高考模拟题分类汇编：函数与导数.pdf

专 题：高 考 模 拟 题 分 类 汇 编：函 数 与 导 数 1.(2011北 京 朝 阳 区 期 末)下 列 函 数 中，在(-1,1)内 有 零 点 且 单 调 递 增 的 是(B)(A)y=log,x(B)y=2X-1(C)y=x2-(D)y=-x2 22.(2011北 京 朝 阳 区 期 末)I C l已 知 函 数 f(x)=n x-a x-1(a e R).x(I)当 二 一 1时，求 曲 线 y=/(x)在 点(2,7(2)处 的 切 线 方 程；(口)当 0 W a=/(x)在 点(2,/(2)处 的 切 线 方 程 为 x-y+ln2=0.5分 C l(n)因 为/(x)=ln x-a x+-1,xn r.i r/z X a 1 a x-x+l-a Q o 公 所 以/(x)=_ Q+=-3-，x?(,?).7 分 X X X令 g(x)=ax-1-a,x?(0,?),当=0 时，g(x)=-x+l,x?(0,?),当 x i(0,1)时，g(x)0,此 时 尸(x)0,函 数 f(x)单 调 递 减;.8 分 当 X 6(1,+00)时，g(x)0,此 时 尸(x)0,函 数/(x)单 调 递 增.9 分 当 0。1 0,a所 以 当 xi(0,1)时，g(x)0,此 时/(x)0,函 数/(x)单 调 递 减；10分 xe(l,，一 1)时，g(x)0,此 时/(x)0,函 数/(x)单 调 递 减.12分 a综 上 所 述：当。=0 时，函 数/(X)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,+?)上 单 调 递 增；当 0。0,已 知 函 数/()=如 2+云+1(a,6 为 实 数，。工 0,x e R),F(x)=f-/(x)xQ,a 0,且 函 数/(x)为 偶 函 数，判 断/。)+尸。?)是 否 大 于 0?解：(I)因 为/(1)=0,所 以。一 匕+1=0.a 0,因 为/(X)的 值 域 为 0,+8)，所 以 4 0.2 分 所 以 从 一-1)=0.解 得 匕=2,a=l.所 以/(x)=(x+l)2.LL I f(x+l)2 X 0,所 以/(x)=1 o.4 分-(x+1)x 0.(II)因 为 g(x)=/(x)-履=/+2x+l-b;=x2+(2-k)x+l=a+n+i.6 分 2 4k-1-2所 以 当 2 5*e 2 或 5 辽-2 时 8(口 单 调.即 k 的 范 围 是(-?,2 或 6,+?)时，g(x)是 单 调 函 数.8 分(III)因 为/(x)为 偶 函 数，所 以 小)=+1.ax x 0,所 以/(x)=.10分-ax x 0.因 为 mn 0,则 0,所 以 机 一 0.所 以 网 卜 小.12分 止 匕 时/(2)+F(n)=f 一 f(n)=am2+l-an2-1=a(f?i2-n2)0.即 歹(m)+尸()0.13分 4.(2011北 京 丰 台 区 期 末)设 偶 函 数/(x)在 0,+8)上 为 增 函 数，且/(2/(4)0B./(-3)/(-5)C.函 数 在 点(-4,7(-4)处 的 切 线 斜 率 4 a).6.(2011北 京 丰 台 区 期 末)设 函 数/(x)=(l+x)221n(l+x).(I)求/(x)的 单 调 区 间；(II)当 0vav2时,求 函 数 g(x)=/(x)-仆 一 1在 区 间 0,3 上 的 最 小 值.解：(I)定 义 域 为(1,+8).ru)=2(i+x)x+1 x+1令;(x)0,则 2x(三 2)0,所 以 x 0.x+1因 为 定 义 域 为(1,+8)，所 以 X0.令;(x)0,则 2x(叶 2)0,所 以 一 2x0.x+1因 为 定 义 域 为(1,+8)，所 以 lx-1).、2 C2 a)x-ag(X)=(2 _ a)x _=.1+x X+x因 为 0vav2,所 以 2。0,a0.2-a令 g(x)0 可 得 0,2-a所 以 函 数 g(x)在(0,一)上 为 减 函 数，在(一,+8)上 为 增 函 数.2-a 2-aa 当 0，一 3,即 0“士 时，2-a 2在 区 间 0,3 上，g(x)在(0,一)上 为 减 函 数，在(一,3)上 为 增 函 数.2-a 2-a所 以 g(x)min=g(y-)=a 21n-2-a 2-aa 当，一 N 3,即 士 4 a 2 时，g(x)在 区 间(0,3)上 为 减 函 数.2-a 2所 以 g(x)min=g(3)=6-3a-21n4.3 2综 上 所 述，当 0。