高考数学（真题+模拟新题分类汇编）概率理.pdf

概 率 K 1 随 事 件 的 概 率 16.Il,KI,K2,K612013 北 京 卷 下 图 是 某 市 3 月 1 日 至 14日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图，空 气 质 量 指 数 小 于 100表 示 空 气 质 量 优 良，空 气 质 量 指 数 大 于 200表 示 空 气 重 度 污 染.某 人 随 机 选 择 3 月 1 日 至 3 月 13日 中 的 某 一 天 到 达 该 市，并 停 留 2 天.-oooooO252015105空 气 质 量 指 数(1)求 此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染 的 概 率；(2)设 X 是 此 人 停 留 期 间 空 气 质 量 优 良 的 天 数，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望；(3)由 图 判 断 从 哪 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大？(结 论 不 要 求 证 明)16.解:设 A,表 示 事 件“此 人 于 3 月 i 日 到 达 该 市”(i=L 2,，.根 据 题 意，P(AJ=白,且 居 CA产(i#=j).设 B 为 事 件“此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染”，贝 I JB=A 5 U A S.2所 以 P(B)=P(A5U A8)=P(A5)+P(A8)=i J.由 题 意 可 知，X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,旦 P(X=1)=P(A：jU AUATU AH)4=P(A3)+P(A G)+P(A7)+P(A n),P(X=2)=P(A1UA2UA12UA13)4=P(Ai)+P(A2)+P(Ai2)+P(Ai3),L J5P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=大.所 以 X 的 分 布 列 为 5 A 4 19X 0 1 2P5 4 4故 X 的 期 望 E(X)=0 X+1 X+2 X=10 10 10 1 o(3)从 3 月 5 I I开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大.K 2 古 典 概 型 9.K2 2013 湖 北 卷 如 图 1一 2 所 示,将 一 个 各 面 都 涂 了 油 漆 的 正 方 体,切 割 为 125个 同 样 大 小 的 小 正 方 体，经 过 搅 拌 后，从 中 随 机 取 一 个 小 正 方 体，记 它 的 涂 漆 面 数 为 X,则 X 的 均 值 E(X)=()126A-125B-5168 7CT25 D5图 1一 29.B 解 析 X 的 取 值 为 0,1,2,3 且 P(X=O)=砧，P(X=1)=；,P(X=2)1ZO 1ZO/8 山/、27,54.36 1 8 6、P(X=3)=砧，故 E(X)=0Xy+lX砧+2 X 赤+3 义 定=三，选 B.7.K2 2013 江 苏 卷 现 有 某 类 病 毒 记 作 X X,其 中 正 整 数 m,n(mW7,nW9)可 以 任 意 选 取，则 m,n 都 取 到 奇 数 的 概 率 为 207 解 析 基 本 事 件 共 有 7X9=63种，m 可 以 取 1,3,5,7,n 可 以 取 1,3,5,7,9.所 以 m,n 都 取 到 奇 数 共 有 20种，故 所 求 概 率 为 忘.6316.Il,KI,K2,K612013 北 京 卷 下 图 是 某 市 3 月 1 日 至 14日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图，空 气 质 量 指 数 小 于 100表 示 空 气 质 量 优 良，空 气 质 量 指 数 大 于 200表 示 空 气 重 度 污 染.某 人 随 机 选 择 3 月 1 日 至 3 月 13日 中 的 某 一 天 到 达 该 市，并 停 留 2 天.oooooO252015105空 气 质 量 指 数 22014337/2 5 广 翁 日 期 图 16 求 此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染 的 概 率；设 X 是 此 人 停 留 期 间 空 气 质 量 优 良 的 天 数，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望；山 图 判 断 从 哪 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大？