数列中一类元素交并问题 (1).pdf
数列中一类元素交并问题数列中一类元素交并问题数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用.类型一类型一两个等差数列取交集数列问题两个等差数列取交集数列问题典例典例 1.1.若数列na的通项公式为232nna，数列b n的通项公式为nb534n 设集合*|2,nAx xa nN，*|4,nBy yb nN若等差数列 nc任一项1,ncAB c是AB中的最大数，且10265125c，求 nc的通项公式【答案】724ncn【解析】对任意*nN，223,41252(61)3nnanbnn ，BA，ABB1c是AB中的最大数，1c17，设等差数列 nc的公差为d，则265179125d ，即527129d，又4nb是一个以12为公差等差数列，*12()dk kN，24d ，724ncn类型二类型二一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题典例典例 2 2 已知数列na的通项公式为72nan，数列nb的通项公式为2nbn若将数列na，nb中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列nc，则数列 nc的通项公式为_【答案】为偶数，为奇数，nnnnCn22267217【解析】解：设227mn，考察m模 7 的余数问题；若kkkkkkkm7,17,27,37,47,57,67时经验证可得：当37,47kkm时，存在满足条件的n存在故nc中的项目依次为：3125241817111043,bbbbbbbbb可求得数列nc的通项公式为：为偶数，为奇数，nnnnCn22267217类型三类型三一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题典例典例 3 3已知数列na和 nb的通项公式分别为319nan，2nnb.将na与 nb中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为 nc.（1）试写出1c，2c，3c，4c的值，并由此归纳数列 nc的通项公式；（2）证明你在（1）所猜想的结论.【答案】（1）212nnc（2）见解析【解析】解：（1）11172cba，32392cba，535172cba，747482cba，由此归纳：212nnc.（2）由nmab，得21921633mmn，(3 1)163mn，由二项式定理得011122211133(1)3(1)3(1)(1)163mmmmmmmmmmmmCCCCCn，当m为奇数时，n有整数解，21212nnncb.模拟：1.设数列an的通项公式为12 nan，数列bn的通项公式为 bn3n2集合 Axxan，nN*，Bxxbn，nN*将集合 AB 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1，c2，c3，则cn的通项公式为_.【答案】knnknnknncn4,22324,2312,213【解析】解：因为561)23(223kkak，361)13(213kkak161323kkak；2312562)12(3kkakkbAkkbk262232所以kkkkkababa32131223,3,2,1k，即当)(34Nkkn时，56 kcn；当24 kn)(Nk36 kcn，当)(14Nkkn时，26 kcn，当)(4Nkkn时，16 kcn所以 nc的通项公式是knkknkknkknkcn4,1614,2624,3634,56即：knnknnknncn4,22324,2312,2132.已知各项均为正数的等差数列na的公差 d 不等于 0，设13,ka a a是公比为 q 的等比数列 nb的前三项，（1）若 k=7，12a（i）求数列nna b的前 n 项和 Tn；（ii）将数列na和 nb的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列 nc，设其前 n 项和为 Sn，求211*2123 2(2,)nnnnSnnN 的值；（2）若存在 mk,*mN使得13,kma a a a成等比数列，求证 k 为奇数.【答案】(1)（i）12nnTn（ii）1（2）见解析【解析】(1)因为7k，所以137,a a a成等比数列，又 na是公差0d 的等差数列，所以211126adaad，整理得12ad，又12a，所以1d，112ba，32111122abadqbaa，所以11111,2nnnnaandnbbq，用错位相减法或其它方法可求得nna b的前n项和为12nnTn；1因为新的数列 nc的前21nn项和为数列 na的前21n项的和减去数列 nb前n项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221nnnnnnnS.所以211*2123 2(2,)nnnnSnnN =1(2)由dkaada)1()2(1121，整理得)5(412kdad，因为0d，所以4)5(1kad，所以3111232aadkqaa.因为存在 mk,mN*使得13,kma a a a成等比数列，所以313123kaqaam，又在正项等差数列an中，4)5)(1()1(111kmaadmaam，所以3111234)5)(1(kakmaa，又因为01a，有32 4(1)(5)(3)mkk，因为2 4(1)(5)mk是偶数，所以3(3)k 也是偶数，即3k为偶数，所以 k 为奇数.3.设12,na aa是各项均不为零的等差数列(4)n，且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.当4n 时，求1ad的数值；求n的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数(4)n，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,nb bb，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.【答案】(1)14ad或11ad4n（2）见解析【解析】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）当 n=4 时,1234,a a a a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0若删去2a，则2314aa a，即2111(2)(3)adaad化简得140ad，得14ad若删去3a，则2214aa a，即2111()(3)adaad化简得10ad，得11ad综上，得14ad或11ad当 n=5 时,12345,a a a a a中同样不可能删去1245,a a a a，否则出现连续三项。