2 时，g(x)min=a-21n：2 2-a3当-a 2 时，2og(x z)min=6-3-21n4.min14分 7.（2011北 京 西 城 区 期 末）对 于 函 数/（x）=4x+5,/（x）=|log2x|-（g，/（%）=cos（x+2）-cos x,判 断 如 下 两 个 命 题 的 真 假：命 题 甲：/（X）在 区 间（1,2）上 是 增 函 数；命 题 乙：/（X）在 区 间（0,+8）上 恰 有 两 个 零 点 玉，且 斗 工 2 1.能 使 命 题 甲、乙 均 为 真 的 函 数 的 序 号 是（D）（A）（B）（C）（D）8.（2011北 京 西 城 区 期 末）已 知 函 数/（x）=-（2a+l）x+2lnx（a e R）.（1）若 曲 线），=/*）在=1和 工=3处 的 切 线 互 相 平 行，求。的 值：（11）求/。）的 单 调 区 间；（III）设 g（x）=f-2 x,若 对 任 意 玉 w（0,2,均 存 在 G（0,2,使 得）g（无 2），求 a的 取 值 范 围.2解：/(x)=ax(2+1)H(%0).2 分 x2(I)r(1)=/(3),解 得。=1.3分(II)f(x)=(x 0).5 分 X 当 V 0 时，x 0,ax 10；在 区 间(2,+8)上 广(x)0,故/。)的 单 调 递 增 区 间 是(0,2),单 调 递 减 区 间 是(2,+8).6 分 当 0。!时，-2,2 a在 区 间（0,2）和（L+8）上，r（x）o；在 区 间（2）上（x）o,a a故/(x)的 单 调 递 增 区 间 是(0,2)和(L,+00),单 调 递 减 区 间 是(2,L).7分 a a 当。时，尸(x)=(x二 2匚,故/(X)的 单 调 递 增 区 间 是(0,+00).8 分 2 2x 当 ci 时，0 0；在 区 间(1,2)上 r(x)0,a a故/(x)的 单 调 递 增 区 间 是(0,L)和(2,+8),单 调 递 减 区 间 是(4,2).9 分 a a(HI)由 已 知，在(0,2 上 有/(x)1rax g(x)1rax.10 分 由 已 知，g(X)ma、=0，由(H)可 知，当 a w g 时，/(X)在(0,2 上 单 调 递 增，故/(x)max=/(2)=2。一 2(2+1)4-2In 2=一 2 一 2+21n 2,所 以，-2a-2+21n2ln2-l,故 In2 l,可 知 Ina In-In=一 1,2 In a-2,-21nu 2,2 2 e所 以，2 21na0,/(x)max 0,.13 分 综 上 所 述，a ln2 1.9.(2011巢 湖 一 检)下 列 函 数 中，在 其 定 义 域 内 既 是 增 函 数 又 是 奇 函 数 的 是(B)A.y=-B.y=V+3_ 3T C.y=log3 x D.y=3Vx10.(2011 巢 湖 一 检)已 知 函 数/(x)=log2(4+V16-x2),命 题 p：F/w R,使 f2(xo)+af(xa)+l=O,则 在 区 间-4,1 上 随 机 取 一 个 数 a,命 题 p 为 真 命 题 的 概 率 为(B)11.(2011巢 湖 一 检)求 定 积 分。3一 2 9=g.12.(2011 巢 湖 一 检)己 知/(X)=x+asinx.(1)若 外 在(-00,+00)上 为 增 函 数，求 实 数 a 的 取 值 范 围；(H)当 常 数 a 0时，设 g(x)=&,求 g(x)在 工，至 上 的 最 大 值 和 最 小 值.x 16 6解：(i)/a)在(-oo,+8)上 为 增 函 数，=1+Q C O S X 2 0 对 X G(-00,+8)恒 成 立.2令 f=c o s x,则 1+af N 0 对 f w-1,1恒 成 立，.J,解 得-1 4 a 41,l+a-l 0实 数。的 取 值 范 围 是-1,1.6 分(/HT T X)当 M/a 0n 时 _L,g(/x)、=f(x)=l+-a-s-i-n-x-,.g(，x/)、=-a-(-x-c-o-s-x；-s-i-n-x-)-、.8n 分 X X Xi己 Mx)=xcosx-sinx,x e(0、则(x)=-xsinx 0对 x w(0,)恒 成 立，/?