2023年2014年全国高考理科数学试题及答案-新课标2.pdf

1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（新课标卷）第卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=0,1,2，N=2|320 x xx，则MN=()A.1 B.2 C.0，1 D.1，2 2.设复数1z，2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi，则1 2z z（）A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 3.设向量 a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则 ab=()A.1 B.2 C.3 D.5 4.钝角三角形 ABC 的面积是12，AB=1，BC=2，则 AC=()A.5 B.5 C.2 D.1 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027 D.13 7.执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S=（）A.4 B.5 C.6 D.7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a=()A.0 B.1 C.2 D.3 9.设,x y满足约束条件70310350 xyxyxy ，则2zxy的最大值为（）A.10 B.8 C.3 D.2 2 10.设 F 为抛物线 C:23yx的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM 与 AN 所成的角的余弦值为（）A.110 B.25 C.3010 D.22 12.设函数 3sinxfxm.若存在 f x的极值点0 x满足22200 xfxm，则 m 的取值范围是（）A.,66,B.,44,C.,22,D.,14,第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答.第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题 13.10 xa的展开式中，7x的系数为 15，则 a=_.(用数字填写答案)14.函数 sin22sincosf xxx的最大值为_.15.已知偶函数 f x在0,单调递减，20f.若 10f x，则x的取值范围是_.16.设点 M（0 x,1），若在圆 O:221xy上存在点 N，使得OMN=45，则0 x的取值范围是_.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列na满足1a=1，131nnaa.（）证明 12na 是等比数列，并求na的通项公式；（）证明：1231112naaa+.18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.积是则某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是连续两为优良的概率是已知某天的空气质量为优该件由一个底面半径为高为的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为执行右图程序框图如为的直线交于两点为坐标原点则的面积为直三棱柱中分别是的中点则与所成的角的余弦值为若存在的极值点则的取值 3（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C为 60，AP=1，AD=3，求三棱锥 E-ACD 的体积.19.（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniittyybtt，aybt 20.（本小题满分 12 分）设1F,2F分别是椭圆222210yxabab 的左右焦点，M 是 C 上一点且2MF与 x 轴垂直，直线1MF与 C 的另一个交点为 N.（）若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且15MNF N，求 a,b.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x=2xxeex（）讨论 f x的单调性；（）设 24g xfxbfx，当0 x 时，0g x,求b的最大值；（）已知1.414221.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分 10）选修 41：几何证明选讲 积是则某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是连续两为优良的概率是已知某天的空气质量为优该件由一个底面半径为高为的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为执行右图程序框图如为的直线交于两点为坐标原点则的面积为直三棱柱中分别是的中点则与所成的角的余弦值为若存在的极值点则的取值 4 如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明：（）BE=EC；（）ADDE=22PB 23.（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos，0,2.（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线:32l yx垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标.24.（本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f x=1(0)xxa aa （）证明：f x2；（）若 35f，求a的取值范围.积是则某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是连续两为优良的概率是已知某天的空气质量为优该件由一个底面半径为高为的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为执行右图程序框图如为的直线交于两点为坐标原点则的面积为直三棱柱中分别是的中点则与所成的角的余弦值为若存在的极值点则的取值 5 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（新课标卷）参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.D 11.C 12.C 二、填空题 13.12 14.1 15.(1,3)16.1,1 17.