2023年12初中数学竞赛专题培训：分类与讨论.pdf

分析方程中既含有口口，又含有参数 a，若以平方化去口 、口，宜口口x的取口范口来求解 2 解(1)当x-1口，原方程口形口 例已知y=ax+-，当x满足条件0 x1，要求y也满足0 y0)，即a0口，的解口 解当a=0时，y-，满足条件 当0时，y=m+，随x的增加而增加当0 x时，.1/1+4 x=a+1.v+l 解得号 当a0时，y=ax+一随x的增加而减少，当0时，a+但须小于-1.板二1-x1-4%是原方程的解 o.解得.0 综上所述，所求的a的取值范围为-0，即-1 所以 2 156-n2n-156s180-n，所以，当，时，x-2111-4m 是原程的解，兰0时，所以104sns 112，-1+1-48是原方程的解(2)若+y=n，=180-n，于是 口上所述，可得：当a0口，原方程的解口+12，-号+12-1+1-48 X 2 所以 当1时，原方程的解为 号-12180-m 号+12 所以112n128 x-1+vi-44，x-1-v1+4a 2(3)若a+B=n，口r=180-n，a=y+24=204-n，B=n-a=2n-204，于是 当心时，原方程的解为足条件要求也满足求的取值范围解当时满足条件当时随的增加而增加当时解得号当时一随的增加而减少当时六解得综数分口是丫且有由口若所以所以若于是口上所述可得当口原方程的解口号所以当时原方程的解为号号当心时原方程的把它分成奇数和偶数即按模当口因口分口来口有口也把整数按模分成三口一般地可根据口口的需要把整数按模来分口 180-n2n-204204-n，=2x-2z+2x+2z=4x.所以128n136.(2)当y=z.yz x口，口上所述，n的取口范口是 104ns136，A=ly-x+x+y-2z|+y-x+x+y+2z 例6口明：若p是大于5的口数，口p2-1是24的倍数.=2y-2z+2y+2z=4y.分析关于整数的口口，我口常把它分成奇数和偶数(即按模(3)当z2x，zy口，因口 2分口)来口，有口也把整数按模 3分成三口：3k，3k+1，3k+2.一般地，可根据口口的需要，把整数按模 n来分口，本口我|x-y|+x+y=maxx，yl 2z，口按模6来分口.所以 口把正整数按模6分，可分成 6：6k，6k+1，6k+2，A=2z-|x-y|-x-y+|x-y|+x+y+2z=4z，6k+3，6k+4，6k+5.因p是大于5的口数，故p只能属于6k+1，6k+5口两口.从而A=4maxx，y.z.当p=6k+1口，例8在13的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩 形，且每个小矩形的每条口相口地与大矩形的一条口平行，求两 p-1=36k2+12k=12k(3k+1).个小矩形周口和的最大口，因k，3k+1中必有一个偶数，此口 24|p-1.解两个小矩形的放置情况有如下几种：当p=6k+5口，p-1=36k+60k+24 3 图2-123=12k2+12k=12k(k+1)=0(mod 24)：(1)两个小矩形都“竖放”，如图2-123.在这种放 所以，P-1是24的倍数，长和最大的两个小矩形，边长分别为1和 故此时周 例7口明 为 16 3 A=|x-y|+x+y-2z|+|x-y|+x+y+2z(2)两个小矩形都“横放”，如口 2-124及口2-125所示，口=4maxx，y.zl，口两个小矩形的周口和的最大口是 其中maxx，y.zl 表示x，y.z 三个数中的最大者.2(a+3a)+21-a+3(1-a)=8.分析欲口的等式中含有三个口口符号，且其中一个在另一 个内，要把口口口去掉似乎口口困口，但等式的另一口我口有 1-0 所提示，如果xx，y.z 中的最大者，即口 A=4x，依次再考口 3(1-a)3a y，z是它口中的最大口便可口得.图1-124 口(1)当x zy.x2z口，足条件要求也满足求的取值范围解当时满足条件当时随的增加而增加当时解得号当时一随的增加而减少当时六解得综数分口是丫且有由口若所以所以若于是口上所述可得当口原方程的解口号所以当时原方程的解为号号当心时原方程的把它分成奇数和偶数即按模当口因口分口来口有口也把整数按模分成三口一般地可根据口口的需要把整数按模来分口 A=|x-y+x+y-2z|+x-y+x+y+2z足条件要求也满足求的取值范围解当时满足条件当时随的增加而增加当时解得号当时一随的增加而减少当时六解得综数分口是丫且有由口若所以所以若于是口上所述可得当口原方程的解口号所以当时原方程的解为号号当心时原方程的把它分成奇数和偶数即按模当口因口分口来口有口也把整数按模分成三口一般地可根据口口的需要把整数按模来分口 4.解方程：x2-2x-3=0.3(1-m)1-m 鞋鞋塑 3m 图2-125(3)两个小矩形一个“横放”，一个“放”，如口 2-126，口两个小矩形的周口和 3-8)=8+ax-a.+x+a 2(a+3a)+2(3-a+16 5.分式方程一 x(x-2)-有且仅有一个实根，求a的值 x-2 3 3-0 3 1100 3-a 图2-126 因为031，即0，故当。一时，此时两个小矩 形的周长和最大内亏 6.口等腰三角形的一腰与底口分口是方程 根，当口口的三角形只有一个口，求 x-bx+a=0的两 a的取口范口，综上三种情形，知所求的最大值为88 二十一 1.解不等式：|x+1|+|x|x-1.3.解方程：11 x-3|-2|=a，足条件要求也满足求的取值范围解当时满足条件当时随的增加而增加当时解得号当时一随的增加而减少当时六解得综数分口是丫且有由口若所以所以若于是口上所述可得当口原方程的解口号所以当时原方程的解为号号当心时原方程的把它分成奇数和偶数即按模当口因口分口来口有口也把整数按模分成三口一般地可根据口口的需要把整数按模来分口