北京2016年数学压轴题.pdf

顺 义 一 模 28.如 图，48C中，AB=AC,点 P 是 三 角 形 右 外 一 点，且 N4PB=N4BC.(1)如 图 1,若 NR4C=60。，点 尸 恰 巧 在 NZ8C 的 平 分 线 上，PA=2,求 P8 的 长；(2)如 图 2,若 N A 4c=60。，探 究 尸/,PB,P C 的 数 量 关 系，并 证 明;(3)如 图 3,若/8/C=120。，请 直 接 写 出 P4 PB,P C 的 数 量 关 系.29.己 知：如 图 1,抛 物 线 的 顶 点 为 M,平 行 于 x轴 的 直 线 与 该 抛 物 线 交 于 点 A,8(点 A在 点 B 左 侧)，根 据 对 称 性 AMB恒 为 等 腰 三 角 形，我 们 规 定：当 A/WB为 直 角 三 角 形 时，就 称 AM8为 该 抛 物 线 的“完 美 三 角 形”.(1)如 图 2,求 出 抛 物 线 y=x的“完 美 三 角 形 斜 边 A8的 长；抛 物 线 歹=X2+1与 y=x2的“完 美 三 角 形”的 斜 边 长 的 数 量 关 系 是；(2)若 抛 物 线 了=依 2+4的“完 美 三 角 形”的 斜 边 长 为 4,求。的 值；(3)若 抛 物 线 y m x2+2x+n-5的“完 美 三 角 形”斜 边 长 为。，且 y=加/+2x+n-5的 最 大 值 为-1,求 m,n 的 值.图 1 图 2 备 用 图怀 柔 一 摸 2 8.在 等 边 A A B C外 侧 作 直 线/P,点 8 关 于 直 线 zl尸 的 对 称 点 为 D,连 接 BD,CD,其 中 CD交 直 线 AP于 点 E.(1)依 题 意 补 全 图 1:(2)若 NPAB=30,求 NACE 的 度 数；(3)如 图 2,若 60 ZPAB 120,判 断 由 线 段 AB,CE,ED可 以 构 成 一 个 含 有 多 少 度 角 的 三 角 形，并 证 明.29.对 某 种 几 何 图 形 给 出 如 下 定 义：符 合 一 定 条 件 的 动 点 所 形 成 的 图 形，叫 做 符 合 这 个 条 件 的 点 的 轨 迹.例 如，平 面 内 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 轨 迹,是 以 定 点 为 圆 心,定 长 为 半 径 的 圆.(1)如 图 1,在 ABC 中，AB=AC,ZBAC=90,A(0,2),B 是 x 轴 上 一 动 点，当 点 B 在 x 轴 上 运 动 时，点 C 在 坐 标 系 中 运 动，点 C 运 动 形 成 的 轨 迹 是 直 线 DE,且 DE，x 轴 于 点 G.(2)当 aABC是 等 边 三 角 形 时，在(1)的 条 件 下，动 点 C 形 成 的 轨 迹 也 是 一 条 直 线.当 点 B 运 动 到 如 图 2 的 位 置 时，AC x轴，则 C 点 的 坐 标 是.在 备 用 图 中 画 出 动 点 C 形 成 直 线 的 示 意 图，并 求 出 这 条 直 线 的 表 达 式.设 中 这 条 直 线 分 别 与 x,y轴 交 于 E,F两 点，当 点 C 在 线 段 EF上 运 动 时，点 H 在 线 段 OF上 运 动，(不 与 0、F 重 合)，且 CH=CE,则 CE的 取 值 范 围 是.A AOx O x备 用 图 1 备 用 图 2朝 阳 一 模 28.在 48C中，ZC=90,/C=8C,点。在 射 线 BC上(不 与 点 5、C重 合)，连 接 A D,将 4。绕 点。顺 时 针 旋 转 90。得 到。E,连 接 8E.(1)如 图 1,点。在 8c 边 上.依 题 意 补 全 图 1:作。产，8c 交 于 点/，若/C=8,DF=3,求 BE 的 长；(2)如 图 2,点。在 8 C 边 的 延 长 线 上，用 等 式 表 示 线 段 48、B D、BE之 间 的 数 量 关 系(直 接 写 出 结 论).29.