2019年浙江大学自主招生试题数学试题.pdf
公众号：初高中数学交流群QQ 群：8219972361浙江大学浙江大学 2019 年年自主招生自主招生数学数学试题试题1.已知7，求coscos2cos3的值.2.已知1,2,3,4S，若1324|aaaa的平均数为最简分数qp，其中1234,a a a aS，则pq的值为3.动圆过定点(,0)a，且圆心到y轴的距离为2a，则圆心的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定4.一枚质地均匀的硬币，扔硬币 10 次，正面朝上次数多的概率为5.已知2221xyz，求3xyyz的最小值.6.已知()p n为n次的整系数多项式，若(0)p和(1)p均为奇数，则（）A.()p n无整数根B.()p n可能有负整数根C.()p n无解D.忘了7.3.abc是所有小数中最接近11的数，求abc的值.8.已知nN，下列说法正确的是（）A.若3nk，k N，则7|21nB.若3nk，k N，则7|21nC.若3nk，k N，则7|21nD.若3nk，k N，则7|21n9.复数12|1zz12()zz，满足|1i|1 i|2 3kkzz (1,2)k，求12z z.10.若1x，且满足2213xx，求551xx.11.已知点(,)a b在椭圆22143xy上，求234ab的最大值与最小值的和.12.若将 19 表示为若干个正整数的和，则这些正整数的积的最大值为13.数列na满足11a，143nnSa，求20192018aa的值.14.定义在R上的偶函数()f x满足21(1)()()2f xf xfx，求121()2f.15.若p、q是方程22650 xxaa的两根，且满足38qpp，则a的可能取值有多少个？16.ABC的顶点(,0)Ap，(,0)B p，其内心在直线xq上，且0pq，则顶点C的轨迹方程为公众号：初高中数学交流群QQ 群：8219972362参考答案参考答案1.令35coscoscos777，则352 sin2sincos2sincos2sincos7777777a，由积化和差公式可知：242642 sinsinsinsinsinsin777777a，化简可得：12a.2.易知1324|aaaa的最小值为 0，最大值为 6，则平均数为123456762，9pq.3.圆心到y轴的距离为2a，圆心在直线2xa或2xa 上，且圆心的轨迹是一个动圆截直线，所截的图像依然还是一条直线，圆心的轨迹为直线，故无答案.4.易知：6789101010101010101932512CCCCCP.5.由常见不等式可知：2222311344xyyzxyyz，解得：31xyyz，当且仅当32xy，12zy 时，等号成立，则3xyyz的最小值为1.6.设2012()nnp naa xa xa x，(0)p和(1)p为奇数，则0a为奇数，12naaa为偶数，假设()p n有整数根，设0()0p x，易知00|xa，则0 x为奇数，情形一：当1a，2a，na全是偶数时，则此时易知：0()p x为奇数，情形二：当1a，2a，na中有奇数时，而12naaa为偶数，则奇数必定时成对出现，则此时0()p x还是为奇数，综上：()p n无整数根，故选 A.公众号：初高中数学交流群QQ 群：82199723637.易知3a，1b，6c，则10abc.8.情形一：当3nk，*k N时，则1112181(71)1777nkkkkkkkkkCCC ，此时7|21n，则 B 正确；情形二：当31nk，*k N时，则1118(71)12111(777 1)222kknkkkkkkkCCC ，此时7|21n不成立；情形三：当32nk，*k N时，则1118(71)132111(777)4444kknkkkkkkkCCC ，此时7|21n不成立，则 A 错误，同理可得，C、D 错误，综上：选 B.9.设1cosisinz，2cosisinz，则2222(cos1)(sin1)(cos1)(sin1)2 3，整理可得：32(cossin)32(cossin)2 3，解得：sincos0，同理可得：sincos0，1324k，2724k，12,k k Z，而1 2cos()isin()z z，1 2iz z.10.2213xx，则4417xx，11xx，而4534531111()()()xxxxxxxx，又3232111()(1)4xxxxxx，55111xx.11.设2cosa，3sinb，则2344cos3 3sin443sin()4443,443ab，234ab的最大值与最小值的和为 8.12.设分拆中有x个 2，y个 3，则2319xy，当2x 时，此时乘积最大，乘积为2523972，公众号：初高中数学交流群QQ 群：8219972364乘积的最大值为 972.13.易知1144nnnaaa，则112=2(2)nnnnaaaa，此时有122nnnaa，整理可得：11122nnnnaa，122nnnan，则20192019201822aa.14.21(1)()()2f xf xfx，则221(1)(1)()()4fxf xfxf x，令2()()()g xfxf x，则1(1)()4g xg x，由上式可知()g x具有周期性，周期为 2，而()f x为偶函数，()g x也为偶函数，则1211()()22gg，111()()224gg，解得：11()28g，此时2111()()228ff 且1()2f x，解得：122()24f，121()2f的值为224.15.由韦达定理可知：2265364(5)pqpqaaaa ，又38qpp，则(1)(2)(3)0ppp，情形一：当1p 时，7q ，则2570aa，且0，此时a的值有两个；情形二：当2p 时，8q ，则25160aa，且0，此时a的值有两个；情形三：当3p 时，3q ，则2590aa，易知此时a无解；综上：a的可能值有 4 个.16.易知点C的轨迹为双曲线，且cp，aq，顶点C的轨迹方程为222221xyqpq.
