高考数学（真题+模拟新题分类汇编）立体几何文.pdf

立 体 几 何 G 1 空 间 几 何 体 的 结 构 8.Gl,G612013 北 京 卷 如 图 1-2,在 正 方 体 ABCDA B C D 中，P 为 对 角 线 B 5 的 三 等 分 点，P 到 各 顶 点 的 距 离 的 不 同 取 值 有()A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 8.B 解 析 设 棱 长 为 1,；.BP=卓，D F=K 兴.联 结 AD,BD,CD(,得 0 0 ABD W ZXCBDQ BBDi,、与 ZABDi=NCBDi=ZB.BDi,且 cos NABM=看，联 结 AP,PC,PBi,则 有 AABP丝 ZXCBP丝 BiBP,.AP=CP=BF=个,同 理 DP=AF=GP=1,A P 到 各 顶 点 的 距 离 的 不 同 取 值 有 4 个.18.Gl,G4,G5 2013 广 东 卷 如 图 在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC中，D,E分 别 是 AB,AC上 的 点，F 是 BC的 中 点，AF与 DE交 于 点 G,将 AABF沿 AF折 起，得 到 如 图 1(1)证 明：DE 平 面 BCF；(2)证 明：CFJ_平 面 ABF；2 当 人 口=不 时，求 三 棱 锥 F-DEG的 体 积.18.解：G 2 空 间 几 何 体 的 三 视 图 和 直 观 图 10.G2,G712013 北 京 卷 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 1 3 所 示，该 四 棱 锥 的 体 积 为 图 1一 310.3 解 析 正 视 图 的 长 为 3,侧 视 图 的 长 为 3,因 此，该 四 棱 锥 底 面 是 边 长 为 3 的 正 方 形，且 高 为 1,因 此 V=；X(3X3)Xl=3.18.G2,G42013 福 建 卷 如 图 1-3,在 四 棱 锥 P-ABCD 中,PD_L平 面 ABCD,AB/7DC,ABAD,BC=5,DC=3,AD=4,NPAD=60.(1)当 正 视 方 向 与 向 量 前 的 方 向 相 同 时，画 出 四 棱 锥 P-ABCD的 正 视 图(要 求 标 出 尺 寸,并 写 出 演 算 过 程)；(2)若 M 为 PA的 中 点,求 证：DM 平 面 PBC；(3)求 三 棱 锥 D-PBC的 体 积.18.解：(1)在 梯 形 ABCD中，过 点 C 作 CE_LAB,垂 足 为 E.由 已 知 得,四 边 形 ADCE为 矩 形，AE=CD=3,在 RtBEC中，由 BC=5,CE=4,依 勾 股 定 理 得 BE=3,从 而 AB=6.又 由 PDJ_平 面 ABCD得，PD1AD.从 而 在 RtaPDA 中，由 AD=4,NPAD=60,得 PD=4正 视 图 如 图 所 示.(2)方 法 一：取 PB中 点 N,联 结 MN,CN.在 APAB中，是 PA中 点，；.MN AB,MN=%B又 CD AB,C D=3,，MN CD,MN=CD,四 边 形 MNCD为 平 行 四 边 形，DM CN.又 DM 平 面 PBC,CN 平 面 PBC,.DM 平 面 PBC.方 法 二：取 AB的 中 点 E,联 结 ME,DE.在 梯 形 ABCD 中，BE CD,且 BE=CD,四 边 形 BCDE为 平 行 四 边 形，DE BC.又 DE 平 面 PBC,BC 平 面 PBC,.DE 平 面 PBC.又 在 4PAB 中,ME/7PB,ME 平 面 PBC,PB 平 面 P B C,平 面 PBC.又 D E A M E=E,平 面 DME 平 面 PBC.又 DM 平 面 DME,；.DM 平 面 PBC.(3)VD-PBC=VP-DBC=TSADBC PD,又 S&)BC=6,PD=4 4，所 以 VI)_PBC=8 5.6.G2 2013 广 东 卷 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 1 2所 示，则 该 三 棱 锥 的 体 积 是（）H-J-M*-1-*3,故 输 出 s=4,选 C.7.G2E2013 湖 南 卷 已 知 正 方 体 的 棱 长 为 1,其 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形，侧 视 图 是 一 个 面 积 为 m 的 矩 形，则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面 积 等 于（）A.