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二次函数导学案26.1 二次函数及其图像2 6.1.1 二次函数九 年 级 下 册 编 号 0 1【学习目标】1 .了解二次函数的有关概念.2 .会确定二次函数关系式中各项的系数。3 .确定实际问题中二次函数的关系式。【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。【学习过程】一、知识链接：1 .若在一个变化过程中有两个变量x 和 y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x的,x叫做 o2 .形如y =（女。0）的函数是一次函数，当=0时，它是函数；形如（左。（）的函数是反比例函数。二、自主学习：1 .用 1 6 nl长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈 的 面 积 y（m，）与长方形的长x（m）之间的函数关系式为，分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为九米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么y与x之间的函数关系式为y=,整理为y=.2 .n支球队参加比赛，每两队之间进行场比赛.写出比赛的场次数m 与 球 队 数 n 之间的关系式3 .用一根长为4 0 cm的铁丝围成一个半径为门的扇形,求扇形的面积S 与它的半径r之间的函数关系式是。4 .观察上述函数函数关系有咏些共同之处？5 .归纳：一般地，形如,Ac是 常 数，且 Q）的函数为二次函数，其中X是自变量，Q是，b 是,c 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.三、合作交流：（1）二次项系数。为什么不等于0?答：（2）一次项系数万和常数项C可以为0吗？答：.四、跟踪练习1 .观 察：y =62；y =-3 x 2+5；y =2 0 0 x 2 +4 0 0 x +2 0 0；y =x-2x；y=x2-+3：y=（x +l）-x2.这 六 个 式 子 中 二 次 函 数 有 （只填序号）2 .y =（2 +l）x J -3 x +l 是二次函数，则 m 的值为.3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为S=5产+2t,则当t=4秒时，该物体所经过的路程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4.二次函数y =-x2+b x+3.当x=2时，y=3,则这个二次函数解析式为5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建个矩形绿化带A B C D,绿化带一边靠墙，另三边用总长为4 0m的栅栏围 住（如图）.若设绿化带的B C边长为xm,绿化带的面积为y n?.求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.26.1.2二次函数y=ax2的图象九 年 级 下 册 编 号02【学习目标】1.知道二次函数的图象是一条抛物线；2.会画二次函数y=ax2的图象；3.掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用.（重点）【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.【学习过程】一、知识链接：1.画一个函数图象的一般过程是.2.次函数图象的形状是二、自主学习（一）画二次函数y=x2的图象.列表：.反比例函数图象的形状是.-1y=x 在 图（3）中描点，并连线0231.思考：图（1）和 图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答：2.归纳：由图象可知二次函数y =x?的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线,即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线：抛物线y=?是轴对称图形，对称轴是：y =的图象开口；与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y =Y 的顶点坐标是它是抛 物 线 的 最 一 点（填“高”或 低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即X 0 时，y随x的增大而。（二）例 1 在 图（4）中，画出函数y =gx?,y=x21 y =2 x?的图象.解：列表：X-4-3-2-1012341 2V=X2X-2-1.5-1-0.500.511.52y=2 x2 归纳：抛物线y =y=x2 f y =2 2 的图象 的 形 状 都 是；顶点都是；对称轴都是；二次项系数Q 0；开口都；顶点都是抛物线的最 点（填“高”或“低”）.归纳：抛物线 y 二一gx?,y-x2,y=-2 x2的 的 图 象 的 形 状 都 是 顶 点 都 是；对称轴都是；二次项系数。0：开口都；顶点都是抛物线的最 点（填“高”或“低”）.一 1 2 2例 2请 在 图（4）中画出函数y =一 万/，y-x ,y-2 x2的图象.列表:X-4-3-2-101234 1 2V=X.2 归纳:抛物线y=a x2的性质图 象（草图）对称轴顶点开口方向有最高或最低点最值a 0当x=_ _ _时，y有最_ _ _ _ _ _ _ 值，是_ _ _ _ _ _.a 0时，在对称轴的左侧，即x_ _ _（）时，y随x的增大而；在对称轴的右侧,即%o时y随x的增大而 o3.