导数的应用-----2023年高考数学满分训练必做题（新高考专用）（解析版）.pdf

专题3.2 导数的应用考 点 3.2.1 构造函数第n步 试 真 题研电血位忌局 3因网5281.(2015福建高考真题)睡健幽提搂噬阑送若定义在R上的函数/（X）满足0）=-1,其导函数/（X）满足/（x）上 1,则下列结论中一定错误的是（）【答案】C【解析】【详解】试题分析：令g(x)=/(x)-A x,则g，(x)=r(x)-%0,因此所以选C.考点：利用导数研究不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进希如 小）小）构造g（x）=孥，小）+小）构造g(x)=e*/(x),x fx)0时，x fx)-f(x)0成立的x的取值范围是A.(e,-l)U(0,l)B.(-l,O)E(l,+)C.(-,-1)U(-1,O)D.(O,1)5L+8)【答案】A【解析】【详解】构造新函数g(x)=4 D,g(x)=M(?；/(x),当x 0 时g(x)0 可得 0 x 0,又/(X)为奇函数,所以x)0在(-8,0)5 0，”)上的解集为：故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如切()-/(同，想到构造g(x)=?.一般：(1)条件含有/(x)+/(x)，就构造g(x)=e、f(x),(2)若/(x)-r(x),就构造g(x)=,(3)2/(x)+/”(x),就构造g(x)=e 2、/(x),2/。)-/(力就构造g(x)=4?,等便于给出导数时联想构造函数.5 3 0.(2 0 1 1辽宁高考真题)函数/(x)的定义域为&,/(-1)=2,对任意x e R,/(x)2,则 2 x +4的解集为()A.(-U)B.(-l,+o o)C.(-o o,-l)D.(-2工+4转化为8(幻 8(-1),利用函数y =g(x)的单调性即可求解.【详解】依题意可设g(x)=x)-2 x-4,所以g，(x)=/(x)-2 0.所以函数y =g(x)在R上单调递增，乂因为g(-l)=/(-l)+2-4 =0.所以要使g(x)=/(x)-2 x-4 0,即g(x)g(-l),只需要x _ i,故选 B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【5 3 1】.(2 0 2 2北京高考真题)己知函数/(x)=ev l n(l +x).求曲线N =/(x)在点(0,7(0)处的切线方程；设g(x)=/(x)，讨论函数g(x)在 0,位)上的单调性；(3)证明:对任意的 s,/e(0,+8),f(s+t)f(s)+f(t).【答案】(l)V =x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)令?(x)=x +f)-/(x),(x,f 0),即证加(x)机(0),由第二问结论可知Mx)在 0,+8)上单调递增，即得证.解：因为/(x)=e l n(l +x),所以/(。)=0,即切点坐标为(0,0)，又 f(x)=er(l n(l +x)+J-),.切线斜率=/(0)=l切线方程为：=x(2)解：S J g(x)=/,(x)=er(l n(l +x)+),1 +x所以g(x)=e(ln(l+x)+(+),，2 1令(+外+=而彳22 x2+l则 h(X)=-=H-r=-1+X 0+X)2 (1+x)3(1+x)3 0.(x)在 0,ZO)上单调递增,.4.h(x)(0)=1 0二g(x)0在在E)上恒成立,.g(x)在0,内)上单调递增.解：原不等式等价于/(s+n-/(s)/-o),令5(x)=/(x +f)-/(x),(x j 0),即证力(x)m(0),m(x)=/(x+z)-/(x)=ev+/l n(l +x+Z)-ev l n(1 4-x,ex+t exmr(x)=ex+/l n(l +x+/)+-er l n(l +x)-=g(x+f)g(x，1 +x +Z 1+x由(2)知8(X)=/(工)=。丫(1 1 1(1 +工)+)在 0,+8)上单调递增，,.g(x+r)g(x),m(x)0，M x)在(0,+8)上单调递增，又因为x j 0 ,m(x)侬0),所以命题得证.5321(2021浙江高考真题)设 a,b 为实数，且。