复变函数第四版课后习题答案.pdf

我们希望呵护您的眼睛，关注您的成长，给您一片绿色的环境，欢迎加入我们，一起分享大学里的学习和生活感悟，免费提供:大学生课后答案,大学考试题及答案,大学生励志书籍。习题一解答1 .求下列复数的实部与虚部、共辗复数、模与辐角。(1)；(2)-；(3 +*)(2-5I)；(4)j 8 _4i 2+i3 +2 i i 1 -i 2 i解(1)1=3-2 i =(3 -2 i)3 +2 i (3+2 i)(3-2 i)1 3所以，cR e*3+2 产一，h梏+2 7”3,-T 一 v-T 一工(3 +2i),，/及3 _强=叵,3 +2 i 1 3 3 +2 1 1口1 3 口 口1 3口 1 3 1 1 A rgl =喀 +2K7C 3 +2 i n 3 +2 i.2=-arctan _ +Ik j r,k =0,1 ,2,()1 3 i -i 3 i(l +i).1 /、才 5 .(2)一 =-工=-i -3 +3 i)=-i,i 1-i i(-i)(1 -i)(l +i)2 2 2所以R e -3 i c _ 3_ _ _,I m2*1，2-3 i 5:i 1-声 2I-2L=i 1-i n 2 2 i 1-i V：2：2 _A rg：1-3 1=ar晶 1-3 i D+2 尿 i 1-i O D i 1-i O(3)=-a r c t a n-+2配 k=0,l,2,-.(3 +4 i)(2 -5 i)_(3 +4 i)(2 -5 i)(-2 i)_(2 6 -7 i)(-2 i)2 i (2 i)(-2 i)O4所以:2i午1丫地 川二二十=Y(3+4i)(2-5 iy+2k,=2 arctan 及 _ +2而 2i/2i=arctan 上+(2%-1)%，A:=0,l,2,-.7(4)i8-4 i2+i=J*-4卜i+i=(_叶 _ 4(-1)叫+i.=-3i十以所Arg(is-4i21+i)=arg(i8-4i21+i)+2k冗=arg(l-3i)+2k兀=-arctan3+2kn k=0,1 ,2,.2.如果等式X +l+i(y-3)=+i 成 立,试 求 实 数 为 何 值。5+3i解：由于x+1 +i(y-3)x+i(y-3)(5-3i)5+3i(5+3i)(5-3i)5(x+1)+3(Y-3)+i-3(x+1)+5G-3)34=-5x+3y-4+i(-3x+5y-18)=l+i比较等式两端的实、虚部，得*5x+3y-4=或串 5x+3y=38*-3x+5y-18=3l：-3x+5y=52解得 x=l,y=11 o3.证明虚单位i 有这样的性质：-i=i=；。4.证明1)I Z|2=zz6)Re(z)=1(z-+z),Im(z)=J_(z-去)2 2i2证明：可 设z=x+i y,然后代入逐项验证。5 .对任何Z,z2 =|z是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对Z那些值才成立？解：设2 =+,则 要 使z2=|z 成立有x2-y2+2ixy=x2+y2,即无之一 J=炉+y,初=。由此可得z为实数。6 .当|z|4 1时，求|z+a|的最大值，其中为正整数，a为复数。jarga解：由于|z +4|z|+|a|4 1 +同，且 当z=e 时，有 呼口“zn+a=le n-+dg=0+时)即=1 +同故1+1 I为所求。8 .将下列复数化成三角表示式和指数表示式。(1)i；(2)-1；(P 夕)_ 2 i(4)1 -co s+i si n 0 n；(5).；-l +i解(1)i =co s Zl +i si n ZL=g 2.2 2 (2)-1 =co s7 c+i si n 7 i =e1 K(3)l+i w =2+i=2 D co s m +i si n Z=2 e 3；“：2 T g T?2。(P(P(4)1-co sp+i si n 夕=2 si n +i 2 si n co s=2 si n si n +i co s 2 2 2 2 0 2 2 (p 7 1-4 9.九 一0口 八.(p i=2 si n _ c o s+i s i n L =2 sm ,(0 9.将下列坐标变换公式写成复数的形式：Jf X =X+Q”D平移公式：+；八 二 1旋转公式：=a c os a-y s in a,2 y =x s inc r +y c os av 1 1解：设 A=i+断，Z=X+iyz =x +iy ,则有1)z =Z+M；2)z =z (c os a+is ina)=z q。ii1 0.