安徽建筑工业学院线性代数期末考试.pdf

线 性 代 数 2007-2008第 二 学 期 一、选 择 题（每 题 3 分，共 15分）1.设 行 列 式 介 a a2 13a2 a2 2 a2 3“31a3 2 433二 3,D5%+2%25。21+2。225“31+2 32。13。23。33，则 的 值 为（(A)-15(B)-6(C)6(D)152.设 4 为 阶 方 阵，N 2,则 卜 5A|=()(A)(-5)|A|(B)(-5)|A|(0 5|A|(D)5|A|四,火，a,，(s2)线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是(J1-|717)/|7可 ABcD上 U/(/|(/z()a1,%均 不 为 零 向 量 四,02,中 任 意 两 个 向 量 不 成 比 例 外,火&s中 任 意 s-1个 向 量 线 性 无 关%,%，a,中 任 意 一 个 向 量 均 不 能 由 其 余 的，-1个 向 量 线 性 表 示 4.设 4=2是 可 逆 矩 阵 A 的 一 个 特 征 值，贝 I J 矩 阵（川 尸 必 有 一 个 特 征 值 等 于)(A)i(B)-(0 2(D)44 25.设 A=(%.)“*“，则 二 次 型/(公,工 2,x“)=(a“X+ai2x2+“招 产 的 矩 阵 为/=1(B)1(C)A Z(D)44r二.填 空 题（每 题 3 分，共 15分）1.设 矩 阵 A=F 2 p=F 则 AP=12 3、2.方 阵 A=2 2 1,则 川=、3 4 3,(1(1)3.已 知 向 量 组 ot=1,a2=-2 a?的 秩 为 2,则 数 t=2 1 1、3 72 V184.设 矩 阵 4=c i b.-4为 正 交 矩 阵，则 4=,b=V182-1 1、3 V2 V18 5.已 知 二 次 型,（尤 1，工 2，/）=（&+1诉+伏-1）考+伏-3）无；正 定,则 数&的 取 值 范 围 为 _三.解 答 题（1 0分）玉+3 x2 x计 算”阶 行 列 式 R:“x x2+3四.解 答 题（14分）4 玉+x2+x3=1当 X 为 何 值 时，非 齐 次 线 性 方 程 组 h+m 2+七=几 有 唯 一 解，无 解，无 穷 Xi+A X3=22多 解，并 求 出 无 穷 多 解 时 的 通 解。五.解 答 题（15分）1-2-1 0 2、设 矩 阵 A=-2 4 2 6-62-1 0 2 3、3 3 3 3 4 求 4 的 秩 R（A）;ty（2）求 A的 列 向 量 组 的 一 个 最 大 无 关 组，并 用 最 大 无 关 组 线 性 表 示 出 向 量 组 中 其 他 向 量。六.解 答 题（1 0分）已 知 3的 两 个 基 为 0)%=0,=1,S3oj b(1、0L求 由 基 1,2，3到 基 1，%，3过 渡 矩 阵 P七.解 答 题（1 5分）0 0 0 r设 A=0 0 1 00 1 0 0J0 00,1）求 A 的 特 征 值 及 其 对 应 的 特 征 向 量；求 一 个 可 逆 矩 阵。，使 得。A Q为 对 角 矩 阵。八.证 明 题（6 分）设 A,8 均 为 阶 方 阵，满 足 484=尸，证 明：R（E+AB）+R（E-AB）=。线 性 代 数（A 卷）20062007学 年 第 二 学 期 适 用 年 级 专 业：06本 科 少 学 时 各 专 业 一、单 项 选 择 题（每 小 题 4 分，共 16分）1、下 列 行 列 式 恒 等 于 零 的 是 0 0ai3 0an ai2 0 0 ai ai2 a3 a4(A)0 a220 0(B)%o o o(C)0 0 4 3。24(D)0 0 a340 0%3 a34 0 的 3%4a4 1 0 0 0 0 a43。必 0 0%3 440 0 a3 a40 0。23a2 4“31a3,20 0。41a4 20 02、设 A 是”阶 矩 阵，且|A|=0,则 门 0 0、(A)A 的 列 秩 等 于 零(B)A 中 必 有 两 个 列 向 量 对 应 成 比 例(C)A 的 任 一 列 向 量 可 由 其 他 列 向 量 线 性 表 示(D)A 中 必 有 一 列 向 量 可 由 其 他 列 向 量 线 性 表 示 3、已 知 矩 阵 A 相 似 于 对 角 矩 阵 A,其 中 A=0 2 0,则 下 列 各 矩 阵 中 的 可 逆、0 0 3）矩 阵 为（A）E+A（B）E-A（C）2E-A（D）3E-A 答:（）4、设 Ax=b是 一 非 齐 次 线 性 方 程 组，人 仍 是 其 任 意 两 个 解，则 下 列 结 论 错 误 的 是（A）用+%是 的 个 解（B）+；%是 Ax=6的 个 解（C）7-是 Ax=0 的 一 个 解（D）2 7 2是 王=。