1,函数/(x)=a*-b x+e2(xeR)(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若对任意6 2/,函数/(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意6 e ,函数/(x)有两个不同的零点不，(乙 x j,满足(注：e=2.71828是自然对数的底数)【答案】6 4 0时，/在R上单调递增：b 0时，函数的单调减区间为I InaJ单调增区间为f l og。3,+*:(；证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；方 法-：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】/(x)=ax-bx+e2,f (x)-a n a-b,若6 4 0,则/(x)=a ln b2 0,所以/(x)在R上单调递增;若6 0,当xe1-8,l og“a时，/(x)O J(x)单调递增.综上可得，6 4 0时，/(x)在R上单调递增；b 0时，函数的单调减区间为1-8,l og.：,单调增区间为(l og“3，+8).I na)na)(2)/(%)有2个不同零点o优-加+/=o有2个不同解o e 加-加+丁=0有2个不同的解,令f =x l n Q,则 d-+e2=0=-=e+e,t 0 ,Ina na t羽，、/+/，/、-(一+/)el(Z-i)_e2叱 g)=-,g)=-=，t t-t-记也)=d(f-1)-/,a)=d l)+d 4=d 1 0,又人(2)=0,所以(0,2)时,咐0,则g在(0,2)单调递减，(2,用)单调递增，.3 g(2)=e2,.l na 2e2,.-7-2,.na2 n l a e2.e即实数a的取值范围是Ge?.方法一【最优解】：a=e,/(x)=e-b x+e2有2个不同零点，则e，+/=6 x,故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为勺，注意到函数、=巴 贮 在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增,xe+e2”故X2 5，2e2=/(丁,2e2要证 x2 TX+只需当 In 6+,e 4-e2 2eX 2 P1b、幺二 且 关于6的函数g(6)=l n6+土 在6 e,上单调递增,x?x?b2P与 Z V所以只需证工2 E 1+2 x.(x25),只需证 2*e2xl n/2-l n-1 0,x2 2eX 2只需证 I n x-I n 20,2exe 24X.,一 5时为正，2 e由于/(x)=1 +4 xe-x-4 e-x=g+4 e x(x-l)0,故函数 (x)单调递增，X/i(5)=l n5-l n2 =l n-0,故/i(x)=I nx-把-I n2在x 5时为正，e 2 e ex从而题中的不等式得证.方法二:分 析+放缩法6 7 =e,/(x)=ev-f e x+e2 W 2个不同零点玉,巧，不妨设占 ，由/(x)=e b得X c l nb c%(其中 l nb 4).H./(X1)=eX|-b x+e2=0,/(x,)=eX2-b x2+e2=0.要证x2 翳%+，只需证床2 -e?空姐，即证e =券 如，只需证又亨 所以王生，即 驾 I n(b ln b).而以b 4,所以b ln b b,又 I n S n b)n b,所以只需证 ln(b I n )0.所以/(ln(b ln 5)=%ln 3一 人I n(%ln 5)+e 2 =-/?ln ln/?+e 2 c-e ln d+e?e4,则满足I caV e?且6 2 e 2,由(1 1 )知/(幻有两个零点%,马(王 血)且0 N n b X2.X/(2)=2 e2-2/?0.故进一步有。(玉 2 ln b b lnTb xi+1e2 o 姐,-e blnTbb,x o e x-b l n b ,+e 2)因为0 X b n b b n b x2 ln Z?H .又因为/(X)在区间(I n b,+8)内单调递增，故只需证/卜n b+J /(X2)=0,即b e；ln 6 e 时有 e 4 l n b，故不等式成立./【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，方法一：直接分析零点占 竺，将要证明的不等式消元，代换为关于b的函数，再利川零b点反代法，换 为 关 于 的 不 等 式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为了 I n 6+0 比较大小，代入函数放缩得到结论.5 3 3.