(结 论 不 要 求 证 明)16.解：设，表 示 事 件“此 人 于 3 月 i 日 到 达 该 市(i=L 2,13).根 据 题 意，P(Ai)且 AiCAj=(iWj).(1)设 B 为 事 件“此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染”，贝 ijBnAsUAs.2所 以 P(B)=P(As U A8)=P(A5)+P(A8)=J L O(2)由 题 意 可 知，X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3 U A6 U A T U An)，、，4=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A n),P(X=2)=P(Ai U A2 U A.2 U A13)4=P(Ai)+P(A2)+P(Ai2)+P(Ai3)=,5P(X=0)=l-P(X=l)-P(X=2)=%.所 以 x 的 分 布 列 为 X 0 1 2P5134?34135 4 4 12故 X 的 期 望 E(X)=0 X+1 X+2 X=JLJ O 10 10(3)从 3 月 5 I I开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大.16.K2,K612013 天 津 卷 一 个 盒 子 里 装 有 7 张 卡 片，其 中 有 红 色 卡 片 4 张，编 号 分 别 为 1,2,3,4；白 色 卡 片 3 张，编 号 分 别 为 2,3,4.从 盒 子 中 任 取 4 张 卡 片 一(假 设 取 到 任 何 一 张 卡 片 的 可 能 性 相 同).(1)求 取 出 的 4 张 卡 片 中，含 有 编 号 为 3 的 卡 片 的 概 率；(2)在 取 出 的 4 张 卡 片 中，红 色 卡 片 编 号 的 最 大 值 设 为 X,求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.16.解：设“取 出 的 4 张 卡 片 中，含 有 编 号 为 3 的 卡 片”为 事 件 A,则 P(A)=6T所 以，取 出 的 4 张 卡 片 中，含 有 编 号 为 3 的 卡 片 的 概 率 为 与.(2)随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 1,2,3,4.03 汽 4 不？p3 AP(X=1)=7=,P(X=2)=7=,P(X=3)=d=7，P(X=4)=m=所 以 随 机 变 量 X 的 分 布 列 是 X 1 2 3 4P13543527471 4 2 4 17随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 E(X)=1X+2 X+3 X-+4 X-=35 35 7 7 514.K2,J22013 新 课 标 全 国 卷 II从 n 个 正 整 数 L 2,3,，n 中 任 意 取 出 两 个 不 同 的 数，若 取 出 的 两 数 之 和 等 于 5 的 概 率 为，则 1 1=.14.8 解 析 和 为 5 的 只 有 两 种 情 况，1+4,2+3,故 卷 片 比=28 n=8.18.K2、K4、K5,K8 2013 重 庆 卷 某 商 场 举 行 的“三 色 球”购 物 摸 奖 活 动 规 定：在 一 次 摸 奖 中，摸 奖 者 先 从 装 有 3 个 红 球 与 4 个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 3 个 球，再 从 装 有 1 个 蓝 球 与 2 个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 1 个 球.根 据 摸 出 4 个 球 中 红 球 与 蓝 球 的 个 数，设 一、二、三 等 奖 如 下：奖 级 摸 出 红、蓝 球 个 数 获 奖 金 额 一 等 奖 3 红 1蓝 200元 二 等 奖 3 红 0 蓝 5 0元 三 等 奖 2 红 1蓝 10元 其 余 情 况 无 奖 且 每 次 摸 奖 最 多 只 能 获 得 一 个 奖 级.(1)求 一 次 摸 奖 恰 好 摸 到 1个 红 球 的 概 率；(2)求 摸 奖 者 在 一 次 摸 奖 中 获 奖 金 额 X的 分 布 列 与 期 望 E(X).1 8.解：设 A,表 示 摸 到 i 个 红 球，B,表 示 摸 到 j 个 蓝 球，则 A,(i=O,1,2,3)与 B,(j=0,1)独 立.