定 义:对 于 平 面 直 角 坐 标 系 xy中 的 线 段 P。和 点 M,在 MP。中，当 尸。边 上 的 高 为 2 时，称 A/为 尸。的“等 高 点”，称 此 时 必+M。为 尸 0 的“等 高 距 离”.(1)若 尸(1,2),0(4,2).在 点 4(1,0),B(-,4),C(0,3)中，尸。的“等 高 点”是；2 若 0)为 尸。的“等 高 点”，求 产。的“等 高 距 离”的 最 小 值 及 此 时，的 值.通 州 一 模 28.在 菱 形 48C。中，ZABC=60,E 是 对 角 线/C 上 任 意 一 点，尸 是 线 段 BC延 长 线 上 一 点，H CF=AE,连 接 跖、EF.(1)如 图 1,当 是 线 段/C 的 中 点 时，易 证(2)如 图 2,当 点 E 不 是 线 段 Z C 的 中 点，其 它 条 件 不 变 时,请 你 判 断(1)中 的 结 论:.(填“成 立”或“不 成 立”)(3)如 图 3,当 点 E 是 线 段/C 延 长 线 上 的 任 意 一 点，其 它 条 件 不 变 时，(1)中 的 结 论 是 否 成 立？若 成 立，请 给 予 证 明；若 不 成 立，请 说 明 理 由.图 1 图 2 图 329.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 点 4(2,3)、8(6,3),连 结 若 对 于 平 面 内 一 点 P,线 段 上 都 存 在 点,使 得 P QW1,则 称 点 尸 是 线 段 的“邻 近 点”.(1)判 断 点。6 学，是 否 线 段 4 8 的“邻 近 点”_(填“是”或“否”)；(2)若 点(团，)在 一 次 函 数 y=x 1的 图 象 上，且 是 线 段 的“邻 近 点”，求 机 的 取 值 范 围.(3)若 一 次 函 数 y=x+6 的 图 象 上 至 少 存 在 一 个 邻 近 点，直 接 写 出 6 的 取 值 范 围.咻 6-54324 号 1-1_ I I I I I I、-1 o 1 2 3 4 5 6 X丰 台 一 模 28.在/8C中，CA=CB,8 为 边 的 中 线，点 尸 是 线 段 1 C 上 任 意 一 点(不 与 点 C 重 合)，过 点 产 作 P E 交 8 于 点 E,使 NCPE=L N C 4 B,过 点 C 作 C F L P E 交 PE2的 延 长 线 于 点 尸，交 N 8 于 点 G(1)如 果/CB=90,如 图 1,当 点 尸 与 点/重 合 时，依 题 意 补 全 图 形，并 指 出 与 CQG全 等 的 一 个 三 角 形;如 图 2,当 点 p 不 与 点/重 合 时，求 电 的 值;PECF(2)如 果 N C 3=4,如 图 3,请 直 接 写 出 一 的 值.PE图 I 图 229.设 点 Q 到 图 形 少 上 每 一 个 点 的 距 离 的 最 小 值 称 为 点 Q 到 图 形 W 的 距 离.例 如 正 方 形 4 3 8 满 足 4(1,0),5(2,0),C(2,1),)(1,1),那 么 点。(0,0)到 正 方 形 N3CD 的 距 离 为 1.(1)如 果。尸 是 以(3,4)为 圆 心，1 为 半 径 的 圆，那 么 点 0(0,0)到。尸 的 距 离 为;(2)求 点(3,0)到 直 线 y=2x+l的 距 离；如 果 点 N(0M)到 直 线 y=2x+l的 距 离 为 3,那 么 a 的 值 是；(3)如 果 点 G(0,b)到 抛 物 线 y=/的 距 离 为 3,值.请 直 接 写 出 6 的 v4-3-2-1-4-3-2-1 0-1 2 3 4 x-1-2-3-4-延 庆 一 模 28.已 知，点 尸 是 ZBC边 N 8 上 一 动 点(不 与 8 重 合)分 别 过 点 4 8 向 直 线”作 垂 线，垂 足 分 别 为 E,F,。