一个复数乘以-i,它的模与辐角有何改变？i A*解：设复数 Z=|z I eiAr g z,则 z(-0=1 z I eiAr g:.e u|z|e 一？.，可知复数的模不变,2 辐角减少-O21 1 .证明：|z +z f+|z -z|2二2(|z/+|z|2),并说明其几何意义。证明：I Z 4-Z1|2 4 1 Z-Z1|2 2=(Z+%)(J 多(Z-z )(z=)_1 2 1 2 1 2 2 1 2 2(ZZ +z2z)2(1 z/+|z|2)1 2其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。1 2 .证明下列各题：产1）任何有理分式函数R（z）=可以化为X+i Y的形式，其中X与y为具。有实系数的x与y的有理分式函数；2）如果R（Z）为1）中的有理分式函数，但具有实系数，那 么/?（r）=x-i y;3)如果复数a+仍是实系数方程a z+a zn-1+,+a z +a=00 1 /J-1 n的根，那 么a-他 也是它的根。,、尸 P(z)kT Re(P 改 方 I m(P(z)史T)证 1)R(z)=F+Q Q(z)Q(z)q x,y)q(x,y)2)3),P(z)s a p(zn j _R(z)=-=-i i=X+i Y=X-i Y;2(z)Q(z)f 2(z h事实上P(z)=a _ z+a zT+a z+a0 1 n-l i4=o+az+a2z2+,+anzn=尸(z)1 3.如果z =，试证明(1)z+1 =2 cos,%；(2)zn-2 i sin nt2n解2 =*+0-血=网+方=2sin加z”(2)zn-=eim-e-iM=ein,-,=2isin ntz1 4 .求下列各式的值(1)(百-J ;(2)1 +i6;(3)打;(4)1 -i (2)(3)3可=93-1=(2 1 吗=32eF6 2 aj丫 口 5 7t L i 5 7c t y 代32OS6 D&isinn-g 嫡 6o 6 6 J。+叶 应-4=+4 i)=D V 2 “J2 2 I 2 2 I I 2 7|z2-Z il处。(3)z=)(x +x +x)+(y+y +y),由几何知识知点z位于A z z z 的重心1123gl 23 I 23处。1 9.设 Z,Z2，Z3三点适 合 条 件:Z|+Z2+Z3=0 ,=右|=卜|=1。证明Z”Z2,Z3是内接于单 位 圆 国=1的一个正三角形的顶点。证 由于上|卜,|=忖|=1，知AZ1Z2Z3的三个顶点均在单位圆上。因为1=z=z z=(Z1 +Z2)I(Z1 +乞2)=Z Z +Z2Z2+Z3Z2+ZjZ2=2+Z|Z2+Z|Z2所以，ZjZ24-Z1Z2=-l 又2|Z-Z-f=(z-z)(z-Z=Z Z-+Z Z -(z Z-+ZZ)-|1 2|I 2 1 2 I I 2 2 1 2 2 I=2-(Z jZ2+5洒2)=3故|ZZ2卜Ji,同理十一马|=、-Z 3*y/3,知A Z Z?是内接于单位圆I彳=1的一个正三角形。2 0.如果复数Z1,Z2,Z3满足等式Z 2-Z=Z-Z3z3-Zj Z2 Z3证明|Z 2-Z|卜本一 Z|=|Z2|Z 3,我说明这些等式的几何意义。由等式得a rg(z2-z)-ar g G Z)=ar g C z.-Z j)-a rg(z2-z3)即N Z2Z|Z3=NZ1Z3Z2。又因为Z2 Z=(z2-Z)+(z,-z3)=Z2-Z3Z 3-Z (Z3-Zt)+(Z2-Z3)z2-z,又可得N Z z Z-u /Z3Z2Z1,所以知是正三角形，从而卜2-Z 卜4-Z=|22卜Z3。|72 1.指出下列各题中点z 的存在范围，并作图。(1)|z 5|=6；(2)|z +2 i|1；(3)R e(z +2)=1 ；(4)R e(iz)=3 ;(5)|z +i|=|z-i|；(6)|z +3|+|z +l|=4(7)I m(z)1 ；z -2(9)0 arg z )=y +ix ,故R e(五)=3o y =3.知点z 的范围是直线产3 (见下图(d)；6 +j=|z -j =|z +=|z -(z +-i)=(z -+i)=|z 一 iz +i z +1 =|z|+i z-i z+1=i i-i z =0 =2 R e(iz )=0 =2 y =0=y =0.知 点 z 的范围是实轴(见下 图(e)；(6)|z 4-4-|z +j =4|z +3 2=(4 _|z+|)2 x -2 =-2|z +|u (x-2)2=4|z +0 3 2+1 2 为+4/=0。