的 一 个 解 答（）二、填 空 题（每 小 题 4 分，共 1 6 分）1、设 A 为 二 阶 实 对 称 矩 阵，且|A|=-6,如 果 A 的 一 个 特 征 值 4=2,则 A 的 另 一 特 征 值%=.2、设 a 为 方 阵,满 足 A?A _ 2E=0,则 A-=.1 2 0 0、3、设 A=2 5,则 1=0 0 1-1-、0 0 1 0,-1 1/2-1、4、设 实 对 称 矩 阵 4=1/2 0 3 是 二 次 型 冷,七）的 矩 阵，则 二 次 型 1-1 3 2,三、解 答 题（本 题 12分）3 0 0、设 矩 阵 4=1 4 1,已 知 A8=4+2 8,求 B.3 0 3,四、解 答 题（本 题 1 2分）设 A为 3阶 矩 阵，A*为 A 的 伴 随 矩 阵，且 I A I=-2,求 行 列 式 1己 4）-|的 2值.五、证 明 题（本 题 12分）设 3 维 列 向 量 必=（13 2）%=（3,2,1尸，%=（-2,-5,1）,=（4,11,3）证 明 向 量 产 可 由 向 量 组 线 性 表 示.六、证 明 题（本 题 12分）设 仇=q,b2=a+a2,d.=4+4+凡，且 向 量 组 q,%,外 线 性 无 关，证 明 向 量 组 伉 也，也 线 性 无 关.七、解 答 题（本 题 20分）-2 2 2设 矩 阵 A=2 1 4,求 正 交 矩 阵。，使 为 对 角 矩 阵.2 4 12006 2007学 年 第 一 学 期 考 试 课 程 线 性 代 数（A 卷）班 fib 学 号 I I 2 3、2、已 知 A=2 3-5,则 矩 阵 A的 秩 R（A）为（）一、单 项 选 择 题（每 小 遨 3分，共 15分）all 012 flI J4ali 2|-M i f lu1、若。=a2 i an a2 J=l,D,=J/l 2。2 1-必 2 2 a2 J,则 a=（）Oj2 a3 1船 1“2au-i an an(A)8：(B)-1 2：(C)2 4：(D)-2 4【4 7 1 J（A）1：（B）2：（C）3：（D）4.3、设 儿 8 是 阶 方 阵，满 足 等 式 A8=0,则 必 有（）A A=0 或 S=0：B）A+B=0;（C）同=0 或 网=0；（D）|,4|+|i?|=0.4、设%”是 n 阶 可 逆 矩 阵，A是 a 伴 随 矩 阵，则（）.（A）卜 1=同，（B）|Y|=|.A|：（C）H 卜 同：；（D）p|=|.A|.5、已 知 小 应 为 方 程 组 Ax=两 个 不 同 解,%,%为 辰=0基 础 解 系,为 两 任 意 常 数,则 Ax=通 解 为（）（A）尢 监+%）+3（%-%）+：（B）氏+鱼）+心 血 一 角）+（C）+&?（4+fi2）+%；%（D）勺 6+%）+,%-%）+,二、填 空 题（每 小 题 3 分，共 1 5 4）1、设 a=（2.29.户=（1.2.2=（2.2/线 性 相 关，则 t=.2、若 向 量 组 5.%与 向 量 组 都 线 性 无 关，则 常 数/与 m必 满 足 关 系 式 3、设 A=a1M2。3）为 正 交 阵，则 2alla|-3 a j a 尸.4、设“元 齐 次 线 性 方 程 组 七+2+.皿.=0,则 它 基 础 解 系 中 含 向 量 的 个 数 为 u5、三 阶 方 阵 A 的 特 征 值 为 2,1,-5,则 行 列 式 p止 1 2 3 4三、（木 遨 1 0分）计 算 行 列 式：D=2 3 4 3 4 1 24 1 2 3f 0 1、四、（本 题 1 0分）设 A和 8 都 是 3 阶 方 阵 A8+=T+8,若 A=0 2 0，求 3.1取 何 值 时，此 方 程 X i+.t2+（1+A）xj=AC l）有 惟 一 解：（2）无 解：（3）有 无 限 多 个 解？并 在 行 无 限 多 个 解 时 求 其 通 解.七、（本 题 1 0 分）在 线 性 空 间 M 中 给 出 两 组 基 力=（g）y；，2=（o,LO）；，j=（U）,i 及 7=（2,0.一/；力=（1 2-2 9;力=（2.1（1）求 由 基/M/到 基 力.7.