(2021全国高考真题)设函数/(x)=ln(a-x),己知x =0 是函数y =炉(工)的极值点.(1)求。；(2)设函数g(x)=证明:g(x)l.V(x)【答案】(1)。=1;(2)证明见详解【解析】【分析】(1)由题意求出V,由极值点处导数为0 即可求解出参数。;(2)由(1)得g(x)=x +ln(l-x)x ln(l-x)x l且x#0,分类讨论x e(O,l)和x e(w,0)可等价转化为要证g(x)x ln (1-x)在x e(O,l)和x e(-co,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】1Y(1)由/(x)=I n(a-x)n/(x)=-,y =(力=y =ln(a-x)+-x-a x-a又x =0 是函数y =的极值点，所以y(0)=ln a=0,解得。=1；(2)【方法一：转化为有分母的函数由(I )知，g(x)=x +ln(l-x)x ln(l-x)而%2,其定义域为y,0)U(。/).要证g(x)l,即证1/r +-1,即证丁/-I n(l-x)x ln(l-x)x x(i )当“(0,1)时，7 7 7 7 ，二上.令/(x)=l n(l -x)一 ,I n(l-x)x x-x-l 1 1 Y因为尸(X)=-7=-T0,所以尸(x)在区间(0,1)内为增函数，所以1 -X (X-1)(X-1)F(x)F(0)=0.Ix 1 X(i i )当x e(-8,0)时，-O,0,B P ffil n(l-x),由(i)分析知产I n(l-x)x x-1在区间(7,0)内为减函数,所以尸(x)在0)=0 .综 合(i )(ii)有g(x)l.方法二【最优解】：转化为无分母函数由(1)得/(R)=ln(1)，g(x)=xU?,x l且x w O,xj(x)x l n(l-x)/、x +I n(l-x),、当 x“(M)时，要证g(x)=x m(l r)L.(一)。,*.x l n(l-x)x l n(1-x),化简得x +(17)l n(17)0 ；同理 当xe/S，、)时，要证g(x)=x F+ln(l-x)|*/x 0 ,?.x l n(l -x)x l n(1-x),化简得x +0 x)l n(l _ x)O ；令 力(x)=x +(l-x)l n(l r),再令/=l-x,贝 Ij f (0,l)U(l,+),x=l-t,令夕(f)=l T+fl nf,(r)=-l +I nr+1 =I nz,当fe(O,l)时，夕(/)夕(1)=0；当/(1,+8)时，d(f)0,单增，故 9(。9。)=0；综上所述，g(x)=1 在x w(7,0)U(0,1)恒成立.方法三:利用导数不等式中的常见结论证明I 1 x令(x)=l nx-(x-l),因为d(x)=-1 =-所以*(x)在区间(0,)内是增函数,在区间X X内是减函数，所以0(x)4(l)=0,即l nx 4x-l (当且仅当x =1时取等号).故当x 0 且H l,I n一.1 -X 1 -X 1 X 1 -x X X 1Y 1 X-l 1 1 1i)当。/)时，0 l n(l-x),所 以 成 匚 丁 丁 二 匚，即武丁 一所以g(x)0,同理可证得g(x)Lx-1综 合(i)(i i)得，当x l且X HO时，色 吁 一?,即g(x)-,当x w(-8,0)时，转化为证明I na-x)上7,然后构造函数，利用导数研x-l X-1究单调性，进而证得：方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当X(0,l)时，x +(l-x)l n(l-x)o成立和当x e(T ,0)时，x +(l-x)l n(l-x)0成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数(x)=l nx-(x-l),利用导数分析单调性，证得常见常用结论l nx 4x-l (当且仅当x =l时取等号).然后换元得到l n(l-)上 分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不x-1等式，有定的巧合性.第01J【提能力、【534】.