(1)恰 好 摸 到 1个 红 球 的 概 率 为 a 函 18P(Ai)3-T7-C7 35(2)X的 所 有 可 能 值 为 0,10,50,2 0 0,且 P(X=200)=P(A B)=P(A：,)P(BJ=_ _ 1_c?十 布，以 2 2P(X-50)=P(A 3 B 0)P(A：0 P(B o)支=八 l，C?3 105r2rl 1 1 o 4P(x=10)=P(A2B.)=P(A2)P(B,)=穿 微=株=卷,C?6 lUo 00P(x=o)=-/105 105 35 T综 上 知 X的 分 布 列 为 从 而 有 E(X)=0 x N 1 0 X e+5 0 X 专+2 0 0 X自=4(元).X 0 10 50 200P674352W51105K 3 几 何 概 型 11.K3E2013-福 建 卷 利 用 计 算 机 产 生 0 1 之 间 的 均 匀 随 机 数 a,则 事 件“3a1 0”发 生 的 概 率 为12 i 1一 211.解 析 概 率 P=14.E4、K3 2013 山 东 卷 在 区 间-3,3 上 随 机 取 一 个 数 x,使 得|x+l|x2|21成 立 的 概 率 为 _.14.；解 析 当 x2时，不 等 式 化 为 x+1 x+2 2 1,此 时 恒 成 立，.|x+l|lx2 2 1 的 解 集 为 1,+8）.在-3,3 上 使 不 等 式 有 解 的 区 间 为 1,3,3 1 1由 几 何 概 型 的 概 率 公 式 得 P=Q、=1.5.K3 2013 陕 西 卷 如 图 1 1,在 矩 形 区 域 ABCD的 A,C 两 点 处 各 有 一 个 通 信 基 站，假 设 其 信 号 的 覆 盖 范 围 分 别 是 扇 形 区 域 ADE和 扇 形 区 域 CBF（该 矩 形 区 域 内 无 其 他 信 号 来 源，基 站 工 作 正 常）.若 在 该 矩 形 区 域 内 随 机 地 选 一 地 点，则 该 地 点 无 信 号 的 概 率 是（）J I J IA.1 B.-14 25.A 解 析 阅 读 题 目 可 知，满 足 几 何 概 型 的 概 率 特 点，利 用 儿 何 概 型 的 概 率 公 式 可 知:9.K312013 四 川 卷 节 日 前 夕，小 李 在 家 门 前 的 树 上 挂 了 两 串 彩 灯，这 两 串 彩 灯 的 第 一 次 闪 亮 相 互 独 立，且 都 在 通 电 后 的 4 秒 内 任 一 时 刻 等 可 能 发 生，然 后 每 串 彩 灯 以 4 秒 为 间 隔 闪 亮，那 么 这 两 串 彩 灯 同 时 通 电 后，它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 刻 相 差 不 超 过 2 秒 的 概 率 是（）9.C 解 析 设 第 一 串 彩 灯 在 通 电 后 第 x 秒 闪 亮，第 二 串 彩 灯 在 通 电 后 第 y 秒 闪 亮，由 0WxW4,题 意 八-满 足 条 件 的 关 系 式 为 一 2WxyW2.0WyW4,根 据 几 何 概 型 可 知，事 件 全 体 的 测 度（面 积）为 1 6 平 方 单 位，而 满 足 条 件 的 事 件 测 度（阴19 3影 部 分 面 积)为 12平 方 单 位，故 概 率 为 五=K 4 互 斥 事 件 有 一 个 发 生 的 概 率 19.K4,K612013 新 课 标 全 国 卷 I 一 批 产 品 需 要 进 行 质 量 检 验，检 验 方 案 是：先 从 这 批 产 品 中 任 取 4 件 作 检 验，这 4 件 产 品 中 优 质 品 的 件 数 记 为 n.如 果 n=3,再 从 这 批 产 品 中 任 取 4 件 作 检 验，若 都 为 优 质 品，则 这 批 产 品 通 过 检 验；如 果 n=4.再 从 这 批 产 品 中 任 取 1件 作 检 验；若 为 优 质 品，则 这 批 产 品 通 过 检 验；其 他 情 况 下，这 批 产 品 都 不 能 通 过 检 验.假 设 这 批 产 品 的 优 质 品 率 为 50%,即 取 出 的 每 件 产 品 是 优 质 品 的 概 率 都 为*且 各 件 产 品 是 否 为 优 质 品 相 互 独 立.(1)求 这 批 产 品 通 过 检 验 的 概 率；(2)已 知 每 件 产 品 的 检 验 费 用 为 100元，且 抽 取 的 每 件 产 品 都 需 要 检 验，对 这 批 产 品 作 质 量 检 验 所 需 的 费 用 记 为 X(单 位：元)，求 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望.19.