明 过 渡 矩 阵 尸（2）若 向 量 a 在 基 4%F坐 标 为（2 2-2）1 求 a 在 基/巴 卜 的 坐 标.八、（本 胆 1 5分）设 实 次 型 2xjX?2、1马+2勺 工 1（1）将 二 次 型 用 矩 阵 形 式 表 示：（2）求 正 交 变 换、=小，化 二 次 型/为 标 准 版（3）求 该 二 次 地 在=l时 最 小 值，并 证 明 你 的 结 论.线 性 代 数(B卷)2 0 0 6-2 0 0 7学 年 第 一 学 期 一、单 项 选 择 题(每 小 题 3分，共 15分)1、已 知 向 量:组 叫=(L234，%=(2345,a.=(3.4.5.6r,%=(456.7，则 该 向 量 组 的 秩 为 _(A)1：(B)2：(C)3：(D)4.2、设.工 8 是“阶 方 阵，则 必 有(A)4+回=同+|闿：(B)AB=BA(C)M=|SA|:(D)+3、设 元 齐 次 线 性 方 程 组 AX=0的 系 数 矩 阵.4的 秩 为 一 则 4X=0仃 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是 f A)r=n：1 B)rn：n4、若 是 某 非 齐 次 线 性 方 程 组 两 个 解 向 量，则(A)%+%是 它 的 解 向 量(B)%-%是 它 的 解 向 量(C)%+%是 其 对 应 齐 次 方 程 组 的 解 向 量(D)%-%是 其 时 应 齐 次 方 程 组 的 解 向 量 5、设 A 为“(42)阶 可 逆 矩 阵，A为 人 的 伴 随 知.阵，则(H=(A)卜。(B)(C)A(D)二、填 空 题(每 小 题 3 分，共 15分)3 0 0、1、已 知 A=0 4 0,则*=、。2、设 a=(2.L2)r/=(L2,2)r,y=(2.2j 线 性 相 关，则 t=.3、设 四 阶 方 阵 A 的 4 个 特 征 信 为 3,1,1,2,则 行 列 式 卜 卜 4、：次 斗!/(七.勺.%=一 乂：+x(x2+2x；-X；的 知 阵 是 5、在 线 性 空 间 片 中 给 出 两 组 基/=(1,0.0fq=(0,L0)=(1.0.1)r:%=(2.0.-l：lrj?2=11.2-2.,=(2.1.1/则 由 基 到 基 吊 刀 2，%过 渡 矩 阵 尸=3 1 1 1三、(本 题 10分)计 算 行 列 式：0=3 1 11 1 3 11 1 1 3四、（本 题 1 0分）设 A=（3 2 2 8=（1 2 3）,求 A S,BAX,+x2-x3-x4=0五、（本 题 1 5分）求 齐 次 线 件 方 程 组 2玉-5勺+3马+2 q=0的 基 础 解 系 与 通 解 7x.-7叼+3x3+x4=01.|+.r2+x3=1六、（本 题 1 5分）问；I取 何 值 时，线 性 方 程 组 玉+居+盯=4,.5+x2+&tj=A2（1）有 惟-解：（2）无 解：（3）有 无 穷 多 个 解？0-1 r七、（本 题 1 5分）设 4=-1 0 1.求 一 个 正 交 阵 尸，使 尸 t”为 时 用 阵.J i o.八、（本 题 5 分）设.心 是 一 组 维 向 量，已 知“维 单 位 坐 标 向 量 2.能 由 它 们 线 性 表 示，证 明 q,.心 线 性 无 关.微 性 代 数(A)2006 2007学 年 第 一 学 期 一、选 择 题(每 题 3 分，共 1 5分)1.下 列 运 算 错 误 的 是()(A)6+8广=万 5(B)(kB)T=kBT(C)(A+B)三 B+AT(D)(AB)B A-12、设 A,A 分 别 为 阶 方 阵 人 的 伴 随 阵、逆 矩 阵，则 卜 A 等 于()(A)同。(B),厂(C)外 厂(D)同 23.设 m n,矩 阵 行 向 量 组 线 性 无 关，b 为 非 零 向 量,则()(A)Ax=b 仃 唯 一 解(B)Ax=b 无 解(C)Ax=0 仅 仃 零 解(D)Ax=0有 无 穷 多 解 4.卜 列 不 能 相 似 于 对 角 阵 的 矩 阵 是()(A)22 1、0 33 bf(B)0*1)fl 0 0、3(C)2 2 05j 13 3 3,(D)0J0 0、2 23 L05.已 知 A是 4 阶 知.阵，A,是 A 的 伴 随 矩 阵,若*的 特 征 值 是 1,-1,2,4,则 不 可 逆 的 矩 阵 是：(A)A-E(B)2A-E二.填 空 题(每 题 3 分，共 1 5分)(C)A+2E(D)A-4E1.1 1 2 1-1 1 1 22.