3 心匚+匚=1,即 点 z 的范围是以(-3,0)和(-1,0)4 3为焦点，长半轴为2,短半轴为 行 的 一 椭 圆(见 下 图(f)；(7)y 1 j z-2|z-2|2 (z -2)(-2)-3 z-3 r+9|z r2 z 2 2+4 =z +z4 5=x 0 (见下图(j)；82 2.描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的,单连的还是多连的。(1)I m z 0 ；(2)卜-1|4；(3)0 R e z l ；(4)2 羽 4 3；(5)|z-|z +3|；(6)-1 argz 1+；9(7)|z-l|1；解I m z 0(8)|z-2|+|z+2 区6；(10)zz (2+i)z (2 i)z 0 4 圆(z-l)2+y 2=i6的外部(不包括圆周)，是无界的、开的多连通区域。1011中心在点z=-!I，半径为三的圆周的外部区域(不包括圆周本身在内)，是无15 15界的、开的多连通区域。是 椭 圆 上+匕=1及其围成的区域，是有界的、闭的单连通区域。是双曲线4 f-L y2=1的左边分支的内部区域，是无界的、开的单连通区域。1 5(1 0)z z -(2 +i)z -(2 -ijz +1)2 =9及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。2 3.证明：z平面上的直线方程可以写成ai+az=C(a是非零复常数，C是实常数)证 设直角坐标系 的 平 面方 程 为AA+B y =C将元=R e z =l(z +乃,y =I m z =_Jz-z 代入，得2 2 iL(A-i B)z+J(A-i B R =C2 2令 a=J (A +iB),叫 a=(A-iB),上式即为 az-+az=C 1,2 22 4.证明复平面上的圆周方程可写成：z z彳a z+c=O,(其中a为复常数，c为实常数)。证(z+a)(z+a)-R1 zz+az+az+aa-R2-0,其中c=aa-7?2 为实常数2 5 .求下列方程(t是实参数)给出的曲线。(1)z=(l+i)f；(2)z=a cos/+i/?sin r；(3)z=t+L；(4)z =，2 J,t t2(5)z=acht+ibsht(6)z =ae+bel(7)z =*,(a=a +历为复数)=I解(1)z =x+iy =(1 +i)/=.,-co r oo o 即直线 y =x。斯x =a cost(2)z =x +iy =acos/+彷sinro.,0 /2 1,即为双曲线xy=；y-X (2(4)z =x+iy=f2 +：=丫=,，即为双曲线孙=1中位于第一象限中的一/.不支。13(5)争 x=acht x2 yrz=ach/+ibshf=,-=-=1,双曲线 y=bsht a/(6)(7)?2尸二+/=1，椭圆(a+b)(a-b)2a y_ arctan二x2+y2=eh；2 6-函 数 w=-将 z 平面上的下列曲线变成W平面上的什么曲线z(z =x +/y,w=M+z v)?(1 )/+9=6；(2)y =x ；(3)x=l；(4)(x-ly +y2=1解-,u=X,v=-V,可得z x +i y x2+y2 x2+y2 x2+y2 x2+y2(1)M2+V2=r +y2,1=1,是 W平面上一圆周；-：=r-任+力 x+y 4(2)u =-=-(-力=-v,是 w 平面上一直线；x2+/x2+y2 x2+91-y 2 2 1(3)由 X =1,知 =-7，U=-T7 从而+U =-=W,1 +y 1+/l+y2 in2 in2此为 一+/=是 w平面上一圆周；2口 匚 2口(4)(x-1)2+y2=I x2+y2=2x A=,于是“=是 w 平面上一A-2+y2 2 2平 行 与 v 轴的直线。2 7.已知映射w =z3,求(1)点z 产i,z2=1 +i ,Z 3=g +i 在 w平面上的像。n(2)区域0 a r g z 一 在 w平面上的像。解 设 z =d,则 O =z 3=r 3/e。于是14经映射后在卬平面上的像分别是叫=i,=-2+i 2.n_叼=23 e忆8 i(2)因为以原点为顶点的角形域的顶角张大三倍，所以为0 a rgw 0,则3 6 0，当0 0-z-Z 02|z_ zo|5时，有|”Z)-/(Z0)|=从 呷 匕)_|f(zo)|“)|0 即点 Z(彳时,则 F(z)wO。30 设lim /(z)=A,证明/(z)在z0的某一去心邻域内是有界的。Z f Z o证 取 =1 ,则 存 在50,当0|z Zol 6时，一A|W 1 o故在O Vz Z o k b内，(z)|=|/(z)A+A|S/(z)-A|+|A|4 1+|A|。