解：(1)设 第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 中 恰 有 3 件 优 质 品 为 事 件 A”第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 全 是 优 质 品 为 事 件 A2,第 二 次 取 出 的 4 件 产 品 都 是 优 质 品 为 事 件 B”第 二 次 取 出 的 1 件 产 品 是 优 质 品 为 事 件 B”这 批 产 品 通 过 检 验 为 事 件 A,依 题 意 有 A=(AB)U(A2B2),且 A B 与 A2B2互 斥，所 以 P(A)=P(AiBi)+P(A2B2)=P(A)P(B1|AI)+P(A2)P(B2|A2)=白 又 白+白*:=春 16 16 16 2 64(2)X 可 能 的 取 值 为 400,500,800,并 且 4 1 11 1P(X=400)=1 左 一 左=左，P(X=500)=16 16 16 16P(X=800)=；.所 以 X 的 分 布 列 为 X 400 500 800P11T611614,、11 1 1E(X)=400X+500X+800X-=506.25.16 16 418.K2、K4、K5,K82013 重 庆 卷 某 商 场 举 行 的“三 色 球”购 物 摸 奖 活 动 规 定：在 一 次 摸 奖 中，摸 奖 者 先 从 装 有 3 个 红 球 与 4 个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 3 个 球，再 从 装 有 1 个 蓝 球 与 2 个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 1 个 球.根 据 摸 出 4 个 球 中 红 球 与 蓝 球 的 个 数，设 一、二、三 等 奖 如 下：奖 级 摸 出 红、蓝 球 个 数 获 奖 金 额 等 奖 3 红 1蓝 200元 二 等 奖 3 红 0 蓝 50元 三 等 奖 2 红 1蓝 10元其 余 情 况 无 奖 且 每 次 摸 奖 最 多 只 能 获 得 一 个 奖 级.(1)求 一 次 摸 奖 恰 好 摸 到 1个 红 球 的 概 率：(2)求 摸 奖 者 在 一 次 摸 奖 中 获 奖 金 额 X 的 分 布 列 与 期 望 E(X).18.解:设 At表 示 摸 到 i个 红 球,B 表 示 摸 到 j个 蓝 球,则 Ai=O,1,2,3)与 Bj(j=o,D 独 立.(1)恰 好 摸 到 1个 红 球 的 概 率 为 P(A,)=18豆=35,(2)X的 所 有 可 能 值 为 0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(Bi)-C1 1_ 1C?.3=W 5,璐 2 2P(X=50)P(A3B0)=P(A3)P(Bo)=?*105,/、/、/、/、C3C.I 1 12 4P(X=10)=P(AB)=P(A2)P(Bi)=c：=0 5=E/、1 2 4 6p(X=0)=1-=一 105 105 35 T综 上 知 X 的 分 布 列 为 从 而 有 E(X)=0 X%0 X 2+50义 专+200X专=4(元).X 0 10 50 200P674352W51W5K 5 相 互 对 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 18.K2、K4、K5,K82013 重 庆 卷 某 商 场 举 行 的“三 色 球”购 物 摸 奖 活 动 规 定：在 一 次 摸 奖 中，摸 奖 者 先 从 装 有 3 个 红 球 与 4 个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 3 个 球，再 从 装 有 1 个 蓝 球 与 2 个 白 球 的 袋 中 任 意 摸 出 1 个 球.根 据 摸 出 4 个 球 中 红 球 与 蓝 球 的 个 数，设 一、二、三 等 奖 如 下：奖 级 摸 出 红、蓝 球 个 数 获 奖 金 额 一 等 奖 3 红 1蓝 200元 二 等 奖 3 红 0 蓝 50元 三 等 奖 2 红 1蓝 10元 其 余 情 况 无 奖 且 每 次 摸 奖 最 多 只 能 获 得 一 个 奖 级.(1)求 一 次 摸 奖 恰 好 摸 到 1个 红 球 的 概 率；(2)求 摸 奖 者 在 一 次 摸 奖 中 获 奖 金 额 X 的 分 布 列 与 期 望 E(X).18.解：设 A,表 示 摸 到 i个 红 球，Bj表 示 摸 到 j 个 蓝 球，则 A,(i=0,1,2,3)与 Bj(j=0,1)独 立.(1)恰 好 摸 到 1个 红 球 的 概 率 为 _ 因 _ 竺(2)X 的 所 有 可 能 值 为 0,10,50,200,且 P(X=200)=P(AB)=P(A3)P(BJ-c|I_ _ 1_c?,=布，2 2P(X=50)=P(A：Bo)=P(A：0 P(Bo)=至*1()5,2rl i i n AP(X=10)=P(A2B.)