ZACB=-,8 c=6,又 NM4N=二 3 6 6设 AZAMB=-0,ZA2VC=-4-I9,ZNAC=-0,3 2 3在 M N C和 A M B中 由 正 弦 定 理 可 得 ANsin ZCAC CNsin NANC sin ZNACAM AB BMsin/B-sin NAMB-sin NMAB皿 3A/3 3百 3百 即 o.(71 n 2cos夕，(2 1、2sm+2 s i n-0l 2)I 3),3sin。3sin6 3tan8sin|I sin cos-cos sin 0+1 t a nI 3)3 3 2 2 当 sin”理 时,则 8 S*g=an 黑 手9 7,MN=B C-N C-B M=6 2=-4 4 i i i 3/3S A V/N=-A N AM sinZMAN=-A N AM=-x.5M M N 2 4 4 2cosO令/=cos8sin3 G2716cos 6sin(等 一 6=cos6 sin cos 0-cos sin。I 3 3=c o s2，+sinScos。2 2=3.您 2+L i n 2。2 2 4=cos26+-sin 26+4 4 4-s i n f 2 0+-|+2 I 3 j 4 q,*(SAMN2716/因 为。黠 sinf 2+-J G(O,1,所 以 当=+立 时,2 4(S.M M z)m in27本 题 考 查 正 弦 定 理，三 角 形 面 积 公 式 及 三 角 恒 等 变 换 的 应 用，属 于 难 题.3.（2020浙 江 温 州 高 一 期 末）AABC中，。为 B C 的 中 点，。为 外 心，点 M 满 足 OA+OB+OC=OM.（1）证 明：AM=2ODi（2）若|丽+配 H/1=6,设 A O 与。”相 交 于 点 P,E,尸 关 于 点 尸 对 称，且|而|=2,求 通 斯 的 取 值 范 围.【答 案】见 解 析（2）1-15,-3【解 析】（1）根 据 平 面 向 量 的 加 法 与 减 法 运 算，化 简 即 可 求 解.（2）根 据 题 意，可 得 ZB=90.而。为 A C 的 中 点,M 与 3 重 合，户 为 AABC的 重 心，建 立 平 面 直 角 坐 标 系，设 4 0，幻。0,0）,（飞,外）,写 出 各 个 点 的 坐 标,表 示 出 荏 与 前,即 可 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 定 义 用 三 角 函 数 式 表 示 出 来.利 用 辅 助 角 公 式，即 可 求 得 AE CF的 取 值 范 围.（1）证 明：为 B C 的 中 点，。为 外 心，点 M 满 足 7+前+近=西 根 据 平 面 向 量 的 减 法 运 算 可 得 AM=O M-O A O A+OB+OC=OM则 代 入 可 得 由 一 方=砺+而+云-丽=OB+OC=2OD即 丽=2OD（2）由|丽+元|=6,|丽+方|=|方-丽|两 边 同 时 平 方，展 开 化 简 可 得 温.陇=0所 以 N 8=90”.此 时。为 A C的 中 点,M 与 8 重 合，尸 为 M B C 的 重 心,如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,设 A(0,“),C(G 0),则%且/+/=36设 E(%),则 F 传-与 与 一%),则 有 A=(Xo，%-a),C F=(_：-Xo,母-%),设/=I+cos 6,y0=y+sin 仇 9 w 0,24田 AE-CF=x()o291+c o s-c o s 6)+(-4-sin V y-s i n a1 2+c2)-l+6rsin0-c cos 0=-9+ja2+c2 sin(夕-。)=_9+6sin(6 0).由 正 弦 函 数 的 性 质 可 知,-9+6 s in(6-0)w-15,-3即 通-#-15,-3【点 睛】本 题 考 查 了 平 面 向 量 的 线 性 运 算，利 用 坐 标 研 究 平 面 向 量 的 数 量 积 形 式,三 角 函 数 式 的 化 简，利 用 辅 助 角 公 式 求 三 角 函 数 的 最 值，属 于 中 档 题.4.(2021浙 江 宁 波 高 一 期 末)在 棱 长 均 为 2 的 正 三 棱 柱 A B C-A B C 中，E 为 的 中 点.过 A E 的 截 面 与 棱 8片，4 c 分 别 交 于 点 尸，G.