在 五 阶 行 列 式 中，项 的 符 号 取 3.已 知 向 量 组%=(L2.-L1)，a,=(2.0J.0).a、=(O.T.5.-2)的 秩 为 2,则/=4.将 二 次 型 f(x,y,z)=x2xy+4xz+尸+2yz+z2川 矩 阵 记 号 表 示 为：.5.线 性 变 换 T 在 基%下 的 矩 阵 为”，,21 则 T 在%?卜 的 矩 1121 a 阵 为：_ 1 0 0(0 1 1、三.(10 分)A=I 1 o B=1 o 1 矩 阵 X 满 足 AXA+BXB=AXBJ IJ V I+BXA+E求 知 阵 Xpy（12分）求 卜 列 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组 和 秩。%=(1.-1 2 4).%=(O.3.l.2)r.a,=(3.0.7.14 f.%=(I.-1.2,0).a,=(2.1 5 6)Xv（+x2+.tj=1五.（15分）当 4 为 何 值 时，方 程 组 x,+；lq+x,=4无 解，有 唯-解 和 无 穷 多+.q+瓯=T解。并 求 出 无 穷 多 解 时 的 全 部 解 六.（12分）在 大，中，求 由 基%a.a3并 求 向 量 a 在 基 港 岛 岛 民 9的 叁 层。,到 基 华,岛 民 的 过 渡 矩 阵 P.0-1 r七.（15分）已 知 A=-1 0 1、1 7 求 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量 求 正 交 矩 阵 P，使 得 P，尸 为 对 角 矩 阵八.证 明 题(6分)设 A,B 均 为 n 阶 方 阵，涡 足 ABA=B H 证 明:R(E+AB)+R(E-AB)=n微 性 代 数(A)2006 2007学 年 第 一 学 期 一、选 择 题(每 题 3 分，共 15分)1、设 是(“2 2)阶 方 阵，则 必 有(A)|A+E|=|A|+同 I I 则 耶 间 2.设 A 为 3 阶 矩 阵，|川=:(A)-(B)-4 8(B)|A8|=|BA|(D)|.4-fi|=|fi-.4|求 卜 卜(C)1(D)163.设 或 n,矩 阵 Ai 行 向 量 组 线 性 无 关，b 为 非 零 向 星，则()(A)Ax=b有 唯 一 解(B)Ax=b无 解(C)Ax=0仅 有 零 解(D)Ax=0有 无 穷 多 解 勺 2 I、4.已 知 A=3 1 5 求 矩 阵 A 的 秩=()、3 2 3(A)l(B)2(03(D)45.已 知 A 是 4 阶 矩 阵，A.是 A 的 伴 随 矩 阵,若 T 的 特 征 值 是 1,-1,2,4,则 不 可 逆 的 矩 阵 是：()(A)A-E(B)2A-E(OA+2E(D)A-4E二.填 空 题(每 题 3 分，共 15分)2.设 A=(：；)则 染=3.方 程 组 有 非。解，则 4=_X,+AX2=04.已 知 矩 阵 A=-2 x-2 与 4=-4 相 似，求 x=1-2 1J I 5.将.次 型 f（x,y,z）=x2+2xy+4xz+y，+2yz+z2用 矩 阵 记 号 表 示 为：2 0三.（1 0分）A为 三 阶 矩 阵，E是 三 阶 单 位 阵，已 知 AX=2X+A,A=0 4、2 02、09求 X四.（12分）求 下 列 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组 和 秩。a,=（L-I.2.4f.ttj=（0.3.1.2）r.a,=（3.0.7,14）1%=（l.-l.2.of.a,=（24.5,6）五.（1 5 分）求 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解。-X,+X,-=1-x,-x,+x4=0玉-x2-2x,+2 X4=-1/2蓊 斓 露 布 露 智 野 航 段%到 基 4 i.,的 过 睚 阵 P，0-1 r七.（1 5 分）已 知 A=-1 0 1、I I%求 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量 求 正 交 矩 阵 P，使 得 P T.V 为 对 角 矩 阵八.