为 边 4 8 的 中 点.(1)如 图 1,当 点 尸 与 点。重 合 时，A E 与 B F 的 位 置 关 系 是,Q E 与 Q F 的 数 量 关 系 是;(2)如 图 2,当 点 尸 在 线 段 48 上 不 与 点。重 合 时，试 判 断 Q E 与。产 的 数 量 关 系，并 给 予 证 明；(3)如 图 3,当 点 P 在 线 段 84 的 延 长 线 上 时，此 时(2)中 的 结 论 是 否 成 立？请 画 出 图 形 并 给 予 证 明.29.对 于 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 尸 和 线 段 为 8,给 出 如 下 定 义：在 线 段 外 有 一 点 P,如 果 在 线 段 4 8 上 存 在 两 点 C、D,使 得 NCP=90,那 么 就 把 点 P 叫 做 线 段 Z 8 的 悬 垂 点.(1)已 知 点/(2,0),O(0,0)若 C(l-),(1,1),(1,2),在 点 C,D,E 中，线 段 力。的 悬 垂 点 是；如 果 点 P(利，)在 直 线 y=x-l上，且 是 线 段 Z O 的 悬 垂 点，求 7的 取 值 范 围；(2)如 下 图 是 帽 形 M(半 圆 与 一 条 直 径 组 成，点 是 半 圆 的 圆 心)，且 圆 M 的 半 径 是 1,若 帽 形 内 部 的 所 有 点 是 某 一 条 线 段 的 悬 垂 点，求 此 线 段 长 的 取 值 范 围.y八28(西 一)“8 C中，AB=AC.取 8 c 边 的 中 点。，作 OE_L/C于 点 E,取 D E的 中 点 厂,连 接 8E,/尸 交 于 点 A p 如 图 1,如 果/4C=90。，那 么 4 B=,=；BE(2)如 图 2,如 果 NB4C=60。，猜 想 N 4/3 的 度 数 和 的 值，并 证 明 你 的 结 论；BEA p(3)如 果 N84C=a,那 么 二.(用 含 a 的 表 达 式 表 示)BE29给 出 如 下 规 定：两 个 图 形 G1和 Gz，点 P 为 G1上 任 一 点，点。为 G2上 任 一 点，如 果 线 段 P 0 的 长 度 存 在 最 小 值，就 称 该 最 小 值 为 两 个 图 形 G1和 G2之 间 的 距 离.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，O 为 坐 标 原 点.(1)点 Z 的 坐 标 为 4(1,0),则 点 8(2,3)和 射 线 O A 之 间 的 距 离 为，点 C(-2,3)和 射 线 0/之 间 的 距 离 为；(2)如 果 直 线 尸 和 双 曲 线 y=之 间 的 距 离 为 应，那 么 4；(可 在 图 1中 进 X行 研 究)(3)点 E 的 坐 标 为(1,由)，将 射 线 O E 绕 原 点。逆 时 针 旋 转 60。，得 到 射 线 O F,在 坐 标 平 面 内 所 有 和 射 线。，。产 之 间 的 距 离 相 等 的 点 所 组 成 的 图 形 记 为 图 形 M.请 在 图 2 中 画 出 图 形 M,并 描 述 图 形 M 的 组 成 部 分；(若 涉 及 平 面 中 某 个 区 域 时 可 以 用 阴 影 表 示)将 射 线 OE，。尸 组 成 的 图 形 记 为 图 形 W,抛 物 线 y=x2-2 与 图 形 M 的 公 共 部 分 记 为 图 形 N,请 直 接 写 出 图 形 W 和 图 形 N 之 间 的 距 离.(平 一)28.(1)如 图 1,在 四 边 形/BCD 中，AB=BC,N/8C=80,/+/C=180。，点“是 边 上 一 点，把 射 线 B M 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 40,与 C D 边 交 于 点 N,请 你 补 全 图 形，求 M M AM,CN 的 数 量 关 系；图 3(2)如 图 2,在 菱 形/BCD中，点 M 是/。