圆锥曲线：第三讲双曲线 (1).doc

第三讲 双曲线1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_等于常数2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(习惯上称为第一定义)这两个定点叫做双曲线的_，两焦点间的距离叫做双曲线的_(2)另一种定义方式：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的_(3)实轴和_相等的双曲线叫做等轴双曲线离心率e是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直一般可设其方程为x2y2(0)2双曲线的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程1(a0，b0)(3)范围|x|a|y|a(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(a，0)，A2(a，0)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，c)，F2(0，c)(8)焦距2c2(9)离心率(10)准线x±y±(11)渐近线方程y±x【答案】1(1)绝对值焦点焦距(2)离心率(3)虚轴2(2)1(a0，b0)(5)A1(0，a)，A2(0，a)(7)F1(c，0)，F2(c，0)(9)e(e1)(11)y±x【基础自测】1设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x±2y0，则a的值为()A4 B3 C2 D1解：由双曲线方程可知渐近线方程为y±x，又a0，可知a2.故选C.2已知0<<，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C焦距相等 D离心率相等 3已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A. 1 B. 1C. 1 D. 1解：根据已知可得半焦距c5，点P(2，1)在双曲线的一条渐近线方程yx上，a2b.根据c2a2b2，有254b2b2，得b25，a220，所求C的方程为1.故选A.4双曲线1的离心率为_解：依题意知a216，b29，c2a2b225，c5.该双曲线的离心率为e.故填.5已知曲线方程1，若方程表示双曲线，则的取值范围是_解：方程1表示双曲线，(2)(1)0，解得2或1.故填2或1.【典例】类型一双曲线的定义及标准方程例一求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(5，2)，焦点为(，0)；(2)实半轴长为2，且与双曲线1有公共焦点解：(1)焦点坐标为(，0)，焦点在x轴上，可设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线过点(5，2)， (2)由双曲线1得其焦点坐标为F1(-2，0)和F2(2，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为1(a0，b0)易知a2，c2，b2c2a28.所求双曲线方程为1.【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2By21(A·B0)，这样可以简化运算变式求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)对称轴为坐标轴，经过点P(3，2)，Q(6，7)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)解：(1)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax2By21(AB0)，所求双曲线经过P(3，2)，Q(6，7)，解得A，B.故所求双曲线方程为1.(2)解法一：设双曲线方程为1，易求c2，双曲线过点(3，2)，1，得a2.类型二双曲线的离心率例二(1)设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l经过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_解：直线l的方程为1，即bxayab0.由原点到直线l的距离dc，得3c416a2b216a2(c2a2)，即3c416c2a216a40，有3e416e2160，解之得e24或e2.ba0，b2a2，即c2a2a2，e22.e24，e2.故填2.(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若4，则C的离心率为_解：设双曲线C：1的右准线为l，过A，B分别作AMl于M，BNl于N，作BDAM于点D，由直线AB的斜率为知直线AB的倾斜角为60°，BAD60°，|AD|AB|.又|AM|BN|AD|(|)|AB|(|)又4，·3|，得e.故填.(亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征2c的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A版教材选修21P59例5)e4a，xPa，得1<e3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比(参看本节课时作业附加题)变式(1)设F1，F2是双曲线C：1的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230°，则C的离心率为_ (2)设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两焦点，P为双曲线上一点，若|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围是_解：|PF1|2|PF2|，P点在双曲线的右支上又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a.|PF1|PF2|2c，6a2c，即3.e1，1e3.故填(1，3类型三双曲线的渐近线例三已知双曲线C：1的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay±x By±xCy±x D y±x解：根据双曲线的性质可知e，c2a2b2，联立可得b2，即 ，故C的渐近线方程为y±x.故选C.【评析】本题考查双曲线的离心率，a，b，c的关系，以及双曲线的渐近线等知识渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程变式在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积 |OA|·.【名师点睛】1对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解2双曲线的定义中，当时，动点M的轨迹是双曲线的一支，当时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”3定义中|F1F2|2a这个条件不可忽视，若|F1F2|2a，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若|F1F2|2a，则轨迹不存在4在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x2，y2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x2，y2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上5在椭圆中，a，b，c满足a2b2c2，即a最大；在双曲线中，a，b，c满足c2a2b2，即c最大6在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数7求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A0，B0，AB时为椭圆，当A·B0时为双曲线8双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系方程为(0)(2)双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|，则1(a0，b0)，若点P在右支上，则r1ex0a，r2ex0a；若点P在左支上，则r1-ex0a，r2ex0a.1(a0，b0)，若点P在上支上，则r1ey0a，r2ey0a；若点P在下支上，则r1-ey0a，r2ey0a.【针对训练】1双曲线y21的离心率是()A. B. C. D. 2双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.解：双曲线y21的顶点坐标为(±2，0)，渐近线方程为x±2y0，由点到直线的距离公式知d.故选C.3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解：由题意知c3，e，a2.b2c2a232225.C的方程为1.故选B.4若双曲线1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()A. B. C. D2解：渐近线方程为y±x，一个焦点的坐标为(c，0)，由点到直线的距离公式得db2a，ca，离心率e.故选C.5已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解：圆C的方程可化为(x3)2y24，则圆心C(3，0)，半径r2，c3.又双曲线的渐近线方程为y±x，即bx±ay0，两条渐近线均和圆C相切，2，即3b2c6，b2，a2c2b25.所求双曲线方程为1.故选A.6设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，1)解：由方程组 得A，B，|AF1|.易知|F1F2|2c. 7若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为_解：在双曲线1中，离心率e，可得，故所求双曲线的渐近线方程是y±x.故填y±x.8已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解：由题意知a3，b4，c5，点A(5，0)为双曲线C的右焦点又2a6，2a6，4b16，PQF的周长l(6)(6)212321244.故填44.9已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)，求C的离心率解：易求得直线l的方程为yx2，代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1·x2.由M(1，3)为BD的中点知1，×1，有b23a2.c2a.C的离心率e2.10已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程即x1，y1，则x0，|x|.而点P(x1，y1)在双曲线y21上，y1.将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为y21，x0且x±.11在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2y21.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点若2，求M点的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积解：(1)双曲线C：y21，左焦点F.设M(x，y)，则y2.由M是双曲线C右支上一点，知x，x2，得x，此时y±.M点的坐标为.(2)易知左顶点A，渐近线方程为y±x.过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所求平行四边形的面积S.12 设A是双曲线1右支上一点，F为右焦点，连结AF交双曲线的右支于B点，作直线BC垂直定直线l：x，垂足为C，求证：直线AC恒过定点易知直线AC的斜率为k，故直线AC的方程为yy2k，即yk.又(y2).因此，直线AC的方程为yk，故直线AC恒过定点.证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知F(5，0)，C.如图，过点A作AD垂直于l，D为垂足过点F作直线PQx轴，交AD，BC于P，Q，易知APFBQF ，则，易知kAB，.直线AC的斜率为k，故直线AC的方程为yy2k，即yk.将代入，经计算，·.因此，直线AC的方程为yk，故直线AC恒过定点(验证可知当直线AB的斜率不存在时也满足)