在前面图（4）中，关于x轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答：。由此可知和抛物线y =a x2关于x轴 对 称 的 抛 物 线 是。4.当 a 0时，a越大，抛物线的开口越；当avo时，a越大，抛物线的开口越；因此，卜|越大，抛物线的开口越 o四、课堂训练1.函数y =的图象顶点是,对称轴是,开口向,当*=时，有最 值是.2.函数y =-6 _?的图象顶点是,对称轴是,开口向,当*=时，有最 值是.、f y /3.二 次函数y =(加-3*的图象开口向下，则m.XJ/4 .二次函数丫=1 1 ”有最高点，则m=.I5 .二次函数y=(k+O x,的图象如图所示，则k的取值范围为.6 .若二次函数y=。犬2的图象过点(1,一2)，则。的值是.7 .如 图，抛 物 线 y=5,y=-2/y=5/y=7 x?开口从小到大排列是；(只 填 序 号)其 中 关 于x轴 对 称 的 两 条 抛 物 线 是和。18.点A (5,b)是抛物线y=x2上的一点，则b=；过点A作X轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是。9.如图，A、B分别为y=办2上两点，且线段A B _L y轴于点(0,6),若A B=6,则该抛物线的表达式为。1 0.当0 1=时，抛物线y=开口向下.1 1.二次函数y=与直线y=2 x-3交于点P (1,b).(1)求a、b的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出X取何值时，该函数的y随X的增大而减小.26.1.3 二次函数 y=a(x-/?y+%的图象(一)九年级 下 册 编 号03【学习目标】I.知道二次函数y=a x?+女 与y=a 3?的联系.2.掌握：次函数,=a x2+k的性质，并会应用：【学法指导】类比一次函数的平移和二次函数y=a x2的性质学习，要构建一个知识体系。【学习过程】一、知识链接：直线y=2x +l可以看做是由直线y=2 x 得到的。练：若一个次函数的图象是由y=-2 x平移得到，并且过点（-1,3）,求这个函数的解析式。解:由此你能推测二次函数y=2与y=x 2 一 2的图象之间又有何关系吗？二、自主学习（-）在同-直角坐标系中，画 出 二 次 函 数y=x2,=x2+1,y=/-1 的图象.X3210123y=%2 4-1y=x2-1 .2.可以发现，把抛物线y=x 2向 平移 个单位，就得到抛物线y=x2+1 ：把抛物线y=x2向 平移 个单1.填表：开口方向顶点对称轴有最高（低）点增减性y=x2y=x2+ly=x2-3.抛物线y=y=x2+1,y=x?-l的形状.开口大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线y=ax?+k特点:1 .当a0 时，开口向；当a0时，开口向:当a 0时，开口2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。（二）抛 物 线y =。（犬/!尸与y =以2形状相同，位置不同，y =a（x-/z）2是由 =以2平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左右 一，上一下。（=）a的正负决定开口的：|&决定开口的，即|a|不变，则 抛 物 线 的 形 状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线。值。四、课堂训练1 .抛 物 线y =2（x +3 的开口；顶点坐标为；对 称 轴 是 直 线；当x时，y随x的增大而减小；当x 时，随x的增大而增大。2 .抛物线y =-2。-1）2的开口；顶点坐标为；对 称 轴 是 直 线；当x时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。3 .抛物线 =22 1的开口:顶点坐标为:对称轴是:4.抛物线y =5尤2向右平移4个单位后，得 到 的 抛 物 线 的 表 达 式 为.5 .抛物线y =-4/向左平移3个单位后，得 到 的 抛 物 线 的 表 达 式 为.J26.将 抛物线y =（x 2）向右平移1个单位后，得 到 的 抛 物 线 解 析 式 为.7 .抛物线y =4（x-2）2与y轴 的 交 点 坐 标 是,与x轴 的 交 点 坐 标 为.8 .写 出 一 个 顶 点 是（5,0）,形状、开口方向与 抛物线 二-2 1 2都相同的二次函数解析式2 6.1.3二次函数y =a（x-h）2+k的图象（三）九 年 级 下 册 编 号0 5【学习目标】1.会画二次函数的顶点式y =Q（x-/2+Z的图象；2.掌握二次函数y =。（工一力）2+女 的性质；【学习过程】一、知识链接：1.将二次函数y=-5x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 1平移得到的。二次函数图象的平移规律：左右，上一下，（三）平移前后的两条抛物线。值。五、跟踪训练171 71.二次函数y=5&-1）一 +2的图象可由丫 =5 1 2的 图 象（)A.向左平移1个单位,B.向左平移1个单位,C.向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到再向上平移2个单位得到再向下平移2个单位得到D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到22.抛物线y =-(x-6)-+5开口，顶点坐标是,对称轴是,当x=时，y有最 值为。3.填表:y-3 x2y=-x2-3y=2(x+3)2y=-4(x-5)2-3开口方向顶点对称轴4.