=P(A2)P(BI)=*=-C7 3 105 3op(x=o)=s w 105 105 35 T综 上 知 X 的 分 布 列 为 6 4 2 1从 而 有 E(X)=0 X?+1 0 X-+5 0 X+200X=4(%).X 0 10 50 200p6743521051105K 6 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 19.K4,K612013 新 课 标 全 国 卷 I 一 批 产 品 需 要 进 行 质 量 检 验，检 验 方 案 是：先 从 这 批 产 品 中 任 取 4 件 作 检 验，这 4 件 产 品 中 优 质 品 的 件 数 记 为 n.如 果 n=3,再 从 这 批 产 品 中 任 取 4 件 作 检 验，若 都 为 优 质 品，则 这 批 产 品 通 过 检 验；如 果 n=4.再 从 这 批 产 品 中 任 取 1件 作 检 验；若 为 优 质 品，则 这 批 产 品 通 过 检 验；其 他 情 况 下，这 批 产 品 都 不 能 通 过 检 验.假 设 这 批 产 品 的 优 质 品 率 为 50%,即 取 出 的 每 件 产 品 是 优 质 品 的 概 率 都 为 看 且 各 件 产 品 是 否 为 优 质 品 相 互 独 立.(1)求 这 批 产 品 通 过 检 验 的 概 率；(2)已 知 每 件 产 品 的 检 验 费 用 为 100元，且 抽 取 的 每 件 产 品 都 需 要 检 验，对 这 批 产 品 作 质 量 检 验 所 需 的 费 用 记 为 X(单 位：元)，求 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望.19.解：(1)设 第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 中 恰 有 3 件 优 质 品 为 事 件 A”第 一 次 取 出 的 4 件 产 品 全 是 优 质 品 为 事 件 A2,第 二 次 取 出 的 4 件 产 品 都 是 优 质 品 为 事 件 B”第 二 次 取 出 的 1 件 产 品 是 优 质 品 为 事 件 B2,这 批 产 品 通 过 检 验 为 事 件 A,依 题 意 有 A=(AB)U(A2B2),且 A B 与 A2B2互 斥,所 以 P(A)=P(AiBi)+P(A2B2)=P(A I)P(BI|AI)+P(A2)P(B2|A2)=白 又 白+白 乂:=言 16 16 16 2 64(2)X 可 能 的 取 值 为 400,500,800,并 且 P(X=400)=1-77 P(X=500)=白，/、1P(X=800)=-所 以 X 的 分 布 列 为 X 400 500 800p11而 1l614,、11 1 1E(X)=400X+500X+800X-=506.25.lb lb 416.K6,K82013 福 建 卷 某 联 欢 晚 会 举 行 抽 奖 活 动，举 办 方 设 置 了 甲、乙 两 种 抽 奖 方 9 2案，方 案 甲 的 中 奖 率 为 个 中 奖 可 以 获 得 2 分；方 案 乙 的 中 奖 率 为 三，中 奖 可 以 获 得 3 分；未 中 奖 则 不 得 分.每 人 有 且 只 有 一 次 抽 奖 机 会，每 次 抽 奖 中 奖 与 否 互 不 影 响，晚 会 结 束 后 凭 分 数 兑 换 奖 品.(D若 小 明 选 择 方 案 甲 抽 奖，小 红 选 择 方 案 乙 抽 奖，记 他 们 的 累 计 得 分 为 X,求 X W 3 的 概 率；(2)若 小 明、小 红 两 人 都 选 择 方 案 甲 或 都 选 择 方 案 乙 进 行 抽 奖，问：他 们 选 择 何 种 方 案 抽 奖，累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大？2 216.解：方 法 一：(1)由 已 知 得，小 明 中 奖 的 概 率 为 全 小 红 中 奖 的 概 率 为 且 两 人 中 奖 3 5与 否 互 不 影 响.记“这 2 人 的 累 计 得 分 X W3”的 事 件 为 A,则 事 件 A 的 对 立 事 件 为“X=5”，2 2 4 11因 为 P(X=5)=-X-=,所 以 P(A)=1P(X=5)=77,3 5 15 15即 这 两 人 的 累 计 得 分 X W 3 的 概 率 为(2)设 小 明、小 红 都 选 择 方 案 甲 抽 奖 中 奖 次 数 为 X”都 选 择 方 案 乙 抽 奖 中 奖 次 数 为 左，则 这 两 人 选 择 方 案 甲 抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(2X.),选 择 方 案 乙 抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(3Xz).