大学物理学习题及解答全.pdf

大学物理学（北邮第三版）赵近芳等编著习题及解答（全）习题一1-1 I I与/尸有无不同？举例说明.drdr有无不同？dvdv和和有无不同?其不同在哪里?试解：（1）1A z I是位移的模，是位矢的模的增量,M=lr2-r|,同一 同;即（2）是速度的模,即drdrd7ds=H=d7山 只是速度在径向上的分量.有r =r F （式中，叫做单位矢）,dr式 中 山 就是速度径向上的分量，dr d r=r则drdzdr+r dtdr .d r不同如题1-1图所示.曳 同=变 变（3）d f表示加速度的模，即 山，由 是加速度a在切向上的分量.有丫=v 代 表轨道节线方向单位矢），所以dv dv 一 df=r +v dt dt dtdv式中力就是加速度的切向分量.dr 1一 df（,山 dr的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）1-2设质点的运动方程为x =x（Q,y =（Q,在计算质点的速度和加速度时，有人先求dr d2 r出r=J/+）2,然后根据v=dr ,及a=d 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在?解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 了 =x i +，v_ =dr =dr ir +dy -/dr d/drd2xr d2y-r+r r J故它们的模即为加速度定义作dr d Tv =a =d t drdr 一 d2r dr其二，可能是将山 dr误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明出 不是速度的模，d2r而只是速度在径向上的分量，同样，d J也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分L d r。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢尸在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢产及速度/的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质 点 在 平 面 上 运 动，运动方程为x=3 f+5,丁 =2 尸+3 i.式中f以s计，以m计.（1）以时间，为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出心1s时刻和f=2 s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算f=0 s时刻到，=4s时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算，=4 s时质点的速度；（5）计算，=O s至*=4 s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算，=4 s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.=(3 r +5)i +d产+3 4)解 2 m(2)将f =1,f =2代入上式即有rt=Si-O.5 j m弓=U 7 +4 J m雷=弓一号=3 7 +4.5 m(?).rQ=5 j-4j,r4=1 7?+1 6j=A FV =A r因一另二 1 2；+2 0/4-0 -=3 i +5j m-s-1(4)则(5)v=3F+(/+3)j m-s-1drv4=3f+7 j m.s-3Ar 43 F +3；,V4=37+7；(6)4 厂=-=lj4,dva=drm s-21；m s-2这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如 题 1-4图所示.当人以“(m S”)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.解：设人到船之间绳的长度为/，此时绳与水面成8 角，由图可知I2=h2+s2将上式对时间f 求导，得根据速度的定义，并注意到。s是随f减少的，d/ds.=-=v0,vffi=-ds _ I dl I v0即“船 dt s dt s V cos。一 /%_ M+s2严%或船 s s将.V船再对f 求导，即得船的加速度s d/ds八du船 山 dt v-y()s+人船、，a=&=-2vo=-5-vodt s s(-S+L 说/2 2_ S_ _ n VQS2 532-21-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关 系 为4=2+6%，”的单位为m-s,x的单位为m.质点在=0处，速度为lO m-sL试求质点在任何坐标处的速度值.dv dv dr dva=-=v 解：,.dr dx dt dr分离变量：RD=adx=(2+6x2)dx U 2=2x+2 Al 3+C两边积分得 2由题知，x=0时，=10,.c =50.v-2J/+x+25 m-s71-6已知一质点作直线运动，其加速度为。=4+3,m-s ,开始运动时，x=5 m，v=0,求该质点在，=10s时的速度和位置.dv.a=4+3/解：山分离变量，得 dv=(4+3f)df，3 2v=4f+L+C积分，得 2由题知，=0,%=,.*.Ci=v=4t+-t2故2v=一dr =4.t+-3 t2又因为 由 2dx=(4/+3产)5分离变量，2c 2 1 3X=2t d-1 +积分得 2由题知 f=0,X。=5,.Q=5x=2t2+-t3+5故2所以f=10s时3,.v1i0n =4 x l0 +2-x l02=190 m s-1,1 ,x.=2 x l02+-x l03+5=705 m1021-7-质点沿半径为1 m的圆周运动，运动方程为 9=2+3，6式中以弧度计，以秒计，求：（1）f=2 s 时，质点的切向和法向加速度：（2）当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少？