边 上 任 意 一 点，把 射 线 8 M 绕 点 8 顺 时 针 旋 L z A B C,与 C D 边 交 于 点 N,连 结 M N,请 你 补 全 图 形 并 画 出 辅 助 线，直 接 写 出 2AM,CN,M N 的 数 量 关 系 是；(3)如 图 3,正 方 形/BC。的 边 长 是 1,点 M,N 分 别 在 8 上，若。朋 N 的 周 长 为 2,则 MSN的 面 积 最 小 值 为 2 9.设。力 是 任 意 两 个 不 等 实 数，我 们 规 定：满 足 不 等 式。能 6 的 实 数 x 的 所 有 取 值 的 全 体 叫 做 闭 区 间，表 示 为。.对 于 一 个 函 数，如 果 它 的 自 变 量 x 与 函 数 值 y 满 足：当 机 生 时，有 根 金，我 们 就 称 此 函 数 是 闭 区 间”网 上 的“闭 函 数 如 函 数 y=-x+4,当 x=l时，尸 3；当 x=3时，y=,即 当 lW x 4 3 时，有 1 4 歹 4 3,所 以 说 函 数 y=-x+4 是 闭 区 间 1,3 上 的“闭 函 数”.（1）反 比 例 函 数 尸 型”是 闭 区 间 1,2015 上 的“闭 函 数”吗?请 判 断 并 说 明 理 由；X（2）若 二 次 函 数 尸 l 2 x-左 是 闭 区 间 1,2 上 的“闭 函 数”，求 左 的 值；（3）若 一 次 函 数 严 日+6（原 0）是 闭 区 间 即 网 上 的“闭 函 数”,求 此 函 数 的 解 析 式（用 含 机，的 代 数 式 表 示）.(门 一)28.在 RtZ48C 中，ZACB=90,。是 的 中 点，DE 工 BC 于 E,连 接 CD.(1)如 图 1,如 果 N4=30。，那 么。E 与 CE 之 间 的 数 量 关 系 是.(2)如 图 2,在(1)的 条 件 下，P 是 线 段 C 8 匕 一 点，连 接。P,将 线 段 D P 绕 点。逆 时 针 旋 转 60,得 到 线 段 DF,连 接 8兄 请 猜 想 D E、BF、8P三 者 之 间 的 数 量 关 系，并 证 明 你 的 结 论.(3)如 图 3,如 果/N=a(0 a90),尸 是 射 线 C8 上 一 动 点(不 与 8、C 重 合),连 接。P,将 线 段。P 绕 点。逆 时 针 旋 转 2a,得 到 线 段。尸，连 接 8凡 请 直 接 写 出 D E、BF、8P三 者 之 间 的 数 量 关 系(不 需 证 明).29.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 xQ y中，抛 物 线 y j/f+b x+c（a 0）的 顶 点 为 直 线 尸 机 与 x 轴 平 行，且 与 抛 物 线 交 于 点 力 和 点 B,如 果 力 融 为 等 腰 直 角 三 角 形，我 们 把 抛 物 线 上/、8 两 点 之 间 部 分 与 线 段 围 成 的 图 形 称 为 该 抛 物 线 的 准 蝶 形，顶 点 M 称 为 碟 顶，线 段 的 长 称 为 碟 宽.（1）抛 物 线 y=的 碟 宽 为,抛 物 线 产 水 2（670）的 碟 宽 为.（2）如 果 抛 物 线 尸 q（x I）?6（0）的 碟 宽 为 6,那 么。=.（3）将 抛 物 线 为 十 小+“玛（%0）的 准 蝶 形 记 为 尸（片 1,2,3,-）,我 们 定 义 为，&,，为 相 似 准 蝶 形，相 应 的 碟 宽 之 比 即 为 相 似 比.如 果 尸“与 F.,的 相 似 比 为!，2且 此 的 碟 顶 是 入 的 碟 宽 的 中 点，现 在 将（2）中 求 得 的 抛 物 线 记 为 为，其 对 应 的 准 蝶 形 记 为 居.求 抛 物 线 处 的 表 达 式；请 判 断 Q,F2,3 的 碟 宽 的 右 端 点 是 否 在 一 条 直 线 上？