ARCH模型 计量经济学 EVIEWS建模课件.pdf

自回归条件异方差建模在同方差假设不成立时，我们要以被解释变 量的方差为预测对象，研究其变化规律。同时方 差的平稳程度，也同样决定了被解释变量平稳性。一、自回归条件异方差模型二、ARCH模型的建立,三、ARCH模型的扩展与应用一、自回归条件异方差模型在事物的发展过程中，常表现出复杂的波动情 况，即时而波动的幅度较缓，而又时常出现波动集 聚性(Vola tility clustering),在风险研究中经常遇到这 种情况。恩格尔(Engle)在1982年提出了用来描述方差 波动的自回归条件异方差模型ARCH(Autoregressive conditiona l heteroskeda sticity model)。并由博勒斯莱 文(Bollerslev,T.,1986)发展成为广义自回归条件异方 差G ARCH(G enera lized ARCH),后来又发展成为很多 的特殊形式。案例一一对异方差观察异方差是截面数据的常见现象，在时间序列中 人们很少考虑。1983年Engle和Kra ft（克拉格）在分析 宏观数据时发现了这一现象，即经济时序除常表现 为明显的趋势外，并不是一直的保持这种趋势；一 些序列看起来受某些冲击很大又持久，有些序列却 表现为散乱无序，有的序列间同向协同变动等复杂 性到处可见。人们常用随机游走过程描述的金融市场的复杂 现象，如某些非平稳的现象经差分后变得平稳了，但是，平稳的新序列的方差是明显不同的，这与白噪声的基本要求是有很大差距。见下图所示:商业债券利率序列”商业债券利率差分序列D&时序异方差的特征及基本模型1.序列异方差的特征分析异方差现象的三个特征如下：平稳过程的方差不仅随时间变化，而且有时 变化得很激烈。但其在一定范围内变化，并不趋于 无穷。同时方差的变化是连续的，没有突然的跳动。按时间观察，表现出“波动集群”(vola tility clustering)特征，或称之为“聚类性”。即方差在一 定时段中比较小，而在另一时段中比较大。从取值的分布看，表现的则是“高峰厚尾”(leptokurtosis a nd fa t-ta il)的特征，即均值附近与尾 区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正 态分布小。极端值较多的高峰厚尾的分布图例如下:高峰厚尾分布特征示意图以深圳综合指数收益分布数据为例，如下图所示:Ser ies:NDZSample 2 661Obser vations 660Mean-4.37E-17Median0.028869Maximum5.536131Minimum-5.381694Std.Dev.1.000758Skewness-0.070855Kur tosis7.193859Jar que-Ber a484.2347Pr obability0.000000标准化的深圳综合股票收益分布直方图峰度值K=7.193说明其高峰特征；又因JB的P值 说明序列属于非正态分布，且其数值都在|6|之内，所以具有厚尾的特征。2.ARCH基本模型若一个随机变量匕可以表示为ARMA模型或因果 关系的回归模型的基本形式，但其随机误差项并不 符合基本假设的要求，存在异方差，且其方差可用 误差项平方的q阶分布滞后过程来描述，则该模型就 是条件异方差模型，其基本形式为：Yt=f(XpX2，,Xp)+o(XpX2，,Xp)et在单变量建模中，其中的为可以是Y的滞后变量。该模型也常称为“方差函数模型”。即均值部分是 普通的回归或平稳的ARMA模型，而误差部分是一个 关于异方差性的有界函数，常简记为ARCH模型。平稳随机变量K可以表示为AR(p)形式，其随机 误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后过程来 描述，则常见的ARCH模型由如下两部分给出：一是均值方程：Yt=oc0+%丫皿+oc2 Yt _2+.+ocpYt.p+st二是条件异方差ARCH方程：2+OpYt-pYt的无条件期望(T8时)的长期均值是：E(Yt)=a0 4-(1-a1-a2-.-ap)对于ARCH方程，由于62的非负性，对G应有 如下约束：首先：60 0,6j 0,j=1,2,.q其中当全部5广0,六1,2,.人时，就是扰动项不存在自相关的情况，这时的条件方差52=金。因为方 差是非负的，所以要求品0。其次，的平稳性，须有如下两个约束：一是ARCH方程的特征方程：1-bl L-a 1_2-bq l_q=0的根都应在单位圆之外，即0W|卬1。二是对于q个6j必须同时满足：061+62+.+6a 1证明：首先，对于误差求条件期望可得条件方差：02t=60+61E(e2t.1)+62E(e2t.2)+.+6qE(e2t,q)+E(vt)=+6 t i+62 02t +.+6q 02tq当T78时，则有：o2=60+62o2+.+6qo2其次，对于误差的无条件均值可得无条件方差:出=a0(l-Xa j)可见，若保证5?是一个平稳过程，应该有约束:0 (6 62+.+6n)0,N 0,i 1,2,.q；九N 0,i=1,2,.p0V a.+YP 2.t2=品+与工 _i 2+.+6q et _q 2+九 15，52非负的充分与必要条件是：600；0；k2Le+i，N，k=0,1,q-l 二、ARCH模型的建立检验均值模型的残差ARCH效果1.