坐 B.1C.誓 工 D.啦 7.D 解 析 由 题 可 知，其 俯 视 图 恰 好 是 正 方 形，而 侧 视 图 和 正 视 图 则 应 该 都 是 正 方 体 的 对 角 面，故 面 积 为 选 D.8.G212013 江 西 卷 一 几 何 体 的 三 视 图 如 图 12所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 为（）F-6 今 正（主）视 图 川 忖 1*侧（左）视 图 俯 视 图 图 1一 2A.200+9 冗 B.200+18 nC.140+9 n D.140+18n8.A 解 析 该 几 何 体 上 面 是 半 圆 柱，下 面 是 长 方 体，半 圆 柱 体 积 为:口 302=911,长 方 体 体 积 为 10X5X4=200.故 选 A.13.G2E2013 辽 宁 卷 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 13所 示,则 该 几 何 体 的 体 积 是.13.16JI-16 解 析 由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 是 一 个 圆 柱 里 面 挖 去 了 一 个 长 方 体，所 以 该 几 何 体 的 体 积 为 V=4 J t X 4-16=16 n 16.9.G2E2013 新 课 标 全 国 卷 H 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 0-xyz中 的 坐 标 分 别 是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（0,0,0）,画 该 四 面 体 三 视 图 中 的 正 视 图 时，以 zOx平 面 为 投 影 面，则 得 到 的 正 视 图 可 以 为（）9.A 解 析 在 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz中 画 出 三 棱 锥，由 已 知 可 知 三 棱 锥 O-ABC为 题 中 所 描 叙 的 四 面 体，而 其 在 zOx平 面 上 的 投 影 为 正 方 形 EBDO,故 选 A.图 144.G2E2013-山 东 卷 一 个 四 棱 锥 的 侧 棱 长 都 相 等，底 面 是 正 方 形，其 正（主）视 图 如 图 1一 1所 示，则 该 四 棱 锥 侧 面 积 和 体 积 分 别 是（）22图 I TA.4 乖，8 B.4 季，？o8C.4（邓+1）,-D.8,84.B 解 析 由 正 视 图 知 该 几 何 体 的 高 为 2,底 面 边 长 为 2,斜 高 为 1 2 2+1=4,.侧 1 8面 积=4 X$X 2 X m=4 m，体 积 为 鼻 X 2 X 2 X 2=不 乙 O 012.G212013 陕 西 卷 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 1 2所 示，则 其 套 面 积 为.主 视 图 左 视 图 俯 视 图 图 1一 212.3 m 解 析 由 三 视 图 得 该 几 何 体 为 半 径 为 1 的 半 个 球，则 表 面 积 为 半 球 面+底 面 圆，代 入 数 据 计 算 为 S=|x4n Xl2+JI X=3 n.11.G2 2013 新 课 标 全 国 卷 I 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 1 3所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 为（）图 1一 3A.16+8 页 B.8+8 nC.16+16 J t D.8+1 6 J T11.A 解 析 该 空 间 几 何 体 的 下 半 部 分 是 一 个 底 面 半 径 为 2,母 线 长 为 4 的 半 圆 柱，上 半 部 分 是 一 个 底 面 边 长 为 2、高 为 4 的 正 四 棱 柱.这 个 空 间 几 何 体 的 体 积 是 n X4X4+2X2X4=16+8n.5.G2 2013 浙 江 卷 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图（单 位:cm）如 图 1-1 所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 是（）图 5.B 解 析 此 直 观 图 是 由 一 个 长 方 体 挖 去 一 个 三 棱 锥 而 得，如 图 所 示 其 体 积 为 3X6X6-|x|x 3X4X4=108-8=100(cm3).