(1)若 尸 为 8月 的 中 点，求 三 棱 柱 被 截 面 AGE尸 分 成 上 下 两 部 分 的 体 积 比 J；V2(2)若 四 棱 雉 A-AGEF的 体 积 为 逆，求 截 面 AGE尸 与 底 面 A B C 所 成 二 面 角 的 正 弦 值；12(3)设 截 面 AFEG的 面 积 为 So，AAEG面 积 为 5-AEF面 积 为 邑，当 点 尸 在 棱 8片 上 变 动 时，求 各 的 取 值 范 围.V 13 4 9-【答 案】(I)/=石；不 4,5.【解 析】【分 析】(1)连 结 E F,并 延 长 分 别 交 cq,C B 于 点 M,N,连 结 A 交 4 c 于 点 G,连 结 V,G E,利 用 比 例 关 系 确 定 6 为 4 6 靠 近 G 的 三 等 分 点，然 后 先 求 出 棱 柱 的 体 积，连 结 AE,F,由 匕=匕|一 4+G-AAXE+F-AE 和 匕=丫-匕 进 行 求 解，即 可 得 到 答 案；(2)求 出 点 G 到 平 面 的 距 离，得 到 点 G 为 A G 靠 近 G 的 四 等 分 点，通 过 面 面 垂 直 的性 质 定 理 可 得 N A G A 即 为 截 面 A G E F 与 底 面 A 8 C 所 成 的 二 面 角,在 三 角 形 中 利 用 边 角 关 系 求 解 即 可；(3)设 G C;=w,则，dO,1,先 求 出 今 的 关 系 以 及 取 值 范 围，然 后 将 务 转 化 为 邑 表 示，求 解 取 值 范 围 即 可.解：(1)连 接 E F,并 延 长 分 别 交 C G，C 8 延 长 线 于 点 M,N,连 接 A M 交 A C 于 点 G,连 接 AN,GE.易 得 生 L=M C=*=1AC M C CN 32故 G 为 A G 靠 近 G 的 三 等 分 点.M Q=I,GC,=1.下 面 求 三 棱 柱 被 截 面 分 成 两 部 分 的 体 积 比.三 棱 柱 A B C-A B C 的 体 积 V=3 x 2 2 x 2=26.4连 接 A/,AtF.由 8片 平 面 A4也 知，匕 如 为 定 值.V一 帖=6 x2xl=与.K=匕 1-8|+%-,+F-A4,=X X 1 xlXy/i+X x2x y/3 X+-=1 3.3 2 3 2 3 3 18v=v-v 故*得.2 18 匕 23(2)由 1 s=%w+匕 及 3=坐 得，VG-AA,E=-1 3又%.i=3 5 皿，所 以/2=.3即 点 G 到 A E 的 距 离 为=,G 为 4 G 靠 近 G 的 四 等 分 点.4因 为 平 面 A A G 平 面 ABC,所 以 截 面 A G E F 与 平 面 ABC所 成 角 即 为 截 面 A G E F 与 平 面 所 成 角,在 ZiGGE中，GG=g,GE=1,故 EGJ.GG.又 因 为 平 面 4 C C M，平 面 A 4 G，且 平 面 A c c a n 平 面 A A G=A G，所 以 E G,平 面 ACGA.则 乙 41GA即 为 截 面 4GE尸 与 底 面 ABC所 成 的 二 面 角.3 5在 RfZXAGA 中，AG=5，j=2,AG=-.A A A故 sinNAGA=?.AG 54因 此，截 面 AGEF与 平 面 ABC所 成 二 面 角 的 正 弦 值 为 彳.（3）设 GC|=m,则 警=4.GA 2-mS m设 AMGE的 面 积 为 S,所 以 不=.3 1 2-mS.2 m又 因 为 邑=5+，所 以 U=F 一.且 显=三 丝 4 S2 2 I 1s,ri令”7-则，W-J故-=（5+邑）=工 邑+2.SjS2 5,52 52 S令 则/所 以 g(f)=+2在 上 单 调 递 减，所 以 g(%=g(l)=4,3,2 t 2gOmax=（；）=!,所 以 g”）4-I-9-2一 一 G+2邑 与+工 邑 以 所M5.（2021浙 江 高 一 期 末）如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，APBC为 正 三 角 形，底 面 A B C D 为 直 角 梯 形，AD/BC,Z A D C=90,AO=CZ）=3,3C=4,点 M,N 分 别 在 线 段 A O 和 PC 上，nD M C N J j.