(20 22贵州贵阳一中模拟预测)已知奇函数/(x)的导函数为/(x),且/(x)在(0,孚 上 恒 有/区 成 立，则下列不k 2)sinx co sx等式成立的()【答案】B【解析】【分析】构造函数尸,由 幺 立 0 ,即sinx sinx co sxF(x)=/(x)smx(x)co sx 0,即可得到产 单调性，再结合尸 的奇偶性，即可对(sinx)选项进行判断【详解】构造函数尸(x)=L,由在(0,手上恒有但成立，即sinr I 2/sinx co sx/(x)sinx-/(x)co sx 0,.-.1(J J J c o s x 。二代，在(0,|)上为增函数,又由尸（一）=$5=三 给=尸（）”3为偶函数,小卜嗯 瑞 卜44，扃 图/图*错误-6 4 偶函数尸（X）在（0片）上为增函数，.?（X）在卜0）上为减函数,故C错误；*唱仔卜勺4 图 何 图 故0错谀3 4故选：B【535】.（2022浙江省新昌中学模拟预测）若定义在H上的函数/（X）的导函数为/（X）,且满足/（x）/（M，/（20 22）=e222,则不等式 取 的 解 集 为（）A.（O,e60 66）B.（O,e20 22）C.仁必,+8）D.66,+8）【答案】A【解析】【分析】由题设尸（工）=孝，由已知得函数尸（x）在R上单调递增，旦F（；l n x）l =F（20 22）,根据函数的单调性建立不等式可得选项.【详解】由题可设F()=竽,因为可(X)/(x)0,则F(x)J(x)e7(x)e J/*。所以函数尸(x)在 R 上一单调递增，又 以20 22)=詈)=1,不等式F(；l n x)l =F(20 22),所以gl n x 2,则不等式/()+2 2 3 的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _-【答案】0,+o o)#x|x 20【解析】【分析】构造新函数g(x)=X ,利用已知条件2/”(x)-x)2,e2利用g(x)的单调性即可求出不等式的解集【详解】设函数g(小生，则如)一一 IH又交/)-/)？gf(x)0所以g(x)在R 上单调递增，又g(O)=/(O)+2=3故不等式/(丫)+2 2 3前 可化为g(x)N g(0)可以判断g(x)单调递增,2r(x)-/(x)-2X2e5由g(x)的单调性可得该不等式的解集为 0,依)故答案为：0,口)537.(2022河南三模)已知函数f(x)=皿,g(x)=4 若存在司0,x,e R,使得/J=g(x,)0成立，则 中2x e的最小值为.【答案】e【解析】【分析】利用导数研究函数“X)可得函数/(x)的单调性情况，.4 0,1)时,/(x)0,同时注意 g(x)=?=-=/(e，)，贝 l jx I=e*2,所以占三二*2*,构造函数 A(x)=x e*,e ex 0 ,/(X)单调递增，当w(e,+8)时，fx)0 ,/(x)单调递减,又/=0,所以W(0,1)时,/(x)0 ；x (e,+o o)时，/(%)0 ,同时注意到g(x)=W=-=/),e e所以若存在再(o,+8),/wR，使得/a)=g(w)o成立,则0玉 1 且/(M)=g(X 2)=/(*),所以演=*(0),所以卬*工2小，所以构造函数九(x)=x F (x 0,以x)单调递增；当x e(-8,T)时,(x)0恒成立，则下列结论正确的是()A./(0)0 B.9/(-3)/(-1)D./(1)0,;./(0)0,则 A 错误；令 g(x)=x 2/(x)，则 g(x)=2 V(x)+f 八 x),当x 0 时，由 2/(x)+V (x)0,2rf(x)+x2f X x)0,则g(x)在(0,+)上单调递增，又因为偶函数/(x)的定义域为R,g(x)=x2f(x)为偶函数，g(X)在(0,+8)上单调递增，g(-3)=g(3)g(l),9/(-3)/，故 B 错误；.g(2)g(-l),4/(2)/(-1),故 C 正确；由题意，不妨假设/(x)=c 0(c 为常数)符合题意，此时/(l)=/(2)=c,故 D错误.故选：C.5391(2022山东肥城市教学研究中心模拟预测)定义在(1，+)上的函数/(x)的导函数为/(X),且(x 1)/(X)-/(X)X2-2X对任意x w(l,+8)恒成立.若/(2)=3,则不等式/(刈$-工+1 的解集为()A.(1,2)B.(2,+o o)C.(1,3)D.(3,+o o)【答案】B【解析】【分析】由题目中的条件(X-1)r(x)-/(x)?-2 x 变形为、一 )：)-1 0,进一步转化为(四 2 二 1 一 0,构造函数g(x)=/MJ-x,利用导数和函数之间的关系处理单调性(x-l J X-1即可求解.