3 1.设/(Z)=z-z-m1-21-,(z 0)试 证 当z-0时/(z)的极限不存在。证/=1 z z 2xy 亚3F=W显然。父 试证2里2(-万2隼2 4)在负实轴上(包括原点)不连续，除此而外在Z平面上处处连续。证 设f(z)=ar g z,因为式0)无定义，所以z)在原点z=0处不连续。当Z0为负实轴上的点时，即2。=与(%)02)=i n -KAZ-1 =-l i m 1 _ _ J _二z-x X z a z(z +A z)z22.下 列函数何处可导？何处解析？(1)/(z)=x2-i y(2)/仁)=2丁+3馆(3)/(z)=A y2+i x2y(4)/(z)=s i n x c hy +i c o s x s hyA R/、i f 8u 8u dv 8v.解(1)由于 _=2x,_ j=0,_ j=0,二一1dx dy 8x dy在z平面上处处连续，且当且仅当犬=时，衣才满足C-R条件，故/(z)=+i y=x-i y仅在2直 线x =上可导，在z平面上处处不解析。2du 2 Su dv dv 2(2)由于 =6x ,=0 ,一 =0 ,一 =9 ydx dy dx dy在z平面上处处连续，且当且仅当2f=3 y2,即 缶 如 =0时，“W才 满 足C-R条件，故/(z)=+=2x 3+3 y3 i仅 在 直 线 底 6)，=。上可导，在z平面上处处不解析。(3)由,于_ _du =y2，3_M =_ 2x y ,d_v=_ 2x y ,d_v =x2 dx dy dx dy在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，)才满足C-R条件，故/(z)=町2+2y仅 在 点z =0处可导，在z平面处处不解析。du du dv dv(4)由于 一=c o s x c hy,=s i n x s hy,=-s i n x s hy,=c o s x c hydx dy dx dy在z平面上处处连续，且在整个复平面)才满足C-R条件，故/(z)=s i n x c hy+i c o s x s hy在z平面处处可导，在z平面处处不解析。3.指出下列函数/(z)的解析性区域，并求出其导数。1)(z -1 )5；(2)z，+2i z ；1a z+。3)；(4)；(C,d中至少有一个不为0)z-lc z+d解(1)由于/(Z)=5(Z 1)4,故/(Z)在Z平面上处处解析。(2)由 于:(z)=3 z?+2i ,知/(z)在z平面上处处解析。(3)由 于/&)=产=-P-1)2z(z-l)2(z +l)2知/(z)在除去点Z =l外 的Z平面上处处可导。处处解析,Z =l是/(Z)的奇点。(4)由于/(z)=4 二 件，知/(z)在 除 去 z =d/c(c H O)外在复平面上处处解析。(c z +d y5.复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？答：判定函数解析主要有两种方法：1)利用解析的定义：要判断一个复变函数在Z。是否解析，只要判定它在Z。及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域D内是否解析，只要判定它在D内是否可导；2)利用解析的充要条件，即本章2中的定理二。6.判断下述命题的真假，并举例说明。如果/(Z)在 Z。点连续，那么/(z。)存在。o 如果r(z。)存在，那 么/在 z。点解析。0 如果2。是/(Z)的奇点，那么/(Z)在 Z。不可导。如果Z o 是/(Z)和 g(z)的一个奇点，那 么 Z o 也是/(z)+g(z)和/(z)/g(z)的奇点。6 如果(x,y)和丫(x,y)可导(指偏导数存在)，那么/(z)=+i v亦可导。6 设/(z)=+i v在区域内是解析的。如果“是实常数，那么/(z)在整个。内是常数；如果 u 是实常数，那么/(z)在整个。内是常数；解 命题假。如函数/(2)=|2|2=1+/在 2 平面上处处连续，除了点z=0 外处处不可导。0 命题假，如函数/(Z)=|Z 在点Z=0 处可导，却在点Z=0 处不解析。0 命题假，如果/(Z)在Z。点 不 解 析，则Z o 称为/(Z)的奇点。如上例。命题假，如/(z)=si n xc h y,g(z)=i c o sxsh y,z =(1/2,0)为它们的奇点，但不是/(z)+g(z)的奇点。0 命题假。