如 果 是，直 接 写 出 该 直 线 的 表 达 式；如 果 不 是，说 明 理 由.y7-6-5-4-3-1-2-1 0 1 2 3 4 5 x（石 一）28.在 ZBC中，=90.（1）如 图 1,直 线/是 5 C 的 垂 直 平 分 线，请 在 图 1中 画 出 点 4 关 于 直 线/的 对 称 点 21连 接 ZC,AB,AC与 A B 殳 于 点、E；（2）将 图 1中 的 直 线 4 8 沿 着 E C 方 向 平 移，与 直 线 E C 交 于 点。，与 直 线 8 C 交 于 点 尸，过 点 尸 作 直 线 4 8 的 垂 线，垂 足 为 点”.如 图 2,若 点。在 线 段 E C 上，请 猜 想 线 段 DF,4 c 之 间 的 数 量 关 系,并 证 明；若 点。在 线 段 E C 的 延 长 线 上，直 接 写 出 线 段 FH,D F,/C 之 间 的 数 量 关2 9.在 平 面 直 角 坐 标 系 xQy中，点 4 在 直 线/上，以 4 为 圆 心，CM为 半 径 的 圆 与 y 轴 的 另 一 个 交 点 为.给 出 如 下 定 义：若 线 段 0 E,。力 和 直 线/上 分 别 存 在 点 5,点。和 点。，使 得 四 边 形 BCD是 矩 形(点 4 8,。,。顺 时 针 排 列)，则 称 矩 形 为 直 线/的“理 想 矩 形”.例 如,下 图 中 的 矩 形 4 8 s 为 直 线/的“理 想 矩 形”.:(1)若 点 四 边 形 N8CD为 直 线 x=l 的“理 想 矩 形”，则 点。的 坐 标 为;(2)若 点 4(3,4),求 直 线 卜=履+1(左/0)的“理 想 矩 形”的 面 积；(3)若 点/(I,-3),直 线/的“理 想 矩 形”面 积 的 最 大 值 为,此 时 点 D 的 坐 标 为.（房 一）2 8.如 图 1,已 知 线 段 8 c=2,点 8 关 于 直 线 N C的 对 称 点 是 点。，点 E 为 射 线 C4上 一 点，且 即=8。，连 接。E,BE.（1）依 题 意 补 全 图 1,并 证 明：A8DE为 等 边 三 角 形；（2）若 N/C8=45。，点 C 关 于 直 线 班）的 对 称 点 为 点 凡 连 接 FZ）、尸 艮 将 ACDE绕 点。顺 时 针 旋 转 a 度（0。2360。）得 到 A C D E,点 E 的 对 应 点 为 E，点 C 的 对 应 点 为 点 C.如 图 2,当=30。时，连 接 B C.证 明：EF=BC x 如 图 3,点 为。C 中 点，点 尸 为 线 段 C E 上 的 任 意 一 点，试 探 究：在 此 旋 转 过 程 中，线 段 尸 M 长 度 的 取 值 范 围？29.【探 究】如 图 1,点 N（肛 耳 是 抛 物 线 必 一 i 上 的 任 意 一 点，/是 过 点（o,_2）且 与 x 轴 平 行 的 直 线，过 点 N 作 直 线 垂 足 为 H.计 算：机=0 时，N H=;相=4 时,N O=.猜 想:m 取 任 意 值 时，NO NH（填“”、=”或“”）.【定 义】我 们 定 义：平 面 内 到 一 个 定 点 厂 和 一 条 直 线/（点 F 不 在 直 线/上）距 离 相 等 的 点 的 集 合 叫 做 抛 物 线，其 中 点 尸 叫 做 抛 物 线 的“焦 点”，直 线/叫 做 抛 物 线 的“准 线”.如 图 1中 的 点。即 为 抛 物 线 必 的“焦 点”,直 线/：y=-2 即 为 抛 物 线 必 的“准 线”.可 以 发 现“焦 点”尸 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上.1,【应 用】（1）如 图 2,“焦 点”为 尸（-4,-1）、“准 线”为/的 抛 物 线 为=（+4）+左 与 y轴 交 于 点 N（0,2）,点 M 为 直 线 成 与 抛 物 线 的 另 一 交 点.