2023年勾股定理竞赛试卷含解答.pdf
八年级数学勾股定理竞赛试卷 120120 分）分钟，总分：（时间：25 分）一、选择题（每小题 5 分，共）M是 AB的中点 MC=MA=5，则 ABC 的面积是（1、ABC 周长是 24，30 A 12;B 16;C 24;D MBC，则 AM：AB=（）CD2、如图，在正方形 ABCD 中，N是的中点，M是 AD上异于 D的点，且 NMB=3311;D;BA;C 6332）题图 第（3）题图第（1 第（2）题图 OD 的长为（）OC=4OA=13、如图，已知 O是矩形 ABCD 内一点，且，OB=3，那么32;D.3 A.2;B.2;C.2 的 CDABCD 边的距离也等于 10，那么，正方形为正方形 4、如图，PABCD 内一点，PA=PB=10，并且 P 点到 面积是（）2 A 200;B 225;C 256;D150+10 的值最小，这个最小、AC，使得 MBM+MN 上各取一点 N、，若在中，5、如图，矩形 ABCDAB=20，BC=10AB 值为（）220 16;D A12;B 10;C 25 二、填空题（每小题 5 分，共分）第（5）题图 PPP,个不同的点边上有，、如图，6ABC中，AB=AC=2BC10，记10212CP AP PB M 么，10，=i 1，2，），那（iiiiM MM。=_1012）题图 6 第（33是 B，C 上一点，为 OA=4AM，D为 ON上一点，OD=8上任一点，7、如图，设 MPN=20，A为 OM。OD上任意一点，那么折线 ABCD 的长最小为 _ 8）题图第（第（7）题图。，PC=3，那么梯形 ABCD 的面积=_PB=2四边形 8、如图，ABCD 是直角梯形，且 AB=BC=2AB，PA=1，229x 4 y，那么=_。的最小值 9、若 x+y=12、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别 10。_为 分）三、解答题（共 70 三边分别作内的点 P向 ABCCA=18 分）如图 ABC 三边长分别是 BC=17，AB=19，过 ABC、11（本题 10 BD+BF的长度。，且 PD，PE，PFBD+CE+AF=27，求垂线 3 BC的长及 BDC 的面积。，求，中，分）如图，在（本题 12、15ABCAB=2AC=，A=BCD=45 13、（本题 15 分）设 a,b,c,d 都是正数。22222222ad a 2cdb2 c b ac d d 求证：36，求分）如图，四边形 14、（本题 15ABCD 中，BC=5-，BCD=120CD=6AB=，ABC=135 AD。2 6，求此、三点的距离之和的最小值为 B、CAEEABCD15、15（本题分）如图，正方形内一点，到 正方形的边长。答案 一、选择题 C 1 A 2 B 3 C 4 C 5 解答：ACB=90 MA=MB=MC=5，1222+BC，=10 知周长是 24，则 AC+BC=14，AC2222224)=142AC BC=(AC+BC)-(AC-10+BC=4 124 AC BCS ABC 2TOB，连 TO，则 BAMBC 的延长线于 T，设 MB 的中点为 O2 如图，延长 MN 交 BT：MB=OB：AM2（1 MB）=2AM BT k，则 AM=2 令 DN=1，CT=MD=k222)2 AMk 4(AB BM=所以42 k)(2+k)所以 k=4+(2 k)=2(2 1BT=2+k 代入（），得 312 AB=：2=：所以 AM 33H AB于 G DC于，交 E，交 BC于 F；过 O作 GHEF3 如图，过 O作 AD于 FB=y,AH=s,HB=x,CF=x，设 OG=x,DG=s 所以222222222=3-y-CF 所以 OF=OB-BF=OC 即 4-x22 1）9=7（所以 x-y=16 22222-t=1OH-s=3 同理有2222（2）=3 所以 t-s-1=8 22222=9 OH 又因为+HB=OB+t 即 y222222222+s(x)=+t(y 1）得 2（）1（-22222 1=8 1=9)+t=(y+s=xOD 所以 2 OD=2 所以 CD PF，则，交 CD于 F如图，过 P 作 EF AB于 E4 AB中点 PF=PA=PB=10，E 为所以 AB=AD=10+x，则设 PE=x11(10+x)AB=所以 AE=22222=PE+AE 在 Rt PAE中，PA1222x=6 所以 10(10+x)=x 所以+222=256=AB=(10+6)所以正方形 ABCD 面积 A BACB 关于的对称点 B，连 5如图，作 A B 点关于 AC的对称点 N上，在则 N 的的最小值，等于 B 到 A NB到 M到 N的最小值等于 B M B 这时，和 DC的交点与，连 BA BP距离 BH，1S=2010=100，则 ABP 2PCA PAC=BAC=由对称知识，x，PA=x，令，则 PC=x，PD=20 所以 PA=PC222 ADP中，PA=PD+AD在 Rt222 x=12.5 所以 所以 x=(20 x)+101S PABH 因为=ABP 2S22100 ABP 16=BH所以 5.12PA 二、填空题；401 2；123152 3；24 13；413 12510865，或，解答：222 AB 中，+BD=AD 于 D，在 Rt ABD 