【详解】由(X-1)/,(X)-/(X)X2-2X,即(X-1)/(尤)-/(X)+1 (X-1)2,即(1)/丁)；(小即(如二 0对x e(l,+8)恒成立，(xT)(x-1)令g(x)=小牛-X，则g(x)在(1,+8)上单调递增，X-1./(2)=3,.g(2)=0,由-x+L 即/)7-x 0,即 g(x)g(2),x-1因为g(x)在(1,+8)上单调递增，X2故选：B.5401(2022湖北鄂南高中模拟预测)下列大小比较中，错误的是()A.3ee3 e B.e3 e e C.乃,e e ,所以选项D错误；1e2对于选项A,在/(x)4-中，令x=2,得到 炉 川3 .所以选项A正确；e7 t对于选项B,在x)4，中，令x=n ,则乃e e ,所以选项B正确；e对于选项C,e 3,所以万 e 3，所以选项C正确.【详解】解：对于选项D,构造函数/(*)=产，所 以/。)=与 笠，所以当0 x 0,函数x)单调递增：当X e时，/(x)0,函数/单调递减.所以x)W/(e)=L (当且仅当X=e时取等)Q2 1 p 4P则令X=一,则一卢 2,故31n万 6-6-0-,n 1 e 71 717 1故I n/,故乃3 e ,所以选项D错误；对于选项 A,3e e,/(3)/(e),.-5 d,3 e.e21 2 In i在x)4上中，令丫=巨,则 2-金，故e7i 1 e 717tel n乃 e(2-)2.7x(2-y p)2.7x(2-0.88)=3.0 24 3所以el nzr3,1。万 l ne).4e /.所以3。已(万,所以选项A正确;对于选项B,在/(x)4!中，令=，则 如 处,.，屋，所以e 3 /e ，所以选项Ben e正确；对于选项C,d 3 ,所以勿。d 3 ,所以选项C正确.故选：D【541】.(2022新疆乌鲁木齐模拟预测)汨 2%In 2 In 3.、e2 2 3A.a b c B.acb C.c a b D.b c 0,/(x)单调递增;当x e,+8)时,/(x)4)/(广)，所以。力 c.故选：A.【5 4 2】.(2 0 2 2 四川雅安三模)定义在R上的偶函数/(x)的导函数为/(%),且当工 0 时，W)+2/(x)/(1)4 e2C.4/(-2)0 时，g (x)=?xf(x)+x2/r(x)=x 2/(x)+0,所以g(x)在(0,+8)单调递减，在(,0)单调递增，则g(e)g(2),HPe2/(e)22/(2),则 与 华,故 A 错误;g(3)g(l),即 9/(3)g(-3),BP 4/(-2)9/(-3),故 C 错误;g(e)g(3)=g(3),即e 2/(e)9/(一 3),则 噌 生 且 故 D 正确.故选：D.【5 4 3】.(2022山西模拟预测)设函数/(x)在 R上存在导函数/(X),对于V x e R,都有/(x)+-x)=2 x 2 及g/(x)-x 0 成立，若/(机一2)+/(m).2 机2 _ 4 m+4,则实数，的取值范围为()A.L+)B.(-o o,l C.-1,1 D.【答案】A【解析】【分析】构造函数 g(x)=/(x)-x 2,由/(x)+/(-x)=2/得 g(x)为奇函数，由 g./(x)-x 0 得g(x)是增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】令g(x)=/(x)-x 2 ,定义域为R,1-g(X)+g(-X)=/(X)-X?+/(-X)-(-x)2=0 ,函数 g(X)为奇函数，g(x)=/(x)2x 0,.函数g(x)在R上是增函数,又/(加一2)+/(2)=g(加一2)+(加一2)2+g(?)+P =g(w-2)4-g(w)+2m2-4ni+4.2tn2-4团 +4.、g(加-2)+g(m)0 ,即g(加-2).g(-加)，即用一2一 加，解得：7.故选：A.544.(2022安徽省芜湖市教育局模拟预测)已知定义在R上的函数“X)满足/”(力-2/(力0,则下列大小关系正确的是()A./(2)e 7(l)e 7 B.C.e2/(l)e 7 /(2)D./(2)e 7 e2/(l)【答案】A【解析】【分析】构造函数g(x)=冬，利用导数分析函数g(x)的单调性，利用函数g(x)的单调性可得出e 7；)、e2/(l),/(2)的大小关系.【详解】构造函数8(工)=乌，其中x e R,则g，(x)=/(x)jy(x)o,所以，函数g(x)为R上的增函数，所以，g(g(l)g(2),即嗖 四 出，因此，e3/e2/(l)/(2).故选：A.545.