-2.A M P N（1）求 证：P M/平 面 B D N；（2）设 二 面 角 P-8 C-A 大 小 为 6,若 cos。=立，求 直 线 8。和 平 面 PA。所 成 角 的 正 弦 3值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）这 5【解 析】【分 析】(1)连 接 M C,交 B D 于 E,只 须 证 明 P M平 行 于 平 面 M 内 直 线 NE即 可；(2)取 B C中 点 F,连 接 M F、尸 尸，可 得 NPRW为 二 面 角 P BC A的 平 面 角，再 在 PRW中 利 用 余 弦 定 理 求 出 P M,过 点 F 作 尸 交 尸”于 点。，可 证。尸，平 面 H4。，即。尸 为 点 F 到 平 面 PA力 的 距 离，又 5 c 平 面 P A O,则。尸 也 为 点 B到 平 面 PAD的 距 离，再 利 用 等 面 积 法 求 出。尸，再 求 8。长，二 者 之 比 即 为 所 求.(1)证 明：连 接 M C,交 8。于 E,因 为-=2,AD=3,所 以 D M=2,A M=I,A M因 为 8 C,所 以 AMDES A CBE,CE BC、CN criu=-=2=，所 以 PM N E,E M D M NP因 为 N E u平 面 NBD,RWC平 面 所 以 P M/平 面 BW；(2)解：取 B C中 点 F,连 接 M P、PF,因 为 APBC为 正 三 角 形，所 以 P F J_ 8 C,PF=PB-sin60o=4-sin60o=2 G，因 为 ABC。为 直 角 梯 形，AD/IBC,NAQC=90。，FC=M D=2,所 以 四 边 形 DW FC为 矩 形，所 以 M F _ L 8 C,因 为 知|。尸=尸，所 以 BC_L平 面 所 以 平 面 P3C_L平 面 PMF,所 以 NPRM为 二 面 角 P 8 C A的 平 面 角，所 以 N PEM=6,设 P M=x,由 余 弦 定 理 得 P”=尸 产+闻 尸 2 _ 2，尸.加 人 8$。，于 是 炉=(2可+3-2 x 2 6 x 3 x/,整 理 得/一 9=0,解 得 x=3或 x=3(舍 去)，过 点 F 作 F Q L P M 交 P M 于 点 Q,因 为 A 8 C,8。工 平 面 出 7尸，所 以 A1.平 面 P M F,又 A)u 面 P4。，所 以 面 上 4)_ 1 _平 面 P M F,面 PAD(I平 面 PMF=PM,。尸 u 平 面 田 0厂，所 以 Q F L平 面 上 4。，所 以 Q F为 点 尸 到 平 面 PA O的 距 离,因 为 AD BC,/W u 平 面 PAD,8 c 仁 平 面 P A O,所 以 6 c 平 面 PAD,所 以。尸 也 为 点 B到 平 面 PAO的 距 离，因 为 cosN P FM=虫，所 以 3sinNPFM=Jl-cos?NPFM=,所 以 5,冲“=；P尸 x M尸 sinNPFM=；P M x Q F,即 3 2 2.-x2y/3 x3x-=-x3x QF,解 得。尸=2&,由 皮）=5/3?+4?=5，2 3 2所 以 直 线 8 与 平 面 PA。所 成 角 的 正 弦 值 为”=丝.【点 睛】求 直 线 与 平 面 所 成 的 角 的 一 般 步 骤：找 直 线 与 平 面 所 成 的 角，即 通 过 找 直 线 在 平 面 上 的 射 影 来 完 成；计 算，要 把 直 线 与 平 面 所 成 的 角 转 化 到 一 个 三 角 形 中 求 解.作 二 面 角 的 平 面 角 可 以 通 过 垂 线 法 进 行，在 一 个 半 平 面 内 找 一 点 作 另 一 个 半 平 面 的 垂 线,再 过 垂 足 作 二 面 角 的 棱 的 垂 线，两 条 垂 线 确 定 的 平 面 和 二 面 角 的 棱 垂 直，由 此 可 得 二 面 角 的 平 面 角.6.（2021浙 江 省 桐 庐 中 学 高 一 期 末）如 图，四 边 形 A 6 8 是 圆 柱。的 轴 截 面，点 P为 底 面 圆 周 上 异 于 A,8 的 点.D（1）求 证：PB_L平 面 P A D；（2）若 圆 柱 的 侧 面 积 为 2 7，体 积 为 万，点 Q 为 线 段。尸 上 靠 近 点。的 三 等 分 点，是 否 存 在 一 点 P 使 得 直 线 4。