证 明 题(6 分)设 A,B 均 为 n 阶 方 阵，满 足 A B A=B 证 明:R(E+AB)+R(E-AB)=n线 性 代 数 B卷 2006-2007学 年 第 一 学 期、单 项 选 择 题（每 小 题 4 分，共 1 2分）（A）6（B）-6（C）-36（D）36答（）2、设 4 是 EX”矩 阵，齐 次 线 性 方 程 组 AX=0仅 仃 零 解 的 充 分 必 变 条 件 是.4的 列 向 量 线 性 无 关（可 工 的 行 向 量 线 性 无 关（G 八 的 列 向 量 线 性 相 关 A 的 行 向 量:线 性 相 关 答（）3、设 AX=6是 一 非 齐 次 线 性 方 程 组，7,必 是 任 意 两 个 解，则 卜 列 结 论 错 误 的 是（A）T J,+%是 AX=0 的 一 个 解（8）%+：%是 AX=b 的 一 个 解 0%-%是 A X=0的 一 个 解（。）物-%是 AX=b的 一 个 解 答：（）二、填 空 题（每 小 题 4 分，共 1 2 分）2 I 0、1、设 矩 阵 八=1 2 0,矩 阵 B满 足 八 84.=2 m.+，其 中 d 为 4 的 伴 随 矩 阵,、0 bE是 单 位 矩 阵，则 网=.2、设.A为 3 阶 方 阵，其 特 征 值 为 1，2 3,则 同=，atl+c/12+a.f-i/2 r3、设 实 对 称 矩 阵 A=1/2 0 3 是 二 次 型 的 矩 阵，则 二 次 型 J 3 2,f（A，x”xJ 为.三、证 明 题（木 题 12分）设”阶 方 阵.4满 足 T-2 4-5=0,试 证 A+E可 逆,并 求.A+E的 逆 矩 阵.四、解 答 题（本 题 12分）设 3 维 列 向 量 理 工（1+乐 L D,0a=（L l+4,D L a,=（1JJ+A）r,fi=（0.3,1/,问 4 取 何 值 时，（1）户 可 由 线 性 表 示 且 表 达 式 唯 一（2）可 由%.%.a、线 性 表 示 且 表 达 式 不 唯 一（3）户 不 能 由%,%.里 线 性 表 示.-2_,4设 矩 阵.4=；.2-I3 3五、解 答 题（本 题 16分）-I 0 2、2 6-60 2 33 3 七 求（1）A的 秩 R（A）（2）A的 列 向 量 组 的 一 个 最 大 无 关 组，并 用 最 大 无 关 组 线 性 表 示 出 组 中 其 他 向 量.六、解 答 题（本 题 16分）求 线 性 方 程 组 x,x2+5.Vj-=0玉+3x 9x,+7x,=0的 基 础 解 系 与 通 解.xB+x2-2X5+3 X4=0一 x2+8x,+x4=0七、解 答 题（本 题 2 0分）f 2-2 0、设 矩 阵 A=-2 1-2,求 正 交 变 换 丁，使 为 对 ff1阵.一 选 择 题(每 题 3 分 共 15分)1 设 人 淖 均 为“阶 矩 阵，则()(A)|八+回=同+怛|(B)AB=BA(c)=(D)|.4fi|=|B|,4|2 设.1.C均 为 阶 方 阵，E 是 阶 是 单 位 阵，若 八 相=则()(A)BCA=E(B)ACB=E(C)B A C=E(D)CBA=E3=0表 示 平 面 上 三 条 不 同 的 直 线(i=L2.3),如 果 三 条 直 线 相 交 于 一 点，则 它 们 组 成 的 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 秩 和 增 广 矩 阵 的 秋 为()lxrABcD/系 数 矩 阵 的 秩 为 1.系 数 矩 阵 的 秩 为 1,系 数 矩 阵 的 秩 为 2,系 数 矩 阵 的 秩 为 2,增 广 矩 阵 的 秩 为 1增 广 矩 阵 的 秩 为 2增 广 矩 阵 的 秩 为 2增 广 矩 阵 的 秩 为 34 卜 面 的 陈 述 中，正 确 的 选 项 是()5(A)向 量 组 中,(B)向 量 组 中,(C)向 量 组 中,(D)向 量 组 中,整 体 向 量 线 性 相 关,部 分 向 量 线 性 无 关,整 体 向 量 线 性 无 关,部 分 向 联 线 性 相 关,卜 列 的 命 题 中，正 确 的 命 题 选 项 是(则 部 分 向 量 必 线 性 相 关 则 整 体 向 量 必 线 性 无 关 则 部 分 向 量 必 线 性 相 关 则 整 体 向 量 必 线 性 相 关)(A)两 个 正 交 矩 阵 的 乘 积 仍 为 正 交 矩 阵 两 个 相 似 矩 阵 具 有 相 同 的 特 征 值 两 个 合 同 矩 阵 具 有 相 同 的 行 列 式 两 个 对 称 矩 阵 的 差 仍 为 对 称 矩 阵(燧(g)(C)(瀚(D)()二 填 空 题(每 题 3 分 共 15分)1.A 为 个 4 阶 方 阵，且 同=2,则 忖 卜 _2 A 为 矩 阵，则 襄 性 方 建 211.X 1 解 的 充 分 必 要 条 件 为 f 0 0、3 设 A=0 2 0、。