函数y =2(x 3-1的图象可由函数y =2/的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。5.若把函数y =5(x-2 y+3的图象分别向下、向 左 移 动2个单位，则得到的函数解析式为O1 26 .顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y =5厂相同的解析式为()1 9 1 9A.y=-(x-2)+3 B.y =(x +2)-3c.y二;(x +2)+3 D.y =-；(x +2+37.条抛物线的形状、开口方向与抛物线y =2 x?相同，对称轴和抛物线y =(x-2相同，且顶点纵坐标为0,求此抛物线的解析式.2 6.1.3二次函数y =a(x-/2+A的图象(四)九 年 级 下 册 编 号0 6【学习目标】会用二次函数y =/?)2+k的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：1 .抛物线y =-2(1+1)2 3开口向,顶点坐标是,对称轴是,当、=时，y有最 值为 o当x 时，y随工的增大而增大.2.抛物线y=-2(x+l)2-3是由y=-2 x2如何平移得到的？答：二、自主学习1 .抛物线的顶点坐标为(2,-3),且经过点(3,2)求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。2.仔细阅读课本第1 0页例4：分析：由题意可知：池 中 心 是，水管是,点 是喷头，V B线段_ _ _ _ _ 的长度是1米，线段_ _ _ _ _ _ 的长度是3米。由已知条件可设抛物线的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。抛物线的解析(1 式中有一个待定系数，所以只需再确定_ 个点的坐标即可，这个点 1 1 1 是-。-1 5求水管的长就是通过求点的_ 坐标.二q二、跟踪练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别山抛物线对称的-部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为1 2米.AO=3米，现以。点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.y P(1)直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；A X(2)求出这条抛物线的函数解析式；V 1三、能力拓展M1.知识准备 ；如图抛物线y=(x-l 一4与x轴交于A,B两点，交y釉于点D,抛物,线的顶点为点c 福 JB J(1)求4A BD的面积c I (2)求aA BC的面积。I /(3)点P是抛物线上-动点，当4 A B P的面积为4时，求所有符合条件 卜Z的点P的坐标。(4)点P是抛物线上一动点，当4 A B P的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。(5)点P是抛物线上 动点，当a A B P的面积为1 0时，求所有符合条件的点P的坐标。2.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点0,且与工轴、；轴分别相交于/(-&0)、J(O|-6)两点.(1)求出直线AB的函数解析式；(2)若有一抛物线的对称轴平行于；轴且经过点M,顶点C在。M匕 开口向下，且经过点B,求此抛物线的函数解析式；(3)设(2)中的抛物线交F 轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P,使 得 凡*右号”“？若存在，清求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)26.1.4二次函数y=ax2+Z?x+c的图象九年级 下 册 编 号07【学习目标】1.能 通 过 配 方 把 二 次 函 数y=a x2+b x +c化 成y=()2+攵的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2.熟记二次函数y=a x?+c的顶点坐标公式；3.会画二次函数般式y=a x?+x+c,的图象.【学习过程】一、知识链接：图131 .抛物线y=2(x +3)2 1的 顶 点 坐 标 是；对 称 轴 是 直 线；当兀=_时y有最值是:当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。2 .二次函数解析式y=a(x y+女中，很容易确定抛物线的顶点坐标为,所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：(一)、问题：(D你能直接说出函数y=12+2X+2的图像的对称轴和顶点坐标吗？(2)你有办法解决问题(1)吗？解：y=+2%+2的顶点坐标是,对称轴是.(3)像这样我们可以把 一 个 般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.(4)用配方法把下列二次函数化成顶点式：y=-2x+2 y=；/+2 x +5 y=+%x+c(5 )归 纳：二 次 函 数 的 一 般 形 式y=ar?+Ax+c可 以 用 配 方 法 转 化 成 顶 点式：,因 此 抛 物 线y a x2+h x +c的 顶 点 坐 标是;对 称轴是,(6)用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法.用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。y=2x?3x+4 y=-2x?+x+2 /=-一4%1 ,(二)、用描点法画出y=+2犬-1的图像.