所 以 选 择 B.19.G2和 G512013 重 庆 卷 如 图 14所 示，四 棱 锥 PABCD中，PA，底 面 ABCD,PA=2 小,BC=CD=2,NACB=NACD=rpo(1)求 证：BD_L平 面 PAC；(2)若 侧 棱 PC上 的 点 E满 足 PF=7FC,求 三 棱 锥 P-BDE的 体 积.p图 1419.解：(1)证 明：因 为 BC=CD,即 aBCD为 等 腰 三 角 形，又 NACB=NACD,故 BDLAC.因 为 PAJ_底 面 ABCD,所 以 PA_LBD,从 而 BD与 平 面 PAC内 两 条 相 交 直 线 PA,AC都 垂 直，所 以 BDJ_平 面 PAC.(2)三 棱 锥 P-BCD 的 底 面 BCD 的 面 积 SABCD=BC CD sinZBCD=1 2 2 sin*=4.由 PAJ_底 面 ABCD,得 Vp-BCD=1 SABCD PA=-X3X2 班=2.o o由 PF=7FC,得 三 棱 锥 F-BCD的 高 为 PA,故/一 毗 6包$PA=；X小 x1x2小=；,o o o o o 41 7所 以 Vp-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-7=78.G2和 G7 2013 重 庆 卷 某 儿 何 体 的 三 视 图 如 图 13 所 示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为）A.180 B.200 C.220 D.2408.D 解 析 该 几 何 体 为 直 四 棱 柱，其 高 为 10,底 面 是 上 底 为 2,下 底 为 8,高 为 4,其 腰 为 5 的 等 腰 梯 形，所 以 底 面 面 积 和 为 T（2+8）X4X2=40.四 个 侧 面 的 面 积 和 为（2+8+5X2）X10=200,所 以 该 直 四 棱 柱 的 表 面 积 为 S=40+200=240,故 选 D.G 3 平 面 的 基 本 性 质、空 间 两 条 直 线 G 4 空 间 中 的 平 行 关 系 17.G4,G5,G72013 北 京 卷 如 图 1一 5,在 四 棱 锥 P-ABCD 中,AB CD,ABAD,CD=2AB,平 面 PAD,底 面 ABCD,PAAD,E 和 F 分 别 是 CD和 PC的 中 点.求 证：(1)PAL底 面 ABCD；(2)BE 平 面 PAD；(3)平 面 BEF_L平 面 PCD.图 1517.证 明：（1）因 为 平 面 PAD,底 面 ABCD,且 PA垂 直 于 这 两 个 平 面 的 交 线 AD,所 以 PAL底 面 ABCD.因 为 AB CD,CD=2AB,E 为 CD的 中 点,所 以 AB DE,且 AB=DE,所 以 ABED为 平 行 四 边 形，所 以 BE AD.又 因 为 BE 平 面 PAD,AD 平 面 PAD,所 以 BE 平 面 PAD.因 为 ABJ_AD,而 且 ABED为 平 行 四 边 形，所 以 BE_LCD,ADCD.由 知 PAL底 面 ABCD,所 以 PACD.又 因 为 ADCPA=A,所 以 CDJ_平 面 PAD,所 以 CDJ_PD.因 为 E 和 F 分 别 是 CD和 PC的 中 点，所 以 PD EF,所 以 CDJ_EF,所 以 CDL平 面 BEF,所 以 平 面 BEF_L平 面 PCD.18.G2,G412013 福 建 卷 如 图 1 一 3,在 四 棱 锥 P-ABCD 中，PD,平 面 ABCD,AB DC,AB1AD,BC=5,DC=3,AD=4,ZPAD=60.(1)当 正 视 方 向 与 向 量 而 的 方 向 相 同 时，画 出 四 棱 锥 P-ABCD的 正 视 图(要 求 标 出 尺 寸，并 写 出 演 算 过 程)；(2)若 M 为 PA的 中 点，求 证：DM 平 面 PBC；(3)求 三 棱 锥 DPBC的 体 积.18.解：(1)在 梯 形 ABCD中，过 点 C 作 CE_LAB,垂 足 为 E.由 已 知 得,四 边 形 ADCE为 矩 形,AE=CD=3,在 RtBEC中，由 BC=5,CE=4,依 勾 股 定 理 得 BE=3,从 而 AB=6.又 由 PDJ_平 面 ABCD得，PDAD.