(x)在 x e(0,左)上 是 减 函 数，；/z(x)/(0)=0,即 g x)0 时，g(x)=立 在(0,万)上 是 减 函 数，得 g(x)在 上，之 口 上 为 减 函 数.x 1 _ 6 6 _.当 x=工 时，g(x)取 得 最 大 值 1+四；当“红 时，g(x)取 得 最 小 值 1+出.6 n 6 57r13.(2011承 德 期 末)函 数/(x)=-的 定 义 域 是(D)2x-x 1A,卜 卜 一 苴 B-%|X 4 C.，戈 卜 w 且 X W 11 D.卜 卜 且 X W 11 4.(2011承 德 期 末)曲 线 y=x l n%在 点(e,e)处 的 切 线 方 程 为(A)A.y-2 x-e B.y-2 x-e c.y-2 x+e D.y=-x-115.(2 0 1 1承 德 期 末)若 一/?!表 示 0时，/(x)1.数 列。“满 足 a,=/(0),_&/(,)=-(e N)(I)求 证：制=1，并 判 断 函 数/(%)的 单 调 性；f(x)(II)令”是 最 接 近 日 的 正 整 数，叫 向 N*)，设1 1 1 七 T=上+(wAT)，求 b、b2 bnT 1 0 0 0，解：(1)令 y=0,x=l,/(l)(l-/(0)=0.v y(i)i/(0)=l.:%0时，/(x)1.1=/(0)=f(-x+x)=/(-x)/(x).A/(X)=.3 分 x 0时,0/(x)0设 x,0,/(x2-X,)1/(x2)=/(x,)/(x2-x,)/(%,)./(龙)在 R 上 是 增 函 数.6 分(2)a,=/(O)=l,/K,)=,/-(+1).a.M=a”+l，a“=(e N)令 b=k(k&N4),k-4n k+即?一%+J_ 人 2+攵+，.2 2 4 4.女,都 是 正 整 数，攵 2 一 攵+1(左 2+人.二 满 足 瓦=上 的 正 整 数，有/+左 一(/左+1)+1=2攵(个)312 1000322 322-3 2+1=993T.,W,=1I 1+H-1-=2Cx l,+4“x 1+6/x-1+6 2x 1+8。x 1=6/2Jh b2 bm 0 2 3 31 32 412分 17.（2011承 德 期 末）已 知 函 数/（x）=_L/+”2x 2 在 区 间 一 1,1 上 单 调 递 减，在 区 间 1,2 上 4 3单 调 递 增.（I）求 实 数 a 的 值；（II）若 关 于 的 方 程/（2）=机 有 三 个 不 同 实 数 解，求 实 数 机 的 取 值 范 围；(Ill)若 函 数 y=log1/(x)+p 的 图 象 与 坐 标 轴 无 交 点，求 实 数 p 的 取 值 范 围.解：(I).函 数/(x)在 区 间 一 1,1 上 单 调 递 减，在 区 间 1,2 上 单 调 递 增,，X=1为 其 极 小 值 点，/=0,.3分 1 2 1(II)由(1)得 f(x)x1 H X H-X _ 2x 24 3 2fx)=-%，+lx+x-2=-(x 一-2)(x+1)5 8可 得 函 数/(%)的 极 大 值 为/(-1)=-,/(2)=-,极 小 值 为/(1)=.关 于%的 方 程/(2)=加 有 三 个 不 同 实 数 解，令 2=，。0),即 关 于 f的 方 程/)=加 在 f c(0,+8)上 有 三 个 不 同 实 数 解，即 y=/Q)的 图 象 与 直 线 y=机 在/e(0,+oo)上 有 三 个 不 同 的 交 点，画 出 y=/Q)的 图 像，观 察 可 得 一 37 85综 合 得 17 p 一 12 1218.(2011东 莞 期 末)已 知 函 数/(x)是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数，且/(x)的 图 象 关 于 直 线 x=l 对 称，那 么 下 列 式 子 中 对 任 意 x e R 恒 成 立 的 是(D)A./(x+l)=/(x)B./(x+2)=/(x)C./(x+3)=/(x)D./(x+4)=/(x)19.(2011东 莞 期 末)为 了 预 防 流 感，某 段 时 间 学 校 对 教 室 用 药 熏 消 毒 法 进 行 消 毒.设 药 物 开 始 释 放 后 第 r小 时 教 室 内 每 立 方 米 空 气 中 的 含 药 量 为 y 毫 克.