解：（l）f =2s 时,d O 八 2。d y ,。“=9，=1 8rd t d tar=R/3=1 x 1 8x 2=36 m-s-2a =Re o2=lx(9 x 22)2=1 29 6 m-s-2t a n 450 =合=1（2）当加速度方向与半径成45角时，有即 R =RB3 2t 则解得 9亦即(9)2=1 826=2+3 =2 +3x =2.67 r a d于是角位移为 9v1 R 2or b t1-8质点沿半径为R的圆周按=2 的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长，,人都是常量，求：（I 时刻质点的加速度；（2），为何值时，加速度在数值上等于人.解(1)h il ld s.v =va-b td t d v ,c i bT d t_ v2 an=n R R击r +“-/+R2加速度与半径的夹角为a Rb(P=a r c t a n =-*“i f（2）由题意应有即_ L.2.(V0-)4c i -b 1 h+_V R2b =b +2 ，no 从)=0R.当 b 时，a =b1-9半径为R的轮子，以匀速”。沿水平线向前滚动：（1）证明轮缘上任意点8的运动方程为X=R 3-s i n a）t）,y=R（l-c o s ）；式中。R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时8所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；（2）求B点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知、题 l-9 图O D.e。x=u-2H sin cos 2 2=vor-/?sin=R(cot-R sin cot)c.6.0y-2/?sin sin 2 2=R(1 cos 6)=R(1 cos cot)(2)dxvr=Ra)(l-cos cot)Adt=0.4 x 0,4=0.16 m-s-1an-Reo2-0.4x(0.4)2=0.064 m.s-2ar=Rp=0.4x0.2=0.08 m.s-2a=:=(0.064)2+(0 08=0.102 m s-21-1 2如题1-12图，物体A以相对3的速度v=J而 沿 斜 面 滑 动，V为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为人处，8物体以匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度.解：当滑至斜面底时，y=h,则以旃，A物运动过程中又受到8的牵连运动影响,因此，A对地的速度为cos a)i+Q2gh sin a)j1-13 一船以速率匕=30km h 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率匕=40如 h沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？解：(1)大船看小艇，则有21=%一耳，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)v30-arctan =arctan =36.87方向北偏西“2 4(2)小船看大船，则有耳2=%一5 2,依题意作出速度矢量图如题1-13图(b),同上法，得vi2=50 km-h-1方向南偏东36.871-1 4当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m-s 求轮船的速率.解：依题意作出矢量图如题1T4所示.州M题1-1 4图由图中比例关系可知讥雨船=,雨 一 /船Khi=雨 船+船V 船=丫 雨=8 m s-1习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为叫的物体，另一边穿在质量为加2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度。下滑，求，加2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力（绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计）.解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为外，其对于加2则为牵连加速度，又知能2对绳子的相对加速度为，故加2对地加速度，由图（b）可知，为2 =Q Q又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳的张力丁，由牛顿定律，有m,g-T =m T-m2g=m2a2 联立、式，得（A 7 1,一小2）且 +mia，a=m+m2_（加-m g-m ac i 2 =m+叫f_T _ mym2（l g-a J _ I-m+加2讨 论（1）若 屋=,则为=&表示柱体与绳之间无相对滑动.（2）若“=2g,则T =/=,表示柱体与绳之间无任何作用力，此 时 叫，加2均作自由落体运动.(a)(b)题2-1图2-2 一个质量为2的质点，在光滑的固定斜面（倾角为。）上以初速度%运动，的方向与斜面底边的水平线4 8平行，如图所示，求这质点的运动轨道.解：物体置于斜面上受到重力 吆，斜面支持力N.建立坐标：取。方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为y轴.如图2-2.题2-2图X方向：工=x =3 丫 方向：Fy=m g s m a=m ay f =0 时 y =匕,=1.2y=5 g s i nor由、式消去，得y 1 s i.na r x22%2-3质量为1 6 k g的 质 点 在 平 面 内 运 动，受一恒力作用，力的分量为工=6 N,0=-7 N,当，=0 时，x=y=0,L=-2 msT,=0.