由 已 知 可 得，Xi B(2,9,X2 B(2,5，2 4 9 4所 以 E(X1)=2X 3=w3，E(X2)=2X-5=5,o io从 而 E(2Xi)=2E(Xi)=w，E(3X2)=3E(X2)=o 因 为 E(2XJE(3X2),所 以 他 们 都 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 时，累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大.9 2方 法 二：(1)由 已 知 得，小 明 中 奖 的 概 率 为 三，小 红 中 奖 的 概 率 为 由 且 两 人 中 奖 与 否 互 不 3 5影 响.记“这 两 人 的 累 计 得 分 XW3”的 事 件 为 A,则 事 件 A 包 含 有“X=0”“X=2”“X=3”三 个 两 两 互 斥 的 事 件，因 为 P(X=0)=(一 炉(1-3=,P(X=2)=|xfl-|)=1 P(X=3)=fl-|)|=,所 以 P(A)=P(X=O)+P(X=2)+P(X=3)=,15即 这 两 人 的 累 计 得 分 X W 3 的 概 率 为 15(2)设 小 明、小 红 都 选 择 方 案 甲 所 获 得 的 累 计 得 分 为 X”都 选 择 方 案 乙 所 获 得 的 累 计 得 分 为 Xz,则 Xi,Xz的 分 布 列 如 下:X 1 0 2 4P194949X20 3 6P92512254251 4 4 8所 以 E(X,)=0X-+2X-+4X-=-,y j/、9,12 1 4 12E(X2)=0 X+3 X+6 X=25 25 25 5因 为 E(X】)E(X2),所 以 他 们 都 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 时，累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大.4.K6C2013 广 东 卷 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 X 1 2 3P353To1To则 X 的 数 学 期 望 E(X)=()3A.-B.25C.D.33 3 i 34.A 解 析 E(X)=1 X-+2 X+3 X 选 A.o 1U 1U Z18.K6 2013 江 西 卷 小 波 以 游 戏 方 式 决 定 是 参 加 学 校 合 唱 团 还 是 参 加 学 校 排 球 队.游 戏 规 则 为：以 0 为 起 点，再 从 Al,A2,A3,AI,AS,Ae,AT,限(如 图 1 5)这 8 个 点 中 任 取 两 点 分 别 为 终 点 得 到 两 个 向 量，记 这 两 个 向 量 的 数 量 积 为 X.若 X=0 就 参 加 学 校 合 唱 团，否 则 就 参 加 学 校 排 球 队.(1)求 小 波 参 加 学 校 合 唱 团 的 概 率；(2)求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.解：(1)从 8 个 点 中 任 取 两 点 为 向 量 终 点 的 不 同 取 法 共 有 心=28种，X=0 时，两 向 量 夹 角 为 直 角 共 有 8 种 情 形；(2)两 向 量 数 量 积 X 的 所 有 可 能 取 值 为-2,-1,0,1,X=-2 时，有 2 种 情 形；X=1时，有 8 种 情 形；X=-l 时，有 10种 情 形.所 以 X 的 分 布 列 为,、1,、5,2,2 3EX=(2)X+(1)X+0 X-+l X-=X-2-1 0 1P1 514272716.11,KI,K2,K62013 北 京 卷 下 图 是 某 市 3 月 1 日 至 14日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图，空 气 质 量 指 数 小 于 100表 示 空 气 质 量 优 良，空 气 质 量 指 数 大 于 200表 示 空 气 重 度 污 染.某 人 随 机 选 择 3 月 1 I I至 3 月 13日 中 的 某 一 天 到 达 该 市，并 停 留 2 天.(1)求 此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染 的 概 率；(2)设 X 是 此 人 停 留 期 间 空 气 质 量 优 良 的 天 数，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望；(3)由 图 判 断 从 哪 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大？