2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）.doc

最新最全的数学资料尽在QQ群323031380 公众号 福建数学2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）下列选项叙述错误的是（）A命题“若xl，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”B若pq为真命题，则p，q均为真命题C若命题p：xR，x2+x+10，则¬p：xR，x2+x+1=0D“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件2（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A0.42B0.28C0.3D0.73（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A若lm，ln，m，n，则lB若l，m，则lmC若lm，m，则lD若l，m，则lm4（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）ABCD5（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A7B8C9D106（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，0233的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A23B20C06D177（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=18（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9（5分）如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）ABCD10（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD11（5分）三棱锥PABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB平面ABC，则三棱锥PABC的体积的最大值为（）A4B3C4D312（5分）F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是PF1F2的重心，若=0，则双曲线的离心率是（）A2BC3D二、填空题13（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为 14（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为 15（3分）若双曲线x2=1（b0）的一条渐近线与圆x2+（y2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 16（3分）ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120°，它所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是： 三、解答题17某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：年份20102011201220132014科研费用x（百万元）1.61.71.81.92.0公司所获利润y（百万元）11.522.53（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式=，=）18某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？19如图，三棱锥PABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点（1）证明：平面GEF平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值20在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cos）=3（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：=1（1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|OQ|的范围21如图所示三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，ACCD（）若AA1=AC，求证：AC1平面A1B1CD；（）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角CA1DC1的余弦值22已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1，1），求SABM的最大值2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）下列选项叙述错误的是（）A命题“若xl，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”B若pq为真命题，则p，q均为真命题C若命题p：xR，x2+x+10，则¬p：xR，x2+x+1=0D“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若p则q“故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则pq为真命题故错误C正确D 由x2一3x+20解得x1或x2显然x2x1或x2但x1或x2不能得到x2故“x2”是“x2一3x+20”的充分不必要条件，故正确故选B2（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A0.42B0.28C0.3D0.7【解答】解：口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是10.420.28=0.3，故选C3（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A若lm，ln，m，n，则lB若l，m，则lmC若lm，m，则lD若l，m，则lm【解答】解：若lm，ln，m，n，则当m与n相交时，l，故A错误；若l，m，则l，所以lm，故B正确；若lm，m，则l或l，故C错误；若l，m，则l与m相交、平行或异面，故D错误故选：B4（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）ABCD【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A概率P=，B概率P=，C概率P=，D概率P=，则概率最大的为，故选：A5（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）A7B8C9D10【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5输出的值S=16，跳出循环的i值为10，判断框的条件in，其中8n10，自然数n的最小值为9故选：C6（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，0233的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A23B20C06D17【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17，24，06，则第6个红色球的编号为06，故选：C7（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【解答】解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选：A8（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D9（5分）如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）ABCD【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1DD1BDF1DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在DF1A中，cosDF1A=，故选A10（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为×××1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D11（5分）三棱锥PABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB平面ABC，则三棱锥PABC的体积的最大值为（）A4B3C4D3【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON=1平面PAB平面ABC，三棱锥PABC的体积的最大值时，PNAB，PN平面ABC，PN=，三棱锥PABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B12（5分）F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是PF1F2的重心，若=0，则双曲线的离心率是（）A2BC3D【解答】解：由题意可得 F1 （c，0），F2 （c，0），A（a，0）把x=c代入双曲线方程可得y=±，故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（， ）若=0，则 GAF1F2，G、A 的横坐标相同，=a，=3，故选：C二、填空题13（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6【解答】解：高一年级有30名，高二年级有40名，高一年级的学生中应抽取的人数为x，则满足，即x=6故答案为：614（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有 解得m=，n=mn=故答案为：15（3分）若双曲线x2=1（b0）的一条渐近线与圆x2+（y2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2【解答】解：圆x2+（y2）2=1的圆心（0，2），半径r=1双曲线x2=1（b0）的一条渐近线与圆x2+（y2）2=1至多有一个交点，1，化为b23e2=1+b24，e1，1e2，该双曲线的离心率的取值范围是（1，2故答案为：（1，216（3分）ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120°，它所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，PA=PB=PCOA=OB=OC，即O是ABC的外心，只需求出OA（ABC的外接圆的半径），记为R，在ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R=14，OA=7，得：PO=7故答案为：7三、解答题17某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：年份20102011201220132014科研费用x（百万元）1.61.71.81.92.0公司所获利润y（百万元）11.522.53（1）求y关于x的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式=，=）【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，又=16.3，xiyi=18.5；b=5；a=b=25×1.8=7，故所求的回归直线方程为=5x7；（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），故可预测该公司所获得的利润为=5×2.37=4.5（百万元）；答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元18某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，（0.002+0.0095+0.011）×20=0.450.5，月平均用电量的中位数在220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a220）=0.5可得a=224，月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为280，300）的用户有0.0025×20×100=5，抽取比例为=，月平均用电量在220，240）的用户中应抽取25×=5户19如图，三棱锥PABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点（1）证明：平面GEF平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值【解答】（1）证明：E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，EFBC，又BC平面PBC，EF平面PBC，EF平面PBC，同理可得：GF平面PBC，又EF平面GEF，GF平面GEF，GFEF=F，平面GEF平面PBC（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），=（2，0，1），=（2，1，0），=（1，0，1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，令x=1可得=（1，2，2）cos，=设PF与面PAB所成角为，则sin=|cos，|=PF与面PAB所成角的正弦值为20在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cos）=3（1）求C的极坐标方程；（2）射线OM：=1（1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|OQ|的范围【解答】（1）圆C的参数方程为（参数），转化为圆C的普通方程是（x1）2+y2=1，又x=cos，y=sin，所以圆C的极坐标方程是：=2cos（2）设P（1，1），则有 ，设Q（2，2），且直线l的方程是cos）=3则有，所以|OP|OQ|=12=，由于：，则：tan10，所以0|OP|OQ|621如图所示三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，ACCD（）若AA1=AC，求证：AC1平面A1B1CD；（）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角CA1DC1的余弦值【解答】证明：（）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1A1C，AD=2CD，ACCD，ACD为直角三角形，则ACCD，AA1平面ABC，CD平面ACC1A1，则CDA1C，A1CCD=C，AC1平面A1B1CD；解：（）AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，ACCD建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，A1D与BB1所成角的余弦值为，=，又，解得A1D=，AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，0），C1（0，0，），A1（1，2，），=（0，2，），=（1，2，），=（1，2，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，2），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，4），设二面角CA1DC1的平面角为，则cos=二面角CA1DC1的余弦值为22已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1，1），求SABM的最大值【解答】解：（1）设椭圆方程为（ab0），则椭圆离心率，点在椭圆C上，解得a=2，b=1，椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则kOA、k、kOB成等差数列，m（x1+x2）=0，m=0，直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，|AB|=M到y=kx的距离为d=S=S2=，（S2）=，k，（S2）0，k1，（S2）0，k1，（S2）0，k=时，S取得最大值第22页（共22页）