求当f=2 s 时 质 点 的（1）位矢；（2）速度.63 ,av=-m s 2解：m 1 6 8JL 1c J C _1aYd t =_2 H x 2 =m s)8 4Vv=v.vo+?/v =一7 x 2 =-7-ms-p 10 o于是质点在2 s时的速度(2)一/1 2、；1 2 二r =(vQt +-axt-)i+5%/1 3 -1 -7 一=(-2 x 2 +x -x 4)z+()x 4 j2 8 2 1 62-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力无（女为常数）作用，=0时质点的速度为%,证明（1）,时刻的速度为丫 =%；（2）由0至/的时间内经过的距离为也 W V o（-）t,kx =（k）口-e M；（3）停止运动前经过的距离为 k：（4）证明当=加/化时速度减至”的e,式中必为质点的质量.答：；分离变量，得a =-=m d td v-k d tv心=fJ O vm-k d tm即V _*In=Ine wvoX 二 oc一土色-I 匕）v =vQe m k=voe=x=卜d f =J voe（1 -e 7:1）“（3）质点停止运动时速度为零，即 t f 8,故有m 当t=k时,其速度为即速度减至“。的e.2-5升降机内有两物体，质量分别为6,加2,且加2=2%.用细绳连接，跨过滑轮，绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速。=5g上升时，求：（1）叫和机2相对升降机的加速度.（2）在地面上观察叫，加2的加速度各为多少？解：分别以 巧,加2为研究对象，其受力图如图（b）所示.设机2相对滑轮（即升降机）的加速度为屋，则/对 地 加 速 度a2=a -a,因绳不可伸长，故叫对滑轮的加速度亦为优，又叫在水平方向上一没有受牵连运动的影响，所以叫在水平方向对地加速度亦为屋，由牛顿定律，有m2g -T =加2（屋一 ）T -mxaN、m 2g mxg题 2-5 图联立，解得，=g方向向下（2）机2 对地加速度为a1=a，-a =g2 方向向上 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 绝 二 相+牵0=a r c t a n =a r c t a n 一 =2 6.6。2 ,左偏上.2-6一质量为”的质点以与地的仰角9=3 0 的初速吟从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量.在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对丁轴对称性，故末速度与 轴夹角亦为3 0 ,则动量的增量为邸-mv-/n v0由矢量图知，动量增量大小为帆”L 方向竖直向下.2-7 -质量为加的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞.并在抛出1 s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等.求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向.并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒？解：由题知，小球落地时间为8 5 s.因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为%=g 85g，小球上跳速度的大小亦为%=8 5 g .设向上为y轴正向，则动量的增量酝=加%一根耳方向竖直向上，大小|纲=mv2-（-6）=mg碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用.另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向匕，这也说明动量不守恒.2-8 作用在质量为1 0 kg 的物体上的力为/=（1 0 +2）N,式中/的单位是s,求 4 s 后,这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量.（2）为了使这力的冲量为200 N s,该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度-6 m .s 的物体,回答这两个问题.解：（1）若物体原来静止，则酝=f （10+2/）2=56kg-m-s北 沿 x 轴正向，AA V-j=-P-=5c.6x m s-IiTm/I=Apj=56kg-m-s-7若物体原来具有一6 m-sT初速，则p0=-mv0,p=m（-v0+f dr）=-fnv0+f Fdtm由 于是P2=P-Po=Fdt=区同理，瓯2 =,72=Z这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大,那么物体获得的动量的增量（亦即冲量）就一定相同，这就是动量定理.（2）同上理，两种情况中的作用时间相同，即1=（10+2。山=10/+产亦即 r +10-200=0解得t=1 0 s,（r=2 0 s舍去）2-9 一质量为m的质点在尤）平面上运动，苫位置矢量也r-acoscoti+bsin 的7Tt-求质点的动量及，=0到 2 6 9时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量.解：质点的动量为p=mv=mco（-a sin co ti+hcos tj）t _ 71将f=0和 一 2。分别代入上式，得p=mcobj p2=-mcoai则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为I=/p=p2-=-tnco（ai+bj）2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为丫。1 1 1。