(2022河南模拟预测)已知/(x)是定义在火上的函数/(工)的导数，且 力-/(切 /(l)B./(-2)e 7(l)C.贝 1)/D./(l)e/,(2)【答案】C【解析】【分析】令g(x)=/单，求导得g，(x)=/(x)-/(x),由题意可得g(x)在 R上单调递增.再逐一判ev eA断即可.【详解】设g(x)=般，则gwJ y/U).因为 x)-/(x)0,则g(x)在&上单调递增.因为-21,所以g(-2)g(l),即21 1 血，e e所以e 3/(-2)l),则 A错误；因为/(-2),/(I)的大小不能确定，所以/(-2),e 3/(l)的大小不能确定，则 B 错误；因为1 2,所以g g(2),则 犯 卑，所以W(l)0,则不等式c o s x./(x+5)+s i n x./(-x)0 的解集为()A.C.7 C4【答案】D【解析】【分析】构造函数s in (x),并依据函数sinV(x)的单调性去求解不等式COSX-+s in x,/(x)0 的解集.【详解】当x c(时，/(x)+/r(x)tanx 0 ,贝 Ij c osxf (x)+/(x)sinx 0上的奇函数7 1则x e-,0)时，不等式c osx-/(x+,)+sinx-f(rx)02呜 x+祝n吟7 1b22jr jr则 彳 J x H x 0 ,解之得一 个 x 。2 2 4故选：D【547】.(2022河南平顶山模拟预测)已知函数/(x)=(a-2)3-(a +2)xe+*有三个零点看,当，且王三，则【答案】D【解析】【分析】根据题意可得：g+2)二+a-2=0 有三解，令f =t，由g(x)=的图像可得故e e e eYf =最 多 只有两个解,所以“一(。+2)+。-2=0有两解 2，%+L=+2 i匕=。一 2,eXY三=:有一解为为，三 j 有两解为，、3,代入即可得解.【详解】由 x)=/(尹_(。+2)%+-2=0,即(-(。+2):+2=0有三解,令，=。，设g(x)=3e ex,、1 xg (x)=，e当x e(-8,l),g 0,g(x)为增函数,故f =?最多只有两个解，e若要（尹-（。+2）9+。-2 =0有三解,则/_（4 +2）1 +。-2 =0有两解，t tt=t2,Z+q=Q +2 j -t2=a-2 t故2=4有一解为4,xF=，2有两解为2 6 3 e=(1-r,)3-(1-/2)3=(1-?2+r/2)3=(l-a-2 +a-2)3=(-3)3=-2 7 ,故选：D【548】.(2022陕西榆林三模)已 知 是 定 义 在R上的函数，/(X)是/的导函数，且/(X)+/(%)1，/=2,则下列结论一定成立的是()1+2 e 1+e 1 +2 e /、1 +eA./(2)-B./-D./(2)-e e e e【答案】D【解析】【分析】构造g(x)=e V(x)-e 利用导数研究其单调性，即可得g(2)g ，进而可得答案.【详解】令g(x)=e，/(x)-e 则g x)=e，/(x)+/x)-l 0,则g(x)是增函数，故g(2)g(l)，即e 2/(2)-e 2 e f(l)-e=e 可得/(2)=.故选：D【549】.(2022天津耀华中学二模)已知函数/(x)=-+l n x-x(a 0).X若0 =1,求函数“X)的单调区间；若“X)存在两个极小值点不用，求实数。的取值范围.【答案】(1)递减区间为(0,1),递增区间为。,一)(2)(0,-)e【解析】【分析】(1)当a =l时，求得/(x)=(x )(：、x),令皿x)=e _x,利用导数求得加(x)0,进X而求得函数的单调区间；(2)求 得 、e%x-l)(a-6),令“(力=之，结合单调性得到“卜)4 L进而得到J W =-2-e exx 1 1 10 4-,分上和0 。上，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求e e e e解.解：当。=1 时，函数 f(x)=F In X x X可得 f(x)=e d+1-1=(x-D(f t),X X?(0)=l,所以阳(x)0,当x w(0,l)时，#(x)0,x)单调递增，即函数/(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为。,+8).(2)解：由函数/(无)=-+In x-x,x e(0,+8),X可得小刘，X X令(x)=,可得=所以函数“(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以(x)X 1当x 0时，可得e l，所以0 0,此时当x e(0,l)时，f x)0,f(x)单调递增,所以函数/(X)的极小值 为/=加-1,无极大值；当0。