2023年12全国高中数学竞赛讲义-不等式的证明.pdf

最新高中数学奥数竞赛试题不等式的证明课后练习1.选择题(1)方程 x2-y2=105 的正整数解有().（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在 0,1,2,，50 这 51 个整数中，能同时被2，3，4 整除的有（）.（A）3 个（B）4 个（C）5 个（D）6 个2填空题（1）的个位数分别为 _ 及_.(2)满足不等式 104A105的整数 A的个数是 x104+1，则 x 的值_.(3)已知整数 y 被 7 除余数为 5,那么 y3被 7 除时余数为 _.(4)求出任何一组满足方程x2-51y2=1 的自然数解 x 和 y_.3.求三个正整数 x、y、z 满足.4在数列 4，8，17，77，97，106，125，238 中相邻若干个数之和是3 的倍数，而不是 9 的倍数的数组共有多少组？5求的整数解.6求证可被 37 整除.7求满足条件的整数 x，y 的所有可能的值.8已知直角三角形的两直角边长分别为l 厘米、m厘米，斜边长为 n 厘米，且 l，m，n 均为正整数，l 为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.如果 p、q、都是整数，并且 p1，q1，试求 p+q 的值.课后练习答案1.D.C.2.(1)9及 1.(2)9.(3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令 y=7 可得 x=50.3.不妨设 xyz,则,故 x3.又有故 x2.若 x=2,则,故 y6.又有,故 y4.若 y=4,则 z=20.若 y=5,则 z=10.若 y=6,则 z 无整数解.若 x=3,类似可以确定 3y4,y=3或 4,z 都不能是整数.4.可仿例 2 解.5.分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法.略解：caacbccbabba2,2,2223222同理；三式相加再除以2 即得证.评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如nnxxxxxxxxx2112322221，可在不等式两边同时加上.132xxxxn再如证)0,(256)()(1)(1(32233cbacbacbcaba时，可连续使用基本不等式.（2）基本不等式有各种变式如2)2(222baba等.但其本质特征不等式两边的次余数为求出任何一组满足方程的自然数解和求三个正整数满足在数列中相邻若干个数之和是的倍数而不是的倍数的数米厘米斜边长为厘米且均为正整数为质数证明是完全平方数如果都是整数并且试求的值课后练习答案及原方程可变形边三项直接用基本不等式显然不行考察到不等式的对称性可用轮换的方法略解同理三式相加再除以即得证评述利用基数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.6.8888 8(mod37),888822222(mod37).77777(mod37),777733333(mod37),88882222+77773333(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0 由关于 x 的二次方程有解的条件及 y 为整数可得 0y5,即 y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.2+m2=n2,2=(n+m)(n-m).为质数,且 n+mn-m0,n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即 2(l+m+1)是完全平方数.9.易知 pq,不妨设 pq.令=n,则 mn 由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得 p、q 之值.余数为求出任何一组满足方程的自然数解和求三个正整数满足在数列中相邻若干个数之和是的倍数而不是的倍数的数米厘米斜边长为厘米且均为正整数为质数证明是完全平方数如果都是整数并且试求的值课后练习答案及原方程可变形边三项直接用基本不等式显然不行考察到不等式的对称性可用轮换的方法略解同理三式相加再除以即得证评述利用基