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习题 82 反常积分的收敛判别法 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 证明比较判别法（定理 8.2.2）；举例说明，当比较判别法的极限形式中 Skip Record If.或 Skip Record If.时，Skip Record If.和 Skip Record If.的敛散性可以产生各种不同的的情况。解（1）定理 8.2.2（比较判别法）设在 Skip Record If.上恒有 Skip Record If.，其中 Skip Record If.是正常数。则 当 Skip Record If.收敛时 Skip Record If.也收敛；当 Skip Record If.发散时 Skip Record If.也发散。证 当 Skip Record If.收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.。于是 Skip Record If.Skip Record If.，所以 Skip Record If.也收敛；当 Skip Record If.发散时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.。于是 Skip Record If.Skip Record If.，所以 Skip Record If.也发散。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291（2）设在 Skip Record If.上有 Skip Record If.，且 Skip Record If.。则当 Skip Record If.发散时，Skip Record If.也发散；但当 Skip Record If.收敛时，Skip Record If.可能收敛，也可能发散。例如 Skip Record If.，Skip Record If.，则 Skip Record If.。显然有 Skip Record If.收敛，而对于 Skip Record If.，则当 Skip Record If.时收敛，当 Skip Record If.时 发散。设在 Skip Record If.上有 Skip Record If.，且 Skip Record If.。则当 Skip Record If.收敛时，Skip Record If.也收敛；但当 Skip Record If.发散时，Skip Record If.可能发散，也可能收敛。例如 Skip Record If.，Skip Record If.，则 Skip Record If.。显然有 Skip Record If.发散，而对于 Skip Record If.，则当 Skip Record If.时发散，当 Skip Record If.时收敛。证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法）设在Skip Record If.Skip Record If.上恒有Skip Record If.，Skip Record If.是正常数。若Skip Record If.，且Skip Record If.，则Skip Record If.收敛；当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 若Skip Record If.，且Skip Record If.，则Skip Record If.发散。推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在Skip Record If.Skip Record If.上恒有Skip Record If.，且 Skip Record If.，则 若Skip Record If.，且Skip Record If.，则Skip Record If.收敛；若Skip Record If.，且Skip Record If.，则Skip Record If.发散。证 直接应用定理 8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数Skip Record If.取为Skip Record If.。讨论下列非负函数反常积分的敛散性：Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.（Skip ReIf.）.解（1）当 Skip Record If.时，Skip Record If.Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.收敛。（2）当 Skip Record If.时，Skip Record If.Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.收敛。（3）因为当 Skip Record If.时有 当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 Skip Record If.，而积分 Skip Record If.发散，所以积分 Skip Record If.发散。（4）当 Skip Record If.时，Skip Record If.Skip Record If.，所以在 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。证明：对非负函数 Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.收敛与 Skip Record If.收敛是等价的。证 显然，由 Skip Record If.收敛可推出 Skip Record If.Skip Record If.收敛，现证明当 Skip Record If.时可由 Skip Record If.Skip Record If.收敛推出 Skip Record If.收敛。由于 Skip Record If.Skip Record If.收敛，可知极限 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.，于是 Skip Record If.与 Skip Record If.，成立 Skip Record If.Skip Record If.与 Skip Record If.Skip Record If.，这说明积分 Skip Record If.与 Skip Record If.都收敛，所以积分 Skip Record If.收敛。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：Skip Record If.;Skip Record If.（Skip Reco Skip Record If.（Skip RecoIf.）;Skip Record If.;Skip Record If.（Skip Record If.和 Skip Record If.分别是 Skip Record If.和 Skip Record If.次多项式，Skip Record If.在 Skip Record If.范围无零点。）解（1）因为 Skip Record If.有界，Skip Record If.在 Skip Record If.单调，且 Skip Record If.，由 Dirichlet 判别法，积分 Skip Record If.收敛；由于 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，而积分 Skip Record If.发散，Skip Record If.收敛，所以积分 Skip Record If.发散，即积分 Skip Record If.条件收敛。（2）当 Skip Record If.时，Skip Record If.，而 Skip Record If.收敛，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.绝对收敛；当 Skip Record If.时，因为 Skip Record If.有界，Skip Record If.在 Skip Record If.单调，且 Skip Record If.，由 Dirichlet 判别法，积分 Skip Record If.收敛；但因为当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.发散，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.条件收敛。（3）当 Skip Record If.时，Skip Record If.Skip Record If.，而 Skip Record If.收敛，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.绝对收敛；当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 当 Skip Record If.时，因为 Skip Record If.