从 而 在 Rt/XPDA 中，由 AD=4,ZPAD=60,得 P D=4 i正 视 图 如 图 所 示.(2)方 法 一：取 PB 中 点 N,联 结 MN,CN.在 APAB 中，是 PA 中 点，；.MN AB,MN=；AB=3.又 CD AB,CD=3,MN CD,MN=CD,四 边 形 MNCD为 平 行 四 边 形，DM CN.又 DM 平 面 PBC,CN 平 面 PBC,-DM 平 面 PBC.PNC；方 法 二：取 AB的 中 点 E,联 结 ME,DE.在 梯 形 ABCD 中,BE CD,且 BE=CD,四 边 形 BCDE为 平 行 四 边 形，DE BC.又 DE 平 面 PBC,BC 平 面 PBC,.DE 平 面 PBC.又 在 APAB中，又 PB,ME 平 面 PBC,PB 平 面 P B C,平 面 PBC.又 DEC1ME=E,.平 面 DME 平 面 PBC.又 DM 平 面 DME,；.DM 平 面 PBC.(3)V|)-Inc=V P-D B C=TS A D B C,PD,J又 S A O B C=6,P D=4 镉，所 以 收=8 m.18.Gl,G4,G52013 广 东 卷 如 图 1-4(1),在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC中,D,E分 别 是 AB,AC上 的 点，F 是 BC的 中 点，AF与 DE交 于 点 G,将 4ABF沿 AF折 起，得 到 如 图 1一 4(2)所 示 的 三 棱 锥 A-BCF,其 中 BC=4AC图 14(1)证 明：DE 平 面 BCF；(2)证 明：CFJ_平 面 ABF；2 当 AD=-b b 求 三 棱 锥 F-DEG的 体 积.18.解:8.G4、G5E2013 广 东 卷 设 1 为 直 线，a,p 是 两 个 不 同 的 平 面，下 列 命 题 中 正 确 的 是()A.若 1 a,1 B,贝 I J a BB.若 1，a,1 P,则 a BC.若 1J,a,1(3,贝 I J a BD.若 a _L B,1/a,贝 l j 1J.B8.B 解 析 根 据 空 间 平 行、垂 直 关 系 的 判 定 和 性 质，易 知 选 B.16.G4,G5E2013 江 苏 卷 如 图 1-2,在 三 棱 锥 S-ABC中，平 面 SAB_L平 面 SBC,AB1BC,AS=AB.过 A 作 AF1.SB,垂 足 为 F,点 E,G 分 别 是 棱 SA,SC的 中 点.求 证：(1)平 面 EFG 平 面 ABC；(2)BCSA.图 1一 216.证 明：因 为 AS=AB,AF1SB,垂 足 为 F,所 以 F 是 SB的 中 点.又 因 为 E 是 SA的 中 点，所 以 EF AB.因 为 EF 平 面 ABC,AB 平 面 ABC,所 以 EF 平 面 ABC.同 理 EG 平 面 ABC,又 EFAEG=E,所 以 平 面 EFG 平 面 ABC.(2)因 为 平 面 SABL平 面 SBC,且 交 线 为 SB,又 AF 平 面 SAB,AF1SB,所 以 AFL平 面 SBC.因 为 BC 平 面 SBC,所 以 AF_LBC.又 因 为 AB_LBC,AFAAB=A,AF,AB 平 面 SAB,所 以 BCJ_平 面 SAB.因 为 SA 平 面 SAB,所 以 BC_LSA.15.G4 2013 江 西 卷 如 图 1 5所 示，正 方 体 的 底 面 与 正 四 面 体 的 底 面 在 同 一 平 面 a上，且 AB CD,则 直 线 EF与 正 方 体 的 六 个 面 所 在 的 平 面 相 交 的 平 面 个 数 为.15.4 解 析 直 线 E F 与 正 方 体 左 右 两 个 面 平 行，与 其 他 四 个 面 相 交.图 1一 418.G4,G5 2013 辽 宁 卷 如 图 1-4,AB是 圆 0 的 直 径，PA垂 直 圆 0 所 在 的 平 面，C是 圆。上 的 点.(1)求 证：BC_L平 面 PAC；(2)设 Q 为 PA的 中 点，G 为 AOC的 重 心，求 证：QG 平 面 PBC.18.证 明：(1)由 AB是 圆 0 的 直 径，得 ACLBC.由 PAL平 面 ABC,BC 平 面 ABC,得 PA1BC.又 PAC1AC=A,PA 平 面 PAC,AC 平 面 PAC,所 以 BC_L平 面 PAC.联 结 0G并 延 长 交 AC于 M,联 结 QM,QO,由 G 为 AA0C的 重 心，得 M 为 AC中 点，由 Q 为 PA中 点，得 QM PC.又 0 为 AB中 点，得 OM BC.