1 时，i/(a)=a,e e e e又由(X)在(a,l)上单调递增，所以/心)在(。,1)上有唯一的零点不且去 =%2 9 Y因为当X e时，令g(x)=2 1 n x-x,可得g)=：_ i=上 广 0,又因为g(e)=2-e 0 ,所以g(x)0,即2 1 n x x,所以21nL11 1I In 7 2 In 所以“(111-7)=%=a 产 a ,e因为(X)在(l,y)上单调递减，所以严(x)在(1,In，)上有唯一的零点巧，且M =%所以当x e(0,x J时，/0(x)0,x)单调递增；当x e(l，W)时，*(x)O,x)单调递增，所以函数/(x)有两个极小值点，故实数a的取值范围为(0,1).e550.(2022浙江三模)已知实数a 2 0,设函数/(X)=X2-2ax+ln(a+l)-(a r-l)ln x,x C.(1)当a=0 时，求函数/(x)的单调区间；(2)若函数/)单调递增，求 a 的最大值；设和三是“X)的两个不同极值点，匕是“X)的最大零点.证明：-+-3.X X2注：e=2.71828是自然对数的底数.【答案】/在(0,+8)上单调递增;(2)1：证明见解析.【解析】【分析】(1)求导，结合导数正负可直接求解函数/(X)的单调区间.(2)由题意得/(x)=2x+4-3 a-“ln x 0对任意的x e(0,+8)的恒成立，即可求出a 的最X大值.(3)由(2)知，当“X)有两个不同极值点时，则/(工)=0存在两个零点玉心，故2%1 4-a(3+In X)=0,由此可得出，+,2a.2X2+-a(3+In x2)=0.x2即可证明再 X2当 a=0 时，/(x)=x2+Inx,f(x)=2x+i 0,故/(x)在(0,+8)上单调递增.X(2)若函数/(x)单调递增，则 fx)=2x-2a+-a In x=2x+i -3a-a In x 0 对任意的x x (0,+8)恒成立.4 g(x)=ln x-(x-l),g(x)=-l=,在(0,1)上gC(x)0,g(x)单增，在(l,+oo)上g，(x)0,g(x)单减，所以g(x)1mx 4 g(l)=。,BJlnxx-l.所以 f(x)=2x+-3 2x+-(x+2)0 在 x e(0,+a?)恒成立，X X7r2,L 1则 K I +2）在J石（，+动 恒成立，令力（X）=2丁+1x(x+2)2(2x+l)(x-1)x2(x+2)2,则 (x)=所以0 x l时 （x）l时如）0,即力（x）递增,故（x）N，=1,即 aWl.综上，。的最大值是1.由于时，/（X）单调递增，故当X）有两个不同极值点时，。1.此时 f（x）=2x+-a（3+l nx）,f x）=2-、吼 2.厂 一 产-1 ,X XX X于是/（X）在0,交 咚 至 上单调递减，在”孚 踵,+8上单调递增.当X趋向于0时，/的）趋向于正无穷，/=3 3a0,X趋向于正无穷时，户（X）趋向于正无穷,则正。）=0存在两个零点X2,不妨设再 1%2,也即设x）的两个不同极值点,2 3 4-a(3+In 1)=0,X2X2+-a(3+n x2)=0.先估计+令人=Inx?_ 2、-2 ,七 Z ,x2+l(2x 4 x(f+l)-(2 x 2 _ 2)2 x _ 2 8x x?+)-8x?/=7 (TH)5=,=则力（x）=0n x =l,所以/（x）在（0）,（1,内）上单调递增,所以当 0 x l 时，Mx)l 时，/?(x)A(l)=0,所以 I n/2x?-2x2+l所以 1 a i 2 a2%|4-3c i=-In 区.埠 少=粤少x2 2-2 x；+l x；+l 1 2a1+丁 石 X,1 2a1+z-/X2由 0X i 一,*x2故+2a.由 /(2a)=ln(a+-l)ln2a ln2a-(2，J -l)ln2a=2(I-a?)ln2a 2 0 +,，得证!Xl X2【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性，导数的运算及一些导数中的基本不等式的运用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.考 点3.2.2零 点 问 题第I步八试真题 工5 5 1.