(1)顶点坐标为；(2)列表：顶点坐标填在；(列表时一般以对称轴为中心，对称取值.)X y =X2+2 1-12 3)描点，并连线:(4)观察：图象有最_ _ _ 点，即=时，y有最 值是；x _ _ _时，y随x的增大而增大；龙时y随x的增大而减小。该抛物线与y轴交于点。该抛物线与x轴有 个交点.三、合作交流1 ,求 出y =+2 x-l顶点的横坐标x =-2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。2 6.1.5用待定系数法求二次函数的解析式九 年 级 下 册 编 号0 8【学习目标】1 .能根据已知条件选择合适的二次函数解析式：2.会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习过程】一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为(-1.2),且经过点(0,4)求该函数的解析式.解:二、自主学习1.一次函数y=kx+b经过点A(-l,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。分析：要求出函数解析式，需求出出,人的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于左,人的二元一次方程组即可。解:2.已知一个二次函数的图象过（1,5）、（-1-1）.（2,1 1）三点，求这个二次函数的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：；所设解析式中有个待定系数，它们分别是,所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式y =。（元一）2 +Z和一般式y=ax2+bx+c1 .已知抛物线过三点，通常设函数解析式为：2 .已知抛物线顶点坐标及其余点，通常设函数解析式为“四、跟踪练习：1 .已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2,-3）,且 图 像 过 点（3,-1）,求这个二次函数的解析式.2.已知二次函数y =冗2 +X+机 的 图 象 过 点（1,2）,则m的值为.3.一个二次函数的图象过（0,1）、（1,0）、（2,3）三点，求这个二次函数的解析式。4 .已知双曲线y =一 与抛物线y =4r+工+交于人（2,3）、B（m,2）、c（-3,九）三点.X(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出A A B C的面积，5.如图，直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点c(3,o),(1)求该抛物线的解析式；在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使AABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标：若不存在，请说明理由.2 6.2用函数观点看一元二次方程(一)九年级 下 册 编 号0 9【学习目标】1、体会二次函数与方程之间的联系。2、理解二次函数图象与x轴交点的个数与 元二次方程的根的个数之间的关系,【学习过程】一、知识链接：1.直线y=2x-4与y轴交于点,与x轴交于点.2.一元二次方程a?+hr+c =o,当A 时，方程有两个不相等的实数根；当A 时,方程有两个相等的实数根；当4 时，方程没有实数根；二、自主学习1.解下列方程(1)x2-2x-3=0(2)x2-6x+9=0(3)x2-2x+3=02.观察二次函数的图象，写出它们与天轴的交点坐标:3.对比第1题各方程的解，你发现什么？三、知识梳理：一元二次方程OX?+力 工+。=0的实数根就是对应的二次函数=3 2 +。1与x轴交点的.(即把y=()代入y=ox?+bx+c)二次函数与一元二次方程的关系如下：(一元二次方程的实数根记为七、x2)二次函数 y=ax2+bx+c与一元二次方程 ax2+/?%+(?=()uu/:X与X轴有一个交点b2-4 a c_ 0,方程有_ _ _ _ _ _ _ _ _ 的实数根J与X轴有一 个交点；这个交点是b2-4ac _ 0,方程有_ _ _ _ _ _ _ _ _实数根y-z r4XA与无轴有一个交点=b2-4 a c_ 0,方程_ _ _ _ _ _ 实数根.二次函数y=ax2+c与y轴交点坐标是.四、跟踪练习1.二 次函数 y=X?-3工 +2,当 x=i 时，y=；当 y=o 时，x=2.抛物线y =冗2 -4元+3与x轴 的 交 点 坐 标 是,与y轴 的 交 点 坐 标 是:4.如图，一元二次方程a x?+/?X +C =0的解为 o5.如图，一元二次方程Q X 2 +b x +c =3的解为。6.已知抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上，则k=.7 .已知抛物线y=kx2+2 x-l 轴有两个交点，则k的取值范围是.2 6.2用函数观点看一元二次 方程(二)九 年 级 下 册 编 号10【学习目标】1.能根据图象判断二次函数a、b、。的符号；2.能根据图象判断些特殊方程或不等式是否成立。【学习过程】一、知识链接：根据y =。工2 +c的图象和性质填表：+x +c =o的实数根记为X、九2)(1)抛物线y=a x2+O x +c与无轴有两个交点 /?2-4 a c o；(2)抛物线y =QX?+/?x +c与x轴有一个交点u b2-4 a c 0：(3)抛物线y =a x2+k x +c与轴没有交点=b2-4 a c o.二、自主学习：1.抛物线y-2 x2-4 x +2和抛物线y=-x2+2 x -3与y轴的交点坐标分别是和 O抛物线y =a r?