2023年2020-2021年高中数学 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习新人教.pdf

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 A级 基础巩固 一、选择题 1已知向量b与向量a(1，2)的夹角是 180，且|b|3 5，则b()A(3，6)B(3，6)C(6，3)D(6，3)解析：由题意，设ba(，2)(0)，由于|b|3 5，所以|b|2（2）2 523 5，所以3，所以b(3，6)答案：A 2 若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与ab的夹角是()A.6 B.56 C.3 D.23 解析：因为|ab|ab|，所以a22abb2a22abb2，所以ab0.又|ab|2|a|，所以|a|22ab|b|24|a|2，所以|b|23|a|2.设ab与ab的夹角为，则 cos（ab）（ab）|ab|ab|a|2|b|24|a|22|a|24|a|212.又0，所以23.答案：D 3设x，yR，向量a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac0，bc，则|ab|()A.5 B.10 C2 5 D10 解析：由ac0，bc，2x40，2y40，x2，y2.所以a(2，1)，b(1，2)，ab(3，1)所以|ab|10.答案：B 4ABC外接圆的半径等于 1，其圆心O满足AO12(ABAC)，|AO|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()A32 B.32 C.32 D3 解析：由AO12(ABAC)可知O是BC的中点，则BC为外接圆的直径，所以BAC90，|OA|OB|OC|.又因为|AO|AC|1，故OAC为等边三角形，所以AOC60，所以ABC30，且|AB|BC|sin 60 3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|cosABC 3cos 3032.答案：C 5在ABC中，若|ABAC|ABAC|，AB2，AC1，E，F为BC边的三等分点，则AEAF()A.89 B.109 C.259 D.269 解析：由|ABAC|ABAC|得ABAC，所以ABC是以A为直角顶点的直角三角形 由E，F为BC边的三等分点，所以AEAB13BC23AB13AC，AFAC13CB13AB23AC，因此AEAF23AB13AC13AB23AC29AB229AC259ABAC294291109.答案：B 二、填空题 6(2016北京卷)已知向量a(1，3)，b(3，1)，则a与b夹角的大小为_ 解析：由题意得|a|132，|b|312，则解析由所以所以答案外接圆的半径等于其圆心满足则向量在方向上的投影等于解析由可知是的中点则为外接圆的直为直角顶点的直角三角形由为边的三等分点所以因此答案二填空题北京卷已知向量则与夹角的大小为解析由题意得设为答案已知且与的夹角为锐角则的取值范围是解析由于与的夹角为锐角所以且与不共线同向由解得当向量与共线时得 ab1 3 312 3.设a与b的夹角为，则 cos 2 32232.因为0，所以6.答案：6 7若|a|2，b(2，2)，a(ba)20，则向量a与b的夹角为_ 解析：因为b(2，2)，所以|b|2.因为|a|2，a(ba)20，所以aba2ab222，所以ab2.设a与b的夹角为，则 cos ab|a|b|22212，又0，所以向量a与b的夹角为3.答案：3 8已知a(，2)，b(3，5)，且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_ 解析：由于a与b的夹角为锐角，所以ab0，且a与b不共线同向 由ab03100，解得103.当向量a与b共线时，得 56，得65，因此的取值范围是103且65.答案：103且65 三、解答题 9已知a(4，3)，b(1，2)(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值 解：(1)因为ab4(1)322，|a|42325，则解析由所以所以答案外接圆的半径等于其圆心满足则向量在方向上的投影等于解析由可知是的中点则为外接圆的直为直角顶点的直角三角形由为边的三等分点所以因此答案二填空题北京卷已知向量则与夹角的大小为解析由题意得设为答案已知且与的夹角为锐角则的取值范围是解析由于与的夹角为锐角所以且与不共线同向由解得当向量与共线时得|b|（1）222 5，所以 cos ab|a|b|25 52 525.(2)因为ab(4，32)，2ab(7，8)，又(ab)(2ab)，所以 7(4)8(3 2)0，所以529.10设A(4，a)，B(b，8)，C(a，b)，若四边形OABC是平行四边形(其中O为原点)，求AOC.解：因为四边形OABC是平行四边形，所以OACB，即(4，a)(ba，8b)，所以4ba，a8b，解得a2，b6.所以A(4，2)，C(2，6)，OA(4，2)，OC(2，6)所以OAOC422620，|OA|42222 5，|OC|2262 402 10.所以 cos AOCOAOC|OA|OC|202 52 1022.因为 0AOC0，k12，解得k92且k12.则解析由所以所以答案外接圆的半径等于其圆心满足则向量在方向上的投影等于解析由可知是的中点则为外接圆的直为直角顶点的直角三角形由为边的三等分点所以因此答案二填空题北京卷已知向量则与夹角的大小为解析由题意得设为答案已知且与的夹角为锐角则的取值范围是解析由于与的夹角为锐角所以且与不共线同向由解得当向量与共线时得 则解析由所以所以答案外接圆的半径等于其圆心满足则向量在方向上的投影等于解析由可知是的中点则为外接圆的直为直角顶点的直角三角形由为边的三等分点所以因此答案二填空题北京卷已知向量则与夹角的大小为解析由题意得设为答案已知且与的夹角为锐角则的取值范围是解析由于与的夹角为锐角所以且与不共线同向由解得当向量与共线时得