因 为 QMC1MO=M,QM 平 面 QMO.M0 平 面 QMO,BCnPC=C,BC 平 面 PBC,PC 平 面 PBC,所 以 平 面 QMO 平 面 PBC.因 为 QG 平 面 QMO,所 以 QG 平 面 PBC.18.G4,G7,G U 2013 新 课 标 全 国 卷 U 如 图,直 三 棱 柱 A BC-ABG中，D,E 分 别 是 AB,BBi的 中 点.证 明:BG 平 面 ACD；设 AA尸 AC=CB=2,A B=2,求 三 棱 锥 CADE的 体 积.图 1一 718.解：证 明：联 结 A 3 交 A 于 点 F,则 F 为 A G 中 点.又 D 是 AB中 点，联 结 DF,则 BG DF.因 为 DF 平 面 A,BG 平 面 AQD,所 以 BG 平 面 AQD.图 1一 8(2)因 为 ABC-ABC是 直 三 棱 柱，所 以 AA-CD.由 已 知 AC=CB,D为 AB的 中 点，所 以 CD _L AB.又 A A W A B=A,于 是 CD_L平 面 ABBA.由 AAi=AC=CB=2,AB=2 电 得 NACB=90,CD=地,A Q=乖,DEy/3,AiE=3,故 A ID2+DE2=AIE2,即 DEAiD.所 以 VCAiDE=；X X 乖 乂 也 又 m=1.19.G4,G52013 山 东 卷 如 图 1一 5,四 棱 锥 PABCD 中，ABAC,AB1PA,AB/7CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分 别 为 PB,AB,BC,PD,PC 的 中 点.(1)求 证：CE 平 面 PAD；(2)求 证：平 面 EFG_L平 面 EMN.图 1619.证 明:证 法 一:取 PA的 中 点 H,联 结 EH,DH.因 为 E 为 PB的 中 点，所 以 EH AB,EH=|AB.又 AB CD,CD=|A B,所 以 EH CD,EH=CD.因 此 四 边 形 DCEH是 平 行 四 边 形.所 以 CE DH.又 DH 平 面 PAD,CE 平 面 PAD,因 此 CE 平 面 PAD.证 法 二：联 结 CF.因 为 F 为 AB的 中 点，所 以 AF=%B.又 CD=AB,所 以 AF=CD.又 AF CD,所 以 四 边 形 AFCD为 平 行 四 边 形.因 止 匕 CF AD.又 CF 平 面 PAD,所 以 CF 平 面 PAD.因 为 E,F 分 别 为 PB,AB的 中 点，所 以 EF PA.又 EF 平 面 PAD,所 以 EF 平 面 PAD.因 为 CFC1EF=F,故 平 面 CEF 平 面 PAD.又 CE 平 面 CEF,所 以 CE 平 面 PAD.(2)因 为 E,F 分 别 为 PB,AB的 中 点，所 以 EF PA.又 ABLPA,所 以 AB_LEF.同 理 可 证 ABFG.又 EFAFG=F,EF 平 面 EFG,FG 平 面 EFG,因 此 AB_L平 面 EFG.又 M,N 分 别 为 PD,PC的 中 点，所 以 MN CD.又 AB CD,所 以 MN AB,因 此 MN_L平 面 EFG.又 MN 平 面 EMN,所 以 平 面 EFG_L平 面 EMN.18.G4,Gll2013 陕 西 卷 如 图 1一 5,四 棱 柱 ABCDA B C D 的 底 面 ABCD是 正 方 形，0 证 明:平 面 ABD 平 面 CDB；(2)求 三 棱 柱 ABD-A.B,D!的 体 积.18.解：证 明：由 题 设 知，BBi瘙 献 如 D”四 边 形 BB.D.D是 平 行 四 边 形,，BD BD.又 BD 平 面 CDB,.BD 平 面 CD.B1.A.D,瘙 rJS B.C i瘙 阕 出 BC,四 边 形 ABCDi是 平 行 四 边 形，B D C又 AB 平 面 CDB,B 平 面 CDB.又；BDnAiB=B,.平 面 ABD 平 面 血 B.2 A Q 工 平 面 ABCD,/.A.0是 三 棱 柱 ABD-AiB.D,的 高.又,.，AO=；AC=1,AA产 也，/.A10=A/AA?-0A2=1,又；SA A B D=1 X/2X-/2=1,VABDAiBiDi-S AABD AiO 1.19.G4,G5,G7,Gil2013 四 川 卷 如 图 1 一 8,在 三 棱 柱 ABC-A1BICI 中，侧 棱 AAi JL底 面 ABC,AB=AC=2AA|=2,/BAC=120,D,分 别 是 线 段 BC,B C 的 中 点，P 是 线 段 AD上 异 于 端 点 的 点.