已 知 药 物 释 放 过 程 中，教 室 内 每 立 方 米 空 气 中 的（1）求 从 药 物 释 放 开 始 每 立 方 米 空 气 中 的 含 药 量 y（毫 克）与 时 间 t（小 时）之 间 的 函 数 关 系 式；（2）按 规 定，当 空 气 中 每 立 方 米 的 含 药 量 降 低 到 0.25毫 克 以 下 时，学 生 方 可 3一 加（第 17题 图）从 药 物 释 放 开 始，至 少 需 要 经 过 多 少 时 间，学 生 才 能 回 到 教 室？解：（1）解：函 数 图 象 由 两 线 段 与 一 段 指 数 函 数 图 象 组 成，两 曲 线 交 于 点（0.1,1）,故 屿（0,0.1 时，由 y（毫 克）与 时 间 t（小 时）成 正 比，可 设 y=kt,.2 分 所 以 有 l=0.U,即 左=10,片 10t；.4 分 0.1,+8)时，将(0.1,1）代 入 y故 所 求 函 数 关 系 为：10/(0,0,1t e 0.1,+oo)10分-5(t)0）.（1）求 证：无 论。为 何 正 数，函 数/（x）的 图 象 恒 过 点 A（l,-1）；（2）当 a=l时，求 曲 线 y=/（x）在 x=l处 的 切 线 方 程；（3）讨 论 函 数/（x）在 区 间（Ie?）上 零 点 的 个 数（e 为 自 然 对 数 的 底 数）解：./=2inl 1=0-1=-1，无 论。为 何 正 数，函 数/(x).2 分 当 a=l时，f(x)=2nx-x2,fM=-2x.X=0.3 分 又/=-1，曲 线 y=/(x)在 点 x=l 处 的 y+1=0.4 分 的 图 象 恒 过 点 切 线 方 程 为/(x)=2a2 nx-x2,所 以 2a.2/2x2=-2x=-x x-2(x-a)(x+a)x5 分 因 为 尤 0,a 0,于 是 当 0 x a 时，/(x)0.6 分 所 以/(x)在(0,可 上 是 增 函 数，在 a,+00)上 是 减 函 数.7 分 所 以，/(x)max=/(a)=/(21na-l).8分 讨 论 函 数/(X)的 零 点 情 况 如 下.当。2(21na l)0,即 0 a 五 时，函 数/(x)无 零 点，在(Le?)上 也 无 零 点；.9 分 当 Qlna-1)=0,即。=五 时，函 数/(x)在(0,+8)内 有 唯 一 零 点 a,而 1 a=&0,即。五 时,由 于/=10,f(e2)-2a2 In e2 e4 4a2 e4=(2a e2)(2a+e2)2 2当 2a 6一 0 时，即 a 时，1 a，f()0,而 且f(4e)=2a2-e=a2-e0,/(1)=10 由 单 调 性 可 知，无 论 aNe?还 是 a 0 来 说 明 唯 一 零 点 在(1,及)内”的 这 一 步，则 扣 去 这 2 分)综 上 所 述，有：当 0 a J 7 时，函 数/(x)无 零 点；2当。=人 或。2/时，函 数/(%)有 一 个 零 点；当 Ve 67 y 时，函 数/(X)有 两 个 零 点.21.(2 0 1 1佛 山 一 检)已 知 三 次 函 数)=办 3+敬 2+cx(a,b,c e R).(1)若 函 数/(x)过 点(1 且 在 点(1 处 的 切 线 方 程 为 y+2=0,求 函 数/(x)的 解 析 式；(H)在(I)的 条 件 下，若 对 于 区 间-3,2 上 任 意 两 个 自 变 量 的 值 知 马 都 有|/(x,)-/(x2)|r,求 实 数 f的 最 小 值；(III)当-14x41时，试 求。的 最 大 值，并 求。取 得 最 大 值 时/(x)的 表 达 式.解：(I).函 数/(x)过 点(一 1,2),1)=-“+匕 c=2,又 f(x)=3ax2+2bx+c,函 数/(X)点(1,3(1)处 的 切 线 方 程 为 y+2=0,.-2 J a+c=-2l/,(l)=0 3a+2b+c=0由 和 解 得 a=l,b=0,c=3,故/(X)=X3 _ 3 X-4 分(n)由(I)f(x)=3x2-3,令/(x)=0,解 得 x=l,/(-3)=-18,/(-1)=2,f(l)=-2,/=2,在 区 间 3,2 上 人 稣(X)=2,就(x)=-18,.对 于 区 间 一 3,2 上 任 意 两 个 自 变 量 的 值 和，I f(x,)-f(x2)l20 从 而，的 最 小 值 为 20.8 分(IH)f(x)=3ax2+2bx+c,(0)=c则,f(-l)=3a-2b+c,可 得 64=/(_1)+/(1)_2/(0)./=3a+2b+c.