3,T o o、B=0 1 0 则(A”=0 3 I,4 向 量 组=(T27)r,%=(2.L1)，a,=(1.2j)r.若 向 量 组 名.%.%线 性 相 关 那 么/=.5 设/.4.*；)=M+父+父+2中 1-488，则：次 型/的 和.阵 为 三 解 答 题(本 题 20分，每 小 题 10分)I 3 41.求 行 列 式 0 2 1的 值.-1-3 3f 0 1、2.已 知 A=0 2 0,且 满 足 AX+E=T+X，求 X.其 中 E为 3 阶 单 位 阵.J 0 b四 解 答 题（本 题 1 5 分）-2.+与+x,=-2已 知 线 性 方 程 组,x,-2%+x,=4,问 4 为 何 值 时，方 程 组 无 解？方 程 组 有 解?玉+x2-2.V j=A2并 求 出 它 的 通 解.五 解 答 题（本 题 1 0 分）x-2 x-1 N-3解 方 程 2 x-2 2 x-l 2A-3=03x-3 3 x-2 3x-5六 证 明 题（本 题 1 0 分）设 3 维 列 向 量%=（1.3.2）,%=（3.2），a,=（-2.-5.l），=（4.11.W，试 判 断 向 量 Q是 否 可 由 向 量 组%.%.线 性 表 示.若 可 以，求 出 相 应 的 表 达 式.七 解 答 题（本 题 1 5 分）r2 r设.4=1 2 I,1 1 2（1）求.4的 特 征 值 及 其 对 应 的 特 征 向 量。求 一 个 可 逆 矩 阵 尸，使 得 尸 X P为 对 角 矩 阵.钱 性 代 数 B（A卷）07-08（第 二 学 期）参 考 答 案 及 评 分 标 准.选 择 题(每 题 3 分，共 1 5分)(1)C(2)A(3)D(4)A(5)C二.填 空 题(每 题 3 分，共 1 5分)1 3-2、(1)P J(2)-3/2-3 5/2(3)-2I 1 1.I三.解 答 题(1 0分)1%-X 2斛：0=I 马+3 xB(4+&+x.+3).:1%&+31 U 90 3 x=(x1+x1+-x,+3).1 0 0-3=3一 点,+3)(4)a b=O(5)k 33（5 分）.(8 分)(10 分)四.解 答 题(14分)1 1 II A A=(2+4)(A-l)5*01 1 TA#-2 II.4*I解。当 A=-2 时，解。当；1=1时，A Jo 0(0 0解。.(1 0分),（4 分）时，方 程 组 有 唯 一.（6 分）R.方 程 组 无.（8 分）r0 0,；R 而=R（Q=13,.方 程 组 有 无 穷 多 0,(14 分)五.解 答 题（15分），100J-2300-I20002302、-I-I0（4分）（1）/?（.”=3（6分）（2）记 1=（叩,4,吗，4）,1 的 列 向 星 组 的 展 大 无 关 组 含 3个 向 量。巴 巴 是.4的 列 向 量 组 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组。（4 必.4 或 6.巴 巴 或 4 必.4 均 可）.（10分）为 把%.%用%线 性 表 示，把,再 变 为 行 最 简 矩 阵 r 0 1/3 0 16/9、/0 1 2/3 0-1 一，0 0 0 1-1/3、0 0 0 0 0）记 8=他 也，仇 也 也）由 于 方 程 加=0 与 反=0 同 解，因 此 向 量 之 间 与 向 量 a也 也 也 之 间 有 相 同 的 线 件 关 系.故%=9,+=%16 1 1a=Ta_ 7U l-Ia六.解 答 题（10分）解：1 1 1 1血/J t 0-1-I Ik0-2 0 0（6 分）2 3 4、二?=0-1 0、-1 0-b（15 分）（10 分）七.解 答 题（1 5分）-1 0 0 1解：由 卜”4目=:;I 0 0-A求 得 A的 特 征 值 为 4=4=1.4=4=-.（6 分）I 4=4=1,解 方 程 组，A-E）x=0得 到 基 础 解 系 r-i0 0 1(0o-T1 1 1.4-=0-1 1 0 0 1-1 00 I-1 0f0 0 0 Iu 0 0-110 04=4=1对 应 的 全 体 特 征 向 量 为 44+4&（、.人 不 同 时 为 0）(9分)fU=-1.