(1)在 平 面 ABC内，试 作 出 过 点 P 与 平 面 ABC平 行 的 直 线 1,说 明 理 由，并 证 明 直 线 1_L平 面 ADDA；设 中 的 直 线 1交 AC于 点 Q,求 三 棱 锥 AL QGD的 体 积.(锥 体 体 积 公 式：V=1sh,其 中 S 为 底 面 面 积，h 为 高)19.解：如 图，在 平 面 ABC内，过 点 P 作 直 线 1 BC,因 为 1在 平 面 ABC外，BC在 平 面 ABC内，由 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 可 知，1 平 面 ABC.由 已 知，AB=AC,D 是 BC的 中 点，所 以，BC1AD,则 直 线 1_LAD.因 此 AA 平 面 ABC,所 以 AA 直 线 1.又 因 为 AD,AAi在 平 面 ADD向 内，且 AD与 A%相 交,所 以 直 线 1，平 面 ADDA.(2)过 D 作 DEJ_AC 于 E.因 为 AA 平 面 ABC,所 以 DE_LAAi.又 因 为 AC,AAi在 平 面 A A C 内，且 AC与 AAi相 交，所 以 DE_L平 面 AACC.由 AB=AC=2,NBAC=120,有 AD=1,ZDAC=60,所 以 在 4ACD中，D E=%)=乎.又 SZAiQCi=AiCi,AAi=1,所 以 VAI-QCID=VD-A IQCI=|DEA 1 A/3 J3SAAiQC-X-X 1=-.j 乙 o因 此 三 棱 锥 AiQCD的 体 积 是 半.17.G4,G5、Gll2013 天 津 卷 如 图 1 3所 示，三 棱 柱 A BC-ABG中，侧 棱 AiA_L底 面 ABC,且 各 棱 长 均 相 等，I),E,F 分 别 为 棱 AB,BC,A C 的 中 点.证 明 EF 平 面 A6D；(2)证 明 平 面 AD_L平 面 A.ABB,；(3)求 直 线 BC与 平 面 AD所 成 角 的 正 弦 值.图 1-317.解:(1)证 明：如 图，在 三 棱 柱 A BC-ABG中,AC AC,且 A C=A G,联 结 ED,在 ABC中，因 为 D,E 分 别 为 AB,BC的 中 点，所 以 D E=3 C 且 DE AC,又 因 为 F 为 A 的 中 点,可 得 A F=DE,且 A】F DE,即 四 边 形 ADEF为 平 行 四 边 形，所 以 EF DAi.又 EF 平 面 AD,D A i 平 面 AD,所 以,EF 平 面 AD.(2)证 明：由 于 底 面 ABC是 正 三 角 形，D 为 AB的 中 点，故 CDJ_AB,又 由 于 侧 棱 AA 底 面 ABC,CD 平 面 ABC,所 以 AiA_LCD,又 AiAAAB=A,因 此 CD_L平 面 A1ABB1,而 CD 平 面 ACD,所 以 平 面 AD_L平 面 A1ABB).(3)在 平 面 AIABBI内，过 点 B 作 BGLAJ)交 直 线 AJ)于 点 G,联 结 CG,由 于 平 面 A6D,平 面 A,ABB而 直 线 A D 是 平 面 AD与 平 面 A1ABB1的 交 线，故 BG,平 面 ACD,由 此 得 NBCG为 直 线 BC与 平 面 ACD所 成 的 角.设 三 棱 柱 各 棱 长 为 a,可 得 A D=卓，由 AIADS A BGD,易 得 B G=.在 RtaBGC中，/0./R P r_ B G _ j 5s i n z _BCG n八 一 r.BC 5所 以 直 线 BC与 平 面 A,CD所 成 角 的 正 弦 值 为 强.54.G4,G52013 浙 江 卷 设 m,n 是 两 条 不 同 的 直 线，a,6 是 两 个 不 同 的 平 面()A.若 m a,n/a,则 m/7nB.若 m a,m B,则 a BC.若 m n,m a,贝 l j n_L aD.若 m a,a _L B,则 m_L 64.C 解 析 对 于 选 项 C,若 m n,m a,易 得 n_L a.所 以 选 择 C.G 5 空 间 中 的 垂 直 关 系 图 1-518.G5C2013 安 徽 卷 如 图 15,四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 ABCD是 边 长 为 2 的 菱 形,ZBAD=60,已 知 PB=PD=2,PA=i 证 明:PC1BD；（2）若 E 为 PA的 中 点，求 三 棱 锥 P-BCE的 体 积.18.解：（1）证 明：联 结 AC,交 BD于。点，联 结 P0.因 为 底 面 ABCD是 菱 形，所 以 ACLBD,B0=D0.