【教案】两角和与差的正弦、余弦和正切公式+教学设计高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

课时教学设计课题 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式授课时间： 年 月 日课型：新授课课时：第一课时核心素养目标1.通过开门见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公。2.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。 学习重点难点教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。 教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。学习活动设计环节一：情景引入，温故知新提出问题 .两角差的余弦公式 如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出，的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos()与角，的正弦、 余弦之间的关系 不妨令2k，kZ 如图5.5.1，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A（，），以x轴非负半轴为始边作角， 它们的终边分别与单位圆相交于点A1（cos，sin）， P1（cos，sin），P(cos()，sin()任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性连接A1P1，AP若把扇形OAP,绕着点O旋转角，则点A，P分别与点A1, P1重合根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1 重合，从而， 所以APA1P1根据两点间的距离公式，得cos12+sin2=(coscos)2+(sinsin)2，化简得:cos=coscos+sinsin当=2k （kZ）时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角，有cos=coscos+sinsin （）此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作().典例解析例 利用公式cos证明：（）cos2-= sin ; （）cos-= cos证明: (1)cos2-= cos2cos+sin2sinsin=01×sin=sin(2)cos-= coscos+sinsinsin=(-1)×cos+o cos例 已知sin=45，(2,), cos=513，是第三象限角，求cos的值解：由sin=45，(2,),得cos=1sin2=1(45)2=35又由cos=513，是第三象限角，得sin=1cos2=1(513)2=1213所以cos=coscos+sinsin=(35) ×(513)+(45) ×(1213)=3365由公式 cos出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式 cos为基础来推导其他公式 例如 ， 比较cos 与cos+ ，并注意到 与之间的联系 ：+（）则由公式 cos ， 有cos+=cos coscos+sinsin=coscossinsin于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（ ） cos+=coscossinsin问题探究 上面得到了两角和与差的余弦公式 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 你能根据 （ ） ， （ ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角 ， 的正弦 、 余弦表示 sin （ ）， sin（ ） 的公式吗 ？通过推导 ， 可以得到 ：   sin+ sincos+cossin，（ S（ ） ）   sin sincoscossin ; （ S（ ） ） 你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 ( ± ) ， ( ± ) 出发 ， 推导出用任意角 ， 的正切表示   tan+ ，   tan 的公式吗 ？通过推导 ， 可以得到 ：       tan+ =   tan+tan   1   tantan T( + )        tan =   tantan   1+  tantan T( ) 和 （ 差 ） 角公式中 ， ， 都是任意角 如果令 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 ？ 公式 ( ) ， ( ) ， ( ) 给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关系 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 类似地 ， ( ) ， ( ) ， ( )都叫做 差角公式 典例解析例3. 已知sin=35，是第四象限角，求sin4,cos4+,tan4的值 解 ： 由 sin=35，是第四象限角， 得cos=1sin2=1(35)2=45所以  tan =   sincos = 3545 = - 34于是有sin4 =sin4coscos4sin=22×4522×(35)=7210;cos4+ =cos4cossin4sin=22×4522×(35)=7210;  tan4 =   tantan41+  tantan4 =   tan11+  tan=   3411+(34) =7解题技巧：(给值求值的解题策略) (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: =(-)+;=+2+-2;2=(+)+(-);2=(+)-(-). 由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有sin4 =cos4+ 那么对于任意角 ， 此等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明? 例 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：（ ）sin72°cos42° cos72°sin42° ;（ ） cos20°cos70° sin20°sin70° ;（ 3 ）1+tan15°1tan15° ;分析 ： 和 、 差角公式把 ± 的三角函数式转化成了 ， 的三角函数式 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 解 ：（ ） 由公式 S（ ） ， 得sin72°cos42° cos72°sin42°=Sin(72° 42°)=sin30°=12（2） 由公式 C（ + ） ， 得cos20°cos70° sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0（3） 由公式 T（ + ）及tan45°=1， 得1+tan15°1tan15°=tan45°+tan15°tan45°tan15°=tan45°+15°=tan 60°=3教师活动：通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；学生活动：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。活动意图由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式环节二：三、当堂达标1 cos 65°cos 35°sin 65°sin 35°等于()Acos 100°Bsin 100° C D【解析】原式cos(65°35°)cos 30°.【答案】C2.已知是锐角，sin ，则cos等于()A B C D【解析】因为是锐角，sin ，所以cos ，所以cos××.故选B【答案】B3已知锐角，满足cos ，cos()，则cos 等于() A B C D【解析】因为，为锐角，cos ，cos()，所以sin ，sin().所以cos cos()cos()·cos sin()·sin ××.