有界，Skip Record If.在 Skip Record If.单调，且 Skip Record If.，由 Dirichlet 判别法，积分 Skip Record If.收敛；但因为当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.发散，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.条件收敛。（4）令 Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.，由于 Skip Record If.条件收敛，可知积分 Skip Record If.条件收敛。（5）当 Skip Record If.且 Skip Record If.充分大时，有 Skip Record If.Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.绝对收敛。当 Skip Record If.时，因为 Skip Record If.有界，且当 Skip Record If.充分大时，Skip Record If.单调且 Skip Record If.，由 Dirichlet 判别法可知 Skip Record If.收敛；但由于当 Skip Record If.时，Skip Record If.Skip Record If.，易知 Skip Record If.发散，所以当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.条件收敛。当 Skip Record If.时，由 Skip Record If.，Skip Record If.为非零常数、Skip Record If.或 Skip Record If.，易知积分 Skip Record If.发散。设 Skip Record If.在 Skip Record If.只有一个奇点 Skip Record If.，证明定理 8.2.Skip Record If.和定理 8.2.Skip Record If.。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 定理 8.2.Skip Record If.（Cauchy 判别法）设在 Skip Record If.上恒有 Skip Record If.，若当 Skip Record If.属于 Skip Record If.的某个左邻域 Skip Record If.时，存在正常数 Skip Record If.，使得 Skip Record If.，且 Skip Record If.，则 Skip Record If.收敛；Skip Record If.，且 Skip Record If.，则 Skip Record If.发散。证（1）当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.收敛，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.。由于 Skip Record If.Skip Record If.，所以 Skip Record If.收敛。（2）当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.发散，由反常积分的 Cauchy 收敛原理，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.。由于 Skip Record If.Skip Record If.，所以 Skip Record If.发散。推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在 Skip Record If.上恒有 Skip Record If.，且 当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 Skip Record If.，则 若 Skip Record If.，且 Skip Record If.，则 Skip Record If.收敛；若 Skip Record If.，且 Skip Record If.，则 Skip Record If.发散。证（1）由 Skip Record If.（Skip Record If.），可知 Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.，再应用定理 8.2.Skip Record If.的（1）。（2）由 Skip Record If.（Skip Record If.），可知 Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.，再应用定理 8.2.Skip Record If.的（2）。定理 8.2.Skip Record If.若下列两个条件之一满足，则 Skip Record If.收敛：（Abel 判别法）Skip Record If.收敛，Skip Record If.在 Skip Record If.上单调有界；（Dirichlet 判别法）Skip Record If.在 Skip Record If.上有界，Skip Record If.在 Skip Record If.上单调且 Skip Record If.。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 证（1）设 Skip Record If.，因为 Skip Record If.收敛，由 Cauchy 收敛原理，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.：Skip Record If.。由积分第二中值定理，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。（2）设 Skip Record If.，于是 Skip Record If.，有 Skip Record If.。因为 Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，有 Skip Record If.。由积分第 二中值定理，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy 收敛原理，都有 Skip Record If.收敛的结论。讨论下列非负函数反常积分的敛散性：Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.解（1）因为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.收敛。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291（2）因为 Skip Record If.Skip Record If.，且对任意 Skip Record If.，Skip Record If.，即当 Skip Record If.充分小时，有 Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.收敛。（3）因为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.发散。（4）因为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.发散。（5）首先对任意的 Skip Record If.与任意的 Skip Record If.，有 Skip Record If.，即当 Skip Record If.充分小时，有 Skip Record If.；且 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。所以当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.收敛，当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.发散。（6）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以在 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。（7）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，且 Skip Record If.，即当 Skip Record If.充分小时，有 Skip Record If.，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 讨论下列反常积分的敛散性：Skip Record If.(Skip ReIf.);Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.;Skip Record If.解（1）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。