当 T W x W l 时，.，(一 1心 1,(0)区 1,田,.61a 1=|f(-1)+/-2/0)|/,(-D|+1/,(1)|+2|/0)|4,2 2故。的 最 大 值 为 3 3r(o)|=M=i2当 时，|/Z(I)|=|2-2Z?+c|=1,解 得 b=0,c=1,夕 l=|2+28+d=i二.a 取 得 最 大 值 时 2/(x)=x3-x,-14 分 22.(2011福 州 期 末)如 图，有 一 直 角 墙 角，两 边 的 长 度 足 够 长，在 P 处 有 一 棵 树 与 两 墙 的 距 离 分 别 是 am(0 a 12),4m,不 考 虑 树 的 粗 细,现 在 用 16m长 的 篱 笆，借 助 墙 角 围 成 一 个 矩 形 的 花 圃 ABCD。设 此 矩 形 花 圃 的 面 积 为 S r,S 的 最 大 值 为/(a),若 将 这 棵 树 围 在 花 墙 内，则 函 数 a=/(a)的 图 象 大 致 是 23.(2011福 州 期 末)设 函 数 y=/(x)的 定 义 域 为 实 数 集 R,对 于 给 定 的 正 数 人，定(X)(/(x)WA),义 函 数(x)=，给 出 函 数/(x)=f+2,若 对 于 任 意 的 xe(8,+8),恒 有 A(x)=/(x),贝 I j(B)A.k的 最 大 值 为 2 B.k的 最 小 值 为 2C.k 的 最 大 值 为 1 D.k的 最 小 值 为 124.(2011福 州 期 末)设/(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且/=0,当 x 0 时，有 寸(x)；/(x)g(x)的 解 集 为(-8,1),求 实 数。的 取 值 范 围。解：(I)=f(x)=(x)=-3x2+lax+b.(x)在 在(一 8,0)上 是 减 函 数，在(0,1)上 是 增 函 数，.当 x=0 时，f(x)取 到 极 小 值，即/(0)=0.r.b=0.(n)由(1)知，f(x)=Z+a+c,是 函 数 f(x)的 一 个 零 点，即 f(1)=0,；.c=1-a.5 分/(X)=-3x2+2ax=0 的 两 个 根 分 别 为%,=0,x2=y.：f(x)在(0,1)上 是 增 函 数，且 函 数 f(x)在 R 上 有 三 个 零 点,2a 1 口 门 3 r 八*=1,即.7 分-3 2/(2)=-8+4a+(l-a)=3a-7.故 f(2)的 取 值 范 围 为*+8).9 分 3(III)解 法 1：由(n)n/(x)=-x3+ax2+l-G,且”万.1是 函 数/(x)的 一 个 零 点，.1)=0,*g(x)=x-l,二 g(l)=0，1分 3 分,点(1,0)是 函 数 和 函 数 g(x)的 图 像 的 一 个 交 点.10分 结 合 函 数/(x)和 函 数 g(x)的 图 像 及 其 增 减 特 征 可 知，当 且 仅 当 函 数 X)和 函 数 g(x)的 图 像 只 有 一 个 交 点(1,0)时，/(x)g(x)的 解 集 为(-oo,l).f y=x-l,x=即 方 程 组 9(1)只 有 一 个 解 I.11分 y=-x+尸+1 y=o由 一 X3+a x2 4-1-=%-1,得(r3 一)一。(冗 2 一)+(工 一)=o即(x 1乂%-+X+1)_Q(X _1)(X+1)+(X-1)=0.即(1-1)工 2+(-Q)X+(2-。)=0.X=1 或 冗 2+(1 a)x+(2 4)=0.12 分 由 方 程/+(l a)x+(2-a)=0,(2)2 3得=(1一)一 4(2)=+2a 7.,*tz,当(),即/+2。一 7 0,解 得 3。2 0 一 1 13 分 2此 时 方 程(2)无 实 数 解，方 程 组(1)只 有 一 个 解!尢=1.y=。所 以 j。g(x)的 解 集 为(00,1).14 分 3(III)解 法 2：由(n)f(x)=-x3+ax2+l-a,且 5.V 1 是 函 数/(x)的 一 个 零 点/.f(x)=-(x-l)x2+又 f(x)g(x)的 解 集 为(-8,1),/./(x)-g(x)=-(x-l)x2+(1-Q)x+2-Q 0解 集 为 t，ool)0 分 二.冗 2+(1+2-Q 0怛 成 乂 11 分 A=(1-(7)2-4x lx(2-a)0 12 分/.Q+2-7 0/.