+b x +c与y轴 的 交 点 坐 标 分 别 是.2.y-ax+bx+c抛物线 y=a x2+h x +c 开 口 向 上，所以可以判断a。对称轴是直线x=,由图象可知对称轴在轴的右侧，贝 i x 0,即 0,已知a所以可以判定b 0.因为抛物线与y轴交于正半轴，所以工 o.抛物线y =犬2+A r +c与x轴有两个交点，所以/?2-4 a c o；三、知识梳理：a的符号由 决定：开 口 向=a_ _ _ _ 0；开 口 向=a_ _ _ _ o.6的符号由 决定：在y轴的左侧=a、b：在y轴 的 右 侧=a、h：是y轴=。0.0,（3）c的符号由_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 决定：点（0,O 在 y轴正半轴=c _ 点（0,C）在原点 O C _ _ _ _ _ _ 0；_ 0；点（o,o 在 y轴 负 半 轴 c _ 0.w b2-4 a c的符号由 决定：抛物线与x轴有 交点。b2-4 a c o=方程有 实数根;抛物线与轴有_ _ _ 交点=/一 4 a c _ 0=方程有 实数根:抛物线与x轴有 交点=b2-4 a c（）=方程 实数根；特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.四、典型例题：抛物线y =a x?+b x +c如图所示：看图填空:(1)a 0：(2)b-0；(3)c o；(4)b2-4 a c 0;(5)2 a+b 0：(6)a+b+c 0；(7)a b+c 0:(8)9a+3b+c 0；(9)4a+2h+c 0五、跟踪练习:1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程a x2+b x +c=0的根为(2)方程ux+bx+c =_ 3 的根为；(3)方程ax2+bx-c=-4的根为：(4)不等式a r?+b x +c0的解集为:(5)不等式ax2+h x +c 0的解集为:2.根据图象填空：(1)a 0：(2)b_ o；(3)c o；(4)h2-4 a c 0；(5)2a+h 0；(6)a+b+c 0；(7)a b+c 0；相似导学案2 7.1 图形的相似(第1课时)【学习目标】1.经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.2.掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.3.能根据相似比进行有关计算.【自学指导】第一节1.相似三角形的定义及记法三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如4A B C与4D E F相似，记作ABCADEFo注意：其中对应顶点要写在对应位置，如A与D,B与E,C与F相对应.AB：DE等于相似比.2.想一想如果A B C s/iD E F,那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？3.议一议(1)两个全等三角形一定相似吗？为什么？(2)两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？(3)两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？归纳：【典例分析】例1:有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m,在这个草坪的图纸上，这条边长5cm,其他两边的长都是3.5cm,求该草坪其他两边的实际长度.（14m）例 2：如图，已知ABCs/XADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,ZBAC=45,ZACB=40,求(1)NAED 和NADE 的度数；(2)DE 的长.5.想一想：在例2的条件下，图中有哪些线段成比例？练习：等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形ABC相似，相似比为3：1,已知斜边AB=5cm,求 ABC斜边AB上的高.（第2课时）【自学指导】第二节1、相似多边形的定义：两个多边形大小不等，但各角,各边 这样的两个相似多边形叫做相似多边形。注意：与相似三角形的定义的不同点。2、叫做相似比。3、判断：(1)各角都对应相等的两个多边形是相似多边形。()(2)各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。()思考：要判断两个相似多边形相似需要满足的条件_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4、观察下列图形，它们之间是否相似？【尝试练习】5、判断:(1)所有的正三角形都相似。(2)所有正方形都相似。(3)所有正五边形都相似。(4)所有正多边形都相似。思考：所有的正n 边形都相似吗？)【巩固训练】1、已知菱形ABCD与 菱 形 卜 B，C,若使菱形A B C D s菱形A，Bz C 可添加一个条件2、如图，一个长3 米，宽 1.5米的矩形黑板，其外围的木质边匡宽7 5厘米。边框内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？OAB AB【达标测试】如上图，已知四边形A B C D s四边形 B C D,Z A=70,N B =60,N D=125,AD=7,A D=4.2,BC=8,求N C 的度数和 B C的长度。【开拓 思 维】在相似多边形中，对应对角线的比与相似比有何关系？怎样证明？