由 PB=PD 知,P0_LBD.再 由 POCIAC=O 知,BD_L面 APC,X PC 平 面 APC,因 此 BD_LPC.（2）因 为 E 是 PA的 中 点，所 以%-理=%-呻=由 PB=PD=AB=AD=2 知，ABD丝 PBD.因 为 NBAD=60,所 以 P0=A0=/,A C=2 1=1.又 人=小，故 P02+A02=PA:即 POJ_AC.故 SAAPC-P0,AC3.由(1)知，BO.LW APC,因 此 V P-BCE=V B-APC=,2*SiWC,B0=.17.G4,G5,G7 2013 北 京 卷 如 图 1一 5,在 四 棱 锥 P-ABCD 中,AB CD,ABAD,CD=2AB,平 面 PAD_L底 面 ABCD,PA1AD,E 和 F 分 别 是 CD和 PC的 中 点.求 证:PAL底 面 ABCD；(2)BE 平 面 PAD；(3)平 面 BEF_L平 面 PCD.p.I图 1一 517.证 明：(1)因 为 平 面 PAD_1_底 面 ABCD,且 PA垂 直 于 这 两 个 平 面 的 交 线 AD,所 以 PA_L底 面 ABCD.(2)因 为 AB CD,CD=2AB,E 为 CD 的 中 点,所 以 AB DE,且 AB=DE,所 以 ABED为 平 行 四 边 形，所 以 BE AD.又 因 为 BE 平 面 PAD,AD 平 面 PAD,所 以 BE 平 面 PAD.(3)因 为 ABAD,而 且 ABED为 平 行 四 边 形，所 以 BEJ_CD,ADCD.由 知 PAL底 面 ABCD,所 以 PACD.又 因 为 ADAPA=A,所 以 CD_L平 面 PAD,所 以 CD_LPD.因 为 E 和 F 分 别 是 CD和 PC的 中 点，所 以 PD EF,所 以 CDLEF,所 以 CD，平 面 BEF,所 以 平 面 BEF_L平 面 PCD.19.G5、Gll2013 全 国 卷 如 图 1-3 所 示，四 棱 锥 PABCD 中，ZABC=ZBAD=90,BC=2AD,APAB和 APAD都 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形.图 1一 3 证 明：PB1CD；(2)求 点 A 到 平 面 PCD的 距 离.19.解：(1)证 明：取 BC的 中 点 E,联 结 DE,则 四 边 形 ABED为 正 方 形.过 P 作 PO_L平 面 ABCD,垂 足 为 0.联 结 OA,OB,OD,0E.由 aPAB和 4PAD都 是 等 边 三 角 形 知 PA=PB=PD,所 以 OA=OB=OD,即 点。为 正 方 形 ABED对 角 线 的 交 点.故 OE_LBD,从 而 PBJ_OE.因 为 0是 BD的 中 点，E 是 BC的 中 点，所 以 OE CD.因 此 因 _LCD.(2)取 PD的 中 点 F,联 结 OF,则 OF PB.由(1)知，PBCD,故 OF_LCD.又 01)=加=隹 0P=，PD-0昨 蜴 故 APOD为 等 腰 三 角 形，因 此 OF1PD.又 PDPCD=D,所 以 OFJ_平 面 PCD.因 为 AE CD,CD 平 面 PCD,AE 平 面 PCD,所 以 AE 平 面 PCD.因 此 0 到 平 面 PCD的 距 离 OF就 是 A 到 平 面 PCD的 距 离，而 OF=；PB=1,所 以 点 A 到 平 面 PCD的 距 离 为 1.18.Gl,G4,G5 2013 广 东 卷 如 图 14,在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC中，D,E分 别 是 AB,AC上 的 点，F 是 BC的 中 点，AF与 DE交 于 点 G,将 4ABF沿 AF折 起，得 到 如 图 1一 4(2)所 示 的 三 棱 锥 A-BCF,其 中 BC=.(1)证 明：DE 平 面 BCF；(2)证 明:CFJ_平 面 ABF；2 当 AD=时，求 三 棱 锥 FDEG的 体 积.18.解：8.G4、G512013 广 东 卷 设 1 为 直 线，a,p 是 两 个 不 同 的 平 面，下 列 命 题 中 正 确 的 是()A.若 1 a,1 0,则 a BB.若 1，a,1 p,贝 I a BC.若 1_L a,1 B,则 a BD.若 a 1/a,贝 8.B 解 析 根 据 空 间 平 行、垂 直 关 系 的 判 定 和 性 质，易 知 选 B.16.G4,G5 2013 江 苏 卷 如 图 1-2,在 三 棱 锥 S-ABC中，平 面 SAB_L平 面 SBC,ABBC,AS=AB.