-,当子弹在枪筒内被加速时;它所受的合力为尸=（。-6）N（。，”为常数），其中，以秒为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量.（3）求子弹的质量.解：（1）由题意，子弹到枪口时.，有_ aF=(。4)=0,得/_ b（2）子弹所受的冲量/=1(a-bt)dt-a t-b t2at 将 b代入，得9/=2b（3）由动量定理可求得子弹的质量I a2m=-%2 b%2-1 1 一炮弹质量为加，以速率v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的攵倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为f2 kf 巨V m v_ V km证明：设一块为机i,则另一块为m2,-km2 及 加|+m2=mkm mm,=-,in2=-于是得 z+1 -k +1 又设叫的速度为匕加2的速度为,则有rr，1 2 1 2 1 21=/niVl-+,n2V2 m Vmv=m,V|+m2v2联立、解得v2=(k+l)v-kvt将代入，并整理得于是有将其代入式，有2T,=(v,-v)2km又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取证毕.2-12设产合=7 i -6/N .（1）当一质点从原点运动到=-3,+4/+1 6 k m 时，求户所作的 功.（2）如果质点到r 处时需0.6 s,试求平均功率.（3）如果质点的质量为1k g,试求动能的变化.解：（1）由题知，鼠 为 恒 力，.4 合=户产=（7：6 （37+4了 +16 好=-21-24=-45 J =7 5 w t 0.6由动能定理，g=A=-4 5J2-13以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 c m,问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.解：以木板匕界面为坐标原点，向内为y 坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为II?题2-13图f =k y第一锤外力的功为AAl=f dy=-fdy=y =式中广是铁锤作用于钉上的力，/是木板作用于钉上的力，在 山 0 时，f=f .设第二锤外力的功为4 2,则同理，有 2 2由题意，有1 2 kA2=A=A(-/nv)=1 ,2 k k即 22 2所以，为=&于是钉子第二次能进入的深度为y=为-i =V 2-1 =0.414 cm2-1 4 设已知一质点(质量为机)在其保守力场中位矢为 点的势能为Ep(r)=k/r”,试求质点所受保守力的大小和方向.d (r)nkF(r)=-=-解：d r rn+1方向与位矢尸的方向相反，即指向力心.2-15 一根劲度系数为占的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为七的轻弹簧8,8的下端一重物，的质量为加，如题2-15 图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比.解：弹簧4、及重物0 受力如题2-15 图所示平衡时，有Hg题 2-15图FA=FB=Mg又FB=攵2%所以静止时两弹簧伸长量之比为Ax k2AA2 k、弹性势能之比为2-16(1)试计算月球和地球对加物体的引力相抵消的一点P,距月球表面的距离是多少?地球质量5.98X 102 k g,地球中心到月球中心的距离3.84X 10%,月球质量7.35X 10kg,月球半径1.74X 106m.(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P 点的势能为多少？解：设在距月球中心为r 处 F月 引 地 引，由万有引力定律，有r2 _经整理，得,7.35x1()22=75.98xlO24+47.35x1()22 入 3.48x 10。=38.32x1()6 m则 P 点处至月球表面的距离为h=r-%=(38.32-1.74)xlO6=3.66xl07m(2)质量为1 k g 的物体在P点的引力势能为M,M 山r r-6.67x107.35 xlO22Xr3.83xl076.67x1。-“5.98 xlO24(38.4-3.83)x107=128x1()6 j2-1 7由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为心和加2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为攵，自然长度等于水平距离8 C,加2与桌面间的摩擦系数为，最初叫静止于A点，AB=BC=h,绳已拉直，现令滑块落下叫，求它下落到B处时的速率.解：取8点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有一 7722g力=g(机 +m2)2 一 1式中/为弹簧在A点时比原长的伸长量，则Al=AC-BC=（亚-l）h联立上述两式，得12的一四叫）g +kh 2 （后 一丫 m,+机22-18如题2 7 8图所示，一物体质量为2 k g,以初速度=3m s i从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N,到达8点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有-frs=-+zgssin371 2mv+mgs sin 3 7-/r5式中s=4.8+.2=5m,x=0.2 m,再代入有关数据，解得=139ON-m 37题 2-18 图再次运用功能原理，求木块弹回的高度”-frs=?zg 5,si n 37 -gkjc2代入有关数据，得s =L 4 m,则木块弹回高度 =s si n 37 0 =0.8 4 mTO m,力 力 题 2-19 图2-1 9 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19 图所示.