如函数/(z)=z R e z=x2+i 肛仅在点z=0 处满足C-R 条件，故/(Z)仅在点z=0处可导。6 命题真。由“是实常数，根 据 C-R 方程知V 也是实常数，故/(Z)在整个。内是常数；后面同理可得。7 .如 果/(z)=+i v是 z 的解析函数，证明：a r i?L a 木|,喇+版/叫=I/W证|/（Z）|=C 2+,于是21|/(Z)|=,(z)|=?3y&7 2+V2/y/u2+V2由于/(z)=+i u为解析函数，故3w _ 3v 3 _ Sv3x Sy 3y 3x从而口(z)阳4(/=，*叱_dx 匚 u2+v2,Swrf 9 加 自 du 8v 加 加/+v _ _+v _ _+2wi _ _ _ _ _+2vD-8Qdx j 口 及 口 dx dx Qdx j dx j1%丫口痣 n dvr?/j du&n av22/i=_ _ _ _ _/口 _ _ +o o+v2O _ _ +c o Udx 8y dy dx故u在区域D内为一常数，记“=C(实常数)，则/1)=+巾=。为一常数。0若 工)=+人=-八 在 区 域D内解析,则du _ 3(-_ _ 加dx dy dy又/(z)=+a在 区 域D内解析，贝I_ dvdu _ 3(-_dudy dx dx(1)dudxdu _ dvdy dx(2)结 合(1)(2)两式，有du _ dudx dydvdx生=0,故，y在。内均为常数，分别记之为%=G，2=G(G，Cz 为实常数),则/(z)=u +i v=Ct+i C2=C为一复常数。0 若|/(；)|在D内为一常数，记为C,则“2 +/=。2,两边分别对于x和y求偏导，得1 1弟 c du dv 八2w+2v=0G 一 二)-T7V VX c茄 c五 cA2M +2v =0 dy dy由于/(z)在。内解析，满 足C-R条 件 迦=生，迦=-加代入上式又可写得dx dy dy dx*温7史=0松 匚 皆a t du 八4V +一 =0 a dy解得 上=%0。同理，可 解 得aVV=0故u,v均为常数，分别记为=C,v=C,则dx dy dx vy 1/(z)=+=孰+2=0a rg/(z)=+J r,0 a rcta nA UAV*a rcta n_ 一冗,w 0,v 1一 .G +乃 w0-7 i 0,u 0总之对a rg.f(z)分别关于工和y求偏导，得4du dv u-v1 nS v 8 时,|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|趋于无穷大;2)当，为复数时，|sin t 1和|cos r|-；|cosz|同理。2i 2|D|2)设/=iy,y R,则|sinz|=-,则当y 8时显然题设不成立。21 5.求Ln(-i),Ln(-3+4 i)和它们的主值。解 Ln(-i)=Ln|-i|+i(arg(-i)+244)=i+lk7V 2=E 2 k-=0,l,2,-，女 2 口ln(-i)=In I -i I +i arg(-i)=一 幻2Ln(3+4 i)=In|-3+4 i|+i arg(-3+4 i)+lk7t 一.丫口 4 口 ,/=In5+jg 7C-arctan+2KTT e?w-2 ze -1 =0解得e =z+J z?+1 ,2故 vv=A rs h z=L n(z+V z2+1)。2 4.已知平面流速场的复势/(z)为(1)(z+i)2；(2)z3；(3)丁 ；求流动的速度以及流线和等势线的方程。解(1)V(z)2(7 7 1)=2(z-i)又/(z)=(z+i)2=x+i(j+l)2=x2-(y+l)2+i2x(y+l)知流线和等势线方程分别为x(y +1)=G和 d _ (y +1 万=c2。(2)流速(z)=/(z)=3 z 2=3 z 2 ,又/(z)=z3 =乂/-3/)+i y(3 f -y 2),流线方程：。丁-/卜 二。，等势线方程：X(X2-3),2)=G。(3)流速 0=g=，=-2 z,=&%2+F弧尸5 M1 1 x2-/+l-i2 x y又 z 2+1-x -/+1+i 2 x y -(x2-+1)+4 X2 y2 流线方程为等势线方程为xy(x2-y2+if+4X2J2-x2-/+1(x2-/+l)+4x2/G9习题三解答1.沿下列路线计算积分j z2 dz。(1)自原点至U3 +i的直线段(2)自原点沿实轴至3,再 由3沿垂直向上至3+i；(3)自原点沿虚轴至i,再 由i沿水平方向右至3+i。故 J z 2d z =J 9产+J(3+i f)2/力=6+*i。