若删去3a，则1524a aaa，即1111(4)()(3)a adadad化简得230d，因为0d，所以3a不能删去；当 n6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,nnna a aaaa中，由于不能删去首项或末项，若删去2a，则必有132nna aaa，这与0d矛盾；同样若删去1na也有132nna aaa，这与0d矛盾；若删去32,naa中任意一个，则必有121nna aaa，这与0d矛盾(或者说：当 n6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n（2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列nbbb,.,21，其中111,xyzbbb（01xyzn）为任意三项成等比数列，则2111yxzbbb，即2111()()()bydbxdbzd，化简得221()(2)yxz dxzy bd（*）由10bd 知，2yxz与2xzy同时为 0 或同时不为 0当2yxz与2xzy同时为 0 时，有xyz与题设矛盾故2yxz与2xzy同时不为 0，所以由（*）得212byxzdxzy因01xyzn，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1bd为有理数于是对于任意的正整数)4(nn，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列例如 n 项数列 1，12，1 2 2，1(1)2n满足要求4.在数列na中，11a，且对任意的kN，21221,kkkaaa成等比数列，其公比为kq，22122,kkkaaa成等差数列，其公差为kd，设11kkbq.（1）若12d，求2a的值；（2）求证：数列 kb为等差数列；（3）若12q，设1nnnbcb，是否存在m、k2,kmk m*N，使得1c、mc、kc成等比数列若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)22a 或21a .（2）见解析（3）2m，8k【解析】解：（1）12d，322aa,又2231aa，解得22a 或21a .（2）22122,kkkaaa成等差数列,212222kkkaaa，而21222211,kkkkkkaaaaqq,故112kkqq，则111kkkqqq.得1111111kkkkqqqq，所以111111kkqq，即11kkbb.故数列 kb是公差为 1 的等差数列.（3）由12q 得11111bq，则1(1)1nbnn .11nnnbncbn.则11,211mkmkcccmk假设存在m、k2,kmk m*N，使得1c、mc、kc成等比数列，则21mkccc，即21121mkmk整理得22221mkmm因为0k，所以2210mm 解得1212m 因为2,mm*N，所以2m，此时8k 故存在2m，8k，使得1c、mc、kc成等比数列5.在数列na中，11a,且对任意的*kN,12212,kkkaaa成等比数列，其公比为kq.（1）若)(2*Nkqk，求13521.kaaaa；（2）若对任意的*kN,ka2，12 ka，22 ka成等差数列，其公差为kd，设11kkbq 求证：kb成等差数列，并指出其公差；若21d,试求数列kd的前k项的和kD.【答案】(1)1(41)3k（2）见解析(3)2kk kD或22kDk【解析】解：(1)因为2kq,所以21214kkaa,故13521,ka a aa是首项为 1,公比为 4 的等比数列,所以135211 41(41)1 43kkkaaaa(2)因为22122,kkkaaa成等差数列,所以212222kkkaaa,而21222211,kkkkkkaaaaqq,所以112kkqq,则111kkkqqq 得1111111kkkkqqqq,所以111111kkqq,即11kkbb,所以 kb是等差数列,且公差为 1 因为12d,所以322aa,则由223212aaa,解得22a 或21a ()当22a 时,12q,所以11b,则1(1)1kbkk ,即11kkq,得1kkqk,所以221221(1)kkakak,则2121321121231kkkkkaaaaaaaa2222222(1)21(1)(1)1kkkkk 所以2212(1)(1)1kkkakak kkqk,则2121kkkdaak,故(3)2kk kD()当21a 时,11q ,所以112b ,则13(1)122kbkk ,即1312kkq得1232kkqk,所以2121321121231kkkkkaaaaaaaa2222222131()()()122214()3512()()()222kkkkk,则212(21)(23)kkkaakkq,所以21242kkkdaak,从而22kDk.综上所述,(3)2kk kD或22kDk6.数列 na的各项均为正数.若对任意的*nN，存在*kN，使得22n knnkaaa成立，则称数列 na为“kJ型”数列.（1）若数列 na是“2J型”数列，且288,1aa，求2na；（2）若数列 na既是“3J型”数列，又是“4J型”数列，证明：数列 na是等比数列.【答案】(1)412212nnnaa q（2）见解析【解析】解：（1）由题意得2a，4a，6a，8a，成等比数列，且公比 138212aqa，412212nnnaa q（2）证明：由na是“4J型”数列，得1a，5a，9a，13a，17a，21a，成等比数列，设公比为t.由na是“3J型”数列，得1a，4a，7a，10a，13a，成等比数列，设公比为1；2a，5a，8a，11a，14a，成等比数列，设公比为2；3a，6a，9a，12a，15a，成等比数列，设公比为3；则431311ata，431725ata，432139ata所以123，不妨记123，且43t于是(32)1133211kkkaaa，2(31)12233315111kkkkkaaa taa，1313233339111kkkkkaaa taa，所以131nnaa，故na为等比数列7.设M为部分正整数组成的集合，数列na的首项11a，前n项的和为nS，已知对任意整数kM，当nk时，)(2knknknSSSS都成立（1）设1M，22a，求5a的值；（2）设3,4M，求数列na的通项公式【答案】(1)8（2）21.nan【解析】解：（1）由题设，当1112,2()nnnnSSSS时，111()()2nnnnSSSSS，从而112222,2,2,2(2)22.nnnaaaanaann又故当时5a的值为 8（2）由题设知，当3,4,22n kn knkkMnkSSS且时,S11122nknknkSSSS 且，两式相减11111112,nknknnknknnkaaaaaaa 即所以当63368,nnnnnnaaa aa 时成等差数列，且6226,nnnnaaaa也成等差数列从而当8n 时，33662.nnnnnaaaaa（*）且662222,8,2nnnnnnnaaaanaaa所以当时，即223113.9,nnnnnnnnaaaanaaaa于是当时成等差数列，从而3311nnnnaaaa，故由（*）式知11112,.nnnnnnnaaaaaaa即当9n 时，设1.nndaa当28,68mm时，从而由（*）式知6122mmmaaa故71132.mmmaaa从而76113122()()mmmmmmaaaaaa，于是12.mmaaddd因此，1nnaad对任意2n 都成立，又由22(3,4)n kn kkkSSSSk可知34()()2,92162n knnn kkSSSSSdSdS故且，解得42173,.222dadad a从而因此，数列na为等差数列，由112.ad知所以数列na的通项公式为21.nan