(2022辽宁)研葡国颐脑凄画型 嬲 瞧 睁g娄阑通陶(2015全 国 高 考 真 题(理)设 函 数/(x)=/(2x-l)-a r +。，其 中。1,若存在唯一的整 数%,使 得 /)0,则 的 取 值 范 围 是()3A.,1B.3 32c 4C.3 32e?4D.【答 案】D【解 析】【分 析】设g(x)=e (2x-l),y =a(x-1),问题转化为存在唯一的整数看使得满足g(x)g(O)=-l且g(-l)=-2-2a,由此e可得出实数。的取值范围.【详 解】设g(x)=e、(2x-l),y =a(x-l),所以,-2e 2.又g(O)=-l，g(l)=e 0.宜 线y=办-a恒 过 定 点(1,0)且 斜 率 为a,q a故 q,g(O)=T 且 g(T)=_ 2_“_，解得故选 D.e 2e【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.552.(2017全国高考真题)已知函数/(X)=X2-2X+a(ex-+e-x+,)有唯一零点，贝U。=111.A.B.-C.D.12 3 2【答案】c【解析】【分析】【详解】因为 f(x)=x2-2 x+a(ex+eI+l)=(x-1)2+a(ex+er+,)-l,设f=x-l，则f(x)=g(t)=t2+a(e+e-,)-l,因为g(f)=g(-f),所以函数g(/)为偶函数，若函数/(x)有唯一零点，则函数g )有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当t=o时，g(/)=o才 满足题意，即x=l是函数/(x)的唯一零点，所以2 a-l=0,解得。=工 故选：C.2【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.553.(2022四川树德中学模拟预测)已知函数/(x)=e+x-2的零点为。，函数g(x)=ln x+x-2的零点为从 则下列不等式中成立 的 是()A.a-b B.e+lnb2C.a1+b2 0,b 0,a b,所 以/0,切 在R 上为增函数，/(0)=e-20,所以0 a ；.又因为点(“,e )在直线y =2-x 上，且。+6 =2,所以e=2-a =6a2+b2=a2+e2a -+e3,故 C 正确.4因为e =b,所以工=T，b e设/z(x)=、(0 x 0,(x)在(0,g)为增函数.所以M、)外加即?二=,-故口错1 吴.b 2V e h2 4 e 4故选：C【554】.(2022全国高考真题)(多 选 题)已知函数则()A./*)有两个极值点C.点(0,1)是曲线y =/(x)的对称中心B.x)有三个零点D.直线N=2x 是曲线y =/(x)的切线【答案】A C【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/(x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，=令/(x)0得或x _曰，令 T(x)/0,即函数/(x)在 曰,+8 上无零点，综上所述，函数x)有一个零点，故B错误；令 (x)=x 3-x,该函数的定义域为R,A(-x)=(-x)3-(-%)=-x3+x=-A(x),则 贻)是奇函数，(0,0)是力(x)的对称中心,将h(x)的图象向上移动一个单位得到/(X)的图象，所以点(o,1)是曲线y =/(x)的对称中心，故C正确；令/(x)=3 d-l =2,可得x=l,又/(1)=-1)=1,当切点为(1,1)时，切线方程为P =2 x-1,当切点为(-1,1)时，切线方程为P =2 x+3,故D错误.故选：A C.【555】.(2021北京高考真题)已知函数/(x)=|lg x|-h-2 ,给出下列四个结论:若=0,/恰 有2个零点；存 在负数A ,使得/(x)恰 有1个零点；存 在负数k,使得/(X)恰有3个零点；存在正数%,使得/Xx)恰有3个零点.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】由/(x)=0可得出|lgx|=H+2,考查直线、=除+2与曲线g(x)=|lgx|的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于，当人=0时，由/(x)=|lgx|-2=0,uj 得x=+或x=100,正确；对于，考查直线夕=履+2与曲线y=-lgx(Oxl)相切于点尸对函数卜=-檎、求 导 得-焉,由题意可得+2=1g,1