与 平 面 3 D P 所 成 角 的 正 弦 值 最 大？若 存 在，求 出 相 应 的 正 弦 值，并 指 出 点 P 的 位 置；若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）存 在；点 P 为 两 个 半 圆 弧 A 3 中 点；正 弦 值 为 1.【解 析】【分 析】（1）由 题 意，EMPB=90,即 P B 0%,再 由 母 线 ADQ底 面 圆。，得 AD0P8,由 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 可 得 PBI3平 面 PAD；（2）由 已 知 求 得 圆 柱 底 面 半 径 为 与 母 线 长，在 回 附。中，过 A 作 AMEIOP交 DP于 M,由（1）知 PBE）平 面 R4D,可 得 PBG14M,进 一 步 得 到 AM0平 面 8DP.若 M 不 与 Q 重 合，M Q M 即 为 直 线 A Q 与 平 面 BDP所 成 角；若 M 与 Q 重 合，且 直 线 A Q 与 平 面 BDP所 成 角 为 90。，求 得 点 P 为 两 个 半 圆 弧 A 8 中 点.由 此 可 得 当 点 P 为 两 个 半 圆 弧 A 8 中 点 时，直 线 A Q 与 平 面 BDP所 成 角 最 大 为 90。，正 弦 值 最 大 为 1.解：（1）证 明：因 为 A 8 是 圆。的 直 径，点 P 是 圆 周 上 一 点，所 以 NAP3=90。，即 尸 3_1_抬，又 在 圆 柱。1中，母 线 A）J_底 面。，P 8 u 底 面。，所 以 又 上 4cA=A,P A u 平 面 尸 AO,Au平 面 所 以 P3_L平 面 PAD,一 冗 rl=27i fr=l（2）设 圆 柱 底 面 半 径 为 小 母 线 为/,则 力，解 得,1,7rrl=兀/=1在 中，过 A 作 AM_LP交 O P 于 点 M.由（1）知 尸 B_L平 面 尸 A,因 为 A u平 面 PA),所 以 5LDPPB=P,所 以 4W_L平 面 3QP.若 M 与。不 重 合，N A Q M 即 为 直 线 A Q 与 平 面 B O P 所 成 的 角.若 与。重 合，直 线 4 Q 与 平 面 5 D P 所 成 的 角 为 90。,设 NAOP=6,由 对 称 性，不 妨 设。（0,%）,则 在 AAOP 中，AP=2sing,在 RtZSADP 中,.A M于 是 sin Z.AQM=3.=)工 4+5sin 2_3：L+4sin+5也 2 夜 当 且 仅 当 5=T,apsin-=-,时，等 号 成 立.此 时，A M=A Q,直 线 A Q 与 平 面 B D P 所 成 的 角 为 90。，正 弦 值 为 1,点 户 为 两 个 半 圆 弧 A 8 的 中 点.【点 睛】本 题 考 查 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定，考 查 空 间 想 象 能 力 与 思 维 能 力，训 练 了 空 间 中 直 线 与 平 面 所 成 角 的 最 值 的 求 法，属 于 中 档 题.7.（2020浙 江 杭 州 高 一 期 末）如 图 1,在 边 长 为 3 的 正 三 角 形 中，E,F,P分 别 为 AB,A C,BC上 的 点，且 满 足 A=F C=CP=1.将 A 4EF沿 E F折 起 到 M E尸 的 位 置，使 平 面 AEF_L平 面 7为，连 结 4 8,AtP,C Q.（如 图 2）（0）若。为 A B中 点，求 证：P。平 面 A E F：（0）求 证：E L E P.（0）求 CQ与 平 面 4 8 E 所 成 角 的 正 切.【答 案】（1）见 解 析（2）见 解 析（3）地 2【解 析】试 题 分 析：（加 取 A E中 点 M,连 结 QM,由 三 角 中 位 线 可 证 四 边 形 PQM尸 为 平 行 四 边 形，则?Q I I F M,再 由 线 线 平 行 到 线 面 平 行；（团）取 B E中 点 D,连 结）尸，由 所 给 数 据 可 证 平 面 A E F J.平 面 E F 8,再 由 面 面 垂 直，线 面 垂 直 的 性 质 可 得 A E J.E P；（回）作 C N J.3E于 N,连 接 Q N,则 C N|E F,可 得 NCQN为 C。