质量为加的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度.解：加从上下滑的过程中，机械能守恒，以加，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有1,1 2mgR=m v +MV又下滑过程，动量守恒，以加，M 为系统则在加脱离M 瞬间，水平方向有mv-MV=0联立，以上两式，得2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直.证：两小球碰撞过程中，机械能守恒，有即vo =v2+v2 (a)(b)题 2-20 图(a)题 2-20 图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有mv0-mvx+mv2亦即 环=%+当 由可作出矢量三角形如图(b),又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以“。为斜边，故知K与%是互相垂直的.2-21 一质量为加的质点位于(匹，月)处，速度为质点受到一个沿工负方向的力/的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩.解：由题知，质点的位矢为尸=x f +y j作用在质点上的力为f =-f i所以，质点对原点的角动量为Lo=r x m v=(x j +yj)x m(v j +v j)=(X“V y -1机叭)E作用在质点上的力的力矩为而 0=rxf =(x J+yij)x(-f i)=ylj k2-22哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为八=8.7 5 X 1 0%时的速率是=5.46 X 10 m s它离太阳最远时的速率是匕=9.0 8 X 1 0 s这时它离太阳的距离 2多少？(太阳位于椭圆的一个焦点。)解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近1=1点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有rm v=r2m v2r.v.8.75 x l O 0 x 5.46 x l O4，z 2=4 =-；-=5.26 x 1012 m.v2 9.08 x l O22-23物体质量为3k g,(=0时位于=4im ,=i +6；m-s 如一恒力f=5；N作用在物体上，求 3 秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对Z 轴角动量的变化.解：酝=的=15/dr=15/k g.m.s T 解(一)*=%0+%/=4+3=71 ,1 5y=Vof +la t2=6 x 3 +x x 32=2 5.5 j即“=4 f,弓=7：+25.5了匕=%*=1vy=vO y+a Z =6 4-x 3=11即=l+6 j +l j.L=rx m v=4z x 3(z +6 j)=1 2 kL2=r2x m v2=(7/+25.5 j)x 3(/+1 I j)=15 4.5.AL =L2-Z1=82.5 k g -m2-s-1M=解(二)丁 d t.AL =J M-dr=J(r x F)d t=f (4+r)r+(6 z +1)x|/2)J x 5 j d t=f 5(4+t)k d t =82.5 rk g -m2-s-1题 2-24图2-24平板中央开一小孔，质量为加的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物.小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡.今在“I 的下方再挂一质量为的物体，如题2-24图.试问这时小球作匀速圆周运动的角速度勿 和半径为多少？解：在 只 挂 重 物 时 小 球 作 圆 周 运 动 的 向 心 力 为 加 港，即M g=/g 2 挂上加 2后，则有(M,+M 2)g=mro)2 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒.即romvo=rmv=4 g=/%联立、得2-25 飞轮的质量加=6 0k g,半径R=0.25 m,绕其水平中心轴。转动，转速为900rev -m in .现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力/，可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-25 图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求：(1)设尸=100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转？(2)如果在2 s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?解：(1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b).图中N、N 是正压力，工、F；是摩擦力，工 和%是 杆 在 A点转轴处所受支承力，R 是轮的重力，尸是轮在。轴处所受支承力.题 2-25 图(a)y杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有产（4+“）一 N 7|=0 N=-F对飞轮，按转动定律有夕=一工R/,式中负号表示,与角速度。方向相反.工=刚N=NF.