解 方 程 组 Y+Q x=O0 0 0 1、“1 0 0 1、0 1 1 0 0 1 1 0由 A+E=-0 1 1 0 0 0 0 0j o o L&0 0 0,得 到 基 础 解 系 Z n X+人 4&氏 不 同 时 为 0).(12 分)4=4=1 对 应 的 全 体 特 征 向 I让 为 0 i o-Tr 0 0 0、（2）存 在 可 逆 矩 阵 0=1 0-1 0，使 得。3。=0 1 0 0.(15 分)1 0 1 0 0 0-1 0、o I o Lk0 0 0-1八.证 明 题(6分)证 明：(：+W-.A 8)=E-ABAB=0R(E+.B)+R(E-AB)nR(E+AB)+R(E-AB)=n.（3 分）-（5 分）（6 分）0 6-0 7学 年 第 二 学 期 线 性 代 数 期 末 考 试 A卷 参 考 答 案、单 项 选 择 题（每 小 题 4 分，共 1 6分）解 法 一：因 为 A3=A+2 3,所 以(A-2E)B=A,故 8=储-2)A.(4 分)l.C 2.D 3.A 4.A二、填 空 题（每 小 题 4 分，共 1 6 分）,5-2 0 0、c c 1 一-2 1 0 01.3 2.-(A-E)3.0 0 0 14.x j+.t|X2+2-tgXj+6 X2X,+2x2、0 0-1 1,三、解 答 题（本 题 12分）U 0 0、A-2 E=1 2 1 V 由、2 0 I,rl 0 0 1 0 0、r 01 2 1 0 1 0-0 2、2 0 I 0 0 170 0可 知(A-2 E)=1/2 1/2 2 00-2解 法 二.B=(A-2E)A进 而-2。A=1/2.(12 分)(4 分)r 3所 以 E=(A-2 E)4=I0 3 0 00 2 4-21-4 0 3,0 0、2-I0 3,（12 分）四、解 答 题（本 题 12分）解：（1.4）-.A=2A,-l.4 IA.（4 分）2=（2-1 4 IM=4A.（6 分）故|（!川，-八 J=I4.41=4 M l1.（9 分）=4-（-）=-3 2.（12 分）2泞:花 将（L=3，且 以 卜.步 骤 都 正 确，则 得 8 分.2 2五、证 明 版（本 题 12分）证 明:设 有 数 人 冉,用,使 得=4%+人 4+&仔，.（3 分）由 此 可 得 线 性 方 程 组 14-31,-21,=43人+”工-5&=1.（6 分）24+&+*】=3对 此 方 程 组 得 增 广 矩 阵 施 以 初 等 行 变 换，可 得 rl 3-2 4 0 1 0 0Q i 1 3）o 0 1 一 1,求 得&=2.&=0.4,=-1所 以，Q=2a,+0%-%,Q可 由 向 量 组 生.多 线 性 表 示.（12分）六、证 明 题（本 题 12分）解：设 有 4,使 得 3+3+&也=。klal+kJ（al+a2）+-kr（a,+a2+ar）=O.（4 分）化+&+&.4+（A?+A.）4+,ar=0 9V q.%，a,线 性 无 关、+，+/,=0kf=0kt=人=&,=0，4也.他 线 性 无 关.（1 2 分）七、解 答 题（本 题 20分）解：矩 阵 A的 特 征 多 项 式 1+2-2-2 1A+2-2-2|1 E-4|=-2 4-1-4=-2 A-1-4-4 0 4 3 4+3A+2-2-2=(A+3)-2 A-1-4=(A+3)I(1-60-I I所 以 的 特 征 值 为 4=-3(二 重)4=6(一 重).(6分)对 于 4=-3,解 齐 次 方 程 组（-3 E-A）x=0,得 其 基 础 解 系 r_2,一 2、%=1,%=o.(0 J(1对 于 4=6,解 齐 次 方 程 组(6E-A)x=0,得 其 基 础 解 系（10 分）a,=2,（1 2分）把 向 量 组%.%正 交 化，有（15 分）再 将 向 量 A应 单 位 化，得-2,3后 对 于 a,=2，只 需 单 位 化,有 HI（18 分）5#令 矩 阵。=(/,)=有 o-3 0 0、A=0-3 0、。0 6 则。=A.-2/3 7 5”3、-4/35/5 2/35/3 2/3,(20 分)钱 性 代 数（A卷）2 0 0 6-2 0 0 7学 年 第 一 学 期 答 案 适 用 专 业 05通 缶 1 2,0 5电:1 2 3 4,0 5城 建 电 厂 12、单 项 选 择 题（每 小 题 3分，共 15分）1（B）:2（a）：3（c）：4（a）：二、填 空 题（每 小 题 3 分，共 1 5分）5（D）:1.2.”