残差的分布及其假设选择Y:XB或A(L)Y=W(L)e对均值模型的估计会 得到残差的估计值，如果模型的残差具有异方差 性，那么使用非线性的估计才是有效的。在模型的误差项服从ARCH过程的情况下，如 果模型仍然服从其他的基本假设，则OL S估计仍然 有效，即使误差项非正态也会渐近有效。对ARCH模型使用加权最小二乘(WL S)可能效果 更好，但这时不属于无偏估计量。为此，人们认为最大似然估计更有效，但是 使用极大似然法估计要知道现象的高峰厚尾分布 特性。人们在一般情况下常对残差分布做如下三种 假设：误差分布的正态假设为计算方便，假定已知匕的T+q期观测值，q为滞后期数，这是为了保证估计参数所用的样本 容量为T。.ARCH(q)可以表示为：st=atvto要注意：E(et)=0；vt-iidN(0,1)；g=E(s2t)=ht；%=品+5遇2匕+52S2t.2+.+且K服从正态分布，概率密度函数为：f(Yt|Xt,瓯 a)二ex,一J 2硝 I 2ht J对于误差服从t分布的G ARCH Ql)过程，在 时，接近正态分布，其对数似然函数为：ln（6）=雄 _2）r/2y r（+i）/22k+iFTfin 1+t=（y-a）2 cr；（左一 2）21 T-生端2 t=l残差服从广义误差分布(G ED)的G ARCH(L l)过程，在r=2时为正态分布，其对数似然函数为：ln（6）=&t=lr（3/r）（F y以）2 一（）-ir/22.ARCH模型的存在性检验对残差ARCH效果的检验主要是看残差的平方 是否存在自相关，即在一系列基本假设的前提下，进行系列的检验，主要的检验方法是在均值方程（回归模型或时间序列模型）的误差项的平方序列中 使用Q、F、L M等统计量进行检验。Q检验原假设是残差系列是自噪声过程，不存在自相 关的异方差性。自回归条件异方差的LM检验Engle于1982年提出的L M检验的假设如下：Ho：b=2=6q=0（即不存在ARCH）H j b 62，,Q不全为零在原假设成立条件下，OL S估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，OL S估计量是一 致的，但不是有效的。检验的具体步骤如下：首先，估计均值模型AR(p),并求工的估计值 et及叶;其次，估计辅助回归方程式：et2=60+61et.12+62et_22+.+6qet.q2+vt然后，用辅助回归方程的可决系数R2构成统 计量L M二R2。其中T表示辅助回归式的样本容 量。在原假设无异方差成立的条件下有：L M二TR2片若L M为2a，接受H。若L M为2a，接受H。注意：辅助回归式中要有常数项金。自回归条件异方差的F检验首先，建立原假设Ho：-二下=6q=0（不存在ARCH）H：瓯62，,6q不全为零其次，估计均值方程，并求得.的估计值程及和2；然后，用H估计两个辅助回归方程et2=60+vt（r式）et2=60+6遥向2+62et.22+.+6qet.q2+vt（u式）有:最后，构造F统计量，在原假设成立条件下右F Fa(q,T-q可接受匕。3.实例分析以日元兑美元汇率的建模研究为例，数据是 1995.1-2000.8日元兑美元汇率值(1427个)见下页图 中的序列(JPY)。极小值为81.12日元，极大值为 147.14日元。其均值为112.93日元，标准差是13.3 日元。1995年4月曾一度达到81.12日元兑1美元。那是因为美日贸易摩擦愈演愈烈，为了逼迫日本 打开国内市场，美国有意迫使日元升值。随着日 本政府的有限妥协，以及泡沫经济的彻底显现，多个金融证券公司接连破产，从而使日元兑美元 汇率值开始一路走低，1998年8月达到147.14日元 兑1美元。JPY显然是一个非平稳序列。160-r14012010080日元兑美元汇率(JPY)时间序列JPY的差分序列D(JPY)表示收益，见下图。因为 D(JPY)是平稳序列，可用D(JPY)建立时间序列模型。D(JPY)的时间序列Autocorrelation Partial CorrelationJPY的相关图 表明非平稳Autocorrelation Partial CorrelationD(JPY)的相关图 表明可能是AR 或MA或ARMADependent Var iable:D(JPY)Method:Least Squar esDate:08/27/03 Time:21:04Sample(adjusted):5 1427Inc luded obser vations:1423 after adjusting endpointsConver genc e ac hieved after 2 iter ationsVar iable Coeffic ient Std.Er r or t-Statistic Pr ob.AR(2)0.054145 0.026414 2.049895 0.0406AR(3)-0.085900 0.026407-3.252981 0.0012R-squar ed 0.009935Adjusted R-squar ed 0.009238S.E.of r egr ession 0.958668Sum squar ed r esid 1305.963Log likelihood-1958.084Mean dependent var 0.003717S.D.dependent var 0.963127Akaike info c r iter ion 2.754861Sc hwar z c r iter ion 2.762255Dur bin-Watson stat 1.911506Inver ted AR Roots.24+.35i.24-.35i-.48DJPYt=0.0541 DJPYt_2-0.0859 DJPYt_3+et(2.0)(-3.3)R2=0.01,DW=1.91,Q(15)=8.6该式的残差图显示存在自回归条件异方差。