与 平 面 A B E所 成 角，可 求 其 正 切 值.试 题 解 析：证 明：（团）取 A E中 点 连 结。“，MF.在 A A8E中，Q,M 分 别 为 A 2,A E的 中 点,所 以 Q M|8 E,且 因 嵯 备;所 以 且 PF=；8E,所 以 Q M|P F,Q M=P F.所 以 四 边 形 PQM尸 为 平 行 四 边 形.所 以 PQII户 又 因 为 短 0=平 面 A E F,且 PQZ平 面 A E F,所 以 PQ|平 面 A/F.(0)取 BE中 点。，连 结。E.因 为 AE=CF=1,DE=1,AF=A D=2,而 NA=6 0,即 AA短 尸 是 正 三 角 形.又 因 为 AE=EZ)=1,所 以 EFJ_AD.所 以 在 图 2有 A E L E E因 为 平 面 AEF 平 面 EFB,平 面 AEF c 平 面 EFB=E F 所 以 仲 平 面 EFB由 E P u平 面 EFB所 以 A E L E P(0)作 C N L B E 于 N,连 接 Q N,则 CN|EF因 为 EF_LAE，EFA.BE,A E c B E=E,因 此 F_L 平 面 A 8 E,因 此 CN，平 面 A BE,因 此 QN是 CQ在 平 面 A B E内 的 射 影，因 此 Z C Q N 为 C Q 与 平 面 A,BE所 成 角,CN=，BQ=g%B=与,cosZ 4B=-夜 V Q8N 中，QN2=BQ2+BN2-2 B Q BN COSZA,BE=-,于 是 QN=因 此 tan/CQ N=373CN F 3 限 丽 一 西 一 下 2因 此 CQ与 平 面 侬 所 成 角 的 正 切 为 平 8.（2021 浙 江 高 一 期 末）如 图，在 四 棱 锥 P-A 8 c o 中，平 面 PADJL平 面 A 8 8,PAA.P D,PA=zP D,ABAD,AB=,AD=2,AC=CD=/5.(1)求 证:PE_L平 面 R 4B；(2)求 直 线 尸 B与 平 面 PC D所 成 角 的 正 弦 值；(3)在 棱 R 4上 是 否 存 在 点 M,使 得 平 面 尸 8?若 存 在，求 空 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）皂;（3）存 在，-3 4【解 析】【分 析】试 题 分 析：（回）由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 知 ABI2平 面 卫，仞，根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知 A B L P D.再 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 知？D _ L平 面 上 4 3；5）取 4 D 的 中 点 O，连 结 P O,C O,以 0 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-x y z,利 用 向 量 法 可 求 出 直 线 PB与 平 面 PCD所 成 角 的 正 弦 值；（回）假 设 存 在，根 据 A,P,M 三 点 共 线，设 而=z Q，根 据 BM回 平 面 P C D,即 丽.=（）（为 平 面 PCD的 法 向 量），求 出 Z 的 值，从 而 求 出 警 的 值.AP试 题 解 析：（团）因 为 平 面 卫 3 _ 1 _平 面 Z 5 C D，A B 1 A D，所 以 4 8 J_平 面 上 仞.所 以 Z5JLED.又 因 为 力 _LPZ），所 以？D _ L平 面 H43.（0）取 3 的 中 点 O,连 结 尸 O,CO.因 为=所 以 PO_LdZ）.又 因 为 P O u 平 面 F 4 D，平 面 力。J平 面 4 B C D，所 以 尸 O_L平 面 4BCD.因 为 C O u平 面 Z 3 C D，所 以 POJLCO.因 为 d C=C D，所 以 C O _L 4T如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-%.由 题 意 得，J（0A0）,5（110）,Q 2 A 0）,D（0,-1,0）,P（0,0J）.设 平 面 F C D的 法 向 量 为=（x,y,z）,则 n-P一 D=O,即，n-PC=O,-y-z=Q,2x-z=0,令 z=2，则 工=9=-2.