ooo 3(3)J：Z2d z=z 2力+/Z2龙=J .z 23z+j Q z 2dz oC3：z=i r(0 r 1)；C4:z =3r+i (0 /1),故 z 2d z =-产.i d f+,(3f+i)2.3d f =6+i0 0 0 32.分别沿y =x与y =f算出、积分广(f+i y/z的值。Jo解(1)沿 y =X o 此时 z =r+i r(0 r l)o t/z =(1+i)dt,于是J，+l(x2+iy)dz=，(r+i 41+i)dt=(1+i)j (r+i z)rf r=(l +1=-+i o0o o o 03 2口6 6(2)沿 y =f,此时 z =r +i f 2(of w i)。dz=(+i 2t)dt,故(j?+i y、z =，(/+”21+垃=(1 +i)j?2(1 +i =(1 +i)j (/2+i 2/3/3.设/(z)在单连域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问J pR e /(z)/z =1 cI m/(z)rf z =0是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解 未必成立。令/(z)=z,C：M=1,则/(z)在全平面上解析，但是-1 -J Fe f（z）dz=j Re d 必=jcos。（一 sin6+i cos6）d0=;ri H 0Jjm /（z）dz=j 於=jsin 夕（一 sin6+i cos。）=一冗*04.利用单位圆上名=1的性质，及柯西积分公式说明小 心=2后，其中。为正向单位圆周|z|=l。Z 解-d z=2 i,（利用柯西积分公式）5,计算积分上3龙的值，其 中C为正向圆周：|z|=2；（2）|z|=4z解（1）因在|z|=2上有|z|=2,z-z=|z=4,从而有z=f ,故有O 匚 dz=j 之 dz=Cz|Z|=2 22X _ d z =4%iXl=2Z(2)因 在C上有|z|=4,zrz=|z=1 6,从 而 有z三J，,故有z6.利用观察法得出下列积分的值。解 利用柯西一古萨基本定理和柯西积分公式。7.沿指定曲线的正向计算下列各积分。ez(1)5 dz,C:|z-2|=1Jc z-2.eZdz(3)C:|z-2 ifj3/2dz(2)4；-7,C:z-a=ai cz2-a2(4)-zdzf i 0：呵 2(5)(7)dzc（zfl）,C:|z|=r z+i|=J (z2+1 )(z 2+4)11=$(z+i)G+4),(z +i 2+(d z上叫 z -i dz+仙方z +i=2i i +2-i 1=一 展 0(z+i)(z2+4)(z-i)(z 2+4)”T 3 3?r si n zdz由 Cauchy 积分公式，f-=2m sin z|，句=0Jc z8.由高阶求导公式,由高阶求导公式,计算下列各题:3%i1)5)1)3)4)t-/-d z =2i(si nz)IN-一?2 1ez dz 2m z(4)A*7 C 2)(z-i)e dz；io3/r i2z _e dz力 2,sin zdze23扪*p,Tch 3zdz；3)-nsin-zdz；4)z sin zdz；Jo6)+tanZz(沿J到j的直线段)。cos22)加 1-cos 2zo1nch 3zdz-sh 3z|-j/3I灯.61 0,/z sin 2zdz=(-n 2 2-4-sin zdz=(sin z-z cosz)|=sinl-cos 13)r-7 nn!6(7T-sh2)i2Qz解z025)6)0(z-i)eZdz=(i-1-z)e2|=1-cosl+i(sinl-l).1+tan z d.z =(z tan z+tan*2 z/2)ii|=-(/tanI.+1 tan 91l+th l)+.i tih l11 cos2 z279.计算下列积分：1)|(4+二 一)血 其 中C:|z|=4为正向cz+1 z+2i2)r 2i dz,其 中C z1|=6为正向3)寸等dz,其 中C|：|z|=2为 正 向，C?：|z|=3为负向C =C +c2-3-4)dz5)c z ie e:，其 中C为 以1,3为顶点的正向菱形2 5解1）2)次 二 万d z,其中。为|a|w l的 任 何 复 数，C:|z|=l为正向4 3of(+-)4z=2%i(4+3)=14ij z +1 z+2i2i 2(z+i)2z 7(z-i)七 一=q -i-/z+4 z+i dz=0C，z +1 岛|=1|z+i|=1c os z3)z3C O S zR-。