eI Freeze进一步通过ARCH检验考察该AR模型中是否存在自 回归条件异方差。Representations Estimation Output Actual/Fitted/Residual Covariance MatrixCoefficient Tests Estimate ForecastStati|Resids|Residual TestsStability TestsLabelCorrelogram-Q-statistics Correlogram Squared Residuels Histogram-Normality Test Serial Correlation LM Test.AR(2)AR(3)ARCH LM Test.White Heteroskedasticity(no cross terms)ARCH Test:F-statisticObs*R-squar ed59.74716 Pr obability110.4404 Pr obability0.0000000.000000Test Equation:Dependent Var iable:RESIDA2Method:Least Squar esDate:08/27/03 Time:21:16Sample(adjusted):7 1427Inc luded obser vations:1421 after adjusting endpointsVar iableCoeffic ientStd.Er r ort-StatisticPr ob.C0.6033190.0743768.1116860.0000RESIDA2(-1)0.2231200.0263648.4631090.0000RESIDA2(-2)0.1199050.0263654.5479460.0000R-squar ed0.077720Mean dependent var0.918421Adjusted R-squar ed0.076419S.D.dependent var2.676483S.E.of r egr ession2.572184Akaike info c r iter ion4.729496Sum squar ed r esid9381.671Sc hwar z c r iter ion4.740599Log likelihood-3357.307F-statistic59.74716Dur bin-Watson stat2.009131Pr ob(F-statistic)0.000000输出结果表示：下半部分是自回归条件异方差L M检验式:6=0.6033+0.22316+0.1199e2t_2(8.1)(8.5)(4.5)R2=0.07772,DW=2.0上半部分给出检验结果：L M=T R2=1421x0.07772=110.44 /20 05(2)=5.99,F=59.7 Fo 05 1421-2-1)=30，两种检验结果都认为模型存在自回归条件异方差。应该在AR均值方程基础上建立ARCH模型。ARCH模型的估计与设定 估计G ARCH和ARCH模型的菜单路径：Quick/Estima te Equa tion或Ob ject/New Ob ject/Equa tionEquation EstimationSpecificationEquation specificationDependent variable followed by list of regressors and PDL terms,OR an explicit equation like选择ARCHEstimation settingsethod：|LS-Least Squares(NLS and ARMA)Least Squares(NLS and ARMA)TSLS-Two-Stage Least Squares(TSNLS and ARMA)GMM-Generalized Method of Moments ARCH-Autoregressive Conditional Keteroskedasticity BINARY-Binary choice Qogit,probit,extreme value)ORDERED-Ordered choice CENSORED-Censored or truncated data(tobit)COUNT-Integer count dataZJJ.