=皿，二g ZF又,:I-m/?2,2F,R=-2(1、+12)FI mRl以E =100 N等代入上式，得-2x 0.4 0 x(0.5 0+0.7 5)x l 0()_40r a d-s_26 0 x 0.25 x 0.5 03由此可算出自施加制动闸开始到长 轮停止转动的时间为g 9 00 x 2万x 3 _ .t=一一 =-=7.06 s0 6 0 x 4 0这段时间内飞轮的角位移为,10 2 9 00 x 2 9 1 4 0 2(b-C D0n t+2 pt=-6-0-X 4 7T 2 X 3X=5 3.l x 2乃 ra d可知在这段时间里，飞轮转了 5 3转.27 r69()=9 00 x ra d s-1(2)6 0,要求飞轮转速在r =2 s内减少一半，可知g1-0 o =-1-5-万-ra d-,s_22t 2用上面式（1）所示的关系，可求出所需的制动力为mRl/3+/2)6 0 x 0.25 x 0.5 0 x 15 -2x 0.4 0 x(0.5 0+0.7 5)x 2=17 7 N2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴。转动.设大小圆柱体的半径分别为R 和，质量分别为“和加.绕在两柱体上的细绳分别与物体叫和加2相连,巧 和加2则挂在圆柱体的两侧，如题2-26 图所示.设R=0.20m,=0.10m,=4 k g,M=10 k g,叫=吗=2 k g,且开始时 4,叫离地均为人=2 m.求：(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力.解：设外,%和 B分别为 四，加2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b).题 2-26(a)图题 2-26 (b)图(1)%，加2和柱体的运动方程如下：T2-m2g=m2a2=m T|R-T 2 r=3 式中 T|=(，7；=7 2，。2 =力 必=即I=-M R1 2+-m r2而 2 21 x l 0 x 0.202+I x 4 x 0.102+2x 0.202+2x 0,1022 2=6.13 ra d -s-2(2)由式T2=m2r/3+m2g=2x 0.10 x 6.13+2x 9.8 =20.8 N由式T =mAg-mxRp=2x 9.8 2x 0.2.x 6.13=17.1 N2-27 计算题2-27 图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M,半径为乙 在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设 叫=5 0k g,m2=200 k g,M=15 k g,r=0.1 m由上式求得八 Rm,一 rm10=:-茄F gI+mx R +m2r02x 2-0.1x 2 6=-x 9解：分别以加1,加2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示.对 m I,m 2运用牛顿定律，有m2g-T2=m2a T=ma 对滑轮运用转动定律，有1 ,T2r-Txr=(.-Mr2/32又，“=力 联立以上4个方程，得题 2-28 图2-28 如题2-28 图所示，一匀质细杆质量为?，长为乙 可绕过一端。的水平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下.求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过夕角时的角速度.解：(D 由转动定律，有1 1 ,4=建2/(2)由机械能守恒定律，有mggsinO=C D =3g sin。0题 2-2 9 图2-2 9 如题2-2 9 图所示，质量为，长为/的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴。无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上.现有一质量为加的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞.相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度夕=30 处.(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速%的值;(2)相撞时小球受到多大的冲量？解：(D 设小球的初速度为力,棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为L按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：m v0Z =/啰+mvl 1 7I=-M l2上两式中 3,碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度6 =30,按机械能守恒定律可列式:1 ,/=M g (l c o s 30。)2 2 由式得由式由式所以求得3m+M1 2m(2)相碰时小球受到的冲量为 mv mv-m v0由式求得f1(0 1 ,J r d r =mv -m v0=-Mla)6(2-扬 M6负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.2-30 一个质量为M、半径为R 并以角速度。转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为加的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30 图.假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.(1)问它能升高多少？(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能.