(a+1)8又 的 取?f i 瓢;扁 为 2 四-1.5 f-272-1 14分 2 2 2)26.（2011广 东 广 雅 中 学 期 末）JI(Vl-x2+x)dx-n nA.7 1 B.2(B)C.+1 D.7T 127.（2011广 东 广 雅 中 学 期 末）如 图 放 置 的 边 长 为 1的 正 三 角 形 P A B 沿 x 轴 滚 动，设 顶 点 A(x,y)的 纵 坐 标 与 横 坐 标 的 函 数 关 系 式 是 y=/（x）,则/（x）在 区 间-2,1 上 的 解 析 式 是（说 明：“正 三 角 形 P 4 3 沿 x 轴 滚 动”包 括 沿 x 轴 正 方 向 和 沿 x 轴 负 方 向 滚 动.沿 x 轴 正 方 向 滚 动 指 的 是 先 以 顶 点 A 为 中 心 顺 时 针 旋 转，当 顶 点 B落 在 x 轴 上 时，再 以 顶 点 S 为 中 心 顺 时 针 旋 转，如 此 继 续.；类 似 地，正 三 角 形 P A 8 也 可 以 沿 x 轴 负 方 向 逆 时 针 滚 动）28.（2011广 东 广 雅 中 学 期 末）某 园 林 公 司 计 划 在 一 块。为 圆 心,R（R 为 常 数，单 位 为 米）为 半 径 的 半 圆 形（如 图）地 上 种 植 花 草 树 木，其 中 弓 形 C M D C 区 域 用 于 观 赏 样 板 地，A O C D 区 域 用 于 种 植 花 木 出 售，其 余 区 域 用 于 种 植 草 皮 出 售.已 知 观 赏 样 板 地 的 或 本 是 每 平 方 米 2 元，花 木 的 利 津 是 每 平 方 米 8 元，草 皮 的 型 洞 是 每 平 方 米 3 元.（1）设/c o o=e（单 位：弧 度），用 e 表 示 弓 形 c M o c 的 面 积 s弓=/（e）；（2）园 林 公 司 应 该 怎 样 规 划 这 块 土 地,才 能 使 总 利 润 最 大？并 求 相 对 应 的 e（参 考 公 式:扇 形 面 积 公 式 S=J 表 示 扇 形 的 弧 长）【解 析】(1)s.=#s i mSt4=/(61)=l/?2(6(-sin61).3 分(2)设 总 利 润 为 y 元，草 皮 利 润 为 月 元，花 木 地 利 润 为 力，观 赏 样 板 地 成 本 为 外%=3(；乃 R2_(R2e),%=gR2sin0.8,j3=1/?2(-sin).2,1,1,1,1,y=月+%一%=3(乃 H-R 田+5 R2 sin 8 万 R 2(G _ sin 6)2.=-/?23-(5-lOsin0).8 分 2设 g(e)=56 10sin。(0,乃).g(6)=5-10cose1-r r8(。)上 遥(。)在 仅 秋)g 上 为 减 函 数；2 3g(e)0,coseLg 在 砧 多 乃 上 为 增 函 数.12分 2 3当。=1时，g(e)取 到 最 小 值，此 时 总 利 润 最 大.答：所 以 当 园 林 公 司 把 扇 形 的 圆 心 角 设 计 成 工 时，总 利 润 最 大.14分 329.(2 0 1 1广 东 广 雅 中 学 期 末)已 知 函 数/(x)=/+b(常 数 女,b w R)的 图 像 过 点(4,2)、(16,4)两 点.(1)求/(x)的 解 析 式；(2)若 函 数 g(x)的 图 像 与 函 数/(%)的 图 像 关 于 直 线 y=x 对 称，若 不 等 式 g(x)+g(x 2)0)g(x)+g(x 2)0+(x 2)x+2 在 xe2,+s）恒 成 立.6 分 X利 用 函 数 y=x+2 2 在 区 间 2,+oo）上 为 增 函 数 可 得 aw 0X.8 分 y=Vx 1 2（3）由 4=%=.9 分 y=3x 3 3由:6 n 瓜-4-6-=0 n x=6 S,-+4+1 2 S j将 x 代 人 a“=2（x S i）=；+12s,i，由 此 原 问 题 转 化 为 I i 2已 知（4 _ 鼻）2=不（1+125,1）且/=1，求。”.11分 J y J又 3,m_；）2=（l+12S“），两 式 相 减 可 得：（。“+$2-（勺 _；）2=（4=（a”+i-；）2=&+=（%+i+4,）（4+1 一%一$=2又，因 为%0,所 以。用%1 二。0 G 0从 而 为 是 以（为 首 项，；为 公 差 的 等 差 数 列，即。