2023年16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线1.pdf
最新高中数学奥数竞赛试题 直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1已知点 A 为双曲线 12 2y x的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右支上，ABC是等 边三角形，则 ABC的面积是（A）33（B）23 3（C）3 3（D）3 62平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 5435x y的距离中的最小值是（A）17034（B）8534（C）201（D）3013若实数 x,y 满足(x+5)2+(y 12)2=142，则 x2+y2的最小值为(A)2(B)1(C)3(D)24直线13 4y x椭圆19 162 2y x相交于 A，B 两点，该圆上点 P，使得 PAB 面积等于 3，这样的点 P 共有(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个5 设 a，b R，ab 0，那么直线 ax y b 0 和曲线 bx2 ay2 ab 的图形是A B C D 6 过抛物线 y2 8(x 2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交于 A、B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于A316B38C33 16D3 87方程13 cos 2 cos 3 sin 2 sin2 2y x表示的曲线是A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线8在椭圆)0(12222b abyax中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B。若该椭圆的离心率是21 5，则ABF=。9设 F1，F2是椭圆 14 92 2y x的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|2:1，则三角形 PF1F2的面积等于 _ y y y y x x x x 10 在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M（1，2）和 N（1，4），点 P 在 X 轴上移动，当 MPN取最大值时，点 P 的横坐标为 _。11 若正方形 ABCD 的一条边在直线17 2x y上，另外两个顶点在抛物线2x y上.则该正方形面积的最小值为.12已知0C：12 2y x和1C：)0(12222b abyax。试问：当且仅当 a,b 满足什么条件时，对1C任意一点 P，均存在以 P 为顶点、与0C外切、与1C内接的平行四边形？并证明你的结论。13 设曲线 C1:1222yax(a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。（1）实数 m 的取值范围（用 a 表示）；（2）O 为原点，若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0a21时，试求 OAP 的面积的最大值（用 a 表示）。14已知点)2,0(A和抛物线42x y上两点C B,使得BC AB，求点C的纵坐标的取值范围15一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A，且 OA a.拆叠纸片，使圆周上某一点A/刚好与 A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当 A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问16（04，14）在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点 4(0,),(1,0),(1,0)3A B C，点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB，AC 距离的等比中项。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过 ABC 的内心（设为 D），且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的 斜率 k 的取值范围。17过抛物线 2x y上的一点 A（1,1）作抛物线的切线，分别交 x轴于 D，交 y轴于 B.点 C在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足 1ECAE;点 F 在线段 BC 上，满足 2FCBF，且 12 1，线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程.相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问课后练习答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90 o 9.33 210.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a、2b、2c，则由其方程知 a 3，b 2，c5，故，|PF1|PF2|2a 6，又已知 PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在 PFlF2中，三边之长分别为 2，4，25，而 22 42(25)2，可见 PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为 2 和 4，故 PFlF2的面积 411.解：经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3 x 上，设圆心为S（a，3 a），则圆 S 的方程为：2 2 2()(3)2(1)x a y a a对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过 M，N，P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a值必须满足2 22(1)(3),a a解得 a=1 或 a=7。即对应的切点分别为(1,0)(7,0)P P 和，而过点 M，N，p的圆的半径大于过点 M，N，P 的圆的半径，所以 MPN MP N，故点 P（1，0）为所求，所以点 P 的横坐标为 1。12.解：设正方形的边 AB 在直线17 2x y上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(1 1y x C、),(2 2y x D，则 CD所在直线l的方程,2 b x y将直线l的方程与抛物线方程联立，得.1 1 22,12b x b x x令正方形边长为,a则).1(20)(5)()(22 122 122 12b x x y y x x a在17 2x y上任取一点（6，,5），它到直线b x y 2的距离为5|17|,ba a.、联立解得,80.63,322 1a b b或.80.12802min2a a13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为22222sin cos 1b a-（1）显知此平行四边形 ABCD必为菱形，设 A),(1，则 B)90,(2代入（1）式相加：2 2 22211 1 1 1b a由于该菱形必与单位圆相切，故原点到 AB的距离为 1，相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问 2221 1 11，从而 11 12221，11 12 2b a14.