九 于 点 0,直 线/交 y 轴 于 点，.直 接 写 出 抛 物 线 力 的“准 线”/：;计 算 求 值:焉+焉=:（2）如 图 3,在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以 原 点。为 圆 心，半 径 为 1的。与 x 轴 分 别 交 于 1、8 两 点（/在 8 的 左 侧），直 线 尸 坐 x+与。只 有 一 个 公 共 点 尸，求 以 尸 为“焦 点”、x 轴 为“准 线”的 抛 物 线 为=。？+云+。的 表 达 式.图 1 图 2图 3(燕 一)28.ABC 中，NN8c=45。，A H L B C 于 点、H,将 绕 点 逆 时 针 旋 转 90。后，点 C 的 对 应 点 为 点。，直 线 8。与 直 线/C 交 于 点 E,连 接 E”.图 1 图 2(1)如 图 1,当/历 1C为 锐 角 时，求 证：BEA.AC-,求 切 的 度 数；(2)当 N2/C 为 钝 角 时，请 依 题 意 用 实 线 补 全 图 2,并 用 等 式 表 示 出 线 段 EC,ED,E 4 之 间 的 数 量 关 系.29.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，如 果 点 P 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 相 等，则 称 点 P 为 和 谐 点.例 如 点(1,1),(,(-,y2),都 是 和 谐 点.(1)分 别 判 断 函 数 y=-2x+l和 y=/+i 的 图 象 上 是 否 存 在 和 谐 点，若 存 在，求 出 其 和 谐 点 的 坐 标；(2)若 二 次 函 数 歹=2+4+。(“。0)的 图 象 上 有 且 只 有 一 个 和 谐 点 弓，I),3且 当 O W x W 加 时，函 数 夕=ax2+4x+c(aw0)的 最 小 值 为 一 3,最 大 值 4为 1,求 加 的 取 值 范 围.7 7(3)直 线/:、=京+2 经 过 和 谐 点。，与 x 轴 交 于 点。，与 反 比 例 函 数 G：y=的 x图 象 交 于 M,N 两 点(点 M 在 点 N 的 左 侧)，若 点 P 的 横 坐 标 为 1,且 D M+D N 3 4 2,请 直 接 写 出”的 取 值 2 页)(海)28.在 菱 形/8 C D 中，N/DC=120。，点 E 是 对 角 线/C 上 一 点，连 接 ZDC=50,将 线 段 8 c 绕 点 8 逆 时 针 旋 转 50。并 延 长 得 到 射 线 肝，交 即 的 延 长 线 于 点 G.(1)依 题 意 补 全 图 形；备 用 图(2)求 证：EG=BC；(3)用 等 式 表 示 线 段/E,EG,B G 之 间 的 数 量 关 系:2 9.在 平 面 直 角 坐 标 系 X。中，对 于 点 P（。/）和 点。（凡 6），给 出 如 下 定 义：若，=,则 称 点 Q 为 点 P 的 限 变 点.例 如：点（2,3）的 限 变 点 的 坐 标 是（2,3）,点（-2,5）的 限 变 点 的 坐 标 是（2,-5）.（1）点（百,1）的 限 变 点 的 坐 标 是；在 点 4（-2,-1）,6（1,2）中 有 一 个 点 是 函 数 了=：图 象 上 某 一 个 点 的 限 变 点，这 个 点 是；（2）若 点 P 在 函 数、=+3（-2:（幺 上-2）的 图 象 上，其 限 y变 点。的 纵 坐 标，的 取 值 范 围 是-5 W/W 2,求 的 取 值 范 围；4-3-（3）若 点 尸 在 关 于 x 的 二 次 函 数=公-2笈+/+/的 图 象 上，其 限 变 点。的 纵 坐 标，的 取 值 范 围 是 或，其 中：一；2 1；-6-5-4-3 2 I Q 2 3m n.令 s=m-，求 s关 于/的 函 数 解 析 式 及 s 的 取 值 范 围.