（本小题满分 12 分）（）证明：由131nnaa得1113()22nnaa,又11322a ，所以12na 是首项为32，公比为 3 的等比数列,1322nna ，因此na的通项公式为312nna（）由（）知1231nna ,因为当1n 时，1312 3nn ，所以111312 3nn 于是12-112311-1111111313311-13332321-3nnnnaaaa （）,所以123111132naaaa 18.（本小题满分 12 分）（）证明：连结BD交AC于点O，连结EO,因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以/EOPB，EO 平面,AEC PB 平面AEC，所以/PB平面AEC（）因为,PAABCD ABCD平面为矩形，所以,AB AD AP两两垂直 如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，|AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则3 13 1(0,3,0),(0,),(0,)2222DEAE，设(,0,0)(0)B mm，则(,3,0),(,3,0)C mACm 设1(,)n x y z为平面ACE的法向量，则110,0,nACnAE 即30,31022mxyyz 可取13(,1,3)nm 又2(1,0,0)n 为平面DAE的法向量，由题设121|cos,|2n n，即231342m，解得32m 因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为12，三棱锥EACD的体积,11313332228V 19.（本小题满分 12 分）解：（）由所给数据计算得1(1234567)47t 积是则某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是连续两为优良的概率是已知某天的空气质量为优该件由一个底面半径为高为的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为执行右图程序框图如为的直线交于两点为坐标原点则的面积为直三棱柱中分别是的中点则与所成的角的余弦值为若存在的极值点则的取值 6 1(2.93.33.64.44.85.25.9)4.37y 721()94 1 0 14928iitt 71()()iiittyy(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)0 0.1 1 0.52 0.93 1.6 14 7121140.528iiiniittyybtt，4.30.542.3aybt ,所求回归方程为0.52.3yt（）由（）知，0.50b，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元。将 2015 年的年份代号9t 代入（）中的回归方程，得0.592.36.8y ，故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 608 千元。20.（本小题满分 12 分）解：（）根据22cab及题设知22(,),23bM cbaca 将222bac代入223bac，解得1,22ccaa（舍去）,故C的离心率为12（）由题意，原点O为12F F的中点，2/MFy轴，所以直线2MF与y轴的交点(0,2)D是线段1MF的中点，故24ba，即24ba 由1|5|MNF N得11|2|DFF N 设11(,)N x y，由题意知10y，则112(),22,cxcy 即13,21,xcy 代入C的方程，得2229114cab 将及22cab代入得229(4)1144aaaa,解得27,428aba，故7,2 7ab 21.（本小题满分 12 分）解：（）()20 xxfxee ，等号仅当0 x 时成立,所以()f x在(,)单调递增（）22()(2)4()4()(84)xxxxg xfxbf xeeb eebx，22()22()(42)xxxxg xeeb eeb 2(2)(22)xxxxeeeeb（）当2b 时，()0g x，等号仅当0 x 时成立，所以()g x在(,)单调递增，而(0)0g，所以对任意0,()0 xg x；（）当2b 时，若x满足222xxeeb，即20ln(12)xbbb 时()0g x，而(0)0g，因此当20ln(12)xbbb 时，()0g x。综上，b的最大值为 2.（）由（）知，3(ln2)2 22(21)ln 22gbb 积是则某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是连续两为优良的概率是已知某天的空气质量为优该件由一个底面半径为高为的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为执行右图程序框图如为的直线交于两点为坐标原点则的面积为直三棱柱中分别是的中点则与所成的角的余弦值为若存在的极值点则的取值 7 当2b 时，3(ln2)4 26ln 202g，8 23ln20.692812；当3 214b 时，2ln(12)ln2bbb,3(ln2)2 2(3 22)ln 202g 182ln20.693428 .所以ln2的近似值为0.693 22.（本小题满分 10）证明：（）连结 AB，AC，由题设知 PA=PD，故PADPDA 因为PDADACDCA PADBADPAB DCAPAB 所以DACBAD，从而BEEC,因此BEEC（）由切割线定理得2PAPB PC,因为PAPDDC，所以2,DCPB BDPB,由相交弦定理得AD DEBD DC,所以22AD DEPB 23.（本小题满分 10）解：（）C的普通方程为22(1)1(01)xyy,可得C的参数方程为1 cossinxtyt（t为参数，0t）（）设(1cos,sin)Dtt由（）知C是以(1,0)G为圆心，1 为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线 GD与l的斜率相同。tan3,3tt,故D的直角坐标为(1cos,sin)33，即33(,)22 24.（本小题满分 10）解：（）由0a，有111()|()|2f xxxaxxaaaaa ,所以()2f x （）1(3)|3|3|faa .当3a 时，1(3)faa，由(3)5f得52132a 当03a 时，1(3)6faa ，由(3)5f得1532a 综上，a的取值范围是15 521(,)22 积是则某地区空气质量监测资料表明一天的空气质量为优良的概率是连续两为优良的概率是已知某天的空气质量为优该件由一个底面半径为高为的圆柱体毛坯切削得到则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为执行右图程序框图如为的直线交于两点为坐标原点则的面积为直三棱柱中分别是的中点则与所成的角的余弦值为若存在的极值点则的取值