+1*0 3.234.-1 5.-80.（5 分）=10 x（-l|（10 分）四、由 AE+h T+S 得 A B-B=A2-E（H-E）B=（A-E）（A+E）（5 分）9 0 I.|.4-E|=9 1 0=-l#01 0 0.A-E可 逆（7 分）2 0 1：8=八+E=0 3 01 0 2五（10 分）1 4 2 01 4 1 2-T0 1 3-1-0 1 3-1、0 1 3 f/?（直 仔 凡）=2（10 分）/.a,，%即 为 该 向 量 组 的 一 个 最 大 无 关 组（注：向 量 组 的 最 大 无 关 组 答 案 不 惟 一）1+A.六(A.b)1 1 1+40 1-1(1)(2)(3)、0 A-4(2+4)当/t w o且 4 W-3时,1 1 0、1+A 1 31 l+A3-1 川 I+R)0 A、0 0j+al+A-AA1 3+AI1 1+4 A1+1 I 3 3,X、3 7(1)(3+礼（6 分）/?（.!）=R（A.b）=3，方 程 组 有 惟 一 解:当 4=0 时,/?I.A 1=I 2，方 程 组 无 解：r当 3时,贝 4）=敏 4=2,方 程 组 有 无 限 多 解，(8 分)(10 分)(12 分).这 时，(A.b)0-3、0 0-2-3、3 60 0,f o-i-r0 1-1-20 0 0 0,由 此 使 得 通 解 _；（与 可 任 意 取 值）即，(t-e/?)（15 分）2、七（1）仇.%.7）=（，,必 必）即 02i o r0 1 0/=0*f30(2)000323、200-I 00 1一，f20人 U 10 0 U（5 分）-2）由 坐 标 变 换 公 式 得 EH1.1（10 分）(0 I-A 1)f(xl.xi,xi)=(.r|X2.tjj 1 0 1l-l I 0（3 分）r0 1（2）二 次 型 矩 阵 A=I 0-1 1 0,-A IA-AE=I-AI 0-X 1-AI 1-A=(1-A)01 T I-2 1+A 0=U-1 1=(A-1 X-4(1+A)+2)=-(A-1)J(A+2).A 的 特 征 值 为：1,=A,=1;A,=-211 A,=4?=时 解 方 程(A AE)x=0（6 分）A-A E=00-1 ro o0 0,将 小.小 单 位 化 得 得 基 础 解 系:4=1 4-r0（9 分）将 4,4 正 交 化 得 7当=-2时，解 方 程（A+2芭 卜=0A+2E=2 1-r1 2 1 I I 2,-1-2)(-1-2 1 p 0-2 1 Ii-J o I I，*0 1 11-I)(0 0 0 J(k0 0 0；得 基 础 解 系：4,=-1：单 位 化 得 Pi一 _1（10 分）2U J卢 得 到 正 交 知 阵 尸“620所 求 止 交 变 换 x=/y 得=：+）,；-2工；（3）由 M+x；+*=y x=。，故 巧 卜 卜 1时，卜 卜 1，故 父+4-2 2-2（）7+V j+.V；）=-2（12 分）且 当 升,0、2=0,3=1时，等 号 成 立，此 时 x=P 0即 当 x取 为 A 的 届 J 最 小 特 征 值-2 所 对 应 的 特 征 向 量 时,二 次 型 值 为 最 小.（1 2分）能 性 代 数(B卷)2 0 0 6-2 0 0 7学 年 第 一 学 期 适 用 专 业 0 5通 俗 12,05电 子 1234,05城 建 电 子 城 5(c)：共 1 5分)、单 项 选 择 题(每 小 题 3分，共 15分)1(B):2(C)：3(B)：4(D)：二、填 空 题(每 小 题 3 分,2022000 5.3 3 3、0 2 I-I-2 L(6 分)(10 分)令 Q C 则 对 应 有即 得 底 础 解 系 媒=六、解:ooA-l 1-Ai-A i-aJ2、77(.2)=1由 此 写 出 通 解(r,.c2 E R)0 1-10 0A 产 1 1矛、A-A2T j274701-A-U+ZX A-I)（12 分）（15 分）T、A-A1(9 分)(1)(2)(3)W-2且；IW 1时，穴（A|=R（.工 b1=3，方 程 组 有 惟 一 解；.（11分）当 4=-2 时,/?（A）=1,R（A.b）=2,方 程 组 无 解；当 4=】时，1?=3 2,方 程 组 有 无 限 多 解.(13 分)(15 分)七、解:-A口 一 洱=-11-1 0=-1 1 41 2 7的 特 征 值 为：:-A 1I-X0