“=号.14分 30.(2011广 州 调 研)函 数 g(x)=V 7 7 i 的 定 义 域 为 A xx-3 B.小 一 3 c xx-3 口.卜 卜 4,则 x 的 取 值 范 围 是(-0 0,-2)U(2,4-00)32.（20H广 州 调 研）/（x）=x+（a e、g（x=nx已 知 函 数 x R）,inx.求 函 数（）=/（x）+g（）的 单 调 区 间；必 立 e（2）若 关 于 x 的 方 程-3 为 自 然 对 数 的 底 数）只 有 一 个 实 数 根，求 的 值.（本 小 题 主 要 考 查 函 数、导 数 等 知 识，考 查 函 数 与 方 程、分 类 与 整 合 的 数 学 思 想 方 法，以 及 抽 象 概 括 能 力、推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力 和 应 用 意 识）解:F(x)=/(x)+g(x)=x+In x函 数 的 定 义 域 为（O+8）.a 1x)=1-7+7x2+x-a2X 当=l+4a0,即*W 时，得/+x_q20,则 尸（x）20.二 函 数/（“）在（,+8）上 单 调 递 增.当=l+4a0,即 4 时，令/（x）=。，得 V+x a=0,2分 一 1一 Jl+4-1+Jl+4axx=-0,x7=-解 得 2 2-la0,函 数。在（，+8）上 单 调 递 增.4分 L 1+J1+4alxw 0,-5)若。,则 I 之 J时，(M 00-1+Jl+44函 数（X）在 区 间 I 2 J上 单 调 递 减,f-l+7 1+4 a-,+0 02在 区 间 I,上 单 调 递 增.6分综 上 所 述，当 时，函 数（X）的 单 调 递 增 区 间 为 仅 收）；-1+6+4 当。时，函 数（X）的 单 调 递 减 区 间 为（2 人 单 调 递 增 区 间 为-1+71+4(7-,+0 02I 4 8分 4=x)-2e=x+3-2e 也=/-2ex+解：由 厂，得 X X，化 为 X令 始）Inx,./x 1-lnxV,则 S)=T,令(x)=。得 x=e.当 0cx v e 时，力（工）0；当 时，力（工）0.函 数（X）在 区 间（e）上 单 调 递 增，在 区 间（+8）上 单 调 递 减.h（x/（e）=-.当 x=e 时，函 数（町 取 得 最 大 值，其 值 为 e.10分 而 函 数 加（X）一 2ex+=(x e)+a 当 x=e时,函 数（X）取 得 最 小 值，其 值 为 旭（4=a-e2=a-e+,(,：)=/(x)_2e.当 e,即 e 时，方 程 x-只 有 一 个 根.12分 1433.（2011广 州 调 研）如 图 5,过 曲 线 C：=上 一 点（0）作 曲 线 C 的 切 线,交 x 轴 于 点 2（和）,又 过 2 作 x 轴 的 垂 线 交 曲 线 C 于 点 4（%，弘），然 后 再 过 再，弘）作 曲 线 C 的 切 线 4 交 x 轴 于 点 2（,0）,又 过 2 作 x 轴 的 垂 线 交 曲 线 C 于 点 鸟（，必），以 此 类 推，过 点 匕 的 切 线 与 轴 相 交 于 点 2 出（%+|，再 过 点 2 川 作 轴 的 垂 线 交 曲 线 于 点 月+i（七+|，X,+i）（CN*）.（1）求 玉、及 数 列 乙 的 通 项 公 式；（2）设 曲 线 与 切 线 L 及 直 线 匕+向 所 围 成 的 图 形 面 积 为 S“，求 S”的 表 达 式;（本 小 题 主 要 考 查 导 数、数 列、不 等 式、定 积 分 等 知 识，考 查 化 归 与 转 化 的 数 学 思 想 方 法，以 及 抽 象 概 括 能 力、推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力 和 创 新 意 识）解：由 V=”,设 直 线 1的 斜 率 为 则 k=e直 线/。的 方 程 为=x+l.令）=,得 玉=一 1,2分 片(-1,3 卜=ee e11 1/八 y=（尤+J）直 线（的 方 程 为.e e.令 y=0,得=24分 一 般 地，直 线 的 方 程 为 y-ex e(x-xn)由 于 点 2 川（X+l，在 直 线/上，.加 一 x“=一 1.数 列 尤 是 首 项 为 T,公 差 为-1的 等 差 数 列.