基本设置项说明Specification Options|Mean equationDependent followed by regressors and ARMA terms ORd(gdp)ar(l)|None|Variance and distribution specification方差及分布说明VarianceModel：|GARCH/TARCH 三Options：ARCH 厂 Threshold loGARCH广极限临界值加入ARCH方程中的外生变量 列表Error|Normal(Gaussian)|Estimation settings-Method|ARCH-Autoregressive Conditional Heterosked&sticity|Sample978 2006取消均值方程窗口依赖于回归元和ARMA各项来建立，其方程的各 变量输入与线性回归方程的输入相同，采用列表式 在窗口输入即可。如果解释变量的表达式中含有ARCH-M项，就需要点击对话框右上方对应的选项按钮有：选项None表示方程中不含有ARCH-M项；选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差g选项Va ria nce.则表示在方程中含有条件方差十。选项L og(Va r).它表示在均值方程中加入条件方差 的对数Ind)作为解释变量。方差设定与分布设定在model下拉框中可以选择所要估计的ARCH模 型的类型，如下图所示：-Vauriance and distribution specificati三IModel：|GARCH/TARCHOptions AKCHGARCH/TARCHEGARCH PARCHGARCH ARCH(1,1)on anceVariError|Norm al(Gaussian)三1G ARCH（广义ARCH模型）；TARCH（非对称ARCH模型）；EG ARCH（指数广义ARCH模型）；PARCH（哥 ARCH 模型）；Component ARCH（1,1）（即合成 ARCH 模型）.ARCH项和G ARCH项的阶数选择，在缺省的形 式下都为一阶，这是现在最普遍的设定。如果要估计一个非对称的模型，就应该在 Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设 置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。需注意的是Threshold编辑栏含有多个非对称项 的非对称模型。在Va ria nce栏中，可以根据需要列出包含在方 差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归 时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在 变量表中列出C。Error组合框用来设定误差的分布形式，缺省 的形式为标准高斯Norma l(G a ussia n),备选项有：Student/s-t;学生 氏t分布。G enera lized Error(G ED);Student/s-t with fixed df;G ED with fixed pa ra meter oErrorNormal(Gaussian)Normal(Gaussi an)Student s tGeneralized Error(GED)Students t with fixed df.GED with fixed parameter三1需要注意，选择了后两个选项的任何一项都 会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为 这两个分布的固定参数设定一个值。估算设置Estimation settingsMethod|ARCH-Autoregressive Conditional Heteroskedasticity|Sample 1978 2006Method：选择的估计方法;Sa mple：确定样本范围。Equation EstimationSpecification Options迭代过程Backcasting ackcast presample ARCH/熙吃乩.热则.MaxCoefficient covariancerneteroskedasticity consistent covariance fRnl 1 qlWccI Hri协方差 系数Convergene e：|0.0001Starting coefficient|OLS/TSLSZ1初始系数Derivatives1导数方法,nDi splay settings显示设置Select method to(Accuracy Speed17 Use numeric选择方法精确度Optimization algorithm(MarquardtBerndt-Hall-Hall-Hauj速度最优化算法确定|取消|选项卡中各项目说明如下：回推(Ba ckca sting)在缺省的情况下，MA初始的扰动项和G ARCH 项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定 初始值的。如果不选择回推算法，EViews会设置残差为 零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化 的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法 通常比使用无条件方差来初始化G ARCH模型的效 果要理想。