(结 论 不 要 求 证 明)16.解:设 仆 表 示 事 件“此 人 于 3 月 i 日 到 达 该 市(i=l,2,，.根 据 题 意，P(Ai)且 A,CA产(1)设 B 为 事 件“此 人 到 达 当 日 空 气 重 度 污 染，则 B=A5(JAX.2所 以 P(B)=P(As U A8)=P(A5)+P(A8)=J L O(2)由 题 意 可 知，X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3 U A6 U A T U An)，、，4=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A n),P(X=2)=P(Ai U A2 U A.2 U A13)4=P(Ai)+P(A2)+P(Ai2)+P(Ai3)=,5P(X=0)=l-P(X=l)-P(X=2)=%.所 以 x 的 分 布 列 为 X 0 1 2p5134 4135 4 4 12故 X 的 期 望 E(X)=0 X+1 X+2 X=JLJ O L 0 10(3)从 3 月 5 I I开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大.19.K6、K712013 山 东 卷 甲、乙 两 支 排 球 队 进 行 比 赛，约 定 先 胜 3局 者 获 得 比 赛 的 胜 1?利，比 赛 随 即 结 束.除 第 五 局 甲 队 获 胜 的 概 率 是 j外，其 余 每 局 比 赛 甲 队 获 胜 的 概 率 都 是 1.假 设 各 局 比 赛 结 果 相 互 独 立.(1)分 别 求 甲 队 以 3：0,3：1,3：2 胜 利 的 概 率；(2)若 比 赛 结 果 为 3：0 或 3：1,则 胜 利 方 得 3 分、对 方 得。分；若 比 赛 结 果 为 3：2,则 胜 利 方 得 2 分、对 方 得 1分.求 乙 队 得 分 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望.19.解：(1)记“甲 队 以 3：0 胜 利”为 事 件 儿，“甲 队 以 3：1胜 利”为 事 件 Az,“甲 队 以 3：2 胜 利”为 事 件 A3,由 题 意，各 局 比 赛 结 果 相 互 独 立，故 P(Ai)=|：=S，/、222 2 2 8P(A2)=c3-o J1 J-4/x-=,2 2 1 4P(AJ=d-l-2X-=8 4所 以，甲 队 以 3：0 胜 利、以 3：1胜 利 的 概 率 都 为 历，以 3：2 胜 利 的 概 率 为 历.设“乙 队 以 3：2 胜 利“为 事 件 A”由 题 意，各 局 比 赛 结 果 相 互 独 立，9 9 1 4所 以 P(Ai)=Cil-2-2X 1-,由 题 意，随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 的 取 值 为 0,1,2,3.根 据 事 件 的 互 斥 性 得 P(X=0)=P(Ai+Az)=P(Ai)+P(Az)=.4又 P(X=1)=P(A 3).4P(X=2)=P(A4),3P(X=3)=l-P(X=0)-P(X=1)P(X=2)=,故 X 的 分 布 列 为 X 0 1 2 3p1627427427327、16.4,4.3 7所 以 E(X)=0 X+1 X+2 X+3 X=-乙 l l C j I 乙/I K Z19.K62013 陕 西 卷 在 一 场 娱 乐 晚 会 上，有 5 位 民 间 歌 手(1至 5 号)登 台 演 唱，由 现 场 数 百 名 观 众 投 票 选 出 最 受 欢 迎 歌 手.各 位 观 众 须 彼 此 独 立 地 在 选 票 上 选 3 名 歌 手，其 中 观 众 甲 是 1 号 歌 手 的 歌 迷，他 必 选 1 号，不 选 2 号，另 在 3 至 5 号 中 随 机 选 2 名.观 众 乙 和 丙 对 5 位 歌 手 的 演 唱 没 有 偏 爱，因 此 在 1至 5 号 中 随 机 选 3 名 歌 手.(D求 观 众 甲 选 中 3 号 歌 手 且 观 众 乙 未 选 中 3 号 歌 手 的 概 率；(2)X 表 示 3 号 歌 手 得 到 观 众 甲、乙、丙 的 票 数 之 和，求 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望.19.解：(1)设 A 表 示 事 件“观 众 甲 选 中 3 号 歌 手”，B 表 示 事 件“观 众 乙 选 中 3 号 歌 手，”则 P(A)专=|，P(B)=.=|.事 件 A 与 B 相 互 独 立，,观 众 甲 选 中 3 号 歌 手 且 观 众 乙 未 选 中 3 号 歌 手 的 概 率 为 P(AB)=P(A)P(B)=P(A)l-P(B)2 2 4 1,、以 C：4=?