c os z 2%i 2 疝 d z=/c s z)“L w-R e o s z)|2=0=04)27r i5)当|a|l时，l/（z 6在|z区1上解析,龙=0；当l a Fl时，/龙=竽（）1 =疝，C 乙 c c）i o.证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时,dz-0 证明 当原点在曲线C内部时，J z =2 i（DL=o=Oi当原点在曲线C外部时，l/z 2在。内1解析，故 力a=0。I I .下列两个积分的值是否相等？积 分2）的值能否利用闭路变形原理从1）的值得到？为什么？1)0 f-J z;2)-dz1*2 Z|:|=4 Z解 S三dz =2 i*d 0=0 ；4三dz =j4i e-f fd6=0,故两个积分的值相等。但不能利用闭路|z|=2 Z 0|z|=4 Z 0七变形原理从1）的值得到，因 不是一个解析函数。Z1 2 .设区域。为右半平面，z为 内圆周|z|二l上的任意一点，用 在。内的任意一条曲线C连结原丫 z 1 /71点与Z,证明1证明 函数一次在右半平面解析，故在计算从0到z沿任意一条曲线。的积分时与积分路径无1 +Cz 1 I 1 e i e7 冗 e 2 i c o s 7 7 _2 i Z 7关。则 f-dx+z 6/7 7 =-+f-7 7（分子分母同乘以 1 +e），J 0 l +7 2 3 J o i +X2 J。/4 J o 2+2COS27/-4-丫 Z 1 /71故 Re1 f 0 =一；/1 +:2413.设G与G为相交于“、N两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为坊与B。坊与当 的公共部分为8。如果/(z)在 瓦 8与 与一台内解析，在G、G上也解析，证明：j/(z)d z =/(z)d z。证明 在8上/(z)为解析函数，则由柯西基本定理 力/(z)d z=0；同理,f(z)dz=0M E N G M M H N F M则 f f dz+j /(z)dz=f f(z)dz+jN G M M E N M H NNFMf(z)dz,即 叭z)dz=f(z)dz oG1 4.设C为不经过。与-a的正向简单闭曲线，“为不等于零的Z任何复数，试就与。同。的各种不同位置，计算积分解(i)当。在C的内部而在C的外部时 7V oc z1-cT z-az=a dz=*Q dz=2 兀Z +。(ii)当一。在。的内部而在。的外部时,匕%=Zt F dz=27T-rz+a=7tz-az=-a(iii)当“与一a在C的内部时，设G，C2分别为以a,a为心半径充分小的圆周使G，C2均在C的内部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及Cauchy积分公式得 _L_ f2 z、dz=j z+a 必+.za dz=m+m=2mz-a z-a Jz +a(iv)当a与一都在C的外部时，由Cauchy-Gourssat定理得=0 o1 5.设G与。2为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明：1 丫$Z2dz rsinzJz/*z2,当z 在。内时，_ J _+j C0=o 0 1-用 gZ-Zo竽.sinzo，当z。在G内时.1 z2dz _ 2 2 1 sin zdz证明 利用Cauchy积分公式，当z0在G内时，-二 z|.二z,而 可=0；2ml c；z-zo 2m e2 o1 z1 dz 1 sin zdz当Zo在G内时，-=0,而 0-=sin z|T=sin z0o故结论成立。27ri/z -zn 2m/z-4)5 u c21 6.设函数/(2)在031内解析，且沿任何圆周C|z|=r,0 r l的积分为零，问/(z)是否需在z=0处解析？试举例说明之。解 不一定。如令f(z)=L，则其在0|z|1内解析，且沿任何圆周C：z=r,。1的积分-5-Q(z b z =4 T z =OC%|=rz但显然/(z)=:在z=。处不解析。1 7 .设/(z)与g(z)在区域D 内处处解析，C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于D。如果/(z)=g(z)在 C 上所有点都成立，试证在。的内部所有点处/(z)=g(z)也成立。证 因/(z),g(z)在。内处处解析故在。