系数协方差(Coefficient Cova ria nce),点击H eteroskeda sticity Consistent Cova ria nces 计算极大似然(QML)协方差和标准误差。如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该 使用这个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是 一致的，才可能产生正确的标准差。注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。（3）导数方法（Deriva tives）。EViews现在用数值 导数方法来估计ARCH模型。在计算导数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计 算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。迭代估计控制（Itera tive process）。当用默 认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代 控制。算法选择（Optimiza tion a lgorithmic ARCH模 型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选 择迭代算法（Ma rqua rdt、BH H H/高斯-牛顿）使其达到 收敛。3.估算结果与形式Dependent Variable:D(GDP)Method:ML-ARCH(Marquardt)-Normal distributionDate:01/19/09 Time:11:21Sample(adjusted):1980 2006Included observations:27 after adjustmentsConvergence achieved after 38 iterationsVariance backcast:ONGARCH=C(2)+C(3)*RESID(-1)A2+C(4)*GARCH(-1)Coefficient Std.Errorz-StatisticProb.AR(1)C1.096930 0.053250Variance Equation1475.155 473.101220.599803.1180540.00000.0018RESID(-1)A2 0.073249 0.094082GARCH(-l)-0.982661 0.0094260.778565-104.24650.43620.0000R-squared 0.877383Adjusted R-squared 0.861389S.E.of regression 28.34052Sum squared resid 18473.26Log likelihood-122.2108Inverted AR Roots 1.10Mean dependent var76.00000 S.D.dependent var 76.12177 Akaike info criterion 9.348950 Schwarz criterion 9.540925 Durbin-Watson stat 2.158945Estimated AR process is nonstationary4.对ARCH和GARCH及模型阶数的选择在对ARCH的检验中，最基本的原假设H。实 质上是ARCH(O)。显然备择假设心只会有两种情况:一个是ARCH(p),其中p0;另一个是G ARCH(p,0)o若将原假设H 0是ARCH，即在ARCH的基础 上检验模型是否存在异方差性，则备择假设心可 以有如下两种情况：一个是ARCH(l+p)；另一个是G ARCH(p,l)。在G ARCH(q)的检验中，原假设H 0实质上是 ARCH(q)o而备择假设心可以有两个：一个是ARCH(q+p)；另一个是G ARCH(p,q)。L M统计量无法区别是哪个备择假设，为此：在q值很大时建议使用G ARCH模型；在q值较小时可以使用ARCH模型。在实际应用中，G ARCH Ql)和G ARCH(2,1)足 可以满足对自回归条件异方差的描述。5.案例与估算结果案例分析与说明(高铁梅)为检验股票价格指数的波动是否具有条件异方 差性，我们选择了沪市股票的收盘价格指数的日数 据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市 早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此,本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。样本序列sp是1998年1月3日至2001年12月31 日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了 减少舍入误差，在估计时，对sp进行自然对数处 理，即将序列log(sp)作为因变量进行估计。