十 记 或 P(AB)=/厂 而(2)设 C 表 示 事 件“观 众 丙 选 中 3 号 歌 手”.则 P(C)=|.：X 可 能 的 取 值 为 0,1,2,3,且 取 这 些 值 的 概 率 分 别 为 1 2 2 4P(X=0)=P(A B C)=-X-X-=3 5 5 75P(X=1)=P(AB C)+P(ABC)+P(A BC)2 2 2 1 3 2 1 2 3 20一 3 5 5十 3 5 5十 3 5 5-75P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)_ 2X3 2 2 2 3 1 3 3_333 5 5十 3 5 5十 3 5 5一 75，2 3 3 18P(X=3)=P(ABC)=3X-X-=-A X 的 分 布 列 为18 140 28X 0 1 2 3P4752075337518754 20 33 X 的 数 学 期 望 E X=0 X m+l X m+2 X m+3 X75-75 15,18.LI,K62013 四 川 卷 某 算 法 的 程 序 框 图 如 图 1 6 所 示，其 中 输 入 的 变 量 x 在 1,2,3,，24这 24个 整 数 中 等 可 能 随 机 产 生.(1)分 别 求 出 按 程 序 框 图 正 确 编 程 运 行 时 输 出 y 的 值 为 i 的 概 率 R(i=l,2,3)；(2)甲、乙 两 同 学 依 据 自 己 对 程 序 框 图 的 理 解，各 自 编 写 程 序 重 复 运 行 n 次 后，统 计 记 录 了 输 出 y 的 值 为 i(i=l,2,3)的 频 数.以 下 是 甲、乙 所 作 频 数 统 计 表 的 部 分 数 据.甲 的 频 数 统 计 表(部 分)乙 的 频 数 统 计 表(部 分)运 行 次 数 n 输 出 y 的 值 为 1 的 频 数 输 出 y 的 值 为 2 的 频 数 输 出 y 的 值 为 3 的 频 数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697运 行 次 数 n 输 出 y 的 值 为 1 的 频 数 输 出 y 的 值 为 2 的 频 数 输 出 y 的 值 为 3 的 频 数 30 12 11 7 2 100 1 051 696 353当 n=2 100时，根 据 表 中 的 数 据，分 别 写 出 甲、乙 所 编 程 序 各 自 输 出 y 的 值 为 i(i=l,2,3)的 频 率(用 分 数 表 示)，并 判 断 两 位 同 学 中 哪 一 位 所 编 写 程 序 符 合 算 法 要 求 的 可 能 性 较 大;(3)按 程 序 框 图 正 确 编 写 的 程 序 运 行 3 次，求 输 出 y 的 值 为 2 的 次 数 g 的 分 布 列 及 数 学 期 望.18.解：(1)变 量 x 是 在 1,2,3,，24这 24个 整 数 中 随 机 产 生 的 一 个 数，共 有 24种可 能.当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这 12个 数 中 产 生 时，输 出 y 的 值 为 1,故 Pi=1；当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22这 8 个 数 中 产 生 时，输 出 y 的 值 为 2,故 巴=三；J当 x 从 6,12,18,24这 4 个 数 中 产 生 时，输 出 y 的 值 为 3,故 P3=看 所 以，输 出 y 的 值 为 1 的 概 率 为，输 出 y 的 值 为 2 的 概 率 为:，输 出 y 的 值 为 3 的 概 率 乙 O1_为(2)当 n=2 100时，甲、乙 所 编 程 序 各 自 输 出 y 的 值 为 i(i=l,2,3)的 频 率 如 下:输 出 y 的 值 为 1 的 频 率 输 出 y 的 值 为 2 的 频 率 输 出 y 的 值 为 3 的 频 率 甲 1 0272 1003762 1006972 100乙 1 0512 1006962 1003532 100比 较 频 率 趋 势 与 概 率，可 得 乙 同 学 所 编 程 序 符 合 算 法 要 求 的 可 能 性 较 大.随 机 变 量 可 能 的 取 值 为 0,1,2,3.P(g=1)=C；XP(2)=CM，X W，p(=3)=d x Q3X=故 的 分 布 列 为 8 4 2 1所 以，E I=0 X+1 X-+2 X-+3 X=1.g 0 1 2 3P8274929127即&的 数 学 期 望 为 L16.K2,K62013 天 津 卷 一 个 盒 子 里 装 有 7 张 卡 片，其 中 有 红 色 卡 片 4 张，编 号 分 别 为 1,2,3,4；白 色 卡 片 3