上及其内部也处处解析，设 z 0 为 C 的内部的任一点，则由Ca u c hy 积分公式有 ,、i,、七 g(z),dz,o r 0 f2 m Jc z-zo 2 m Jc z-zo又因在C 上/(z)=g(z),故$，dz=c *Q)dz,J c z _ Z o t Z _ Z o从而/(Z o)=g(z),由Z o 的任意性，在。的内部均有/(z)=g(z)。1 8 .设区域。是圆环域，/(z)在。内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周&与K 2，&包含K1,z为 K,K 之间任一点，试 证(3.5.1)仍成立，但C 要换成K-+K (见图).0 1 2 1 2证明 参照7 8 页闭路变形定理的证明方法。19 .设/(Z)在单连通区域。内解析，且不为零，C 为。内任何一条简单光滑闭曲线,问积分 唳 猾 加是否为零？为什么？解 等于零。因/(Z)在。内解析，故/(Z)具有各阶导数且仍为解析函数，从而/(Z)在。内也解析,又因在。内/(Z)RO,故:，在。内解析，从而在C上及C的内部也解析，于是由C auc h y-G o urs s at定理,2().试说明柯西一古萨基本定理中的。为什么可以不是简单闭曲线？21.设/(Z)在区域。内解析，。为。内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对 在。内但不在。上.八 z)/(Z)的任意一点Z。，等式：q-d z =q-成立。C Z Z o d (z Z o)八 Z)证明 利 用 C auc h y 积分公式，有 力-dz=17r f z)z=17l f z 而由高阶导数公式cz-z 00 f/(z)=2 m1(一)2 I L r(z)L (z 0),故所证等式成立。C 022.如果以x,y)和(X,y)都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 s =(py-*,t=(px+”,那 么 s +i f 是 x +i y 的解析函数。证明 由夕(x,y)和 以 x,y)都具有二阶连续偏导数，而$=%-匕，”以+忆 知，s,f 具有一阶连续的偏导数，在证S J 满足C R方程即可。注 意 夕*+/,.=0,=则.=Uy y V +2uyVy+UVy y,故(V)K+0，即一对共班调和函数的乘积仍是调和函数。27 .如果/(z)=+i v是一解析函数，试证：1)i 而也是解析函数；2)-是丫的共粗调和函数；a2|./(z)|2 d2|/(Z)|2 2 2 23)+d y =4(“,+匕)=4|尸(力|。证明 1)i/(z)=v-i u,而/(z)=+i v是一解析函数，故,v满足C R方程，进而匕=(-),已.=一(-),。故i,而 也 是 解 析 函 数。2)由/(z)=+i v是一解析函数，i/(z)=v i。故一是v的共轨调和函数。四/力/3)=2w2+2v2+2w2+2v2+2(+)+2v(v +v)x x y y x r y y x r=4(+q)=4|1f(z)|228 .证明：“=fy 2和y =都是调和函数，但是“+i v不是解析函数。jr+y-2x y x2-y 2证明 ux=2x ,uy=-2y ,刈=(7 +y 21，型=(尤2 +J 尸，8*2y 2y 8/6yVx=v(.八.p v =8+.)、，一 (+二 则8 x2y 8/8 y6+Uy y=2+(-2)=0 ,小+V)y=(.+),2)3(7 +)3-g+y 2 了 =0。-7-29.求具有下列形式的所有调和函数：1)u=/(6+处),a与b为常数；2)。解 1)由=a f,u =a1f,u=廿/,而 u +u=0 ,则/=0,E P f=c(a x +b y)+c.x x x y y x x y y 1 2y y y2 i i2)由=-f Ux x=2 /+wv=-f u =5 而 口.+4 =0,则JT X X ,X JC y2 口 y y l+-y O/+2 f=0,即 f=q arc tan-+c2。口炉尢 X3 0.由下列各已知调和函数求解析函数/(z)=+：1)u =(x-y)(x2+4x y+y2)；2)v =),/(2)=0；2 2 x+y3)u -2(x-l)y,/(2)=-i ；4)v =arc tan2.,x 0 x解 1)u=3 x2+6x y -3y2,u=3 x2-6x y -3y2,贝ijf z)=u -i u =3X2+6x y -3炉一 i(3 d -6x y-3y2)=3(1-z)z2,故f(z)=(l-z)z3+i c,c E ；x2-y2-2x y x2-y2-2i x y j2)f z)=Vv 4-i v.=(f-+