由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单 位根过程-随机游动(Ra ndom Wa lk)模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：log(卯 J=7 x log(卯1)+ut首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回 归方程，结果如下：log(s/J=1.000027 xlog(sp_i)(15531)R2=0.994 对数似然值=2874 AIC=5.51 SC=-5.51Equal ion:EQ 1 orkfile:16_SPVi ew|Procs|Obj ects|Print|Name|Freeze|Estimate|Forecast|Stats|Resi ds|Dependent Var iable:LOG(SP)Method:Least Squar es Date:10/27/04 Time:17:10 Sample:1/02/1998 12/31/2001 Inc luded obser vations:1042Var iableCoeffic ient Std.Er r or t-Statistic Pr ob.LOG(SP(-1)1.000027 6.44E-05 15531.33 0.0000R-squar edAdjusted R-squar ed S.E.of r egr ession Sum squar ed r esid Log likelihood0.994221 Mean dependent var 7.3813990.994221 S.D.dependent var 0.2018800.015347 Akaike info c r iter ion-5.5148270.245189 Sc hwar z c r iter ion-5.5100772874.225 Dur bin-Watson stat 1.935913可见该方程的统计量很显著，且拟合程度也很好。但是对该方程进行异方差的White和ARCH L M检验，发 现0=3时的ARCH-L M检验的相伴概率，即P值接近于0,White检验的结果类似，其相伴概率，即P值也接近于 0,这说明误差项具有条件异方差性。观察上图，表明该回归方程的残差，具有波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如 2000年），在其他一些较长的时间内非常大（例如1999 年），这说明残差序列存在高阶ARCH效应。对该方程进行条件异方差的ARCH L M检验，得到 了在滞后阶数p二3时的ARCH L M检验结果：ARCH Test:F-statistic 19.86953 Pr obability 0.000000Obs*R-squar ed 56.57756 Pr obability 0.000000此处的P值为0,拒绝原假设，说明残差序列存 在ARCH效应。还可以计算残差平方的自相关(AC)和 偏自相关(PAC)系数，结果如下：Correlogram of Residuals SquaredDate:11/17/05 Time:09:37Sample:1/05/1998 12/31/2001Inc luded obser vations:1041AC PAC Q-Stat Pr obAutoc or r elation Par tial Cor r elation11口1 0.118 0.118 14.418 0.0001J1J2 0.128 0.116 31.484 0.000113 0.190 0.168 69.400 0.000GARCH(Ll)模型的建立重新建立序列的G ARCH(1,1)模型，结果如下:均值方程：log(sR)=1.00003 lx log(即I)(23213)方差方程：矛=1.2x 105+0.250 x+0.732义G M，LL(11.44)(33.36)对数似然值=3006 AIC=-5.76 SC=-5.74方差方程中的ARCH项和G ARCH项的系数都是统计 显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值 都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCHL M检验,相伴概率为P=0.924,说明利用G ARCH模型消除了 原残差序列的异方差效应。ARCH和G ARCH的系数之和等于0.982,小于1,满 足参数约束条件。由于系数之和非常接近于1,表明 一个条件方差所受的冲击是持久的，即它对所有的 未来预测都有重要作用，这个结果在高频率的金融 数据中经常可以看到。