27.2相似三角形（第3课时）【学习目标】1、掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，2、能对三角形的性质与判定进行简单的运用【自学指导】判定1、相似三角形的判定方法、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.、三边对应成比例，两三角形相似.、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.、两角对应相等，两三角形相似.【尝试练习】、如图，/iXABC 与aADE 都是等腰三角形，AD=AE,AB=AC,NDAB=NCAE。求证：A B CSAA D E。/APy7b、如图ABCD是正方形，E 是 CD上一点，F 是 BC延长线上一点，且 CE=CF,BE延长线交DF于 G。求证：BGFs/iDGE。、如图已知点D 为夫2A4。斜边B A上的点，点 E 为 A C 的中点，分别延长ED和 CB交于F。求证：CDFS/SDBF。、如图4 A B C 中，NC,N B 的平分线相交于O,过。作 A O 的垂线与求证：BDOS/BOCS2XOEC。(5)、如图A D 为A A B C 的N A 的平分线，由 D 向N C 的外角平分线作垂线与A C 的延长线交于F 点,由 D 作N B 的平分线的垂线与A B 交于E,求证：A D E s a A F D。BPMC反思：两个直角三角形要相似，除了一个直角外，还需要那些条件就可以。【思维拓展】：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似？（第 4 课时）【自学指导】性质1、两个三角形已知相似，可推出：、相似三角形对应边、对应中线，对应高线、对应角平分线的比等于相似比、相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方【尝试练习】1、如图，在和AZ X，中，A B-2 D B,加-2J3P,Z 4-Z D,A4 B7的周长是24,面积是48,求9 的周长和面积.解：在和ADI F中，AB-皿,M-WM 1UMI又6 D V s M J K?,相似比为2A W 的周长为；x 24=12,9 I P 的面积是（1）2X48=12.建议：记住上面的解题格式，规范你的步骤.2、如图，已知AW P 中，加$,加 ，世。心,点；在M上,（与点4 0不重合），。点在R上.（1）h P Q P当的面积与四边 形 以 即 的 面积相等时，求 促 的长.当 Q C f 的周长与四边形产&Q的周长相等时，求C P 的长.（3）在 段 上是否存在点M,使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出由0 的长.归纳：相似三角形的常见图形及其变换:m A穴Nd【巩 固练1 .如图：A D _ L B C,z W=9 0 ,那么Z s A B C s2 .下列条件中，判断A A B C与A B C 是否相似？并说明理由.(l)Z C=Z Cr=9 0 ,Z B=Z B，=5 0 .()理由(2)A B=A C,A B =A C N B=N B .）理由 N B=N B 与0 4 8 的位似比是.3.把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则 原 图 与 新 图 的 相 似 比 为.4.两个相似多边形，如 果 它 们 对 应 顶 点 所 在 的 直 线,那么这样的两个图形叫做位似图形.5.位 似 图 形 的 相 似 比 也 叫 做.6.位似图形上任意一对对应点到 的距离之比等于位似比.二、解答题7.画出下列图形的位似中心.8.将四边形A 8C O放大2倍.要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部.（2）对称中心在两个图形的同侧.（3）对称中心在两个图形的内部.9.如 图3,四边形A 8C O和四边形位似，位 似 比 仁=2,四边形ABC。和四边形位似，位 似 比&=1.四边形和四边形ABC。是位似图形吗？位似比是多10.请把如图4所示的图形放大2倍.图411.请把如图5所示的图形缩小2倍.一.填空题（每3分，共3 0分）1.已知 =3,则2=_丫 4 y2、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m,试计算主持人应走到离A点至少 m处？（结果精确到0.1）B3.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为.4.如图，ZIABC中,D,E分别是AB,AC上的点（DE次BC）,当 或 或 时，/ADE与工ABC相似.CBB（第 4 题图）（第 5 题图）（第 6 题图）5、如图，A D=D F=F B,D E F G B C,贝IJ SI：Sn：Sm=.6、如图，正方形A B C D 的边长为2,A E=E B,M N=b 线段M N 的两端在C B、C D 上滑动，当C M=时,A A E D 与 N,M,C为顶点的三角形相似.7.已知三个数1、2、7 3,请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是8、如图，A A BC 中，BC=a1 1若 A D 产一A B,A E i=-A C,贝 D,E 尸 ；3 3-（2）若 DID 2=，DIB,EIE2=EIC,则 D 2E 2二 ；.3 3（4）若 D gD 产D y r i B,E g C,贝 I D E 二 .3 3二.选择题（每小题3 分，共 30 分）9.在比例尺为1:50 0 0 的地图上,量得甲，乙两地的距离为25c叫A.1 250 k m B.1 25k m C.1 2.5k m D.1.25k ma b c 八 a+b1 0,已知一=一 二一 w 0,则-的值为（）2 3 4 c4 5 1A.-B.-C.2 D.-5 4 21 1 .