所 以=（1,一 2,2）./n-PB _ 抠 又 尸 3=似 一 1)，所 以 cs，尸 8=丽 同=一 一 3 1(0)设 M 是 棱 匕 一 点，则 存 在 使 得=因 此 点 2f(0J-Z,X),BM=(一 L-2 2)因 为 平 面 P C D，所 以”平 面 尸 C D当 且 仅 当 丽=()，即(-L-Z Z)-Q Z2)=0,解 得;I=白.4所 以 在 棱？4 上 存 在 点 M 使 得 3 II平 面 P C D，此 时 4 丝=.A P 4【考 点】空 间 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理；线 面 角 的 计 算；空 间 想 象 能 力，推 理 论 证 能 力【名 师 点 睛】平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 的 应 用：当 两 个 平 面 垂 直 时，常 作 的 辅 助 线 是 在 其中 一 个 平 面 内 作 交 线 的 垂 线，把 面 面 垂 直 转 化 为 线 面 垂 直，进 而 可 以 证 明 线 线 垂 直（必 要 时 可 以 通 过 平 面 几 何 的 知 识 证 明 垂 直 关 系），构 造（寻 找）二 面 角 的 平 面 角 或 得 到 点 到 面 的 距 离 等.9.（2022浙 江 温 州 高 一 期 中）如 图 所 示 A/IBC的 两 边 8c=1,A C=2,设 G 是 AABC的 重 心，B C 边 上 的 高 为 A，过 G 的 直 线 与 A3,A C 分 别 交 于 E,F,已 知 通=义 而，AF=pAC；（1）求 丁+一 的 值；（2）若 cosC=；,SA E F=-SA B C,几，求（而+砺）（而+丽）的 值；若 丽 屈 的 最 大 值 为-，求 边 A 3 的 长.1 O【答 案】3 321 一 面（3）2 flg【解 析】【分 析】（1）利 用 重 心 的 性 质 以 及 三 点 共 线 的 充 要 条 件 即 可 求 解（2）先 解 出 4 与,再 利 用 解 三 角 形 的 知 识 求 出 所 和 最 后 将（由+而）（而+瓦 i）化 简 即 可 求 解（3）以2 i而 和 蔗 为 基 底 表 示 丽 奇，引 入 参 数/=一 6-.2,通 过 分 类 讨 论 求 解 1 2 AEAABAB=-A E,AF=pAC AC=-A BA 如 图 所 示，连 接 AG并 延 长 交 8 c 于 点。，则。为 BC中 点 因 为 G为 AABC重 心 所 以 而=2而=2-(AB+AC=-A B+-A C=AE+AF3 312、3 3 32 3 因 为 而，A E,正 起 点 相 同，终 点 共 线 所 以 97+J-=l,所 以 J+，=334 3 Z 设 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为。，b,J，a=l,b=2 c2=a2+/?2-2abeos C=l+4-2 x lx 2 x=4.c=24SAAEF=-A E x A F x sin NEAF=g A.AB x(/MC)x sin NEAFSZAj k A/i D*C=24Bx/Cxsin ZBAC所 以 22 0 由，1 I-i=3 解 之 得 20c 3X=43AE=2 x-=-,A F=2 x-=-4 2 5 5在 三 y27在 AAEF,EF2=AE2+AF2-2 AEx AFxcos A在 R tA A/C,中 AH=4 C xsinC=X i52EH+AF=AH-A E+A F=AH+EF11F+EA=A F-A H-A E=E F-A H.（丽+府）.（而+丽）=（而+布）.（前-丽）=1司 2 T 的 2=|一=一 粉 BF-CE=（/7A C-A B）（2 A B-A C）=（/l/+l）/?ccosA-Ac2-/Z72+3+|）手 左 _ 4=c2+3 f 5c2-3,2 1-c:-2+-2 6 6C2+3/5,2-3,2 l-c2-丸+U2 6-61+12 tx L+至 13 2 18 18（5c2-3）2（2 1-c2）/AA令 f=g,2）.BF C=1+（5c2-3）r+（2 1-c2）y 若、但 4 c 3时 J?