2023年2019年天津卷理数高考试题文档版.pdf

绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷 注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件A、B互斥，那么()()()P ABP AP B 如果事件A、B相互独立，那么()()()P ABP A P B 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高 棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则()ACB A 2 B 2,3 C1,2,3 D1,2,3,4 2设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy 则目标函数4zxy 的最大值为 A2 B3 C5 D6 3设xR，则“250 xx”是“|1|1x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A5 B8 C24 D29 5已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且|4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为 A2 B3 C2 D5 6已知5log 2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,a b c的大小关系为 Aacb Babc Cbca Dcab 7已知函数()sin()(0,0,|)f xAxA 是奇函数，将 yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x若 g x的最小正周期为2，且24g ，则38f A2 B2 C2 D2 8已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxf xxaxx 若关于x的不等式()0f x 在R上恒成立，则a的取值范围为 A0,1 B 0,2 C0,e D1,e 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而第卷 注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9i是虚数单位，则5ii1的值为_ 1083128xx的展开式中的常数项为_ 11已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_ 12设aR，直线20axy 和圆22cos,1 2sinxy （为参数）相切，则a的值为_ 13设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_ 14在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_ 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c已知2bca，3 sin4 sincBaC（）求cos B的值；（）求sin 26B的值 16（本小题满分 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率 17（本小题满分 13 分）如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC（）求证：BF 平面ADE；形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而（）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长 18（本小题满分 13 分）设椭圆22221(0)xyabab 的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55（）求椭圆的方程；（）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 19（本小题满分 14 分）设na是等差数列，nb是等比数列已知1122334,622,24abbaba，（）求na和nb的通项公式；（）设数列nc满足111,22,2,1,kknkkcncb n 其中*kN（i）求数列 221nnac的通项公式；（ii）求2*1niiia cnN 20（本小题满分 14 分）设函数()e cos,()xf xxg x为 f x的导函数（）求 f x的单调区间；（）当,4 2x时，证明()()02f xg xx；（）设nx为 函 数()()1u xfx在 区 间2,242nn 内 的 零 点，其 中nN，证 明形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而20022sinc seonnnxxx 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答 一选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分 1D 2C 3B 4B 5D 6A 7C 8C 二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 30 分 913 1028 114 1234 134 3 141 三解答题 15本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力，满分 13 分（）解：在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba又因为2bca，得到43ba，23ca由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa （）解：由（）可 得215sin1cos4BB，从 而15sin 22sincos8BBB，227cos 2cossin8BBB，故 153713 57sin 2sin2 coscos 2 sin666828216BBB 16本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为23，故23,3XB，从而3321()C,0,1,2,333kkkP Xkk 所以，随机变量X的分布列为 形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而X 0 1 2 3 P 127 29 49 827 随机变量X的数学期望2()323E X （）解：设乙 同学上 学 期间 的 三天中 7：30 之前 到校 的天 数为Y，则23,3YB，且3,12,0MXYXY 由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥，且事件3X 与 1Y，事件2X 与0Y 均相互独立，从而由（）知()(3,12,0)(3,1)(2,0)P MPXYXYP XYP XY 824120(3)(1)(2)(0)279927243P XP YP XP Y 17本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分 依题意，可以建立以A为原点，分别以AB ADAE，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E设(0)CFhh，则1,2,Fh（）证明：依题意，(1,0,0)AB 是平面ADE的法向量，又(0,2,)BFh，可得0BF AB，又因为直线BF 平面ADE，所以BF 平面ADE（）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE 设(,)x y zn为平面BDE的法向量，则0,0,BDBEnn即0,20,xyxz 不妨令1z，可得(2,2,1)n因此有4cos,9|CECECE nnn 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49（）解：设(,)x y zm为平面BDF的法向量，则0,0,BDBFmm即0,20,xyyhz 不妨令1y，可得21,1,hm 形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而由题意，有224|1cos,|343 2hh m nm nmn，解得87h 经检验，符合题意 所以，线段CF的长为87 18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 13 分（）解：设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba，又222abc，可得5a，2,b 1c 所以，椭圆的方程为22154xy（）解：由题意，设0,0PPpMP xyxM x，设直线PB的斜率为0k k，又 0,2B，则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立222,1,54ykxxy整理得2245200kxkx，可得22045Pkxk，代入2ykx得228 1045Pkyk，进而直线OP的斜率24510Ppykxk 在2yk x中，令0y，得2Mxk 由题意得 0,1N，所以直线MN的斜率为2k由OPMN，得2451102kkk，化简得2245k，从而2 305k 所以，直线PB的斜率为2 305或2 305 19本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力满分 14 分 形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而（）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q 依题意得2662,6124,qdqd 解得3,2,dq故14(1)331,623 2nnnnannb 所以，na的通项公式为31,nnanb的通项公式为3 2nnb （）（i）解：222113 21 3 219 41nnnnnnnacab 所以，数列 221nnac的通项公式为 2219 41nnnac （ii）解：22221111211nnniini iiiiiiiiia caacaac 12212439 412nnnnii 2114 1 43 25 2914nnnn 211*2725 212nnnn N 20本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法考查函数思想和化归与转化思想考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力满分 14 分（）解：由已知，有()e(cossin)xf xxx因此，当52,244xkk ()kZ时，有sincosxx，得()0fx，则 f x单调递减；当32,244xkk ()kZ时，有sincosxx，得()0f x，则 f x单调递增 所 以，f x的 单 调 递 增 区 间 为32,2(),()44kkkf x Z的 单 调 递 减 区 间 为52,2()44kkk Z（）证明：记()()()2h xf xg xx依题意及（），有()e(cossin)xg xxx，从而()2e sinxg xx 当,4 2x时，0()g x，故()()()()(1)()022h xf xg xxg xg xx 形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而因此，h x在区间,4 2 上单调递减，进而()022h xhf 所以，当,4 2x时，()()02f xg xx（）证明：依题意，10nnu xf x，即cose1nxnx 记2nnyxn，则,4 2ny，且22ecosecos2ennyxnnnnnfyyxnn N 由20e1nnfyfy 及（），得0nyy由（）知，当,4 2x时，()0g x，所以 g x在,4 2 上为减函数，因此 004ng yg yg 又由（）知，02nnnfyg yy，故 02222000002sincossinceeeeosennnnnnynnfyyg yg yg yyyxx 所以，20022sinc seonnnxxx 形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试其他答案标号本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥么如果事件相互独立么圆柱的体积公式其中表示圆柱的中只有一项是符合题目要求的设集合则设变量满足约束条件则目标函数的最大值为设则是的充分而不必要条件必要而