解：(1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度v0=Reo设碎片上升高度力时的速度为y,则有r=4 2 g/i令 y =o,可求出上升最大高度为2 g 2 gI=-M R2 I=-M R2-m R2(2)圆盘的转动惯量 2 ,碎片抛出后圆盘的转动惯量 2 ,碎片脱离前，盘的角动量为/，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即1(0-/+加/?式中为破盘的角速度.于是M R2C D=(M R2-m R2)co+m vnR(M R2-m R2)a)=(M R2-m R2a)得=(y (角速度不变)圆盘余下部分的角动量为-mR2)co转动动能为题2-31图Ek=(M R2-m R2)(o22-31-质量为加、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动.另一质量为机。的子弹以速度乙射入轮缘(如题2-31图所示方向).(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值？(2)用加，和6表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比.解：(1)射入的过程对。轴的角动量守恒/?sin72()v0=(m+mo)R%.二 阳o%sin.(加+m。)REkE.Ko?()sin2 0m+m02-32弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N m；定滑轮的转动惯量是0.5kg m2,半径为0.30m,问当6.0 kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长.解：以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有又故有meh mv2+Ia+kh2 2 2co-vIR_ l(2mgh-kh2)k2-V mR2+I,(2x6.0 x9.8x0.4-2.0 x0.42)x0.32-V 6.0 x0.32+0.5=2.0 m s-1题2-32图2-3 3空心圆环可绕竖直轴A。自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为/。，环半径为R,初始角速度为。.质量为加的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动.设圆环内壁是光滑的，问小球滑到5点与C点时，小球相对于环的速率各为多少？解：(1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有1例=(Jo+mR2)3该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为以点，则有+mgR=；(/()+求 2)+;n j以8点为重力势能零 Q联立、两式，得VB=（2）当小球滑至C点时，/，=/。故由机械能守恒，有1 2mg（2R）=m vc.匕=2府请读者求出上述两种情况下，小球对地速度.2公习题三3-1惯性系S 相对惯性系以速度运动.当它们的坐标原点。与。重合时，=0,发出光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程.解：由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波.波阵面方程为：x2+y2+z2=3）2x 2 +y2+z 2 =（c f）2题3-1图3-2设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2人 试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差.,（X，）=（/上）解：设光讯号到达前门为事件1,在车厢（S）系时空坐标为 P 1 C,在车站（S）系:八=7（1+彳4）=/（，+彳/）=（1 +与C C C C C3 ir（_/L光信号到达后门为事件2,则在车厢（S）系 坐 标 为2,2 c ,在车站（S）系：/2=/（+二 月）=（1一2）C C C于是C或者=0,A f =t2,x =x x 2=2 1 r =/(A f +g )=y (彳 2 1)3-3 惯性系S相对另一惯性系S沿 x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时 起 点.在 S系中测得两事件的时空坐标分别为/=6 X 1 0 m J i=2 X 1 0 s,以及 2=1 2 X1 0 m,f 2 =1 X 1 0 s.已知在S系中测得该两事件同时发生.试问：（l）S系相对S系的速度是多少？（2）S 系中测得的两事件的空间间隔是多少？解：设（S ）相对S的速度为乙由题意=/。2-rX2)Ct2r=0则G _ 八=-尤 1）故（2）由洛仑兹变换代入数值，2 A s L _ =，=1.5 x 1 0 8/X 2 m.x l =/(x,-v tt),芯=y(%2 _ v t2)x；-x；=5.2 x i o4 m3-4 长度，。=1 m 的米尺静止于S系中，与（轴的夹角夕=3 0 ,S系相对S系沿轴运动，在 S系中观测者测得米尺与工 轴夹角为 =4 5 .试求：（l）S系和S系的相对运动速度.（2）S系中测得的米尺长度.解：（1）米尺相对s,静止，它 在 轴 上 的 投 影 分 别 为：c o s。=0.8 6 6 m L y=Lo s i n O-0.5 m米尺相对s沿 x方向运动，设速度为v,对 s系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而 y方向的长度不变，即则得故把6 =4 5 及4 4代入=0-5V c2 0.8 6 6v =0.8 1 6 cLxL =0.7 0 7 m(2)在S系中测得米尺长度为 s i n 4 5 3-5 一门宽为。，今有一固有长度。(。a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少？,当时，可认为能被拉进门,0,