；1 2（BF-CE）=+-1（5C2-3）（21-C2）=-J1,得：45c4-292c2+448=0解 得：c=2或 勺”15炉 若 lcl2l-c2V5C2-3BF-CEgx y-+25（c2-3）1 9-c4 36518J_ 5c2 1+而-6io解 得：（舍 去）综 上 可 得：c=2或 勺 后 1510.（2022浙 江 台 州 高 一 期 中）在 直 角 梯 形 A3CZ）中，已 知 AB|DC,ADYAB,CD=,4）=2,43=3,动 点 E、F 分 别 在 线 段 B C 和 0 c 上，A E 和 3。交 于 点 M,且 诙=2 瓦,D F=（-DC,2eR.当 通.前=0 时，求 2 的 值;（2）当 2=时，求 步 的 值；3 MB 求 A F+A E 的 取 值 范 围.3【答 案】:；4可 瞽 用.【解 析】【分 析】在 直 角 梯 形 中，根 据 几 何 关 系 求 出 EL4BC和 8 c 长 度，当 ZEHBC时，求 出 B E 长 度,从 而 可 得 义=R笠 F；BC 设 通 7=x亚，D M=yDB,以 通，而 为 基 底 用 两 种 形 式 表 示 出 硕,从 而 可 得 关 于 X、V 的 方 程 组，解 方 程 组 可 得 黑=4；MB 1-y 以 通，而 为 基 底 表 示 出 反、A F，从 而 表 示 出 赤+3 通，求 出 而+；可 的 范 围 即 可 求 出 AF+A E 的 范 围.在 直 角 梯 形 ABC。中，易 得 NA8C=(,BC=2五,O 60A BC=O.0AEBC,为 等 腰 直 角 三 角 形，0SE=-2 BE 3故 4=-BC 4(2)_ _ _ _ _ _ 1AE=AB+BE=AB+ABC=AB+B A+AD+DC)=AB-AAB+A A D+-A B=(1-|义 悒+/1而,2 _ 5_?_当;1 二 一 时，AE=-AB+-A Df3 9 3设 丽=%而，D M=yDB,5 2 贝 l j AM=xAE=-xAB+-xAD,9 3M4=AD+DM=AD+yDB=AD+y(DA+AB)=yAB+(i-y)AD,5x=y13A反 而 不 共 线，回:，解 得 丁 匚=2，即 瞿=:；2 1 i-y 6 MB 6x=1-y13(3)SAF=AD+DFAb+(-A.)DC=AD+AB,AE=AAD+l-A诏+萍=(吗 血 信 号 网 通+网=(1+0.&+(.芝|“础=“+刍+9假 号)=(4+2)2+修 一 24)=522-6/+,由 题 意 知，几 eO,l,回 当 彳=|时，|荏+而|取 至 I J 最 小 值 J5x(|j-6x|+*=瞥，当 2=0时，府+研 取 到 最 大 值 苧，回 乔+；亚 的 取 值 范 围 是 臀，亨.11.（2022浙 江 省 定 海 第 一 中 学 高 一 期 中）如 图 所 示，在 AABC中，P在 线 段 8c上，满 足 2丽=定，。是 线 段 AP的 中 点.AA 延 长 C。交 A 8 于 点。(图 1),求 演 的 值；过 点。的 直 线 与 边 AB,A C 分 别 交 于 点,F(图 2),设 丽=4 通，FC=AF.(i)求 证 22+为 定 值；5,(ii)设 AAE尸 的 面 积 为 S1,A/WC的 面 积 为 邑，求 不 的 最 小 值.*【答 案】:(i)证 明 见 解 析；(ii)【解 析】【分 析】(1)根 据 题 意，将 福,正 作 为 基 底 表 示 而，由 C。,。三 点 共 线 可 知，而，而 的 系 数 之 和 为 1,即 可 求 出 胃 的 值；(2)(i)根 据 题 意，将 衣，而 作 为 基 底 表 示 而，由 E,。,产 三 点 共 线 可 知，A E,衣 的 系 数 之 和 为 1,即 可 求 出 24+为 一 定 值：(ii)根 据 题 意，S,=|A|AF|sinA,S2=|AB|AC|sin A=1(l+/l)|A|(l+/z)|AF|sinA,今=(+/(+),由 22+M=3可 将 上 5,化 为 关 于/I的 函 数，利 用 函 数 性 质 求 U 的 最 小 值 即 可.依 题 意，因 为 2加=前,所 以 而=而+丽=而+!而=丽+：例+硝=1 而+;林,因 为 0 是 线 段 AP的 中 点，所 以 同=3 A 户=g 通+/，设 布=x而，则 有 4=土 AC+，*,3 6因 为 C,o,Q三 点 共 线，所 以：x+：1=1,解 得 X=51,3 6 22 3 AO 2即 AQ=w