和 Rt APDAD1 如图，作 BCi222D ADAPP ii22222)(AD PDBDAB AP AD 所以 ii22D P BDi)DBD P(BD PD)(iiBPC Pii224 M4 PC PB AB AP 所以所以iiii40M M M 所以1021，D关于 OM 的对称点 D1 如图，作 A关于 ON的对称点 A，则 A，CD，连结 AB=ABB DC D=CD，从而 AB+BC+CD=AAB+BC+CD=60OD因为 AON=MON=MOD=20，所以 A33，OD=OD=8，又因为 OA=OA=4=2OA 所以 OD OAD=90 即 ODA 为直角三角形，且222212OD 43)(83)OA(A 所以 D=12 的长的最小值是所以，折线 ABCD 于 N，AB于 M，PN BC3 如图，作 PM AB=m,PM=x,PN=y，则设22)(y1 4x22)2)1(mx(y 22)9(x)y3 m(3）分别得，由（2）、（2221 yx m2 my 3）（2229 2y m mxx）4（23m2 y 0;m2my 3）得 将（1）代入（4 m225 m2 x0 2mx 5;m）得 1）代入（5 将（m2240 m 10m 17）得 x,y 的表达式分别代入（1 把222=5+20 所以因为mm12 22,AD 5 m 225 2,BC 5 所以 AB=231152(S ADBC)AB 所以 ABCD224 PA=x，PB=y，连 PC，PD，AC=2，BD=3，且 ABAC，AB BD，P 在 AB上且如图，4AB=12 CAP和 Rt DBP中在 Rt222,AC PA 4 xPC 2229y PD BD PBP CD 的长度，而如图，P 点在位置时，PC+PD 的值最小，为线段0 2213 3)12(2 CD=229 4 y x。的最小值为 13 所以 是斜边，则有，其中 c5设三边长为 a,b,c222)1b(ca ab c)3a b(2abab2220 8)4a b(4b a b)(aba（2 即）代入（1）得 42 4b+8=0 4a ab 0 所以 ab 因为8 4a)(a,b 为正整数所以 4b，4，8 所以 b 4=1，2；，126 所以 b=5，8 5；8，6，a=12，1310c=13，10，13，1251086 所以，三边长为，或，三、解答题，AF=z，如图 1,连结 PA,PB，PC，设 BD=x，CE=y z FB=19，则 DC=17-xEA=18 y，2222PF z(19)x PD PFB 中，有 PBD和 Rt在 Rt 同理有：2222PD)(17y PEx 2222PE)z PF(18y222222)1918 y)(z x yz(17 x)(将以上三式相加，得 17x+18y+19z=487 即 又因为，x+y+z=27 1,所以 x=z z=18 1+19 BD+BF=x+(19 所以 z)=z，AB于 E如图，作 2CE 62 AC 则 CE=AE=226 64BE=AB-AE=2-所以 22222BE BC CE 又2216 7 2CE BE6 所以 BC=DF=CF=xCB 延长线于F，并设，DF再过 D作 BC，交6 BC=x+1-则 BF=x RtCEB，又 Rt DFB6 646:x：)=(x+1-：所以 DF：BF=CEBE，即 22623 所以 x=26 269 311 S)BCDF(6 1所以 BCD 4222，如图，构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形 ABCD2 22AB AE 中，ABEBE=在 Rt22222 2c d ac()a dcd BE=所以 在 Rt BCF中，2222222ab b)dd a2 BCb CF(a BF=2222c DEb DF DEF 中，EF=在 R t BE+EFBF 在 BEF中，22222222ab d c2 a ab c db 2cd 即，2=60 BC交 CD于 E，则1=45AE3 如图，过 A 作，AE于 F，作 CG 于 GBF过 B 作 AE ABF则 Rt为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，36 BC=5-AB=，又因为233 AB=，所以 CG=BF=所以 BF=AF=212CG=1 CG=2，EG=所以 CE=33AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 所以 DE=CD-EC=6-2=4 M AE延长线于 DM 过 D作-120BCD=180=60-MED=180 AED=180-313 DE=2，所以EM=DE=2DM=2222221923)AM DM)(6 2(2 AD=AMD 在 Rt中，MB，则 ABE5 如图，以 A为中心，将旋转 60到 AMN，连 NBAE+EB+EC=AN+MN+EC 因为 AE=AN，NAE=60AE=NE 所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC 所以成为线段，且当 AE+EB+ECMNEC 取最小值时，折线6 2，MC=MBC=150 3xx,PB 在 RtPM=BC=xPMC 中，设，223x222)x(2(6)x 所以 22x=2,BC=2 所以