当 Skip Record If.，Skip Record If.时积分 Skip Record If.与积分 Skip Record If.显然收敛，且当 Skip Record If.时，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，即 Skip Record If.不是反常积分，所以积分 Skip Record If.收敛。（2）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。因为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.收敛；因为 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.收敛；因为 当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以积分 Skip Record If.收敛。由此可知积分 Skip Record If.收敛。（3）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.收敛，当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.发散；当 Skip Record If.时，Skip Record If.，即当 Skip Record If.充分大时，有 Skip Record If.，其中 Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.收敛，当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.发散；综上所述，当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。（4）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.,可知当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛；由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛。所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 Skip Record If.发散。（5）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.发散；由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，可知积分 Skip Record If.收敛。所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.发散。（6）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。由于积分 Skip Record If.收敛，及 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.发散。（7）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。当 Skip Record If.时，显然积分 Skip Record If.发散；当 Skip Record If.时，由于 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，所以当 Skip Record If.，且 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，其余情况下积分 Skip Record If.发散。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291（8）设 Skip Record If.，则对任意的 Skip Record If.，当 Skip Record If.充分大时，有 Skip Record If.，因为 Skip Record If.，可知积分 Skip Record If.收敛。设 Skip Record If.，则对任意的 Skip Record If.，当 Skip Record If.充分大时，有 Skip Record If.，因为 Skip Record If.，可知积分 Skip Record If.发散。设 Skip Record If.，令 Skip Record If.，则 Skip Record If.Skip Record If.，由此可知当 Skip Record If.或 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。讨论下列反常积分的敛散性：Skip Record If.;Skip Record If.(Skip Recor Skip Record If.;Skip Record If.;(5)Skip Record If.；(6)Skip Record If.(Skip RecoIf.).解（1）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。（2）当 Skip Record If.时，由 Skip Record If.，可知积分 Skip Record If.绝对收 敛。当 Skip Record If.时，因为 Skip Record If.有界，当 Skip Record If.充分大时 Skip Record If.单 当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 调减少，且 Skip Record If.，由 Dirichlet 判别法，积分 Skip Record If.收敛；但因为积分 Skip Record If.发散，所以当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.条 件收敛。当 Skip Record If.时，由于 Skip Record If.时 Skip Record If.不趋于零，可知积分 Skip Record If.发散。（3）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。当 Skip Record If.时，易知积分 Skip Record If.发散；当 Skip Record If.时，易知积分 Skip Record If.发散。当 Skip Record If.时，因为 Skip Record If.，Skip Record If.单调减少，且 Skip Record If.，由 Dirichlet 判别法；可知积分 Skip Record If.收敛。综上所述，当 Skip Record If.时，积分 Skip Record If.条件收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。（4）Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.。当收敛时也收敛当发散时也发散证当收敛时应用反常积分的收敛原理于是所以也收敛当发散时应用反常积分的收敛原也发散但当收敛时可能收敛也可能发散例如则显然有收敛而对于则当时收敛当时发散设在上有且则当收敛时也收敛但判别法设在上恒有是正常数若且则收敛仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流若且则精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢291 由 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.，可知当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。当 Skip Record If.时，显然积分 Skip Record If.收敛；当 Skip Record If.时，易知积分 Skip Record If.发散；当 Skip Record If.时，易知积分 Skip Record If.发散。当 Skip Record If.时，因为 Skip Record If.，可知 Skip Record If.有界，且 Skip Record If.单调减少，Skip Record If.，由 Dirichlet 判别法，可知积分 Skip Record If.收敛。综上所述，当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.绝对收敛，当 Skip Record If.时积分 Skip Record If.条件收敛，在其余情况下积分 Skip Record If.发散。（5）令 Skip Record If.，则 Skip Record If.Skip Record If.。于是可知当 Skip Record If.时积分 Ski