《近世代数》课程教学大纲.pdf
近世代数课程教学大纲 _ _ 近世代数课程教学大纲 MODERN ALGEBRA（2009 年 10 修订，潘庆年执笔）一、课程的适用专业、学时及学分 本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，68 学时，4 学分。二、课程的性质、目的和任务 近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课，是现代数学的重要基础之一。通过本课的学习，能够使学生掌握群、环、域的基础知识，深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法，同时掌握代数的一些基本方法：集合、运算、运算性质，特殊元素，特殊子对象，商对象，同态同构，为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证，加深对中等数学中代数体系的理解。三、与其它课程的联系 本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础，对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助。四、课程的基本内容、重点及难点（一）基本概念 1、集合及其运算。2、映射，映射的合成，一一映射，可逆映射击，一一映射与可逆映射的关系。3、代数运算及其运算律。4、同态，同构，自同态，自同构。5、等价关系，集合元素的分类，二者的关系。重点及难点：同态、同构等价关系与集合元素的分类（二）群 1、群的定义及其等价条件。_ _ 2、群的同态及其性质。3、变换群，Cayley 定理。4、置换群，置换的循环表方法，交代群。5、循环群，整数加群 Z和模 n 剩余类加群 Zn，结构定理。6、子群及子群的陪集，Lagrange 定理。7、不变子群，商群，同态基本定理。重点及难点：群的定义，循环群与置换群，不变子群与商群，同态基本定理。（三）环与域 1、环的定义及简单性质，几类常用的环的实例。2、交换律，单位元，可逆元，零因子，正则元，整环。3、除环和域，四元数除环，域中元的运算。4、无零因子环的特征。5、子环，环的同态及同态映射的性质。6、多项式环，同态及代入法，未定元的存在性。7、理想，剩余类（商）环，同态基本定理。8、极大理想，域的构作。9、分式域的存在条件及其构作方法 重点与难点：环（域）的概念，几类常用环的性质，理想与商环，同态及同态基本定理。（四）整环的因子分解理论 1、整除，因子与平几因子，相伴元，素元，唯一分解。2、唯一分解环及其等价条件，最大公因子，互素。3、主理想环，升链条件，极大理想与素元的关系。4、欧氏环、唯一分解环、主理想环及其之间的关系。5、多项式环的因子分解，根。重点与难点：素元，唯一分解问题。（五）扩域 1、扩域，素域，最小扩域 F（S）的构造及其性质。2、代数元与超越元，单代数扩域的同构定理，单超越扩域的同构定理。3、代数扩域，有限扩域，二者的关系 4、多项式的分裂域，存在及其唯一性。_ _ 5、有限域，有限域的阶，多项式 xq-x 的分裂域。重点与难点：单扩 F（）的同构定理，代数扩域，分裂域的存在及唯一，有限域的性质。五、学时分配表 章节 主要内容 各教学环节学时分配表 备注 讲授 实验 讨论 习题 课外 其它 小计 一 基本概念 8 2 10 二 群论 17 3 20 三 环与域 17 3 20 四 整环里的因子分解 10 2 12 五 扩域（选讲）6 6 合 计 58 10 68 六、教材与教学参考书 1 张禾瑞.近世代数基础.北京:高教出版社,2000 年（选用教材）.2 刘绍学.近世代数基础.北京:高教出版社,2001 年.3 吴品三.抽象代数.北京:高教出版社,1984 年.4 杨子胥.近世代数.北京:高教出版社,2001 年.5 韩士安,林磊.近世代数.北京:科学出版社,2008 年.6 樊辉,刘宏伟.抽象代数.北京:科学出版社,2008 年.7 聂灵沼，丁石孙代数学引论北京：高等教育出版社，1988 8 T.W.Hungerford.Algebra.Berlin:Springer_verlag,1 974._ _ 9 Nathan Jacobson Basic Algebra(I)New York：W.H.Freeman and Company，1985 10 Joseph.J.Rotman.抽象代数基础教程(英文版).第 2 版.北京:机械工业出版社,2004 年 11 Joseph A Gallian Contemporary abstract algebra Boston:New York Houghton Mifflin Company，1998 第一单元 中国传统文化主流思想的演变 第 1 课“百家争鸣”和儒家思想的形成 【基础解读】一、“百家争鸣”局面出现的原因及评价 1、原因：（1）春秋战国时期，中国社会发生重大变革。社会地位较低的士，受到各诸侯国统治者的重用。他们代表本阶层或政治派别的利益和要求，提出自己的主张。（2）政治和经济大变动，导致教育和学术领域也发生变化。社会上形成一些以传播文化、发展学术为宗旨的学者和思想流派。这些学者和思想流派，被称为“诸子百家”。（3）学派之间的互相诘难、批驳，形成了“百家争鸣”的局面；同时，各家彼此吸收、融合，逐步形成了中国的传统文化体系。2、评价：_ _“百家争鸣”是中国历史上第一次思想解放运动，是中国学术文化、思想道德发展史上的重要阶段，奠定了中国思想文化发展的基础。成为中国传统文化的源头。二、孔子和早期儒学 1、孔子生平：孔子姓孔名丘字仲尼，春秋晚期鲁国人，是著名的思想家、教育家和政治理论家，儒家学派的创始人，后人尊称“至圣”。2、早期儒学：（1）孔子创立儒家学派。孔子的思想核心是“仁”。他认为仁就是爱人，人与人之间要互相爱护，融洽相处；要做到待人宽容，“已所不欲，勿施于人”。孔子强调统治者要以德治民，爱惜民力，取信于民，反对苛政和任意刑杀。孔子首创私人讲学，主张“有教无类”，打破了贵族垄断文化教育的局面。（2）孟子和荀子是儒家学派的两位重要代表人物。孟子发展了孔子“仁”的思想，主张实行“仁政”，进一步提出“民为贵，社稷次之，君为轻”的民本思想。在伦理观上，孟子主张“性本善”。荀子强调“天行有常”，并提出“制天命而用之”，“君者舟也，庶人者水也。水则载舟，水则覆舟”的著名论断。（3）孟子、荀子对儒家思想加以总结和改造，又吸收了一些其他学派的积极合理成分，使儒学体系更加完整，儒家思想更能适应社会的需要。三、道家和法家 1、道家：_ _（1）老子，道家学派的创始人。老子认为世界万物的本原是“道”。他强调一切要顺应自然，提倡清静无为、知足寡欲。他指出社会动荡的根源，在于人们的行为违背了自然，幻想“小国寡民”的社会（2）庄子，把道作为最高原则，宣传天道与自然无为 2、法家：法家学派的集大成者是战国末期的韩非子。主张加强君主集权，厉行赏罚，奖励耕战。他提出“不期修古，不法常可”，“事异则备变”的主张。第 2 课 “罢黜百家，独尊儒术 【基础解读】一、从“无为”到“有为”（1）原因：秦末战火频繁，社会经济破坏严重。（2）目的：为了恢复生产和安定人心，统治者吸取道家“无为而治”的思想，采取与民休息的政策。