过 A 作 AF_LSB,垂 足 为 F,点 E,G 分 别 是 棱 SA,SC的 中 点.求 证：(1)平 面 EFG 平 面 ABC；(2)BCSA.16.证 明：因 为 AS=AB,AFSB,垂 足 为 F,所 以 F 是 SB的 中 点.又 因 为 E 是 SA的 中 点,所 以 EF AB.因 为 EF 平 面 ABC,AB 平 面 ABC,所 以 EF 平 面 ABC.同 理 EG 平 面 ABC.又 EFCEG=E,所 以 平 面 EFG 平 面 ABC.因 为 平 面 SABL平 面 SBC,且 交 线 为 SB,又 AF 平 面 SAB,AFSB,所 以 AF_L平 面 SBC.因 为 BC 平 面 SBC,所 以 AF1BC.又 因 为 ABJ_BC,AFCAB=A,AF,AB 平 面 SAB,所 以 BC_L平 面 SAB.因 为 SA 平 面 SAB,所 以 BC_LSA.19.G5,G72013 江 西 卷 如 图 1 7 所 示，直 四 棱 柱 ABCDA B C D 中,AB CD,AD1AB,AB=2,AD=/，AAi=3,E 为 CD 上 一 点，DE=1,EC=3.证 明:BE,平 面 BBCC；(2)求 点 B,到 平 面 EAiCj的 距 离.图 1一 719.解：(1)证 明：过 B 作 CD的 垂 线 交 CD于 F,则 BF=AD=啦，EF=ABDE=1,FC=在 RtZXBEF 中，BE=4.在 RtCFB 中，BC=j在 BEC 中，因 为 BE2+Bd=9=EC2,故 BE_LBC.由 BB 平 面 ABCD得 BE1BB.所 以 BE，平 面 BBCC.(2)三 棱 锥 EA B C 的 体 积 V=；AA,SAA,B,C,=V2.在 RtZADG 中，AC=#AJ)：+D C=3 点.同 理，E C I=EC2+CC?=3 y/2,A IE=VA7+AD7+DE5=2 小.故 S ACE=3 y/5.设 点 B,到 平 面 EA,C,的 距 离 为 d,则 三 棱 锥 B.-A.C,E的 体 积 V=g,d,SAAiCiE=/5d,从 而 m d=蛆，图 1一 418.G4,G52013 辽 宁 卷 如 图 1-4,AB是 圆 0 的 直 径，PA垂 直 圆 0 所 在 的 平 面，C是 圆。上 的 点.(1)求 证：BC_L平 面 PAC；(2)设 Q 为 PA的 中 点，G 为 aAOC的 重 心，求 证：QG 平 面 PBC.18.证 明：(1)由 AB是 圆 0 的 直 径，得 AC_LBC.由 PA_L平 面 ABC,BC 平 面 ABC,得 PA_LBC.又 PAAAC=A,PA 平 面 PAC,AC 平 面 PAC,所 以 BCJ_平 面 PAC.联 结 0G并 延 长 交 AC于 M,联 结 QM,QO,由 G 为 AOC的 重 心，得 M 为 AC中 点，由 Q 为 PA中 点，得 QM PC.又 0 为 AB中 点，得 OM BC.因 为 QMC1MO=M,QM 平 面 QMO.M0 平 面 QMO,BCnPC=C,BC 平 面 PBC,PC 平 面 PBC,所 以 平 面 QMO 平 面 PBC.因 为 QG 平 面 QMO,所 以 QG 平 面 PBC.19.G4,G52013 山 东 卷 如 图 1一 5,四 棱 锥 PABCD 中，ABAC,ABPA,AB CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分 别 为 PB,AB,BC,PD,PC 的 中 点.(1)求 证:CE 平 面 PAD；(2)求 证：平 面 EFGJ_平 面 EMN.19.证 明：(1)证 法 一：取 PA的 中 点 H,联 结 EH,DH.因 为 E 为 PB的 中 点，所 以 EH AB,EH=AB.又 AB CD,CD=AB,所 以 EH CD,EH=CD.因 此 四 边 形 DCEH是 平 行 四 边 形.所 以 CE DH.又 DH 平 面 PAD,CE 平 面 PAD,因 此 CE 平 面 PAD.证 法 二：联 结 CF.因 为 F 为 AB的 中 点，所 以 AF=%B.又 CD-,1 AB,所 以 AF=CD.又 AF CD,所 以 四 边 形 AFCD为 平 行 四 边 形.因 此;CF AD.又 CF 平 面 PAD,所 以 CF 平 面 PAD.因 为 E,F 分 别 为 PB,AB的 中 点,所 以 EF PA.又 EF 平 面 PAD,所 以 EF 平 面 PAD.因 为 CFC1EF=F,故