当=一”.6分 M 3=+公 不 区 _龙,山）为 二|一 不 先=（e 一）-e-n（2）解：J-5+i）2-（+D 2 2e-2 1=2e e.8 分 T_e-2(1 1 e-2 I”1 e-2 八、2e(3/J 2e.1 2e(e-l)en1(3)证 明：e.10分 1.e”_ e+-e lTn-V-7 x+7=(+)=J.e,x-n nT+i/x+i e 1 1-(e-l)n+e11分 证 法 1：（数 学 归 纳 法）2 当=1 时，显 然(CT)?Qe2 2e-loe?(e-l)+e成 立;3 假 设=%时，（e-DA+e成 立,则 当=女+1 时，e=e-ek e(e-l)上+e,而 e(e.1)Z+e-(e-l)(k+1)+e=(e-(+l)0.e(e-l)k+e(e-1)(&+1)+e.ek+2(e 1)(A+V)+e这 说 明，=&+l时，不 等 式 也 成 立.由 知 不 等 式 丁 当 对 一 切 G N 都 成 立.14分 证 法 2:e“=1+(e-犷=以+C L(e-1)+C：；(e-1产*+Cl+I(e-l)=l+(n+l)(e-l)=(e-l)n+e，不 等 式 x”对 一 切 WN都 成 立.14分 证 法 3:令/=小 一,T)一，则 力=产-(e-1),当 x 0 时，/(x)=e川 一(e 1)e-(e l)=l0,函 数/(X)在(，+8)上 单 调 递 增.当 x 0 时，/(x)/()=V eN,-/()0 即 eM _(e l)_e OT x，+1(l)+e.不 等 式 T,对 切 G N 都 成 立.34.(2011哈 尔 滨 期 末)奇 函 数/(x)在(0,+o。)上 的 解 析 式 是/(x)=x(l x),则 在(一。,0)上 f(x)的 函 数 解 析 式 是(B)A./(x)=-x(l-x)B./(x)=x(l+x)C.f(x)=-x(l+x)D./(x)=x(x-l)35.(2011哈 尔 滨 期 末)已 知 函 数 f(x)=ex-kx(x e R)(1)若 A=e,试 确 定 函 数 f(x)的 单 调 区 间；(2)若 4 0 且 对 任 意 x e R,/(lx l)0 恒 成 立，试 确 定 实 数 4 的 取 值 范 围；n(3)设 函 数 尸(x)=/(x)+/(x),求 证：F(l)-F(2)-F(n)(eB+,+2 p(n e N,)解：(1)f x)=ex-e,令/(x)=0,解 得 x=l当 x e(l,+8)时，/(x)0,二 八)在(l,4oo)单 调 递 增；当 x e(-co,l)时，/(x)0恒 成 立 等 价 于/(*)0对*0恒 成 立 当 x i O 时，f(x)=ex-k,令/(x)=0,解 得 x=lnA(1)当 nA 0,即 A1 时，/(x)在(O,lnA)减,在(lnA,+oo)增 f(x)min=f(n k)=k-k ln k 0,解 得 1A e，,lJt e(2)当 InAWO,即 0 A 4 1 时，/(x)=/-A N O,./(*)在 0,+0,符 合，.0女 1综 上，0 A e+i+2F(2)-F(n-1)=e+i+e-2+e2-n+e-x-n e+2o o o o o oF(n)-F(l)e+i+2n：.F(1)F(2)-F(n)(en+i+2)36.(2011杭 州 质 检)已 知 函 数/(x)的 图 像 如 图 所 示，则/(x)的 解 析 式A.f(x)=x1-21n|x|B./(x)=x2-ln|x|C./(x)=lx l-2 1 n|x|D.f(x)=lx l-ln|x|第 6题 37.(2011 杭 州 质 检)已 知 集 合。=(x,y)|x/?,y s R,例=(x,y)M+|y|v,P=(x,y)y=/(%),现 给 出 下 列 函 数：y=ax y=log“y=sin(x+)y=cos，若 0 l时，恒 有 P c C u M=P，则/(x)所 有 可 取 的 函 数 的 编 号 是(B)A.B.C.D.38.(2 0 1 1杭 州 质 检)已 知 函 数/(x)=x3+/、(|)x2-X,则 函 数/(X)的 图 像 在 2 2(-,/(-)处 的 切 线 方 程 是-27x+27y+4=0.39.(2011杭 州 质 检)已 知 函 数/(x)=ax2+In x(a e R).(1)当 a 时，求/(x)在 区 间 l,e 上 的 最 大 值 和 最 小 值；(2)如 果 函 数 g(x),八(x),/2(x),在 公 共 定 义 域 D