解：(1)由)(212222m x yyax消去 y 得：0 2 22 2 2 2a m a x a x 设 2 2 2 22 2)(a m a x a x x f，问题(1)化为方程在 x(a，a)上有唯一解或等根只需讨论以下三种情况：1 0 得：212am，此时 xp a2，当且仅当 a a2 a，即 0 a 1 时适合；2 f(a)f(a)0，当且仅当 a m a；3 f(a)0 得 m a，此时 xp a 2a2，当且仅当 a a 2a2 a，即 0 a 1 时适合f(a)0 得 m a，此时 xp a 2a2，由于 a 2a2 a，从而 m a综上可知，当 0 a 1 时，212am或 a m a；当 a 1 时，a m a(2)OAP 的面积pay S21 0 a21，故 a m a 时，0 m a a a 2 12 2 a，由唯一性得m a a a xp2 12 2显然当 m a 时，xp取值最小由于 xp 0，从而 yp221axp取值最大，此时22 a a yp，2a a a S当212am时，xp a2，yp21 a，此时2121a a S下面比较2a a a与2121a a的大小：令2 2121a a a a a，得31a故当 0 a31时，2a a a 2121a a，此时2121a a Smax当2131a时，2 2121a a a a a，此时2a a a Smax15.解：设B点坐标为),4(121y y，C点坐标为),4(2y y相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问显然 0 421y，故 21421211y yykAB由于 BC AB，所以)2(1y kBC从而 4)4()2(221 1 1x yy x y y y，消去 x，注意到 1y y得：0 1)(2(1 1y y y0)1 2()2(2121y y y y由 0解得：0 y或 4 y 当 0 y时，点 B的坐标为)1,3(；当 4 y时，点 B的坐标为)3,5(，均满足是题 意故点 C的纵坐标的取值范围是 0 y或 4 y 16.解：如图，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则有 A(a，0)设折叠时，O 上点 A/(sin,cos R R)与点 A 重合，而折痕为直线 MN，则 MN 为线段 AA/的中垂线 设 P(x，y)为 MN 上任一点，则 PA/PA 5 分2 2 2 2)()sin()cos(y a x R y R x即ax a R y x R 2)sin cos(22 210 分2 22 22 222 sin cosy x Rax a Ry xy x可得：)cos,(sin22)sin(2 2 2 2 2 22 2y xyy xxy x Rax a R2 22 222y x Rax a R 1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15 分平方后可化为2 2222)2()2()2()2(a RyRax 1，即所求点的集合为椭圆圆2 2222)2()2()2()2(a RyRax 1 外(含边界)的部分 20分17.解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为4 4(1),(1),03 3y x y x y。点(,)P x y到 AB、AC、BC 的距离依次为1 2 31 1|4 3 4|,|4 3 4|,|5 5d x y d x y d y。依设，2 2 2 21 2 3,|16(3 4)|25 d d d x y y 得，即2 2 2 2 2 216(3 4)25 0,16(3 4)25 0 x y y x y y 或，化简得点 P 的轨迹方程为相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问圆 S：2 2 22 2 3 2 0 17 12 8 0 x y y y y2与双曲线 T:8x（）由前知，点 P 的轨迹包含两部分 圆 S：2 22 2 3 2 0 x y y 与双曲线 T：217 12 8 0 y y28x 因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且 点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。ABC的内心 D 也是适合题设条件的点，由 1 2 3d d d，解得1(0,)2D，且知它在圆 S 上。直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为12y kx（i）当 k=0 时，L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线12y平行于 x 轴，表明 L与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。.10 分（ii）当0 k时，L 与圆 S 有两个不同的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率12k，直线 L 的方程为(2 1)x y。代入方程得(3 4)0 y y，解得5 4(,)3 3E5 4或 F(-,)3 3。表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当12k时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即12k），因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以 L与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组2 28 17 12 8 012x y yy kx有且只有一组实数解，消去 y 并化简得2 225(8 17)5 04k x kx该方程有唯一实数解的充要条件是28 17 0 k或2 225(5)4(8 17)04k k解方程得2 3417k，解方程得22k。综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集1 2 34 20,2 17 2。相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问18.解 一：过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为：,2|21 xx y切 线 AB 的 方 程 为 D B x y、.1 2的坐标为 D D B),0,21(),1,0(是线段 AB 的中点.设),(y x P、),(20 0 x x C、),(1 1y x E、),(2 2y x F，则由 1ECAE知，;11,11120 1110 11xyxx,2FCBE得.11,1220 2220 22xyxx EF 所 在 直 线 方 程 为：,1111111111110 120 210 1120 1220 2120 1x xxxx xxy化简得.1 3)()1()(20 2 020 1 2 2 0 1 2x x x x y x 当 210 x时，直线 CD 的方程为：1 2202020 xx x xy 联立、解得 020133xxxy，消去 0 x，得 P 点轨迹方程为：.)1 3(312x y当 210 x时，EF 方程为：CD x y,4123)34141(232 1 2方程为：21x，联立解得.121,21yx也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合，.32,10 x x所求轨迹方程为).32()1 3(312x x y解二：由解一知，AB 的方程为),0,21(),1,0(,1 2 D B x y故 D 是 AB 的中点.令,1,1,2 2 1 1CFCBtCECAtCPCD则.32 1t t因为 CD 为 ABC的中线，.2 2CBD CAD CABS S S而 相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问,23,232)1 1(212 212 1 2 12 12 1 2 1t t t tt tt t SSSSSSCB CACF CEt tCBDCFPCADCEPCABCEFP是 ABC的重心.设),(),(20 0 x x C y x P因点 C 异于 A，则,10 x故重心 P 的坐标为,3 31 1),32(,3131 02020 0 0 x xy xx xx消去,0 x得.)1 3(312x y故所求轨迹方程为).32()1 3(312x x y相交于两点该圆上点使得面积等于这样的点共有个个个个设那么直线和曲线的图形是过抛物线的焦点作倾斜角为的直 轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线焦点在轴上的双曲线在椭圆中记左焦点为右顶点为短轴上方的端点为若该椭圆的离心 取最大值时点的横坐标为若正方形的一条边在直线正方形面积的最小值为已知和上另外两个顶点在抛物线上则该试问