故选A【答案】A4计算_.【解析】tan 45°1.【答案】15已知，均为锐角，sin ，cos ，求.【解】，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin <sin ，<，<<0，sin()sin cos cos sin ××，.四、小结让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：两角和差的公式 思想方法上：整体代换思想，转化思想。教师活动通过练习巩固本巩固本节所学知识，巩固对和差和差距角公式的运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。学生活动学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；活动意图说明通过公式的推导过程发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。5.作业设计1. P217练习3,4，52. 预习下节课内容课时教学设计课题 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式授课时间： 年 月 日课型：新授课课时：第二课时核心素养目标1.进一步理解两角和与差的正弦、余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力2.掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题3.运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；4. 学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。. 学习重点难点重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：求值过程中角的范围分析及角的变换. 教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。学习活动设计环节一：情景引入，温故知新提出问题 阅读课本215-218页，思考并完成以下问题1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？ 2. 二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。新知探究1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin_cos_±cos_sin_；cos()cos_cos_±sin_sin_；tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_；tan 2.提醒：1必会结论(1)降幂公式：cos2 ，sin2 .(2)升幂公式：1cos 22cos2 ，1cos 22sin2 .(3)公式变形：tan ±tan tan(±)(1tan ·tan )(4)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .2常见的配角技巧2()()，()，等典例分析、举一反三题型一 给角求值例1 利用和（差）角公式计算下列各式的值. 【答案】（1）（2）0（3）.解题技巧：（利用公式求值问题）在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值. 跟踪训练一1.cos 50°=() A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20° B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20° C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20° D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20° 【答案】C【解析】cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°. 2.cos512cos6+cos12sin6的值是()A.0 B.12C.22D.32【答案】C【解析】cos512cos6+cos12sin6=cos512cos6+sin512sin6=cos512-6=cos4=22.3.求值：(1)tan75°；(2).【答案】（1）2；（2）1.【解析】(1)tan75°tan(45°30°)2.(2)原式tan(60°15°)tan45°1.跟踪训练二1.(1)已知为锐角,sin =35,是第四象限角,cos =45,则sin(+)=. (2)若sin(-)cos +cos(-)sin =35,且2,则tan-34 =. 【答案】（1）0；（2）17【解析】 (1)为锐角,sin =35,cos =45.是第四象限角,cos =45,sin =-35.sin(+)=sin cos +cos sin =35×45+45×-35=0.(2)由已知得sin (-)+=35,即sin =35,又因为2,所以cos =-45,于是tan =-34,故tan-34=tan-tan 341+tantan 34=-34-(-1)1+-34×(-1)=17.题型三 给值求角例4已知tan，sin，且，为锐角，求2的值【答案】.【解析】tan<1且为锐角，0<<.又sin<且为锐角0<<，0<2<.由sin，为锐角，得cos，tan.tan().tan(2)1.由可得2.解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤)(1)给值求角问题的步骤求所求角的某个三角函数值确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角(2)选取函数的原则已知正切函数值，选正切函数已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好跟踪训练三1.若tan =12,tan =13,且,32,0,2,则+的大小等于()A.4B.54C.74D.94【答案】B .【解析】由已知得tan(+)=tan+tan1-tantan=12+131-12×13=1.又因为,32,0,2,所以+(,2),于是+=54.教师活动：通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；学生活动：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。活动意图由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式题型四 二倍角公式应用例5 【答案】见解析.解题技巧：(二倍角公式应用)应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异跟踪训练四1.(1)已知，sin，则sin2_，cos2_，tan2_；(2)已知sin，0<x<，求cos2x的值【答案】（1），；（2）.【解析】(1)因为，sin，所以cos，所以sin22sincos2××，cos212sin212×2，tan2，故填，.(2)因为x，所以x，又因为sin，所以cos，所以cos2xsin2sincos2××.四、小结让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：两角和差的公式，二倍角公式。 思想方法上：整体代换思想，转化思想。教师活动通过练习巩固本巩固本节所学知识，巩固对和差和差距角公式和二倍角公式的运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。学生活动学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；活动意图说明通过公式的推导过程发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。5.作业设计1.课本P223练习2，3，4，52. 预习下节课内容5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、六组公式 例5 二、二倍角公式 7.教学反思与改进优点：不足：改进措施：学科网（北京）股份有限公司