如图,A B 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D距 墙 1.4 m,B D 长 0.55m,则梯子的长为（）A.3.85m B.4.0 0 m C.4.4 0 m D.4.50 m1 2.如图，Z A CB=Z A D C=90 ,BC=a,A C=b,A B=c,要使，A BCs /CA D,只要 CD 等于（）.b2A.C.h2D.-C.D.ac c（第 4题图）（第 5 题图）1 3.一个钢筋三角架三 长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm 和 50 cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边,则不同的截法有（）A.一种 B.两种 C.三种 D.四种1 4、如图，在大小为4X4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A.和 B.和 C.和 D.和1 5.如图，A A D E 绕正方形A BCD 的顶点A顺时针旋转90 ,得 A A BF,连结E F 交 A B于 H,则下列结论错误的是（）（A）A E J L A F （B）E F ：A F=V 2：1 （O A F F W F E （D）F B：F C=HB：E C1 6、如图是圆桌正上方的灯泡0发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图.已知桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1 m,若灯泡0 距离地面3m,则地面上阴影部分的面积为（）A.0.36 n m 2 B.0.81 n m2 C.2 i t m2 D.3.24 n m21 7、如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）X（第 7 题图）（第 8 题图）（第 9 题图）（第 1 0 题图）1 8、平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B.将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C.将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似D.将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以工，得到的鱼与原来的鱼位似2=.计 算 题（每题6 分，共 24 分）1 9、如图，A A BC中，BD 是角平分线，过 D作 D E A B交 BC于点E,A B=5cm,BE=3cm,求 E C 的长.A/DBC20.如图，D E BC,SA K E：s =4 ：9,求 A D ：BD.EA21.小颖测得2m高的标杆在太阳下的影长为1.2m,同时又测得一棵树的影长为3.6m,请你帮助小颖计算出这棵树的高度.22.如图，在梯形 A BCD 中，A D/BC,Z BA D=90 ,对角线 BD _L D C.(1)A A BD与A D CB相似吗？请说明理由.(2)如果 A D=4,BC=9,求 BD 的长.四.探 索 题(每 题8分，共1 6分)23、已知：如图，A A BC中，N B=N C=30 .请你设计三种不同的分法，将A A BC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.(画图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由).分法一 分法二 分法三分法一:分割后所得的四个三角形中，A会,Rt As Rt 分法二:分割后所得的四个三角形中，会,Rt As Rt A分法三：分割后所得的四个三角形中，且,Rt As Rt A24.如 图,在 Rt A A BC 中，Z C=90 ,A C=4,BC=3.(1)如图(1),四边形D E F G为A BC的内接正方形，求正方形的边长.(2)如图(2),三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于A A BC,求正方形的边长.(3)如图(3),三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于A A BC,求正方形的边长.(4)如图(4),三角形内有并排的个相等的正方形，它们组成的矩形内接于A A BC,请写出正方形的边图(1)图(2)图(3)图(4)课题：28.1锐角三角函数(1)目标导航：【学 习 目 标】：经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。(2):能根据正弦概念正确进行计算【学 习 重 点】理解正弦(s i n A)概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实.【学 习 嘘 点】当直角三角形的锐角固定时,，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。【导 学 过 程】一、自学提纲：1、如图在 R t a ABC 中，Z C=90 ,Z A=3 0 ，BC=1 0 m,求 AB2、如图在 R t AABC 中,Z C=90 ,Z A=3 0 ，AB=2 0 m,求 BC二、合作交流:问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是3()。，为使出水口的高度为3 5 m,那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为5