Dependent Var iable:LOG(SP)Method:ML-ARCHDate:09/15/04 Time:12:42Sample:W5Z1998 12/31/2001Inc luded obser vations:1041Estimation settings:tol=0.00010,der ivs=ac c ur ate numer ic(linear)Initial Values:C(1)=1.00003,C(2)=0.00015.C(3)=0.15000,C(4)=0.60000Conver genc e ac hieved after 17 iter ationsVar ianc e bac kc ast:ONGARCH=C(2)+C(3)*RESID(-1)A2+C(4)*GARCH(-1)Coeffic ient Std.Er r or z-StatisticLOG(SP(-1)1.000030 4.30E-05 23248.96Pr ob.J八0.0000均值方程 的结果方牟方程_一一._ _ _二的结果CRESIDE 尸2 GARCH(-1)1.19E-050.2511250.7313072.27E-06 5.2660270.021861 11.487290.021909 33.380020.00000.00000.0000R-squar ed0.994215Mean dependent var7.381604，均值方程Adjusted R-squar ed0.994198S.D.dependent var0.201867k中无回归S.E.of r egr ession0.015377Akaike info c r iter ion-5.761149量时此部Sum squar ed r esid0.245186Sc hwar z c r iter ion-5.742137疆分方意义Log likelihood3002.678Dur bin-Watson stat1.935633对ARCH模型的检验与预测1.检验对于ARCH模型，把残差标准化Vt=et/ot；其 中为条件误差，。为无条件标准差。如果标准化 的残差序列是独立同分布的，即都服从正态或t分 布的，则该模型是有效的。其检验的方法可以从 如下两方面进行：使用L BQ检验，判断是否存在自相关；使用峰度、偏度、Q-Q图判断分布是否为 正态或t分布。2.预测使用条件异方差模型预测，其趋势部分的预 测与一般线性回归或自回归模型相同。其方差部 分不是无条件的常数方差。2 了，而是按照自回归 规律动态变化的条件异方差。实质上该预测是对 时序波动性和相对风险性等问题的预测，该预测 方法多采用迭代过程多步来完成。如果记Fls|t 为条件方差超前S个时期的线性预测，即：FE+sit FE(2t+s|2t,2t_1,.)则线性预测的迭代公式为：Fs+j|t-o2=a1(F8+j.1|t-a2)+a2(F82t+j.2|t-a2)+.+式中，j=l,2,.,s；当cVt时，F E2T,t=e2To假设以有有限方差，而Wa Vl,那么当s8时，超 前s期预测FE+s|t玲。2。具体形式与AR模型一样，迭代计算k步，进 行预测，即：hT(l)=a0+a182T+-+aP2T+i-p1)+%，+a p-T+2-p hT(K)=a0+Za jhT(K-i)；其中当K-i“时，hT(K-i)=82T+K,三、ARCH模型的扩展与应用*GARCH-M模型1.模型的意义1987年由三位学者恩格尔(Engle)、利林(L ilien)和罗宾(Rob ins)建立的，反映金融资产与风险关系的 自回归条件异方差均值模型，其表达如下：Yt=XtP+pat2+etat2=a0+a1s2t.1+.+aps2t.p+Y1a2t.1+.+vqa2t.q 其中：靖是对资产风险的衡量，服从条件异方差；p反映风险对收益的作用程度。实际应用时可将均 值方程中的靖换成5或ln&2),将XB换为常数。2.案例分析估计我国股票收益率的ARCHM模型，仍选择 1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每 日股票价格收盘指数加0数据，股票的收益率是根据 公式（叼/即-J,即股票价格收盘指数对数的差 分计算出来的。ARCH一M模型：ret=y+p(yt+ut估计出的结果是：沱=-0.003+0.27x3,(-2.72)(2.96)歹二1.6x10-5+0.2%+0.68 见(5.43)(12.45)(29.78)对数似然值=3010 AIC=-5.77 SC=-5.74在收益率方程中包括4的原因是为了在收益率 的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理 论模型的基础。在这一均值方程假设下，P应该是 正数，即我们预期较大值的条件标准差与高收益率 相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且 系数之和小于1,满足平稳条件。均值方程中巴的系 数为0.27,表明当市场中的预期风险增加一个百分 点时，就会导致收益率也相应的增加0.27个百分点。Dependent Var iable:REMethod:ML-ARCHDate:11/17/05 Time:10:05Sample:1/05/1998 12/31/2001Inc luded obser vations:1041Conver genc e ac hieved after 27 iter ationsVar ianc e bac kc ast:OFFGARCH=C(3)+C(4)*RESID(-1)A2+C(5)*GARCH(-1)Coeffic ientStd.Er r orz-StatisticPr ob.SQRT(GARCH)0.2669420.0890342.9982110.0027C-0.0029650.001072-2.7669780.0057Var ianc e EquationC1.60E-052.93E-065.4512110.0000RESID(-1)A20.28